应用统计与随机过程实验报告 (1)

实验一 相关正态分布离散随机过程的产生
一、实验目的
以正态随机过程为例，掌握离散时间随机过程的仿真方法，理解正态分布随机过程与均匀分布随机过程之间的相互关系，理解随机过程的相关函数等数值特征;培养计算机编程能力。

二、实验要求
1) 利用计算机语言的[0,1]区间均匀分布随机数产生函数生成两个
相互独立的序列
{U1(n)|n=1,2,…}，{U2(n)|n=1,2,…}
2) 生成均值为m=0，根方差σ=1的白色正态分布序列 {e(n)|n=1,2,…，}
[][]
m n u n u n +=)(2cos )(ln 2-)(e 21πσ
3) 假设离散随机过程x(n)服从均值为x m =0、根方差为2x =σ、相关
函数为||2)(r k x x k ασ= )6.0(=α 功率谱函数为
∑∞
-∞
=----=-=k jw
jw x x x e e jwk k r w P )1)(1()1()exp()()(22ααασ 1
2
11)(---=z
z G x αασ 随机过程x(n)的生成方法为
)(1)1()(x 2n e n x n x ασα-+-= (n=1,2,…) 给定初始条件x(0)=0 4) 采用集合统计的方法计算
∑==
1000001
'
)(100000
1
n x n x m
∑==1000001
2
'
)(1000001n x n x σ ∑-=+-=k
n x k n x n x k r 1000001
'
)()(1000001
)4,3,2,1(=k 验证计算出来的统计参数与理论值是否一致，差异大小。

5) 采用计算机程序计算正态分布的区间积分
00001.0]2
2)
00001.0(ex p[2
21]22ex p[221200000
1
2
2
2
02
2
⨯⨯⨯-
⨯=
⨯-⨯=∑
⎰
=i i ds s P ππ
根据已生成的序列x(n)，在个数据中，分别计算（-∞， -2），[-2，0]，(0，2]，[2，∞)区间上数据出现的比例P1，P2，P3，P4。

比较P1，P2，P3，P4与理想值（0.5-P ）,P,P,（0.5-P ）的一致性。

三、实验代码及结果
1. 利用计算机语言的[0,1]区间均匀分布随机数产生函数生成两个
相互独立的序列
{U1(n)|n=1,2,…}，{U2(n)|n=1,2,…} 代码：
u1=rand(1,); u2=rand(1,); subplot(1,2,1); hist(u1); subplot(1,2,2); hist(u2);
分析:利用随机函数产生了两个随机序列,区间为[0,1]。

hist 函数默认将区间划分为10等份。

2. 生成均值为m=0，根方差σ=1的白色正态分布序列 {e(n)|n=1,2,…，}
[][]
m n u n u n +=)(2cos )(ln 2-)(e 21πσ 代码：
clc;
u1=rand(1,); u2=rand(1,);
e=sqrt(-2*log(u1)).*cos(2*pi*u2); hist(e,100);
3. 假设离散随机过程x(n)服从均值为x m =0、根方差为2x =σ、相关
函数为||2)(r k x x k ασ= )6.0(=α 功率谱函数为
∑∞
-∞
=----=-=k jw
jw x x x e e jwk k r w P )1)(1()
1()exp()()(22ααασ 1
2
11)(---=z z G x αασ
随机过程x(n)的生成方法为
)(1)1()(x 2n e n x n x ασα-+-= (n=1,2,…)
给定初始条件x(0)=0 代码：
clc;
u1=rand(1,); u2=rand(1,);
en=sqrt(-2*log(u1)).*cos(2*pi*u2); a=0.6;
x(1)=2*sqrt(1-a*a)*en(1); for n=1:-1;
x(n+1)=a*x(n)+2*sqrt(1-a*a).*e(n+1); end
hist(x,100);
实验结果：
分析：生成服从均值为x m =0、根方差为2x =σ、相关函数为||2)(r k x x k ασ=
)6.0(=α 的离散随机过程x(n)。

4. 采用集合统计的方法计算
∑==
1000001
'
)(100000
1
n x n x m
∑==1000001
2
'
)(1000001n x n x σ ∑-=+-=k
n x k n x n x k r 1000001
'
)()(1000001
)4,3,2,1(=k 验证计算出来的统计参数与理论值是否一致，差异大小。

代码：
u1=rand(1,); u2=rand(1,);
en=sqrt(-2*log(u1)).*cos(2*pi*u2); a=0.6;
x(1)=2*sqrt(1-a*a)*en(1); for n=1:-1;
x(n+1)=a*x(n)+2*sqrt(1-a*a).*en(n+1); end sum=0; for i=1:-1 sum=sum+x(i); end mx=sum/ for i=1:-1
sum=sum+x(i)*x(i); end
ax=sqrt(sum/) for k=1:4 sum=0; for j=1:-k
sum=sum+x(j)*x(j+k); end
r(k)=sum/(-k); end r
输出结果：
5. 采用计算机程序计算正态分布的区间积分
00001
.0]22)
00001.0(ex p[2
21]22ex p[221200000
1
2
2
2
02
2
⨯⨯⨯-
⨯=
⨯-⨯=∑
⎰
=i i ds s P ππ
根据已生成的序列x(n)，在个数据中，分别计算（-∞，-2），[-2，0]，(0，2]，[2，∞)区间上数据出现的比例P1，P2，P3，P4。

比较P1，P2，P3，P4与理想值（0.5-P ）,P,P,（0.5-P ）的一致性。

代码：
num1=0;num2=0;num3=0;num4=0; for i=1:1: if (x(i)<-2) num1=num1+1;
else if (x(i)>=-2)&(x(i)<=0) num2=num2+1;
else if (x(i)>0)&(x(i)<=2) num3=num3+1;
else
num4=num4+1;
end
end
end
end
disp('实验值为')
p1=num1/
p2=num2/
p3=num3/
p4=num4/
p2=0;
for i=1:
p2=p2+1/(sqrt(2*pi)*2)*exp(-(i*0.00001)*(i*0.00001)/(2*2*2))*0.00001; end
p3=p2;
p1=(1-2*p2)/2;
p4=p1;
disp('理想值为')
p1,p2,p3,p4
输出结果：
分析：通过将积分运算转化为小区间内的值的相加，可以得到p1,p2,p3,p4的实验值，与理想值进行对比相差不大。