导数的几何意义及其应用

导数的几何意义及其应用

函数()f x 在0x 处的导数0()f x '的几何意义是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率，故曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=⋅- 导数的几何意义是高考重点考查的内容，特别是与曲线的切线方程有关的题型是考查的热点，下面就针对不同的题型分别给出解决的方法。

一、求切线方程：

1.曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线方程：

（1）把0x 代入函数()f x ，求出0()f x 的值，如果0()f x 的值已知，此步骤可以省略；

（2）对函数()f x 求导，得到()f x '，再把0x 代入()f x '，求出0()f x '的值；

（3）把0()f x 、0()f x '、0x 代入切线方程000()()()y f x f x x x '-=⋅-，化简即可。 例1.曲线21x y xe x =++在点（0，1）处的切线方程为

解析：在题中0()f x 的值为1，第一步省略，直接进行第二步，对函数求导，再把0x 的值0代入，得到0()f x '的值为3，第三步把求出的值代入切线方程并化简为310x y -+= 此类题目比较简单，考生一般情况下不会失分！

演变 1.曲线x y xe =在点（1，e ）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 .

演变 2.曲线1y x

=

和2y x =在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积为 .

2.过点()m n ，与曲线)(x f y =相切的直线方程：

（1）设切点横坐标为0x ，把0x 代入函数()f x ，得到0()f x 的表达式；

（2）对函数()f x 求导，得到()f x '，再把0x 代入()f x '，得到0()f x '的表达式；

（3）列出切线方程0()()y n f x x m '-=⋅-；

（4）把0()f x 、0x 代入切线方程，得到000()()()f x n f x x m '-=⋅-；

（5）解关于0x 的方程000()()()f x n f x x m '-=⋅-，得出0x 的值；

（6）把0x 的值代入切线方程0()()y n f x x m '-=⋅-，化简即可。

注意，过点()m n ，与曲线)(x f y =相切的直线可能不止一条，在上面（5）中，解出0x 的值有几个，切线就有几条，（6）中求出的切线方程就有几个。

例2.求曲线x x y C +=2:过点)1,1(P 的切线的方程.

解析：根据上面步骤，设切点横坐标为0x ，再把0x 代入曲线表达式，得到2000y x x =+，对2y x x =+求导，并代入0x 为021x +，所以切线方程为01(21)(1)y x x -=+⋅-，代入0x 、0y 为200001(21)(1)x x x x +-=+⋅-，解得00x =或02x =，故满足条件的切线有两条，其方程分别为0x y -=与540x y --=。

练习1.过点)16,0(A 作曲线33y x x =-的切线，则此切线方程为 练习2.过点(1,2)P 且与函数31()23f x x x =

+的图象相切的直线方程为 二、已知斜率求切点：

（1）设切点横坐标为0x ；

（2）对函数()f x 求导，得到()f x '，再把0x 代入()f x '，得到0()f x '的表达式；

（3）令0()f x '等于已知斜率的值，解方程，求出0x 的值；

（4）把0x 的值代入函数()f x ，求出0()f x 的值，即可得到切点的坐标。

例3.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线C ：3103y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 .

解析：按照上面的步骤，先设点P 横坐标为0x ，然后对3103y x x =-+求导，代入0x 得到203102x -=，解得02x =±，又因为点P 在第二象限内，所以02x =-，代入3103y x x =-+求出015y =，故点P 坐标为（2-，15）

演变 1.若曲线x x x f -=4

)(在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为 ．

演变2.函数x y e =上的点到直线10x y --=的距离的最小值是 ．

三、已知切线方程求曲线表达式：

例4.曲线2()()4x f x e ax b x x =+--在点（0，(0)f ）处的切线方程为44y x =+，求()f x 的表达式。

解析：首先，把点（0，(0)f ）代入切线方程44y x =+，求出(0)4f =，再代入函数表达式，得到4b =，然后对函数求导，再代入切点横坐标0，得到(0)f a '=，所以4a =，所以2()(44)4x f x e x x x =+--

练习1.曲线ln ()1a x b f x x x =

++在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=，求()f x 的表达式。

练习2.曲线2()f x ax bx c =++通过点（1，1）且在点（2，(2)f ）处与直线3-=x y 相切，求()f x 的表达式。