北京数学中考一模新定义创新题(带答案解析)

西城29、给出如下规定：两个图形1G 和2G ，点P 为1G 上任一点，点Q 为2G 上任一点，如果线段PQ 的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形1G 和2G 之间的距离．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点．（1）点A 的坐标为A （1，0）则点B （2，3）和射线OA 之间的距离为__________， 点C （-2,3）和射线OA 之间的距离为_________； （2）如果直线y=x 和双曲线xky =之间的距离为2，那么k =_______；（可在图1中进行研究）（3）点E 的坐标为（1，3），将射线OE 绕原点O 逆时针旋转ο60，得到射线OF ，在坐标平面内所有和射线OE ，OF 之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M ．①请在图2中画出图形M ，并描述图形M 的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）②将射线OE,OF 组成的图形记为图形W ，抛物线22-=x y 与图形M 的公共部分记为图形N ，请直接写出图形W 和图形N 之间的距离．解析： 29.解：（1）3，13（每空各1分）（2）-1；（3）①如图9，过点O 分别作射线OE,OF 的垂线OG 、OH ，则图形M 为：y 轴正半轴，GOH ∠的边及其内容的所有点（图中的阴影部分）.说明：（画图2分，描述1分）（图形M 也可以描述为：y 轴正半轴，直线x y 33=下方与直线x y 33-=下方重叠的部分（含边界）） ②34东城29．定义符号{}min a b ,的含义为：当a b ≥时, {}min a b b =,；当a b ＜时,{}min a b a =,．如：{}min 122-=-,，{}min 121-=-,． (1)求{}2min x -1,-2;(2)已知2min{2,3}3x x k -+-=-, 求实数k 的取值范围;(3) 已知当23x -≤≤时，22min{215,(1)}215x x m x x x --+=--.直接写出实数m 的取值范围.解析：29．解：（1）∵20x ≥， ∴2x -1≥-1. ∴2-x -1＞2.∴{}2min 2x =--1,-2. ┉┉2分 (2) ∵()2211x x k x k -+=-+-2,∴()2111x k k -+--≥.∵2min{2,3}3x x k -+-=-， ∴13k --≥.∴2k -≥. ┉┉5分 (3) 37m -≤≤. ┉┉8分朝阳29．定义:对于平面直角坐标系xOy 中的线段PQ 和点M ，在△MPQ 中，当PQ 边上的高为2时，称M 为PQ 的“等高点”，称此时MP +MQ 为PQ 的“等高距离”． （1）若P (1，2)，Q (4，2) ．①在点A (1，0)，B (25，4)，C （0，3）中，PQ 的“等高点”是 ；②若M （t ，0）为PQ 的“等高点”，求PQ 的“等高距离”的最小值及此时t 的值.（2）若P (0，0)，PQ =2，当PQ 的“等高点”在y 轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q 的坐标．解析：29. 解:（1）A 、B ……………………………………………………………………………2分（2）如图，作点P 关于x 轴的对称点P ′，连接P ′Q ，P ′Q 与x 轴的交点即为“等高点”M ，此时“等高距离”最小，最小值为线段P ′Q 的长. ………………………3分 ∵P (1，2)， ∴ P ′ (1，－2).设直线P ′Q 的表达式为b kx y +=， 根据题意，有⎩⎨⎧=+-=+242b k b k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==31034b k .∴直线P ′Q 的表达式为31034-=x y . ……………4分 当0=y 时，解得25=x . 即25=t . ………………………………………………………………………5分 根据题意，可知PP ′＝4，P Q ＝3， P Q ⊥PP ′， ∴5''22=+=PQ PP Q P .∴“等高距离”最小值为5. …………………………………………………6分（3）Q （554，552）或Q （554-，552）. ………………………………8分海淀29．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P a b 和点(,)Q a b '，给出如下定义： 若,1,1≥b a b b a ⎧'=⎨-<⎩，则称点Q 为点P 的限变点．例如：点()2,3的限变点的坐标是()2,3，点()2,5-的限变点的坐标是()2,5--． （1）①点)的限变点的坐标是___________；②在点()2,1A --，()1,2B -中有一个点是函数2y x=图象上某一个点的限变点， 这个点是_______________（2）若点P 在函数3(2,2)y x x k k =-+->-≤≤的图象上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是52≤≤b '-，求k 的取值范围；（3）若点P 在关于x 的二次函数222y x tx t t =-++的图象上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是≥b m '或b n '<，其中m n >．令s m n =-，求s 关于t 的函数解析式及s 的取值范围．解析：29．(本小题满分8分)解：（1）①；………………………………1分② 点B ． ………………………………2分（2）依题意，3(2)y x x =-+-≥图象上的点P 的限变点必在函数3,13,21x x y x x -+⎧=⎨--<⎩≥≤的图象上．2≤b '∴，即当1x =时，b '取最大值2．当2b '=-时，23x -=-+．5x ∴=． ………………………………………3分当5b '=-时，53x -=-或53x -=-+．2x ∴=-或8x =． ………………………………4分52≤≤b '-Q ，由图象可知，k 的取值范围是58≤≤k ．……………………………………………5分（3）2222()y x tx t t x t t =-++=-+Q ，∴顶点坐标为(,)t t ．……………………………………6分若1t <，b '的取值范围是≥b m '或≤b n '，与题意不符．若1≥t ，当1≥x 时，y 的最小值为t ，即m t =；当1x <时，y 的值小于2[(1)]t t --+，即2[(1)]n t t =--+．22(1)1s m n t t t t ∴=-=+-+=+．∴s 关于t 的函数解析式为 211)s t t =+≥ ( ． ……………………………7分当t=1时，s 取最小值2．∴s 的取值范围是s ≥2． ………………………………………………………8分丰台29. 设点Q 到图形W 上每一个点的距离的最小值称为点Q 到图形W 的距离.例如正方形ABCD 满足A (1，0)，B (2，0)，C (2，1)，D (1，1)，那么点O (0，0)到正方形ABCD 的距离为1.（1）如果⊙P 是以（3，4）为圆心，1为半径的圆，那么点O (0，0)到⊙P 的距离（2）①求点(3,0)M 到直线21y x =+的距离；（3）如果点(0,)G b 到抛物线2y x =的距离为3，请直接写出b 的值.解析：29. （1）4；.…….2分（2）①直线21y x =+记为l ，过点M 作MH l ⊥，垂足为点H，.…….3分∵EOF MHE ∆∆∽∴MH MEOF EF =，即712MH =5MH =．.…….4分 .…….6分.…….8分通州29．如图，在平面直角坐标系中，已知点A (2，3)、B (6，3)，连结AB . 若对于平面内一点P ，线段AB 上都存在点Q ，使得PQ ≤1，则称点P 是线段AB 的“邻近点”． （1）判断点D 719(,)55，是否线段AB 的“邻近点” （填“是”或“否”）； （2）若点H (m ，n )在一次函数1-=x y 的图象上，且是线段AB 的“邻近点”，求m 的取值范围．（3）若一次函数y x b=+的图象上至少存在一个邻近点，直接写出b的取值范围.解析：29.（1）点D是线段AB的“邻近点”；…………………..(2分)（2）∵点H（m，n）是线段AB的“邻近点”，点H（m，n）在直线y＝x－1上，∴n＝m－1; ………………………………………..(3分)直线y＝x－1与线段AB交于（4，3）①当m≥4时，有n＝m－1≥3，又AB∥x轴，∴此时点H（m，n）到线段AB的距离是n－3，∴0≤n－3≤1，∴4 ≤m≤5，…………………………………..(4分)②当m≤4时，有n＝m－1 ∴n≤3，又AB∥x轴，∴此时点H（m，n）到线段AB的距离是3－n，∴0≤3－n≤1，∴3≤m≤4，………………………………………..(5分)综上所述，3≤m≤5; ………………………………………..(6分)(3) 3212--≤≤+………………………………………..(8分)b房山29.【探究】如图1，点()N m,n 是抛物线21114y x =-上的任意一点，l 是过点()02,-且与x 轴平行的直线，过点N 作直线NH ⊥l ，垂足为H .①计算: m=0时，NH= ; m =4时，NO = . ②猜想: m 取任意值时，NO NH (填“＞”、“＝”或“＜”).【定义】我们定义：平面内到一个定点F 和一条直线l （点F 不在直线l 上）距离相等的点的集合叫做抛物线，其中点F 叫做抛物线的“焦点”，直线l 叫做抛物线的“准线”.如图1中的点O 即为抛物线1y 的“焦点”，直线l :2y =-即为抛物线1y 的“准线”.可以发现“焦点”F 在抛物线的对称轴上.【应用】（1）如图2，“焦点”为F (-4，-1)、“准线”为l 的抛物线()221+44y x k =+与y 轴交于点N （0，2），点M 为直线FN 与抛物线的另一交点.MQ ⊥l 于点Q ，直线l 交y 轴于点H .①直接写出抛物线y 2的“准线”l ： ； ②计算求值：1MQ +1NH=；（2）如图3，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心，半径为1的⊙O 与x 轴分别交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），直线y =33x +n 与⊙O 只有一个公共点F ，求以F 为解析： 29.解：【探究】① 1 ; 5 ; ……………2分② ＝ . …………………3分【应用】（1）①3y =-； ……………………4分图2图3图1② 1 . ……………………5分（2）如图3，设直线y x n =+与x 轴相交于点C . 由题意可知直线CF 切⊙O 于F ，连接OF . ∴∠OFC =90° ∴∠COF=60° 又∵OF =1， ∴OC =2 ∴()20C ±，∴“焦点”112F ,⎛ ⎝⎭、212F ⎛- ⎝⎭.………6分∴抛物线3y 的顶点为1122,⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭或.①当“焦点”为112F ,⎛ ⎝⎭，顶点为12,⎛ ⎝⎭，()20C ， 时，易得直线CF1：3y x =. 过点A 作AM ⊥x 轴，交直线CF 1于点M. ∴1MA MF =∴(1M -，在抛物线3y 上.设抛物线2312y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将M 点坐标代入可求得：a =∴22312y x x ⎫=-=+⎪⎝⎭7分②当“焦点”为212F ⎛ ⎝⎭，顶点为12⎛- ⎝⎭，()20C -，时，由中心对称性可得：2231+2y x ⎫==⎪⎝⎭ …………………………8分综上所述：抛物线23y x =23y x =+.怀柔29. 对某种几何图形给出如下定义： 符合一定条件的动点所形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.例如,平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆.（1）如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，A(0，2)，B 是x 轴上一动点，当点B 在x 轴上运动时，点C 在坐标系中运动，点C于点G.则直线DE（2）当△ABC 是等边三角形时，在（1）的条件下，动点C 形成的轨迹也是一条直线.①当点B运动到如图2的位置时，AC∥x轴，则C点的坐标是 .②在备用图中画出动点C形成直线的示意图，并求出这条直线的表达式.③设②中这条直线分别与x,y轴交于E,F两点，当点C在线段EF上运动时，点H在线段OF上运动，（不与O、F重合），且CH=CE,则CE的取值范围是 .解析：29. 解：（1）x=2. …………………………1分.（2）①C点坐标为: 23（）…………………………3分.②由①C点坐标为: 2）再求得其它一个点C1），或（0，-2）等代入表达式y=kx+b，解得b=-2k ⎧⎪⎨=⎪⎩∴直线的表达式是2y =-.………………………5分.动点C 运动形成直线如图所示. ……………6分.EC <…………………………8分.门头沟29．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+bx +c （a ＞0）的顶点为M ，直线y =m 与x 轴平行，且与抛物线交于点A 和点B ，如果△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A 、B 两点之间部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线的准蝶形，顶点M 称为碟顶，线段AB 的长称为碟宽．AABBMMOxyy=m准蝶形AMB（1）抛物线212y x =的碟宽为 ，抛物线y =ax 2（a ＞0）的碟宽为 ． （2）如果抛物线y =a (x －1)2－6a （a ＞0）的碟宽为6，那么a = ．（3）将抛物线y n =a n x 2+b n x +c n （a n ＞0）的准蝶形记为F n （n =1，2，3，…），我们定义F 1，F 2，…，F n 为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．如果F n 与F n -1的相似比为12，且F n 的碟顶是F n -1的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为y 1，其对应的准蝶形记为F 1．①求抛物线y2的表达式；②请判断F1，F2，…，F n的碟宽的右端点是否在一条直线上？如果是，直接写出该直线的表达式；如果不是，说明理由．解析：29．（本小题满分8分）解：（1）4，2a；………………………………………………………………………2分（2）13；…………………………………………………………………………3分（3）①∵F1的碟宽︰F2的碟宽=2：1，∴12222:1a a=.∵a1=13，∴a2=23.………………………………………………………………4分又∵由题意得F2的碟顶坐标为（1，1），…………………………5分∴()222113y x=-+.……………………………………………………6分②F1，F2，…，F n的碟宽的右端点在一条直线上；……………………7分其解析式为y=－x+5．……………………………………………………8分石景山29．在平面直角坐标系xOy中，点A在直线l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E．给出如下定义：若线段OE，⊙A和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点,,,A B C D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线l的“理想矩形”．例如,下图中的矩形ABCD为直线l的“理想矩形”．（1）若点(1,2)A-，四边形ABCD为直线1x=-的“理想矩形”，则点D的坐标为；（2）若点(3,4)A，求直线1y kx=+(0)k≠的“理想矩形”的面积；（3）若点(1,3)A-，直线l的“理想矩形”面积的最大值为，此时点D的坐标为．解析：备用图29．解：（1）()1,0D -．…………………………………………………………2分（2）连结,AO AC ，过点A 作AF y ⊥轴于点F ． 则5AC AO ==，3AF =．3145EF AE =∠=︒∴=∴Q∴在Rt AEB ∆中，由勾股定理AB =∴在Rt ABC ∆中，由勾股定理得，BC =∴所求“理想矩形”ABCD 面积为AB BC ⨯=……………………………………………………5分（3）“理想矩形”面积的最大值是5． ………………………………6分()()1,23,2D ---或． ………………………………8分延庆29. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和线段AB ，给出如下定义：在线段AB 外有一点P ，如果在线段AB 上存在两点C 、D ，使得∠CPD =90°，那么就把点P 叫做线段AB 的悬垂点．（1）已知点A （2，0），O （0，0）①若1(1,)2C，D（1，1），E（1，2），在点C，D，E中，线段AO的悬垂点是______；②如果点P（m，n）在直线1y x=-上，且是线段AO的悬垂点，求m的取值范围；（2）如下图是帽形M（半圆与一条直径组成，点M是半圆的圆心），且圆M的半径是1，若帽形内部的所有点是某一条线段的悬垂点，求此线段长的取值范围．解析：29.（1）线段AO的悬垂点是C，D；（2）以点D为圆心，以1为半径做圆，设1y x=-与⊙D交于点B，C与x轴，y轴的交点坐标为（1,0），（0，-1）∴∠ODB=45°∴DE=BE在Rt△DBE中，-----------2分-----------3分由勾股定理得：DE=22∴2211122m m-≤≤+≠且（3）设这条线段的长为a①当2a<时，如图1，凡是⊙D外的点不满足条件；②当2a=时，如图2，所有的点均满足条件；③当2a>时，如图3，所有的点均满足条件；综上所述：2a≥燕山29．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点（1，1），(31-，31-)，(2-，2-)，…，都是和谐点．（1）分别判断函数12+-=xy和12+=xy的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数)0(42≠++=acxaxy的图象上有且只有一个和谐点(23，23)，且当mx≤≤0时，函数)0(4342≠-++=acxaxy的最小值为－3，最大值为1，求m的取值范围．（3）直线2:+=kxyl经过和谐点P，与x轴交于点D，与反比例函数xnyG=：的图象交于M，N两点（点M在点N的左侧），若点P的横坐标为1，且23<+DNDM，请直接写出n的取值范围．-----------6分-----------4分-----------8分图1 图2图3.解析：29．解：（1）令x x =+-12，解得31=x ， ∴函数12+-=x y 的图象上有一个和谐点(31，31)； ………………………2分 令x x ＝12+，即012＝+-x x ， ∵根的判别式Δ＝114)1(2⨯⨯--＝－3<0， ∴方程012＝+-x x 无实数根， ∴函数12+=x y 的图象上不存在和谐点． ………………………3分 （2）令x c x ax ＝++42，即032＝c x ax ++， 由题意，Δ＝ac 432-＝0，即94=ac ， 又方程的根为2323=-a ， 解得1-=a ，49-=c ． ………………………4分 ∴函数4342-++=c x ax y ，即342-+-=x x y ， 如图，该函数图象顶点为(2，1)，与y 轴交点为(0，－3)， 由对称性，该函数图象也经过点(4，－3)． ………………………5分由于函数图象在对称轴2=x 左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，且当m x ≤≤0时，函数342-+-=x x y 的最小值为－3，最大值为1， ∴42≤≤m ． ………………………6分（3）045<<n －，或10<<n ． ………………………8分。