高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理练习含解析

1.3.1 二项式定理

一、选择题

1．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( )

A ．－27C 610

B ．27

C 410 C ．－9C 610

D ．9C 410 【答案】 D

【解析】 ∵T r ＋1＝C r 10x 10－r (－3)r .令10－r ＝6，解得r ＝4.∴系数为(－3)4C 410＝9C 4

10. 2．在⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是( ) A ．3

B ．5

C ．8

D ．10 【答案】 B

【解析】 T r ＋1＝C r n (2x 3)

n －r ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x 2r ＝2n －r ·C r n x 3n －5r .令3n －5r ＝0，∵0≤r ≤n ，r 、n ∈Z . ∴n 的最小值为5. 3．在⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 2－1x n 的展开式中，常数项为15，则n 的一个值可以是( ) A ．3

B ．4

C ．5

D ．6 【答案】 D

【解析】 通项T r ＋1＝C r 10(x 2)

n －r (－1x )r ＝(－1)r C r n x 2n －3r ，常数项是15，则2n ＝3r ，且C r n ＝15，验证n ＝6时，r ＝4合题意，故选D.

4．(x ＋a x )5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于( )

A ．－1

B.12 C ．1 D ．2 【答案】 D

【解析】 C r 5·x r (a x )

5－r ＝C r 5·a 5－r x 2r －5，令2r －5＝3，∴r ＝4，由C 45·a ＝10，得a ＝2. 5．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是( )

A.112＜x ＜15

B.16＜x ＜15

C.112＜x ＜23

D.16＜x ＜25

【答案】 A

【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧ T 2>T 1T 2>T 3得⎩⎪⎨⎪⎧ C 162x >1C 162x >C 26(2x )2∴112＜x ＜15

. 6．在⎝

⎛⎭⎪⎫32x －1220的展开式中，系数是有理数的项共有( ) A ．4项

B ．5项

C ．6项

D ．7项

【答案】 A

【解析】 T r ＋1＝C r 20(32x )20－r ⎝

⎛⎭⎪⎫－12r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22r ·(32)20－r C r 20·x 20－r ， ∵系数为有理数，∴(2)r 与220－r

3均为有理数，

∴r 能被2整除，且20－r 能被3整除，

故r 为偶数，20－r 是3的倍数，0≤r ≤20.∴r ＝2,8,14,20.

二、填空题

7．若⎝

⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6的二项展开式中x 3的系数为52，则a ＝________(用数字作答)． 【答案】 2

【解析】 C 36(x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax 3＝20a

3x 3＝52x 3，∴a ＝2. 8．(1＋x ＋x 2)(x －1x

)6的展开式中的常数项为________． 【答案】 －5

【解析】 (1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6＋x 2⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －1x 6， ∴要找出⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6中的常数项，1x 项的系数，1x

2项的系数，T r ＋1＝C r 6x 6－r (－1)r x －r ＝C r 6(－1)r x 6－2r ， 令6－2r ＝0，∴r ＝3，

令6－2r ＝－1，无解．

令6－2r ＝－2，∴r ＝4.

∴常数项为－C 36＋C 46＝－5.

三、解答题

9．m 、n ∈N *，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 展开式中x 的系数为19，求x 2

的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数．

【解析】 由题设m ＋n ＝19，∵m ，n ∈N *.

∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1n ＝18，⎩⎪⎨⎪⎧

m ＝2n ＝17，…，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝18n ＝1. x 2的系数C 2m ＋C 2n ＝12(m 2－m )＋12(n 2－n )＝m 2－19m ＋171. ∴当m ＝9或10时，x 2的系数取最小值81，此时x 7的系数为C 79＋C 7

10＝156. 10．若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最大的项．

【解析】 通项为：T r ＋1＝C r n ·(x )n －r

·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x r . 由已知条件知：C 0n ＋C 2n ·122＝2C 1n ·12

，解得：n ＝8. 记第r 项的系数为t r ，设第k 项系数最大，则有： t k ≥t k ＋1且t k ≥t k －1.

又t r ＝C r －18·2－r ＋1，于是有：⎩⎪⎨⎪⎧ C k －18·2－k ＋1≥C k 8·2

－k

C k －18·2－k ＋1≥C k －28·2－k ＋2 即⎩⎪⎨⎪⎧

8！(k －1)！·(9－k )！×2≥8！k ！(8－k )！，8！

(k －1)！·(9－k )！≥8！

(k －2)！·(10－k )！×2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 29－k ≥1k ，

1k －1≥2

10－k .解得3≤k ≤4.

∴系数最大项为第3项T 3＝7·x 35和第4项T 4＝7·x 7

4.