第五章 相贯线

第五章相贯线

两立体表面相交，交线称为相贯线。准确地画出相贯线的投影能更完整地表达立体。实际中两立体相交可分为三种情况：平面立体与平面立体相交；平面立体与曲面立体相交；两曲立体相交，如图5-0-1所示。

相贯线有如下性质：

1．相贯线一般是封闭的空间折线或曲线。其形状随两相交立体表面的性质和相对位置的变化而不同。

2．相贯线是两立体表面的共有线，是两立体表面公共点的集合。求相贯线，也就是求两相交立体表面的公共点。

第三节两曲面立体相交

两曲面立体相交，相贯线为封闭的空间曲线，特殊情况为平面曲线。下面介绍常用的两种方法。

一、表面取点法

两回转体相交，如果其中有一个是轴线垂直于投影面的圆柱，则相贯线在该投影面上的投影，就积聚在圆柱面的有积聚性的投影上。于是可以在这个相贯线有积

聚性的投影上取一些点，按已知曲面立体表面上的点的一个投影，求其它投影的方

法，即表面取点法，作出相贯线的投影。

例1：如图5-3-1所示，求作两正交圆柱的相贯线。

解：相贯线系两圆柱表面公共点的集合，应在铅垂轴线的小圆柱面上，其水平投影

重合在水平投影中的小圆周上；同理相贯线的侧面投影也应重合在侧面投影的大圆

周上。故只有它的正面投影需要画出，可以用已知曲面上点的一个投影求另外投影

的方法。作图步骤如下：

（1）先求特殊点，即求相贯线上的最前、最后、最左、最右、最上、最下等点。在水平投影的小圆周上直接确定出相贯线上最左、最右点的投影1、3和最前、最后点的投影2、4；对应在侧面投影中为1″、3″和2″、4″，也是最高、最低点的侧面投影；按投影关系可得出它们的正面投影1′、3′和2′、4′。因为两曲面立体前后对称相贯，故最前、最后两点的正面投影重合。

（2）求作若干一般位置点。依连线光滑准确的需要，作出相贯线上若干个中间点的投影。如在水平投影上取5、6点，其侧面投影为5″、6″，再求出其正

面投影5′和6′。

（3）依次光滑连接1′、5′、2′（4′）、6′、3′各点，即得相贯线的正面投影。

二、辅助平面法

辅助平面法的原理是基本于三面共点原则，如图5-3-2所示。圆柱与圆锥台正交，作一水平面P，平面P与圆锥的截交线（圆）和平面P与圆柱面的截交线（两

平行直线）相交，交点Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ、Ⅷ既是圆锥面上的点，也是圆柱面上的点，又

是平面P上的点（三面共点），即是相贯线上的点。用来截切两相交立体的平面P，称为辅助平面。

为了方便、准确地求得共有点，选择辅助平面应以截两立体表面的交线是圆或直线为原则，视相交两立体表面性质及其与投影面的相对位置而灵活选择。

例2：如图5-3-3所示，圆锥台与圆柱轴线正交，求作相贯线的投影。

解：由于两轴线垂直相交，相贯线是一条前后、左右对称的封闭的空间曲线，其侧面投影为圆弧，重合在圆柱的侧面投影上，需作出的是其水平投影和正面投影。

作图步骤如下：

（1）作特殊点。根据侧面投影1″、3″、（5″）、7″可作出正面投影1′、3′、5′、（7′）和水平投影1、3、5、7。其中Ⅰ、Ⅴ点是相贯线上的最左、最右（也是最高）点，Ⅲ、Ⅶ点是相贯线上的最前、最后（也是最低）点。

（2）求作一般位置点。在最高点和最低点之间作辅助平面P（水平面），它与圆锥面的交线为圆，与圆柱面的交线为两平行直线，它们的交点Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ、Ⅷ即为相贯线上的点。先作出交线圆的水平投影，再由2″（4″）、8″（6″）作出2、4、6、8，进而作出2′（8′）和4′（6′）。

（3）判别可见性，光滑连线。相贯线前后对称，前半相贯线的正面投影可见；相贯线的水平投影都可见。依次光滑连接各点的同面投影，即得相贯线的投影。

例3：如图5-3-4所示，圆柱与圆锥轴线正交，求作相贯线的投影。

解：由于两轴线垂直相交，相贯线是一条前后对称的封闭的空间曲线，其侧面投影为圆弧，重合在圆柱的侧面投影上，需作出的是其水平投影和正面投影。

作图步骤如下：

（1）作特殊点。由于Ⅰ、Ⅱ两点在圆柱的轮廓素线上，容易求出Ⅰ和Ⅱ两点的三面投影1、1′、1″和2、2′2″。再求相贯线上的最前、最后

点Ⅲ、Ⅳ的投影：过Ⅲ、Ⅳ点作水平面P2，截圆锥截出一个以R2为半

径的圆，在水平投影上画出该圆的投影，延长圆柱的最前、最后两条

轮廓素线与圆的投影相交于3、4，由3、4和3″、4″得3′、4′。

（2）作一般位置点。在最高点和最低点之间作辅助平面P1、P3（水平面），它与圆锥面的交线为圆，与圆柱面的交线为两平行直线，它们的交点

Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ即为相贯线上的点。分别以R1、R3为半径画出交线圆

的水平投影，再由5″、7″、6″、8″作出5、7、6、8，进而作出5′

（6′）和7′（8′）。

（3）判别可见性，光滑连线。相贯线前后对称，前半相贯线的正面投影可见，用实线依次光滑连接各点。相贯线的水平投影以3、4点为分界点，

其右侧可见，用实线依次光滑连接3、7、2、8、4点，左侧不可见，

用虚线依次光滑连接3、5、1、6、4点，即得相贯线的水平投影。三、相贯线的特殊情况

在一般情况下，两回转体相交，相贯线为空间曲线，但在下列特殊情况下，相贯线为平面曲线。

（1）两个同轴回转体的相贯线为垂直于轴线的圆，见图5-3-5。

（2）当两个外切于同一球面的回转体相交时，其相贯线为两个椭圆。此时，若两回转体的轴线都平行于投影面，则两个椭圆在该投影面上的投影

为相交二直线，见图5-3-6。

四、影响相贯线的因素

相贯线的形状与相交两立体的表面性质、相对位置及尺寸大小有关。

如果相交的两立体表面性质不同，其相贯线形状不会相同。比如棱柱与圆锥的相贯线和圆柱与圆锥的相贯线形状不同。

如果相交的两立体相同，但其相对位置不同，其相贯线形状也会不同，见图5-3-7。如果相交的两立体表面性质、相对位置都相同，但其尺寸不同，其相贯线形状也会不同。如图5-3-8a所示，两圆柱体轴线正交，水平圆柱直径相同，而直立圆柱直径不等，其相贯线形状也在变化。从图的正面投影看出，两圆柱的相贯线总是由小