数论体系梳理
奥数七大模块重要知识点-模块体系梳理脑图
奥数七大模块重要知识点-模块体系梳理脑图导语：历年小升初考试中数学成绩占有重要地位，择校考试过程中为了更进一步的拉开分数的距离，除了基础的数学知识必须熟练掌握熟练之外，数学的拓展内容也成为考核的重点部分。
数学思维拓展，也就是大家常说的奥数。
所有的奥数知识，总的来分可以分为七大模块，各类试题都由这七大模块而来。
那么，奥数都有哪些模块呢？每个模块都有哪些重要知识呢？一起看看这些模块你掌握住了多少？奥数的七大模块包括：计算、数论、几何、行程、应用题、计数和杂题同学们，看到这七大模块你都熟悉吗？模块一：计算模块1、速算与巧算2、分数小数四则混合运算及繁分数运算3、循环小数化分数与混合运算4、等差及等比数列5、计算公式综合6、分数计算技巧之裂项、换元、通项归纳7、比较与估算8、定义新运算9、解方程模块二：数论模块1、质数与合数2、因数与倍数3、数的整除特征及整除性质4、位值原理5、余数的性质6、同余问题7、中国剩余定理（逐级满意法）8、完全平方数9、奇偶分析10、不定方程11、进制问题12、最值问题模块三：几何模块（一）直线型1、长度与角度2、格点与割补3、三角形等积变更与一半模子4、勾股定理与弦图5、五大模型（二）曲线型1、圆与扇形的周长与面积2、图形旋转扫过的面积问题（三）立体几何1、立体图形的面积与体积2、平面图形旋转成的立体图形问题3、平面展开图4、液体浸物问题模块四：行程模块1、简单相遇与追及问题2、环形跑道问题3、流水行船问题4、火车过桥问题5、电梯问题6、发车间隔问题7、接送问题8、时钟问题9、多人相遇与追及问题10、屡次相遇追及问题11、方程与比例法解行程问题模块五：应用题模块1、列方程解应用题2、分数、百分数使用题3、比例应用题4、工程问题5、浓度问题6、经济问题7、牛吃草问题模块六：计数模块1、列举法之分类列举、标数法、树形图法2、分类列举之整体法、对应法、排除法3、加乘原理4、排列组合5、容斥原理6、抽屉原理7、归纳与递推8、几何计数9、数论计数模块七：杂题1、从简单情况入手。
数论基础知识
• 合数是指除1和它本身之外还有其他因数的整数
• 最大公约数是指两个或多个整数的最大公共因数
• 最小公倍数是指两个或多个整数的最小公共倍数
• 数论的应用领域广泛，包括密码学、计算机科学、组合数学等
数论的发展历程及重要成果
数论的发展历程可以追溯到古代希腊和古代印度
数论在古典密码学中的应用包括凯撒密
码、维吉尼亚密码等
• 替换密码：通过替换字符或字母来加
• 凯撒密码：通过将字母向右或向左移
密和解密信息
动固定的位数来进行加密和解密
• 换位密码：通过改变字符或字母的顺
• 维吉尼亚密码：通过将字母替换为其
序来加密和解密信息
他字母来进行加密和解密
• 简单密码：通过简单的数学运算来加
04
最大公约数与最小公倍数的计
算
最大公约数与最小公倍数的定义与性质
最大公约数（GCD）是指两个或多个整数的最大公共因数
• 最大公约数的性质：GCD(a, b) = GCD(b, a % b)
最小公倍数（LCM）是指两个或多个整数的最小公共倍数
• 最小公倍数的性质：LCM(a, b) = |a × b| / GCD(a, b)
题中具有重要
应用
最大公约数与
最小公倍数在
计算机科学和
密码学领域也
有应用
01
02
• 可以用于求解分数和比例问
• 可以用于数据压缩和文件加
题
密
• 可以用于求解最简分数和最
• 可以用于算法设计和密码破
大公因数问题
解
05
同余与模运算的性质及应用
同余的定义与性质
同余是指两个整数除以同一个数所得的余数相等
数论的基本概念与方法
代数数论的发展
代数数论的起源可以追溯到古希腊时期，当时数学家开始研究整数和有理数的基本性质。
在中世纪，阿拉伯数学家对代数数论做出了重要贡献，他们研究了二次方程的解法，并 探讨了数论中的一些基本问题。
19世纪，数学家开始深入研究代数数论，其中最著名的数学家是费马和欧拉。他们的 工作为代数数论的发展奠定了基础。
20世纪来，代数数论得到了更广泛的应用和发展，特别是在计算机科学和密码学等领域。
现代数论的进展
计算机技术的 引入：计算机 在数论研究中 的应用，如寻 找大数因子分 解等。
0 1
代数数论的进 展：代数数论 在理论物理学、 工程学等领域 的应用和最新 研究成果。
0 2
解析数论的进 展：解析数论 在密码学、计 算机科学等领 域的应用和最 新研究成果。
量子计算：数论在量子计算机算法设计中的应用 密码学：基于数论的公钥密码体系和数字签名技术 网络安全：数论在网络安全协议设计和分析中的应用 数据加密：数论在数据加密算法中的应用和优化
数论在其他领域的新应用
量子计算：数论在量子计算中有着重要的应用，例如Shor算法。
密码学：数论是现代密码学的基础，许多加密算法都基于数论中的理论。 计算机科学：数论在计算机科学中有着广泛的应用，例如数据加密、网络安全、图像处 理等。 物理学：数论在物理学中也有着重要的应用，例如在弦理论和量子引力等领域。
0 1
定理应用：中国剩余 定理在数论、代数和 密码学等领域有着广 泛的应用，例如在模 线性方程组的求解、 多项式模的因式分解 以及公钥密码体制的 构建等方面。
0 2
定理证明：中国剩余 定理的证明方法有多 种，其中一种常用的 证明方法是基于欧拉 定理和费马小定理等 数论中的基本定理。
北师大版小学六年级数学知识点梳理总结
北师大版小学六年级数学知识点梳理总结小学六年级是数学学习的重要阶段，学生将接触到更为深入和复杂的数学知识。
北师大版小学六年级数学教材涵盖了数与代数、空间与图形、统计与概率等多个领域，旨在培养学生的数学思维能力、问题解决能力和综合应用能力。
以下是对六年级数学主要知识点的梳理和总结，以便学生更好地掌握和复习。
一、数与代数1分数的深入认识与运算：学生应进一步理解分数的意义，掌握分数与除法、小数的关系，并能够进行分数的四则运算。
理解分数的基本性质，如分子分母同时扩大或缩小相同倍数，分数的值不变，并能应用这些性质进行分数的化简。
掌握分数与小数之间的转换，能够灵活运用分数和小数进行计算。
理解分数加减法的运算原理，能够解决复杂的分数加减问题。
2比和比例的认识：学生应理解比和比例的概念，能够识别并计算比值和比例值。
掌握比例的基本性质，如内项之积等于外项之积，并能够应用比例性质解决实际问题。
学会用比例关系进行量的换算，如利用比例关系计算图上距离与实际距离的比值。
3代数式的初步认识与运算：学生应了解代数式的概念，能够识别并简化简单的代数式。
掌握代数式的基本运算，如加法、减法、乘法等，并能够应用于实际问题中。
理解代数式的值的概念，能够代入数值计算代数式的值。
4方程与不等式的认识与解法：学生应初步了解方程的概念和形式，能够识别并解简单的方程。
掌握一元一次方程的解法，如移项法、合并同类项等，并能够应用于实际问题中。
初步了解不等式的概念，能够比较两个数的大小关系，并解决简单的不等式问题。
二、空间与图形1平面图形的认识与性质：学生应进一步认识平面图形，如圆、扇形、弧等，并能够计算它们的周长和面积。
理解平面图形的性质，如圆的对称性、扇形的角度与面积关系等，并能够应用于实际问题中。
掌握平面图形之间的转换关系，如圆的切线与割线的关系等。
2立体图形的认识与性质：学生应认识常见的立体图形，如长方体、正方体、圆柱、圆锥等，并能够计算它们的表面积和体积。
关于数论的简笔-概述说明以及解释
关于数论的简笔-概述说明以及解释1.引言1.1 概述数论是数学的一个分支领域，研究整数及其性质的学科。
作为数学中最古老的分支之一，数论在数学领域具有重要的地位和作用。
从最简单的自然数开始，数论探究整数之间的关系，寻找规律和性质。
数论的研究对象涉及素数、同余、整除性质等，涵盖了许多经典的问题和定理。
本文将介绍数论的定义、基本概念以及在现代科学中的应用，旨在帮助读者更好地了解数论领域的重要性和发展前景。
1.2 文章结构文章结构：本文主要包括引言、正文和结论三个部分。
1. 引言部分主要概括了数论的重要性和应用领域，以及本文的目的和结构安排。
2. 正文部分将详细介绍数论的定义、基本概念和在现代科学中的应用，为读者全面了解数论提供基础知识和案例分析。
3. 结论部分将对数论的重要性进行总结，并展望数论的发展前景，以及呼吁读者加深对数论的理解和研究。
通过以上安排，本文将全面介绍数论这一重要学科，并希望为读者提供更深入的了解和思考。
1.3 目的本文的目的是介绍数论的基本概念和其在现代科学中的应用。
通过对数论的定义、基本理论和应用领域的探讨，希望读者能够了解数论在数学领域的重要性和影响力。
同时，本文也旨在激发读者对数论的兴趣，使他们更深入地了解和研究这一领域，探索数论在未来的发展前景。
通过本文的阐述，读者将能够领略数论的魅力，认识到其在解决现实问题中的潜力，进而促进数论研究的进一步发展。
2.正文2.1 数论的定义数论是研究整数的数学分支，它涉及整数及其性质、特征、性质等方面的研究。
在数论中，研究的对象是整数及其之间的关系，包括整数的性质、因子分解、素数等内容。
数论的研究对象并不仅限于整数，还包括有理数、代数数、超越数等。
数论的研究方法主要包括利用代数、几何、解析方法等进行推导和证明，以及借助计算机等工具进行验证和实验研究。
数论是数学的一门重要研究领域，它不仅具有理论上的重要性，也在密码学、编码理论、算法设计等实际领域有着广泛的应用。
奥数七大模块重要知识点-模块体系梳理脑图
模块一：计算模块1、速算与巧算2、分数小数四则混合运算及繁分数运算3、循环小数化分数与混合运算4、等差及等比数列5、计算公式综合6、分数计算技巧之裂项、换元、通项归纳7、比较与估算8、定义新运算9、解方程模块二：数论模块1、质数与合数2、因数与倍数3、数的整除特征及整除性质4、位值原理5、余数的性质6、同余问题7、中国剩余定理（逐级满足法）8、完全平方数9、奇偶分析10、不定方程11、进制问题12、最值问题模块三：几何模块（一）直线型1、长度与角度2、格点与割补3、三角形等积变换与一半模型4、勾股定理与弦图5、五大模型（二）曲线型1、圆与扇形的周长与面积2、图形旋转扫过的面积问题（三）立体几何1、立体图形的面积与体积2、平面图形旋转成的立体图形问题3、平面展开图4、液体浸物问题模块四：行程模块1、简单相遇与追及问题2、环形跑道问题3、流水行船问题4、火车过桥问题5、电梯问题6、发车间隔问题7、接送问题8、时钟问题9、多人相遇与追及问题10、方程与比例法解行程问题模块五：应用题模块1、列方程解应用题2、分数、百分数应用题3、比例应用题4、工程问题5、浓度问题6、经济问题7、牛吃草问题模块六：计数模块1、枚举法之分类枚举、标数法、树形图法2、分类枚举之整体法、对应法、排除法3、加乘原理4、排列组合5、容斥原理6、抽屉原理7、归纳与递推8、几何计数9、数论计数模块七：杂题1、从简单情况入手2、对应与转化思想3、从反面与从特殊情况入手思想4、染色与覆盖5、游戏与对策6、体育比赛问题7、逻辑推理问题8、数字谜9、数独。
华杯赛初赛六大必考专题系统梳理与考点总结(四)数论
) )。
(第14届六年级华杯赛初赛) 在19 197 2009这三个数中 质数的个数是 在19、197、2009这三个数中，质数的个数是______。 【拓展】 将200分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能的小， 那么此时这个最大的质数是 ，如要求最大的质数尽可能的 如要求最大的质数尽可能的 大，那么此时这个最大的质数为_____.
数论四大金刚(整除、余数、约倍、质合)
பைடு நூலகம்
重要定理、结论；枚举法、分类讨论
分解质因数、约数个数定理、整除特征等是考察重点
(第16届六年级华杯赛初赛) 若连续的四个自然数都为合数 那么这四个数之和的最小值为( 若连续的四个自然数都为合数，那么这四个数之和的最小值为( A．100 B．101 C．102 D．103
1
(第17届六年级华杯赛初赛) 俗语“不管三七二十一”中有3 俗语 不管三七二十一 中有3、7、2、1这四个数字，用这四个数字组成 7 2 1这四个数字 用这四个数字组成 一个各位数字互不相同的四位完全平方数。那么，这个完全平方数是 ______。 。 (第17届六年级华杯赛初赛) 如果两位数 好玩和玩好 都是质数，那么，这两个质数的和的最大值是 _______。
华杯赛初赛六大必考专题系统梳理与考点总结(四) 数论篇
【数论考点分析】 【 考 析】 (1)考察比重：约20% (2)考察内容： 考察内容 (3)考察方法： 考察方法 (4)注意事项：
(第15届六年级华杯赛初赛) 恰有20个因数的最小自然数是____。 恰有20个因数的最小自然数是 (第15届华杯赛初赛) 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中，选出九个数字，组成一个 两位数 两位数、一个三位数和一个四位数，使这三个数的和等于2010，那么其中未 个三位数和 个四位数 使这三个数的和等于2010 那么其中未 被选中的数字是_____。 【拓展】 将从1开始的到103的连续奇数依次写成一个多位数： a＝13579111315171921……9799101103。 则数a共有_____位，数a除以9的余数是___。
奥数七大板块知识点梳理汇总
奥数七大板块知识点梳理汇总一、计算板块。
1. 整数计算。
- 四则运算：加法、减法、乘法、除法的基本运算规则。
包括运算顺序（先乘除后加减，有括号先算括号内）。
- 简便运算：- 加法交换律：a + b=b + a；加法结合律：(a + b)+c=a+(b + c)。
- 乘法交换律：a× b = b× a；乘法结合律：(a× b)× c=a×(b× c)；乘法分配律：a×(b + c)=a× b+a× c。
- 减法的性质：a - b - c=a-(b + c)；除法的性质：a÷ b÷ c=a÷(b× c)（b、c≠0）。
2. 小数计算。
- 小数的四则运算：与整数四则运算类似，但要注意小数点的位置。
- 小数的简便运算：同样可以运用整数简便运算的定律，如乘法分配律在小数计算中的应用，例如2.5×(4 + 0.4)=2.5×4+2.5×0.4 = 10 + 1=11。
3. 分数计算。
- 分数的四则运算：- 加法和减法：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减；异分母分数相加减，先通分，再按照同分母分数加减法的规则计算。
- 乘法：分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。
- 除法：除以一个分数等于乘以它的倒数。
- 分数的简便运算：例如利用乘法分配律(3)/(4)×((4)/(5)+(8)/(5))=(3)/(4)×(4)/(5)+(3)/(4)×(8)/(5)=(3)/(5)+(6)/(5)=(9)/(5)。
二、数论板块。
1. 整除。
- 整除的概念：若整数a除以非零整数b，商为整数，且余数为零，我们就说a能被b整除（或说b能整除a），记作ba。
- 整除的性质：- 若ab且bc，则ac。
- 若ab且ac，则对于任意整数m、n，有a(mb + nc)。
数论知识点整理
初等数论知识点整理一．正整数A 的p 进制表示：012211a p a p a p a A m m m m +⨯++⨯+⨯=---- ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{-=-∈m i p a i 且01≠-m a 。
而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 --=。
二．整除在数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。
定义：设b a ,是给定的数，0≠b ，若存在整数c ，使得bc a =则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(因子)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 记作b a 。
由整除的定义，容易推出以下性质：(1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)；(2)若a b |且c b |，则)(|c a b ±即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。
若反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b ±。
更一般，若n a a a ,,,21 都是b 的倍数，则)(|21n a a a b +++ 。
或着i b a |，则∑=ni i i b c a 1|其中n i Z c i ,,2,1, =∈；(3)若a b |，则或者0=a ，或者||||b a ≥，因此若a b |且b a |，则b a ±=；(4)b a ,互质，若c b c a |,|，则c ab |；(5)p 是质数，若n a a a p 21|，则p 能整除n a a a ,,,21 中的某一个；特别地，若p 是质数，若n a p |，则a p |；(6)(带余除法)设b a ,为整数，0>b ，则存在整数q 和r ，使得r bq a +=，其中b r <≤0，并且q 和r 由上述条件唯一确定；整数q 被称为a 被b 除得的(不完全)商，数r 称为a 被b 除得的余数。
高中代数内容梳理
高中代数内容梳理
高中代数是学习数学的基础，是许多学科的必修课程，也是继续学习数学的基础。
学习代数，不仅要了解关于定义、术语、概念、结构、推理、演绎的基本概念，还要掌握一些解决问题的基本技术。
本文旨在简要介绍高中代数学习的基本内容及思维模式，以便学生有效地掌握和运用所学的知识。
高中代数的内容主要有四大类：数论、代数学、几何学和概率统计学。
其中，数论包括数的基本概念，如有理数、无理数、整数、分数和小数，还有数列等；代数学主要涉及到公式和方程，比如一元方程、二元一次方程、一次不定方程和二次不定方程；几何学主要涉及平面几何、立体几何、投影几何和解析几何等；概率统计学主要涉及使用概率计算结果的基本概念，以及概率的应用。
学习高中代数的首先要掌握的就是基本的概念与技术，这就要求学生能够认真阅读教材，熟练掌握概念、术语和规则，并能够理解所学知识的含义。
此外，学生还要学习解决问题的逻辑思维方式，例如，能够从给定的条件出发，依据推理与演绎，正确完成证明、解题和分析等任务；同时，要学习掌握如何使用代数原理和工具来解决问题，以及如何使用几何图形分析问题，从而更有效地理解数学原理。
本文旨在帮助学生梳理高中代数的基本内容，并使学生具备解决问题的基本技术。
除了熟悉概念、术语和规则之外，学生还需要开发思考能力，以便能够有效地掌握和运用所学知识。
另外，学习数学还要培养细心、耐心和勤奋，以及熟练掌握解决数学问题的基本方法。
只有通过系统地学习，学生才能在高中拥有良好的数学基础，从而为今后学习打下坚实的基础。
初中数学重点梳理：同余式
同余式知识定位数论是初中数学竞赛比较重要的一个知识点，在历年竞赛中占据非常发比例，其中同余理论是初等数论中的重要内容之一，其同余式概念及应用，剩余系概念要熟练掌握。
本文归纳总结了同余的若干性质，将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、同余概念定义1：给定一个正整数m，如果用m去除a，b所得的余数相同，则称a与b对模m 同余，记作a≡b(modm)，并读作a同余b，模m。
（1）若a与b对模m同余，由定义1，有a=mq1＋r，b=mq2+r．所以a-b=m(q1-q2)，即m｜a-b。
反之，（2）若m｜a-b，设a=mq1＋r1，b=mq2＋r2，0≤r1，r2≤m-1，则有m｜r1-r2．因｜r1-r2｜≤m-1，故r1-r2=0，即r1＝r2。
于是，我们得到同余的另一个等价定义：定义2：若a与b是两个整数，并且它们的差a-b能被一正整数m整除，那么，就称a与b对模m同余．2、同余定理定理1：（1）a≡a(modm)．（2）若a≡b(modm)，则b≡a(modm)．（3）若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)．定理2：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a±c≡b±d(modm)，ac≡bd(modm)．证：由假设得m｜a-b，m｜c-d，所以m｜(a±c)-(b±d)，m｜c(a-b)＋b(c-d)，即a±c≡b±d(modm)，ac≡bd(modm)．由此我们还可以得到：若a≡b(modm)，k是整数，n是自然数，则a±k≡b±k(modm)，ak≡bk(modm)，a n≡b n(modm)．定理3：若ac≡bc(modm)，且(c，m)=1，则a≡b(modm)．定理4： 若n ≥2，a ≡b(modm 1)，a ≡b(modm 2)，…………a ≡b(modm n )，且M=[m 1，m 2，…，m n ]表示m 1，m 2，…，m n 的最小公倍数，则a ≡b(modM)3、剩余类和完全剩余系全体整数集合可按模m 来划分：当且仅当()mod a b m ≡时，a 和b 属于同一类。
数学中的数论基础
数学中的数论基础数论作为数学的一个重要分支，研究的是整数及其性质。
它既有深刻的理论基础，又有广泛的应用价值。
本文将从数论的基础概念入手，逐步展开对数论的探索。
一、素数与合数数论的基础概念之一就是素数与合数。
素数是指只能被1和自身整除的整数，如2、3、5、7等。
合数则是指能够被除了1和自身之外的其他整数整除的整数，如4、6、8、9等。
素数与合数之间存在着天然的对立关系。
素数的研究自古以来就备受数学家的关注。
古希腊数学家欧几里得曾证明了素数的无穷性，即素数的数量是无穷的。
此后，数学家们陆续发现了一些素数的特殊性质，如梅森素数、费马素数等。
素数的研究不仅有助于深化对整数的理解，还在密码学、编码等领域具有重要的应用价值。
二、质因数分解质因数分解是数论中的重要概念之一。
它指的是将一个合数分解为若干个素数的乘积。
例如，将12分解为2的平方乘以3，即12=2²×3。
质因数分解的好处在于可以帮助我们更好地理解一个数的因数结构，从而推导出一些有用的性质。
质因数分解还有助于解决一些实际问题。
例如，我们可以利用质因数分解来求解最大公约数和最小公倍数。
对于两个数a和b，它们的最大公约数就是它们的质因数中相同的部分的乘积，而最小公倍数则是它们的质因数中所有部分的乘积。
三、同余与模运算同余是数论中的一个重要概念，它描述了两个数在模某个数下的余数相等的关系。
例如，对于任意整数a和正整数n，如果a与b在模n下的余数相等，则称a与b对于模n同余，记作a≡b(mod n)。
同余关系具有一些重要的性质。
首先，同余关系构成了一个等价关系，即自反性、对称性和传递性。
其次，同余关系在数论中有广泛的应用，如解方程、构造等差数列等。
模运算是同余关系的具体运算形式。
对于任意整数a和正整数n，a mod n表示a除以n所得的余数。
模运算有一些特殊的性质，如(a+b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n，(a×b) mod n = (a mod n × b mod n) mod n等。
小学数论知识点梳理
小学知识点梳理——数论1．奇偶性问题（1）奇数和偶数整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
最小的奇数是１，最小的偶数是０．（2）奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数。
性质2：偶数±奇数=奇数。
性质3：偶数个奇数相加得偶数。
性质4：奇数个奇数相加得奇数。
性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数。
偶数×偶数=偶数（３）反证法例：桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。
解：要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次“翻转”.要使9只杯子口全朝下，必须经过9个奇数之和次“翻转”.即“翻转”的总次数为奇数.但是，按规定每次翻转6只杯子，无论经过多少次“翻转”，翻转的总次数只能是偶数次.因此无论经过多少次“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。
这个证明过程教给我们一种思考问题和解决问题的方法.先假设某种说法正确，再利用假设说法和其他性质进行分析推理，最后得到一个不可能成立的结论，从而说明假设的说法不成立.这种思考证明的方法在数学上叫“反证法”。
二．位值原则形如：abc=100a+10b+c三、整除性（１）概念一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。
记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作b a。
如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
（２）性质性质1：（整除的加减性）如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。
小学数论究竟包括哪几部分内容？
【问题1】数论究竟包括哪几部分内容？答：我们小学所学习到的数论内容主要包含以下几类：整除问题：（1）整除的性质；（2）数的整除特征（小升初常考内容）余数问题：（1）带余除式的运用被除数=除数×商+余数.（余数总比除数小）（2）同余的性质和运用奇偶问题：（1）奇偶与加减运算；（2）奇偶与乘除运算质数合数：重点是质因数的分解（也称唯一分解定理）约数倍数：（1）最大公约最小公倍两大定理一：两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
二：两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
（2）约数个数决定法则（小升初常考内容）整数及分数的分解与分拆：这一部分在一类中学的分班考试题中常常出现，属于较难的题型。
【问题2】数论部分在考试题型中占据什么地位？答：在整个数学领域，数论被当之无愧的誉为“数学皇后”。
翻开任何一本数学辅导书，数论的题型都占据了显著的位置。
在小学各类数学竞赛和小升初考试中，我们系统研究发现，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的30%左右，而在竞赛的决赛试题和小升初一类中学的分班测试题中，这一分值比例还将更高。
出题老师喜欢将数论题作为区分尖子生和普通学生的依据，这一部分学习的好坏将直接决定你是否可以在选拔考试中拿到满意的分数。
【问题3】孩子在学习数论部分常常会遇到哪些问题？答：数学课本上的数论简单，竞赛和小升初考试的数论不简单。
有些孩子错误地认为数论的题目很简单，因为他们习惯了数学课本上的简单数论题，比如：例1：求36有多少个约数？这道题就经常在孩子们平时的作业里和单元测试里出现。
可是小升初考题里则是：例2：求3600有多少个约数？（海淀试验进修今年小升初数学选拔题）很多孩子就懵了，因为“平时考试里没有出过这么大的数！”（孩子语）于是乎也硬着头皮用课堂上求约数的方法去求，白白浪费了大把的时间，即使最后求出结果也并不划算。
这道题其实用约数个数决定法则非常好求，而且省时省力！可是我们的出题老师却振振有词道：“这道题不超纲，也符合教委的精神，因为你就是用普通数学的方法也能做出来，无非多花一些时间而已！”殊不知考试的时间何其宝贵，这道题的解法其实已经将孩子的数学水平分出了高下！数论的定理背起来简单，但真正理解和掌握却很难。
奥数七大模块重要知识点-模块体系梳理脑图
奥数七大模块导语：历年小升初考试中数学成绩占有重要地位，择校考试过程中为了更进一步的拉开分数的距离，除了基础的数学知识必须熟练掌握熟练之外，数学的拓展内容也成为考核的重点部分。
数学思维拓展，也就是大家常说的奥数。
所有的奥数知识，总的来分可以分为七大模块，各类试题都由这七大模块而来。
那么，奥数都有哪些模块呢？每个模块都有哪些重要知识呢？一起看看这些模块你掌握住了多少？奥数的七大模块包括：计算、数论、几何、行程、应用题、计数和杂题同学们，看到这七大模块你都熟悉吗？模块一：计算模块1、速算与巧算2、分数小数四则混合运算及繁分数运算3、循环小数化分数与混合运算4、等差及等比数列5、计算公式综合6、分数计算技巧之裂项、换元、通项归纳7、比较与估算8、定义新运算9、解方程模块二：数论模块1、质数与合数2、因数与倍数3、数的整除特征及整除性质4、位值原理5、余数的性质6、同余问题7、中国剩余定理（逐级满足法）8、完全平方数9、奇偶分析10、不定方程11、进制问题12、最值问题模块三：几何模块（一）直线型1、长度与角度2、格点与割补3、三角形等积变换与一半模型4、勾股定理与弦图5、五大模型（二）曲线型1、圆与扇形的周长与面积2、图形旋转扫过的面积问题（三）立体几何1、立体图形的面积与体积2、平面图形旋转成的立体图形问题3、平面展开图4、液体浸物问题模块四：行程模块1、简单相遇与追及问题2、环形跑道问题3、流水行船问题4、火车过桥问题5、电梯问题6、发车间隔问题7、接送问题8、时钟问题9、多人相遇与追及问题10、多次相遇追及问题11、方程与比例法解行程问题模块五：应用题模块1、列方程解应用题2、分数、百分数应用题3、比例应用题4、工程问题5、浓度问题6、经济问题7、牛吃草问题模块六：计数模块1、枚举法之分类枚举、标数法、树形图法2、分类枚举之整体法、对应法、排除法3、加乘原理4、排列组合5、容斥原理6、抽屉原理7、归纳与递推8、几何计数9、数论计数模块七：杂题1、从简单情况入手2、对应与转化思想3、从反面与从特殊情况入手思想4、染色与覆盖5、游戏与对策6、体育比赛问题7、逻辑推理问题8、数字谜9、数独。
强基数论知识点整理
强基数论知识点整理1. 什么是强基数论强基数论是数学中的一个分支，研究的是基数（cardinal number）的性质和关系。
基数是用来描述集合的大小的概念，它可以用来比较集合的大小，判断两个集合是否有相同的大小。
2. 基数的定义和性质2.1 基数的定义给定一个集合A，其基数记作|A|，表示A中元素的个数。
如果A和B有相同的基数，即|A|=|B|，我们称A和B是等势的，记作A≈B。
2.2 基数的性质•自反性：对于任意集合A，有|A|≈|A|。
•对称性：对于任意集合A和B，如果|A|≈|B|，则|B|≈|A|。
•传递性：对于任意集合A、B和C，如果|A|≈|B|，且|B|≈|C|，则|A|≈|C|。
3. 基数的比较3.1 基数的比较关系给定两个集合A和B，它们的基数可以进行比较。
基数比较的结果有三种可能：•|A| < |B|：集合A的基数小于集合B的基数。
•|A| = |B|：集合A的基数等于集合B的基数。
•|A| > |B|：集合A的基数大于集合B的基数。
3.2 基数的比较方法•基数的比较可以通过建立一一对应关系来实现。
如果存在一个从A到B的双射（即一一对应），则|A|=|B|。
•Cantor-Bernstein定理：如果存在从A到B的单射和从B到A的单射，那么|A|≤|B|且|B|≤|A|，即|A|=|B|。
4. 基数的运算4.1 基数的加法给定两个集合A和B，它们的基数分别为|A|和|B|，定义A和B的基数之和为|A|+|B|，即集合A和集合B的元素个数之和。
4.2 基数的乘法给定两个集合A和B，它们的基数分别为|A|和|B|，定义A和B的基数之积为|A|×|B|，即集合A和集合B的元素个数之积。
4.3 基数的幂运算给定一个集合A，其基数为|A|，定义A的基数的幂为|A|^n，表示由集合A的元素构成的n元组的个数。
5. 基数的无穷性5.1 可数集和不可数集•可数集：具有与自然数集（1, 2, 3, …）相同基数的集合称为可数集。
奥数七大模块重要学习知识点学习模块体系梳理脑图
模块一：计算模块1、速算与巧算2、分数小数四则混淆运算及繁分数运算3、循环小数化分数与混淆运算4、等差及等比数列5、计算公式综合6、分数计算技巧之裂项、换元、通项概括7、比较与估量8、定义新运算9、解方程模块二：数论模块1、质数与合数2、因数与倍数3、数的整除特点及整除性质4、位值原理5、余数的性质6、同余问题7、中国节余定理（逐级知足法）8、完整平方数9、奇偶剖析10、不定方程11、进制问题12、最值问题模块三：几何模块（一）直线型1、长度与角度2、格点与割补3、三角形等积变换与一半模型4、勾股定理与弦图5、五大模型（二）曲线型1、圆与扇形的周长与面积2、图形旋转扫过的面积问题（三）立体几何1、立体图形的面积与体积2、平面图形旋转成的立体图形问题3、平面睁开图4、液体浸物问题模块四：行程模块1、简单相遇与追及问题2、环形跑道问题3、流水行船问题4、火车过桥问题5、电梯问题6、发车间隔问题7、接送问题8、时钟问题9、多人相遇与追及问题10、方程与比率法解行程问题模块五：应用题模块1、列方程解应用题2、分数、百分数应用题3、比率应用题4、工程问题5、浓度问题6、经济问题7、牛吃草问题模块六：计数模块1、列举法之分类列举、标数法、树形图法2、分类列举之整体法、对应法、清除法3、加乘原理4、摆列组合5、容斥原理6、抽屉原理7、概括与递推8、几何计数9、数论计数模块七：杂题1、从简单状况下手2、对应与转变思想3、从反面与从特别状况下手思想4、染色与覆盖5、游戏与对策6、体育竞赛问题7、逻辑推理问题8、数灯谜9、数独。