小学奥数知识点梳理—数论

数论：1、奇偶;2、整除；3、余数；4、质数合数‘5、约数倍数；6、平方；7、进制；8、位值。

一、奇偶：一个整数或为奇数，或为偶数，二者必居其一。

奇偶数有如下运算性质：（1）奇数土奇数=偶数偶数土偶数=偶数奇数土偶数=奇数偶数土奇数=奇数（2）奇数个奇数的和（或差）为奇数；偶数个奇数的和（或差）为偶数，任意多个偶数的和（或差）总是偶数。

（3）奇数x奇数=奇数偶数x偶数=偶数奇数X偶数=偶数（4）若干个整数相乘，其中有一个因数是偶数，则积是偶数；如果所有的因数都是奇数，则积是奇数。

（5）偶数的平方能被4整队，奇数的平方被4除余1。

上面几条规律可以概括成一条：几个整数相加减，运算结果的奇偶性由算式中奇数的个数所确定；如果算式中共有偶数（注意：0也是偶数）个奇数，那么结果一定是偶数；如果算式中共有奇数个奇数，那么运算结果一定是奇数。

二、整除：掌握能被30以下质数整除的数的特征。

被2整除的数的特征为：它的个位数字之和可以被2整除.被3（9）整除的数的特征为：它的各位数字之和可以被3（9）整除。

被5整除的数的特征为：它的个位数字之和可以被5整除。

被11整除的数的特征是：它的奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被11整除。

下面研究被7、11、13整除的数的特征。

有一关键性式子：7 X11 X13=1001 判定某数能否被7或11或13整除，只要把这个数的末三位与前面隔开，分成两个独立的数，取它们的差（大减小），看它是否被7或11或13整除。

此法则可以连续使用。

例：N=987654321.判定N是否被11整除。

因为654不能被11整除，所以N 不能被11整除 例：N = 215332.判定N 是否被7、11、13整除。

由于117 = 13 X 9，所以117能被13整除，但不能被7、11整除，因此N能被13整除，不能被7、11整除。

此方法的优点在于当判定一个较大的数能否被7或11或13整除时，可用减法把这个大数化为一个至多是三位的数，然后再进行判定。

第一步:第二歩:-3336 了 4第一歩:-2151 1 7被17、19整除的简易判别法.回顾对比前面，由等式1001 = 7 X 11 X 13的 启发，才有简捷的“隔位相减判整除性”的方法。

对于质数 17 : 17 X 59=1003 , 因此，判定一个数可否被17整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位数与 前面隔出数的3倍的差（大减小）是否被17整除。

例：N=31428576，判定N 能否被17整除。

而429=25 X 17+4，所以N 不能被17整除 例：N = 2661027能否被17整除？833第一歩’ 2 6 6 1 X 3 7 9 8 3- 0 2 7 7飞5 6又 935=55 X 17。

所以N 可被17整除。

下面来推导被19整除的简易判别法。

寻找关键性式子： 19 X 53=1007.因此，判定一个数可否被19整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位 与前面隔出数的7倍的差（大减小）是否被19整除。

例：N = 123456789 可否被19整除？第二步，9 5 6 -2 1~C7X3 )o6 0又603 = 31 X 19+14，所以N 不能被19整除 例：N=6111426 可否被19整除?第一歩：6 111第二步：3 5 1\ ________ I -294 〔42") 4 2 7 7 7 ------4 2 65 14 2 35 1又 57=3 X 19，所以 N 可被 19 整除：321654 X 19=6111426 。

第一步；1 2 3 Q 5 6 玄 7 呂 E G L 9 2 -7 8 9 8 6 3 4 0 3第二歩；S 6 3 汽 76 0 4 1 -4 03 5 6 3 SF 面来推导被23、29整除的简易判别法寻找关键性式子，随着质数增大，简易法应该在 N 的位数多时起主要作用, 现有23 X 435 = 10005 , 29 X 345=10005 ,因此，判定一个数可否被23或29整除，只要将其末四位与前面隔开，看 末四位与前面隔出数的5倍的差(大减小)是否被23或29整除。

例：N = 6938801能否被23或29整除？又 5336 =23 X 232 = 23 X 29 X8， 所以很快判出N 可被23及29整除。

三、余数 三大余数定理： (1 )余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以 c 的余数。

3 -5 9 56 415 6 Q 3例如：23, 16除以5的余数分别是3和1,所以23+16 = 39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。

例如：23, 19除以5的余数分别是3和4,所以23+19 = 42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2(2)余数的减法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。

例如：23 , 16除以5的余数分别是3和1，所以23 - 16 = 7除以5的余数等于2，两个余数差3 —1 = 2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：23，14除以5的余数分别是3和4， 23 —14 = 9除以5的余数等于4, 两个余数差为3 + 5— 4 = 4(3)余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23 , 16除以5的余数分别是3和1，所以23 X 16除以5的余数等于3 X 1 =3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23, 19除以5的余数分别是3和4，所以23 X 19除以5的余数等于3 X4除以5的余数，即2.乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么a n与『除以m的余数也相同. (4)应用：弃九法、同余定理应用一、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234 1898 18922 678967 178902 8899231234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。

上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。

而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9 一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。

所以我们总结出弃九法原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。

以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。

利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。

例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的。

但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。

这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式谜问题。

应用二、同余定理：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a耳)(mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b，模m。

同余定理重要性质及推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除。

例如：17与11除以3的余数都是2，所以(17 11)能被3整除.(用式子表示为：如果有a玮(mod m )，那么一定有a— b = mk ,k是整数，即m|(a —b) 余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的.建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R对于除数m同余.由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数.1) 整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数；2) 整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数；3）整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数；4）整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；5）整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；6）整数N被7,11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数.四、质数与合数（1）质数与合数定义一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。

一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

要特别记住：1不是质数，也不是合数。

常用的100 以的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25 个。

（2）质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

例：把30分解质因数。

解: 30 = 2 X3 X5。

其中2、3、5叫做30的质因数。

又如12 = 2 X2 X3 = 22 X3，2、3都叫做12的质因数。

（3）部分特殊数的分解111 3 37 ；1001 7 11 13 ；11111 41 271 ；10001 73 137 ；1995 3 5 7 19; 1998 2 3 3 3 37; 2007 3 3 223;2008 2 2 2 251；10101 3 7 13 37.（4）判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q（均为整数），使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数K2，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数•例如：149很接近144 12 12，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数。