常见离散分布和连续分布公式
多维随机变量函数的分布
i ,k : g ( x i , y j ) = z k
∑
p ij
＝pk ,
(x1,y1) (x1,y2) … p11 p12
(xi,yj) pij g(xi,yj)
…
Z=g(X,Y)
g(x1,y1) g(x1,y2)
例1 设(X,Y)的联合分布列如下所列： 试求(1)Z1=X+Y (2)Z2=X-Y (3)Z3=max{X,Y}的分布列
练习：设随机变量X与Y独立，且均服从0-1 分布，其分布律均为
X P 0 q 1 p
(1) 求W＝X＋Y的分布律; (2) 求V＝max(X, Y)的分布律； (3) 求U＝min(X, Y)的分布律。 (4)求w与V的联合分布律。
(X,Y) pij
W＝X＋Y
V＝max(X, Y) U＝min(X, Y)
−∞ 或 ∞ −∞
−∞
∫f
X
( z − y ) f Y ( y )dy ＝ ∫ f X ( x) f Y ( z − x)dx.
例2 设X和Y相互独立，并且服从[-1，1]上的均匀分 布，求Z=X+Y的密度函数。
解：
1 f Y ( x) = 2 0
+∞
当 −1 ≤ x ≤ 1 其他
其中α>0，β>0,试分别就以上两 种联结方式写出L的寿命Z的概率 密度．
αe − αx , x > 0, f X ( x) = x ≤ 0, 0,
βe − βy , y > 0, fY ( y ) = y ≤ 0, 0,
其中 α > 0, β > 0 且 α ≠ β . 试分别就以上三种联 接方式写出 L 的寿命 Z 的概率密度 .
06离散型连续型随机变量的分布
dx
18
注意要点
x
（2）从几何上看定义中的 F( x) f (t)dt y F (x) = P {X ≤ x }
o
x
x
（3）密度函数不是唯一的。
因为改变 f (x) 在个别点上的函数值，不会改 变分布函数 F(x) 的值。
19
2、概率密度函数的性质：
2、概率密度函数的性质：
(1) f ( x) 0;
P{X 0}, P{X 1}, P{X 2}
7
（3）P{ X 1} F ( 1 ) 0.6
2
2
P{1 X 3} F ( 3) F ( 1 ) 0.9 0.6 0
P{1 X 2} P{X 1} P{X 2} 0.4
8
1、(0-1)分布
二、常见的离散型分布
分布列为： X 0
1
P 1 p p
2、二项分布
2、二项分布
在独立试验概型中，进行 n 次重复试验时 A 发生 k 次的概率已知为：
Pn (k ) Cnk pk (1 p)nk (k 0,1, 2, ..., n)
如果用随机变量 X 表示 A 发生的次数，则 X 的可 能取值为：k = 0, 1, 2, …, n ，相应的分布律为：
1、(0-1)分布
若随机变量 X 只取两个值 x0 和 x1 ，并且
已知 P{ X x0 } 1 p, P{X x1} p，
称随机变量 X 服从两点分布。
特别：若 x0 0, x1 1, 则称为(0-1)分布。
其分布律为：P{ X k} pk (1 p)1k , (k 0,1)
k!
则称 X 服从参数为λ的泊松(Poisson)分布。
记为： X ~ ( )， 容易验证：
大学概率论必背公式
，使对任意实数 x，都有
F ( x)＝P( X x)＝x f (u)du
则称 X 为连续型随机变量，f (x)为 X 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。 记为 X～ f (x) , (- < x <+)
2. 密度函数的性质
(3)
若
x是
f(x )
f (x)的连续点，
dF(x dx
)
.
（4）
P(a X b)＝ b f (u)du a
P{X xk } pk ,k 1,2,
数学期望 E(X)是一个常数,而非变量．它是一种以概率为权的加权平均值 （1）X ~（0—1）分布
（2）X~B（n，p）二项分布 （3）X~（或）Poisson 分布
2. 连续型随机变量的数学期望
（1）X~U(a，b)均匀分布 其概率密度函数为：
f(x )
5. 边缘分布 6. 二维连续型随机变量及其密度函数 联合密度 f (x , y )的性质
7. 边缘密度函数
8. 条件密度函数
1）fX|Y (x
y)
f (x, y) 称为Y fY ( y)
y下, X的条件密度函数
2）fY|X ( y
x)
f (x, y) 称为X fX (x)
x下,Y的条件密度函数
8、相关系数： 若 r.v. X，Y 的方差和协方差均存在, 且 D(X )> 0, D(Y )> 0，则
称为 X 与 Y 的相关系数. X 与 Y 不相关 Cov(X, Y )=0 E(XY )= E(X )E (Y )。
8、矩 （1）k 阶原点矩 E(X k ), k=1, 2, … 而 E(|X|k)称为 X 的 k 阶绝对原点矩； （2）k 阶中心矩 E[XE(X )]k, k=1, 2, … 而 E|X-E(X )|k 称为 X 的 k 阶绝对中心矩；
常用离散型和连续型随机变量
常用离散型随机变量的分布函数(1) 离散型随机变量[1] 概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者无穷可列个，则称X 为离散型随机变量。
其相应的概率()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分布或分布律，表格表示形式如下：[2] 性质： ❶0i p ≥ ❷11n i i p==∑❸分布函数()i i x x F x p ==∑ ❹1{}()()i i i P Xx F x F x -==-(2) 连续型随机变量 [1] 概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非负的函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，均有：()()xF x f x d x-∞=⎰ 则称X 为连续型随机变量，()f x 称为概率密度函数或者密度函数。
[2] 连续型随机变量的密度函数的性质❶()0f x ≥❷()1f x dx +∞-∞=⎰❸{}()()()P a X b F b F a f x dx +∞-∞<≤=-=⎰❹若()f x 在x 点连续，则()()F x f x '=(3) 连续型随机变量和离散型随机变量的区别：[1] 由连续型随机变量的定义，连续型随机变量的定义域是(),-∞+∞，对于任何x ，000{}()()0P X x F x F x ==--=；而对于离散型随机变量的分布函数有有限个或可列个间断点，其图形呈阶梯形。
[2] 概率密度()f x 一定非负，但是可以大于1，而离散型随机变量的概率分布i p 不仅非负，而且一定不大于1.[3] 连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此X 取任何给定值的概率都为0.[4] 对任意两个实数a b <，连续型随机变量X 在a 与b 之间取值的概率与区间端点无关，即：{}{}{}{}()()()b a P a X b P a X b P a X b P a X b F b F a f x dx<<=≤≤=<≤=≤<=-=⎰即：{}{}()P X b P X b F x <=≤=(4) 常用的离散型随机变量的分布函数：[1] 0-1分布： 如果离散型随机变量X1{}k k P X k p q -==（ K=0、1） ()01p ≤≤ ()1q p =-称X 服从参数为p 的0-1分布。
高中数学学习中的概率分布与分布函数推导
高中数学学习中的概率分布与分布函数推导在高中数学学习中，概率分布与分布函数是重要的概念，它们被广泛应用于统计学和概率论中。
本文将介绍概率分布与分布函数的概念，并推导一些常见的概率分布和分布函数。
概率分布，也被称为分布律或分布函数，是用来描述随机变量各个取值的概率的函数。
假设随机变量X的取值集合为{x1, x2, ..., xn}，则概率分布可以表示为P(X=xi) = pi，其中pi为Xi取值的概率。
对于离散随机变量，概率分布可以表示为概率质量函数pmf，对于连续随机变量，概率分布可以表示为概率密度函数pdf。
常见的离散概率分布有伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
伯努利分布是指只有两个可能结果的试验，例如抛硬币的结果可以是正面或反面。
对于伯努利分布，概率分布函数可以表示为P(X=x) = p^x * (1-p)^(1-x)，其中p为正面的概率。
二项分布适用于多次独立的伯努利试验，例如抛硬币多次或投掷骰子多次的结果。
对于二项分布，概率分布函数可以表示为P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中n为试验次数，p为正面或成功的概率，k为成功的次数。
泊松分布适用于描述单位时间内某事件发生次数的概率分布。
对于泊松分布，概率分布函数可以表示为P(X=k) = (e^-λ * λ^k) / k!，其中λ为单位时间内事件的平均发生率，k为具体的发生次数。
对于连续概率分布，常见的有均匀分布、正态分布、指数分布等。
均匀分布是指随机变量在一段区间内各个取值的概率相等，概率密度函数为f(x) = 1/(b-a)，其中a和b分别为区间的上下界。
正态分布，也被称为高斯分布，是自然界中常见的分布形态，概率密度函数可以表示为f(x) = (1/sqrt(2πσ^2)) * exp(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差。
指数分布适用于描述随机事件之间的时间间隔，概率密度函数可以表示为f(x) = λ * exp(-λx)，其中λ为事件发生率。
常见概率分布类型解析
常见概率分布类型解析概率分布是描述随机变量可能取值的概率的函数。
在统计学和概率论中，有许多常见的概率分布类型，它们在不同的情境下具有不同的特点和应用。
本文将对几种常见的概率分布类型进行解析，包括二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布。
一、二项分布二项分布是最常见的离散概率分布之一，描述了在一系列独立重复的同一试验中成功的次数的概率分布。
在每次试验中，事件只有两种可能的结果，通常用“成功”和“失败”来表示。
二项分布的概率质量函数可以用以下公式表示：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示成功的次数为k的概率，n表示试验的总次数，p表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示组合数。
二项分布常用于描述二元随机变量的分布，例如抛硬币、赌博游戏等。
在实际应用中，二项分布可以用来估计二元事件发生的概率，进行假设检验等。
二、泊松分布泊松分布是描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生次数的概率分布。
泊松分布适用于事件发生的次数是独立的且平均发生率是恒定的情况。
泊松分布的概率质量函数可以用以下公式表示：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，P(X=k)表示事件发生次数为k的概率，λ表示单位时间（或单位空间）内事件平均发生率。
泊松分布常用于描述稀有事件的发生情况，例如电话交换机接到的电话数、一天内发生的交通事故数等。
在实际应用中，泊松分布可以用来预测未来一段时间内事件发生的概率。
三、正态分布正态分布是最常见的连续概率分布之一，也称为高斯分布。
正态分布具有钟形曲线的特点，均值、方差完全决定了正态分布的形状。
正态分布的概率密度函数可以用以下公式表示：f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，μ表示均值，σ表示标准差。
正态分布在自然界和社会现象中广泛存在，例如身高、体重、考试成绩等。
(完整版)概率论公式总结
第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式概率的乘法公式全概率公式：从原因计算结果Bayes 公式：从结果找原因第二章 二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)泊松分布——X~P(λ))()()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =)|()(A B P A P =∑==n k k k B A P B P A P 1)|()()(∑==nk k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(),...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...)1,0(!)(===-k e k k X P k，λλ∑≤==≤=xk k X P x X P x F )()()(概率密度函数怎样计算概率均匀分布X~U(a,b)指数分布X~Exp ()对连续型随机变量分布函数与密度函数的重要关系：二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法联合密度函数联合分布函数1)(=⎰+∞∞-dx x f )(b X a P ≤≤⎰=≤≤b adx x f b X a P )()(⎰∞-=≤=xdtt f x X P x F )()()(⎰∞-=≤=xdt t f x X P x F )()()(),(y x f ),(y x F 0),(≥y x f 1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f )(1)(b x a a b x f ≤≤-=联合密度与边缘密度离散型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义● E(a)=a ，其中a 为常数● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量随机变量g(X)的数学期望常用公式⎰+∞∞-=dyy x f x f X ),()(⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(}{}{},{j Y P i X P j Y i X P =====)()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞-∞=⋅=k k k P x X E )(⎰+∞∞-⋅=dx x f x X E )()(∑=kk k p x g X g E )())((方差定义式 常用计算式常用公式 当X 、Y 相互独立时： 方差的性质D(a)=0，其中a 为常数D(a+bX)= abD(X)，其中a 、b 为常数当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y)协方差与相关系数协方差的性质∑∑=i j iji p x X E )(dxdy y x xf X E ⎰⎰=),()()()()(Y E X E Y X E +=+∑∑=i j ij j i p y x XY E )(dxdy y x xyf XY E ⎰⎰=),()()()()(,Y E X E XY E Y X =独立时与当()⎰+∞∞-⋅-=dx x f X E x X D )()()(2[]22)()()(X E X E X D -=))}())(({(2)()()(Y E Y X E X E Y D X D Y X D --++=+)()()(Y D X D Y X D +=+)()(),(Y D X D Y X Cov XY =ρ[][]{})()()()()(Y E X E XY E Y E Y X E X E -=--())()()(),(22X D X E X E X X Cov =-=),(),(Y X abCov bY aX Cov =独立与相关独立必定不相关、相关必定不独立、不相关不一定独立第四章正态分布标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算公式)()()(a a Z P a Z P Φ=<=≤)(1)()(a a Z P a Z P Φ-=>=≥)()()(a b b Z a P Φ-Φ=≤≤1)(2)()()(-Φ=-Φ-Φ=≤≤-a a a a Z a P一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式),(~2σμN X 222)(21)(σμσπ--=x e x f 2)(,)(σμ==X D X E )(1)(a a -Φ-=Φ)1,0(~),(~2N X Z N X σμσμ-=⇔()()(σμ-Φ=<=≤a a X P a X P (1)()(σμ-Φ-=>=≥a a X P a X P )()()(σμσμ-Φ--Φ=≤≤a b b X a P。
概率论-离散型随机变量及其分布律、分布函数
4. 泊松分布
设随机变量X的分布律为 P{X k} ke , k 0,1,2,,
k!
其中 0是常数.则称 X 服从参数为的泊松分
布,记为 X ~ π().
通常在n很大，p很小时，用泊松分布近似代替二项分布， 简称泊松近似。
Cnk
pk (1 p)nk
k e
k！
，
其中 np ，可查表 p247 得到泊松分布的概率。
(2) n 重伯努利试验
伯努利资料
设试验 E 只有两个可能结果: A 及 A,则称 E 为伯努利试验. 设 P( A) p (0 p 1),此时P( A) 1 p.
将 E 独立地重复地进行n 次,则称这一串重 复的独立试验为n 重伯努利试验.
实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面的情况. 若将硬币抛 n 次,就是n重伯努利试验.
3
4
0.0625 0.0625
例2 随机变量 X 的概率分布律如下，求常数 c
X01 2
1
1
3
pk
c 2
c 4
c 8
3
解：∵ pk 1,
k 1
即 1c 1c 3c 1
248
∴
c8 9
例3 设随机变量 X 的概率分布律如下，
X 0 1 23 4 5 6 pk 0.1 0.15 0.2 0.3 0.12 0.1 0.03
分析：这是不放回抽样.但由于这批元件 的总数很大, 且抽查元件的数量相对于元 件的总数来说又很小,因而此抽样可近似 当作放回抽样来处理. 把检查一只元件是否为一级品看成是一次试 验, 检查20只元件相当于做20 重伯努利试验.
解： 以 X 记 20 只元件中一级品的只数,
则 X ~ b(20, 0.2), 因此所求概率为
4第四讲常用离散分布与连续分布函数
k}
C
k 3
(
2 5
)
k
(
3 5
)3
k
,
k 0,1,2,3.即 ：
第四讲 常用离散分布与连续的分布函数
P(X
0)
C
0 3
(
2 5
)0
(
3 5
)3
27 , 125
P(X
1)
C
1 3
(
2 5
)1
(
3 5
)2
54 , 125
P( X 2) 36 , P( X 3) 8 .
125
125
分 布 函 数 则 要 求 在( ,0),[0,1),[1,2),[2,3),[3, )中
通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是0.4.设X为 途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律和分布函数。
分析：三个岗遇到红灯相互独立，因此，本题是三次独立 试验每次事件A(遇到红灯）是否发生两种情况的概型。
解 ： 设X为3个 岗 遇 到 红灯 的 次 数 ，则X ~ B(3, 2). 5
其 概 率 函 数为 ：P{ X
k!
np
第四讲 常用离散分布与连续的分布函数
证 设 p ，则
n
Cnk
p k q nk
Ank k!
pk (1
p)nk
n(n
1)(n
k
1)
k
1
nk
前两大项合并处理共
x项
k!
n n
即原式 k n n 1 n k 11 nk
k!n n
n n
k
1
1
1
k
1 1
nk
常用离散型和连续型随机变量
常用离散型随机变量的分布函数一、离散型随机变量：（1）概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者无穷可列个，则称X 为离散型随机变量。
其相应的概率()i i P Xx p ==(12)i =、……称为X 的概率分布或分布列，表格表示形式如下：（2）性质：❶0i p ≥ ❷11ni i p ==∑ ❸分布函数()i ix xF x p==∑ ❹1{}()()i i i P X x F x F x -==-二、连续型随机变量：（1）概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非负的函数()f x ，使得对于任意实数x ，均有：()()xF x f x dx -∞=⎰则称X 为连续型随机变量，()f x 称为概率密度函数或者密度函数。
（2）连续型随机变量的密度函数的性质：❶()0f x ≥ ❷()1f x dx +∞-∞=⎰❸{}()()()P a X b F b F a f x dx +∞-∞<≤=-=⎰❹若()f x 在x 点连续，则()()F x f x '=三、连续型随机变量和离散型随机变量的区别：(1)由连续型随机变量的定义，连续型随机变量的定义域是(),-∞+∞，对于任何x ，000{}()()0P X x F x F x ==--=；而对于离散型随机变量的分布函数有有限个或可列个间断点，其图形呈阶梯形。
(2)概率密度()f x 一定非负，但是可以大于1，而离散型随机变量的概率分布i p 不仅非负，而且一定不大于1. (3)连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此X 取任何给定值的概率都为0.(4)对任意两个实数a b <，连续型随机变量X 在a 与b 之间取值的概率与区间端点无关，即：{}{}{}{}()()()baP a X b P a X b P a X b P a X b F b F a f x dx<<=≤≤=<≤=≤<=-=⎰即：{}{}()P X b P X b F x <=≤=四、常用的离散型随机变量的分布函数：（1）0-1分布：如果离散型随机变量X 的概率分布为：1{}k k P X k p q -==（K=0、1）()01p ≤≤ ()1q p =- 称X 服从参数为p 的0-1分布。
概率论与数理统计公式集锦完整版
概率论与数理统计公式集锦HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】概率论与数理统计公式集锦一、随机事件与概率二、随机变量及其分布1、分布函数2、离散型随机变量及其分布3、续型随机变量及其分布4、随机变量函数Y=g(X)的分布 离散型：()(),1,2,j ii j g x y P Y y p i ====∑，连续型：①分布函数法，②公式法()(())()(())Y X f y f h y h y x h y '=⋅=单调三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量及其分布 分布律：(,),,1,2,i j ij P Xx Y y p i j ====分布函数(,)i i ijx x y yF X Y p ≤≤=∑∑边缘分布律：()i i ij jp P X x p ⋅===∑ ()j j ij ip P Y y p ⋅===∑条件分布律：(),1,2,ij i j jp P X x Y y i p ⋅====，(),1,2,ij j i i p P Y y X x j p ⋅====2、连续型二维随机变量及其分布①联合分布函数及性质分布函数：⎰⎰∞-∞-=xydudvv u f y x F ),(),(=P （X<=x,Y<=y ）性质：2(,)(,)1,(,),F x y F f x y x y∂+∞+∞==∂∂((,))(,)GP x y G f x y dxdy ∈=⎰⎰②边缘分布函数与边缘密度函数分布函数：⎰⎰∞-+∞∞-=xX dvdu v u f x F ),()( 密度函数：⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()(③条件概率密度+∞<<-∞=y x f y x f x y f X X Y ,)(),()(，+∞<<-∞=x y f y x f y x f Y Y X ,)(),()( 3、随机变量的独立性随机变量X 、Y 相互独立(,)()()X Y F x y F x F y ⇔=，离散型：..ij i j p p p = ，连续型：(,)()()X Y f x y f x f y =4、二维随机变量和函数的分布 离散型：()(,)i j kk i j x y z P Z z P X x Y y +=====∑连续型：()(,)(,)Z f z f x z x dx f z y y dy +∞+∞-∞-∞=-=-⎰⎰四、随机变量的数字特征1、数学期望①定义：离散型∑+∞==1)(k k k p x X E ，连续型⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(②性质：(),E C C =)()]([X E X E E =，)()(X CE CX E =，)()()(Y E X E Y X E ±=±b X aE b aX E ±=±)()( ，当X 、Y 相互独立时：)()()(Y E X E XY E =2、方差①定义：222()[(())]()()D X E X E X E X E X =-=-②性质：0)(=C D ，)()(2X D a b aX D =±，),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=±当X 、Y 相互独立时：)()()(Y D X D Y X D +=±3、协方差与相关系数①协方差：(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y =-，当X 、Y 相互独立时：0),(=Y X Cov ②相关系数：XY ρ，当X 、Y 相互独立时：0=XY ρ(X,Y 不相关)③协方差和相关系数的性质：)(),(X D X X Cov =，),(),(X Y Cov Y X Cov =),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+，),(),(Y X abCov d bY c aX Cov =++4、常见随机变量分布的数学期望和方差五、大数定律与中心极限定理1、切比雪夫不等式若,)(,)(2σμ==X D X E 对于任意0>ε有2)(})({εεX D X E X P ≤≥-2、大数定律： ①切比雪夫大数定律：若n X X 1相互独立，2)(,)(i i i i X D X E σμ==且C i ≤2σ，则：∑∑==∞→−→−ni iPni i n X E nX n11)(),(11②伯努利大数定律：设n A 是n 次独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则0ε∀>，有：lim 1A n n P p n ε→∞⎛⎫-<= ⎪⎝⎭③辛钦大数定律：若1,,n X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，则μ∞→=−→−∑n P ni iXn113、中心极限定理①列维—林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量(1,2,)i X i =，均值为μ，方差为02>σ，当n充分大时有：1((0,1)~nn k k Y X n N μ==-−−→∑ ②棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理：随机变量),(~p n B X ，则对任意x 有：③近似计算：1()nk k P a X b =≤≤≈Φ-Φ∑ 概率论与数理统计公式整理1、总体和样本的分布函数 设总体()XF x ，则样本的联合分布函数)(),(121k nk n x F x x x F =∏=2、统计量样本均值：∑==ni i X nX 11，样本方差：∑∑==--=--=ni i ni i X n X n X X n S 122122)(11)(11 样本标准差：∑=--=ni i X X n S 12)(11 ，样本k 阶原点距： 2,1,11==∑=kXnA ni ki k样本k 阶中心距：11(),1,2,3n k k i i B X X k n ==-=∑3、三大抽样分布(1)2χ分布：设随机变量(0,1)i X N (1,2,,)i n =且相互独立，则称统计量222212n X X X ++=χ服从自由度为n 的2χ分布，记为)(~22n χχ性质：①n n D n n E 2)]([,)]([22==χχ②设)(~),(~22n Y m X χχ且相互独立，则)(~2n m Y X ++χ(2)t 分布：设随机变量)(~),1,0(~2n Y N X χ，且X 与Y 独立，则称统计量：nY X T =服从自由度为n 的t 分布，记为)(~n t T性质：①()0(1),()(2)2n E T n D T n n =>=>-②22lim ()()x n n f x x ϕ-→∞== (3)F 分布：设随机变量22~(),~()X m Y n χχ，且X 与Y 独立，则称统计量(,)X mF m n Y n=服从第一自由度为m ，第二自由度为n 的F 分布，记为~(,)F F m n ，性质：设~(,)F F m n ，则1~(,)F n m F七、参数估计1.参数估计①定义：用12(,,,)n X X X θ∧估计总体参数θ，称12(,,,)n X X X θ∧为θ的估计量，相应的12(,,,)n x x x θ∧为总体θ的估计值。
常用离散分布与连续分布函数
函数
p(
x
)
C
x n
p
x
q
n
x
,
x 0,1, 2n
其中 0 p 1, p q 1,
为二项分布. 记作： B(n, p)或b(n, p)
二项分布在第一章中已经专门介绍过。除了已经讲述过 的例子以外，二项分布还有最大概率值性质
设X ~ B(n, p),则 （1）若(n 1) p是整数，则 P(X (n 1) p)和P[X (n 1) p 1] 是其概率最大值。 （2）若(n 1) p不是整数，则当 k [(n 1) p]时P(X k)为其概率 的最大值。
到第X k次才发生（即前 k 1次A发生）的概率分布为几 何
分布，记作 G( p).即：P( X k) qk1 p, k 1,2,。X服从几何
分布，记作 X ~ G( p). 3.超几何分布：源自产品质量抽检，可用二项分布近似计算。
第三讲 二项分布与离散随机变量
4.二项分布
记X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则称X的概率
最大。即有3门或2门课获得优秀的概率最 大。
例3-4-1 已知X ~ B(2, p),Y ~ B(3, p),若P( X 1) 5 ,求P(Y 1)的值
9
分析：因为Y ~ B(3, p),所以求P(Y 1)关键是求p.
解：由P( X 1) 5 求p. P( X 1) 1 P( X 1) 1 P( X 0) 9
四、常用的离散随机变量概率分布
1.0-1分布：设随机变量 X只能取两个数值0和1,则称 P(X=1)=0，P(X=0)=1-q.为0-1分布。其概率分布为：
X
0
离散型连续型和的分布
Z -1 0 2 3 5 P 1/10 1/20 9/20 0 4/10
下页
例2. 设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为l1与
l2 的Possion分布，令Z=X+Y，试求Z的分布律.
解：由随机变量X与Y的取值都是 0,1,2,…, 可知Z=X+Y的
取值也是 0,1,2,…, 对于n= 0,1,2,…, 有
一、离散型 例1．已知(X,Y) 的联合分布律,
X
Y
0
1
3
-1 1/10 1/20 3/20
求 Z = X+Y的概率分布.
2 3/10 0 4/10
解： Z = X + Y 的所有可能取值为 -1, 0, 2, 3, 5, 且
P{Z= -1}=P{X+Y= -1}=P{X= -1,Y=0}=1/10 , P{Z= 0}=P{X+Y=0}=P{X= -1,Y=1}=1/20 , P{Z= 2}=P{X+Y=2}=P{X= -1,Y=3}+P{X=2,Y=0}= 3/20+3/10 , 同理， P{Z= 3}= 0， P{Z= 5}= 4/20 .
10
⑶若1 z 2，fZ z 1dx 2 z.
z1
Z X Y 的密度函数为
zx 1 zx0
1
x
下页
z
fZ z fX x fY z xdx
2
1
方法小结：
⒈ 确定非零联合密度对应的积分变量的区间： 0
① 确定fX(x), fY(z-x)各自的非零定义域A与B； ② A与B的交集即为所求.
0
z
⑵若0 z 1，fZ z 2(z x)dx z2;
概率分布：理解离散和连续概率分布
离散概率分布的应 用场景：实际生活 中离散事件的概率 计算
常见的离散概率分布
二项分布：适 用于独立重复 试验，如抛硬
币
泊何分布： 适用于有限总 体中不放回的
随机抽样
几何分布：适 用于连续成功 之前失败次数
的概率分布
抛硬币实验
离散概率分布的应用场景
定义：方差是用来衡量一组数值的离散程度的统计量 计算公式：方差 = Σ[(xi - μ)²] / N，其中μ是平均值，N是样本数量 性质：方差越大，数值的离散程度越高；方差越小，数值的离散程度越低 应用：在统计学、数据分析、预测等领域中广泛应用
协方差
定义：协方差是衡量两个随机变量同时变动情况的统计量 计算公式：协方差 = E[(X-E(X))(Y-E(Y))] 性质：协方差与期望值的关系，以及协方差的线性性质 意义：协方差在概率论和统计学中用于衡量两个随机变量的相关程度
概率分布：理解离 散和连续概率分布
汇报人：XX
目录
01 离散概率分布
02 连续概率分布
03 离散概率分布和连续概率分布的比 较
04 概率分布的数学描述
05 概率分布的图形表示
离散概率分布
定义和概念
离散概率分布：描 述随机变量取离散 值的概率规律
常见离散概率分布： 二项分布、泊松分 布等
离散概率分布的特 点：可数、有限或 无限
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
连续概率分布的图形表示：概率密 度函数曲线、累积分布函数曲线等
累积分布函数曲线的特点：描述随 机变量小于等于某一值的概率，可 以反映随机变量的概率分布情况
累积分布函数曲线
累积分布函数 的概念：表示 随机变量小于 或等于某一值 的概率总和的
概率论分布函数
概率论分布函数概率论分布函数是概率论中一个重要的概念，用于描述随机变量的概率分布情况。
它可以帮助我们理解随机事件的发生概率，并在实际问题中进行概率计算和统计推断。
一、离散型随机变量的分布函数对于离散型随机变量，概率分布函数通常用累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）来表示。
CDF可以简单理解为随机变量小于等于某个取值的概率。
例如，假设有一个离散型随机变量X，它的取值范围为{1, 2, 3, 4, 5}，对应的概率分别为{0.1, 0.2, 0.3, 0.2, 0.2}。
那么，X小于等于2的概率就是0.1+0.2=0.3，X小于等于4的概率就是0.1+0.2+0.3+0.2=0.8。
二、连续型随机变量的分布函数对于连续型随机变量，概率分布函数通常用概率密度函数（Probability Density Function，PDF）来表示。
PDF描述了随机变量在某个取值附近的概率密度。
以正态分布为例，其PDF可以用数学公式表示，但是在这里我们避免输出公式。
简单来说，正态分布是一种常见的连续型随机变量分布，它的形状呈钟形曲线。
正态分布的分布函数可以帮助我们计算出随机变量落在某个区间内的概率。
三、概率论分布函数的应用概率论分布函数在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 风险评估：通过概率论分布函数，可以对某种风险事件发生的概率进行评估。
例如，在金融领域中，可以利用概率分布函数来评估股票价格的波动性，帮助投资者进行风险管理和决策。
2. 假设检验：在统计学中，假设检验是一种常用的统计推断方法。
通过概率论分布函数，可以计算出在某个假设成立的条件下，观察到某个样本结果的概率。
从而判断该假设是否成立。
3. 可靠性分析：在工程学中，可靠性分析是评估某个系统是否能够在一定时间内正常运行的方法。
通过概率论分布函数，可以计算出系统在不同时间点发生故障的概率，从而评估系统的可靠性。
资料分析常用公式
资料分析常用公式1. 平均数公式平均数（Mean）是表示一组数据集中趋势的量数，计算公式为：$$\text{平均数} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$其中，$ x_i $ 表示第 $ i $ 个数据，$ n $ 表示数据的总数。
平均数适用于描述数据的中心位置，常用于市场调查、产品评价等领域。
2. 中位数公式中位数（Median）是将一组数据从小到大（或从大到小）排列，位于中间位置的数值。
计算公式为：$$\text{中位数} = \begin{cases}x_{\frac{n+1}{2}} & \text{当 } n \text{ 为奇数时} \\\frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2} & \text{当 } n \text{ 为偶数时}\end{cases}$$中位数适用于描述数据的中心位置，特别适用于数据分布不均匀或存在异常值的情况。
3. 标准差公式标准差（Standard Deviation）是衡量一组数据离散程度的量数，计算公式为：$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i \mu)^2}{n}}$$其中，$ \sigma $ 表示标准差，$ x_i $ 表示第 $ i $ 个数据，$ \mu $ 表示平均数，$ n $ 表示数据的总数。
标准差越大，表示数据的离散程度越大，反之越小。
4. 相关系数公式相关系数（Correlation Coefficient）用于衡量两个变量之间的线性关系程度，计算公式为：$$r = \frac{n(\sum xy) (\sum x)(\sum y)}{\sqrt{[n\sum x^2 (\sum x)^2][n\sum y^2 (\sum y)^2]}}$$其中，$ r $ 表示相关系数，$ x $ 和 $ y $ 分别表示两个变量，$ n $ 表示数据的总数。
离散型连续型和的分布
z
zx 1
2
zx0
1
⑴若z 0 ，或 z 2, fZ z 0;
z
0
1
x
⑵若0 z 1， fZ z 1dx z;
10
⑶若1 z 2，fZ z 1dx 2 z.
z1
z
Z X Y 的密度函数为 fZ z 2 z
结束
fZ z f X x fY z xdx, 0 x 1, z x 0 z
zx0
⑴若z 0 ， fZ z 0;
1
⑵若0 z 1，
0
1
x
z
z
f Z z 1 e(zx)dx ez e xdx 1 ez ;
0
,0 z 1 ,1 z 2 .
, 其它
《概率统计》
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结束
z
fZ z fX x fY z xdx
2
0 x 1, 0 z x 1
1
方法小结：
⒈ 确定非零联合密度对应的积分变量的区间： 0
① 确定fX(x), fY(z-x)各自的非零定义域A与B； ② A与B的交集即为所求. ⒉ 确定积分变量的积分限：
现考虑f(x,y)>0的区域与x+y ≤z的取值，分四种情况计算.
z2,
所以，
fz (z)
2z
z2,
0,
当0 z 1 当1 z 2. 其它
《概率统计》
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结束
f
X
x
分布系数的计算公式
分布系数的计算公式
分布系数是统计学中一个重要的概念，它表示在一定条件下，样本数据中某一数据点出现的概率密度。
分布系数的计算公式根据不同的条件而有所不同。
以下是几种常见情况下分布系数的计算公式:
1. 总体分布系数的计算公式:
总体分布系数 = (分位数 1 - 分位数 2) / (分位数 1 + 分位
数 2)
其中，分位数 1 和分位数 2 分别是总体数据中小于等于该数据的位数和大于该数据的位数。
2. 样本分布系数的计算公式:
样本分布系数 = (分位数 1 - 分位数 2) / (分位数 1 + 分位
数 2)
其中，分位数 1 和分位数 2 分别是样本数据中小于等于该数据的位数和大于该数据的位数。
3. 离散型变量分布系数的计算公式:
离散型变量分布系数 = (样本值 - 样本均值) / 样本标准差
其中，样本均值和样本标准差分别是样本数据的平均数和标准差。
4. 连续型变量分布系数的计算公式:
连续型变量分布系数 = (观察值 - 样本均值) / 样本标准差
其中，样本均值和样本标准差分别是样本数据的平均数和标准差。
分布系数的计算公式只适用于一定的条件，具体情况需要根据具体情况而定。
同时，分布系数只是样本数据的一种描述，不能代替总
体数据的分布情况。
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常见离散分布
1. 0-1分布
定义：如果随机变量X 只可能取0与1两个值，它的分布律是
1{}(1),0,1(01)k k P X k p p k p -==-=<<
则称X 服从参数为p 的0-1分布或两点分布。
()p,()(1).E X D X p p ==-
2. 二项分布
如果随机变量X 的分布律是
n {}(1),0,1,...,k k n k P X k C p p k n -==-=
则称X 服从二项分布，记为~(n,)X B p 。
()p,()(1).E X n D X np p ==-
3. 泊松分布
如果随机变量X 的分布律为k {},0!P X k e k λλλ-==
>为参数，k =0,1,2,…,则称服从参
数为λ的泊松分布，记为~()X P λ。
(),().E X D X λλ==
常见连续分布
1. 均匀分布
如果连续型随机变量X 具有概率密度
1,,()0,a x b f x a b ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩
其它， 则称X 在区间(a,b)上服从均匀分布，记为~(,)X U a b .均匀分布函数为
0,0,(),,1,,
a x a F x a x
b b a
x b <⎧⎪-⎪=≤<⎨-⎪≥⎪⎩
2
()(),()212
a b a b E X D X ++==. 2. 指数分布
如果随机变量X 概率密度为
1,0,()(0)0,0,
x e x f x x θθθ-⎧>⎪=>⎨⎪≤⎩，
则称X 服从参数为θ的指数分布，记为~x ()X E p θ，（注λ=
1θ）
指数分布的分布函数为 1,0.()0,0.
x e x F x x θ-⎧⎪->=⎨⎪≤⎩
2(),()E X D X θθ==.
3. 正态分布
如果随机变量X 的概率密度为
22()2(),,x f x x μσ--=-∞<<+∞
其中μ，σ(σ>0)为参数，则称X 服从参数 μ，σ的正态分布(又称高斯分布)，记为2~(,)X N μσ.
正态分布2
~(,)X N μσ的分布函数为
22()2()e x x F x dt μσ--=-∞.
2(),()E X D X μσ==.。