函数的连续性
高等教育：函数的连续性
例8
讨论函数 f (x) 1 在 x 0 处的连续性. x
解 f (x) 1 在 x = 0 无定义, y
x
y1
x = 0为函数的间断点,
x
又 lim f (x) lim 1 ,
x0
x0 x
O
x
故
x = 0为函数
f
(x)
1 x
的第二类间断点.
由于 lim f (x) 所以称它为无穷间断点. x0
例1 函数 y = x2 在点 x = 0 处是否连续 ?
解 y = x 2 在 U(0) 内有定义,
又 lim x2 0 x0
且 y x0 x2 x0 0
函数 y = x2 在点 x = 0 处连续.
2.连续性的《 － 语言》形式
定义 设函数 f (x) 在 U(x0) 内有定义. x x x0
由 x0 的任意性, | f (x) | 在区间 I 上连续.
(若 I 为闭区间, 则对区间端点时指的 左, 右极限. )
注意：
该定理的逆命题不成立.
1, x 为有理数, 例如, f (x) =
1, x 为无理数.
例10 设 f (x)、g(x) C(I ), 则函数
1(
x)
min{ xI
f
(
x),
g( x)},
2
(
x)
max{ xI
f
(x),
g(x)}
在区间I 内连续.
证由
1(x)
f (x) g(x) | 2
f (x) g(x) |,
2(x)
f (x) g(x) | 2
函数的连续性连续函数的定义与性质
函数的连续性连续函数的定义与性质函数在数学中起着重要的作用，而函数的连续性是函数理论中的一个基本概念。
本文将探讨函数的连续性以及连续函数的定义和性质。
一、函数的连续性函数的连续性是指函数在某个区间上的“连续程度”，也就是函数在区间上是否存在间断点。
如果函数在某个点上连续，则说明函数在该点上没有间断，可以通过一个流畅的曲线来表示。
而如果函数在某个点上不连续，则说明函数在该点上存在间断，无法用一个曲线来表示。
在数学中，有三种类型的间断点：可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
可去间断点指的是当函数在某个点上无定义时，如果通过修改函数在该点的定义，可以使函数在该点上连续，则该点是可去间断点。
跳跃间断点指的是当函数在某个点上左右两侧的极限存在，但两个极限不相等时，该点是跳跃间断点。
无穷间断点指的是当函数在某个点上的极限为无穷大或无穷小时，该点是无穷间断点。
二、连续函数的定义与性质连续函数是指在定义域上的每个点上都连续的函数。
如果一个函数在其定义域内处处连续，则称为全局连续函数；如果一个函数只在某个区间内连续，则称为局部连续函数。
连续函数具有以下重要性质：1. 若函数f(x)和g(x)都是连续函数，则它们的和f(x)+g(x)、差f(x)-g(x)以及积f(x)g(x)也是连续函数。
2. 若函数f(x)和g(x)都是连续函数，且g(x)不为0，则它们的商f(x)/g(x)也是连续函数。
3. 连续函数的复合函数仍然是连续函数。
换言之，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且函数g(t)在区间[c,d]上连续，且f(b)位于g(t)的定义域内，则复合函数f(g(t))在区间[c,d]上连续。
4. 连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值。
形式化地表达就是，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则函数f(x)在该区间上存在最大值和最小值。
5. 连续函数的中间值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且f(a)≠f(b)，那么对于任意介于f(a)和f(b)之间的值c（f(a)<c<f(b)或者f(b)<c<f(a)），在开区间(a,b)内至少存在一个点x0，使得f(x0)=c。
第六节 函数的连续性
如果函数 f ( x )在开区间 (a , b)内连续 , 且在 左端点x a处右连续 , 在右端点 x b处左连续 , 则称函数f ( x )在闭区间 [a, b]上连续 .
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
6
例3 证明函数y sinx在区间 (,)内连续 .
证 x (,),
x 0 x 0
f ( x ) lim f ( x ) f ( x ).
故 f ( x)在（ ， ）上连续 .
12
例5 设f ( x )在（ 0， ）上连续，且满足x (0, ), f ( x ) f ( x ). 证明 f ( x )在 (0, ) 上为常数.
1 当 x 0 时， lim f ( x ) 2, l i m f ( x ) f (0). x 0 x 0 a 1 所以当 a 时 ，f ( x )在 （ ， ） 内 是 连 续 的 ; 2 1 当a 时 ，f ( x )在 （ ， 0） （0， ） 内 连 续 2 23 且x 0 是 第 一 类 跳 跃 型 间 断.点
y sin 1 x
1 解 因 为 f ( x )在x 0 处 没 定 义 , 且limsin 不 存 在 ， x 0 x 所以 x 0 为第二类间断点 .
这种情形称为振荡型间断点.
19
第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点
y
y 可去型
y 跳跃型
o
x0
x
o y
x0
x
o
x0
x
o
x 振荡型
lim f [ ( x )] f [ lim ( x )] f [ ( x0 )] f ( u0 ).
函数的连续性
函数的连续性
函数的连续性是指函数在定义域上的变化情况，其主要内容是有限性、连续性和可导性。
有限性的概念是指函数的解析可以是有限的，它可以用有限的表示法来描述。
例如，函数y = x^2 + 2x - 4的解析表示式就是一个有限的表达式。
有限性是理解函数特征的基础，而连续性是更进一步理解函数特征的手段。
连续性定义为：存在任意位置x0处，它的函数值y0（即
y=f(x0)=y0）与其附近的函数值的差别不会超过一定的正定值，当此附近的自变量值在x0处的改变量趋近于零时，此函数值
的改变量也趋近于零，我们就称该函数在x0处是连续的，写
成数学形式就是：lim (x→x0) f(x) = y0
可导性是连续性的强化，也就是说它综合考虑了函数的变化和变化量之间的关系，它是指函数在定义域上任意一点x处，只要自变量x存在可导的微分，就说明函数y有可导的前提。
可导性的表述方式就是不等式：|f(x1)-f(x2)| ≤ M|x1-x2|，即自变
量x1和x2之间的变化量应小于某个正常数M，函数值在x1
和x2之间的变化量应小于M |x1-x2|。
函数的连续性是数学分析中的基本概念，它与微积分的应用紧密相连。
它的概念很容易理解，但在实际应用中却要求解答者拥有较强的抽象意识和概括能力，因此学习和研究它的概念是非常重要的。
函数的连续性
一、函数的连续性 二、函数的间断点
三、闭区间上连续函数的性质
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一、函数的连续性
变量的增量
设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域U(x0)内有定义 在邻域U(x0)内 若自变量x从初值x0变到终值x1 则称Dx=x1-x0为自变量x的增量 称Dy=f(x0+Dx)-f(x0)为函数y的增量
二、函数的间断点
y
y
f (x)在 x0 处无定义
O
x
0
x0
x
0
x0
y
f (x)在 x0 处无极限
O
x
0
x0
y
lim
xx0
f (x)
f
(x0 )
O
x
0
x0
二、函数的间断点
•间断点的定义
设函数 f(x)在点x0的某去心邻域内有定义 在此前提 下 如果函数 f(x)有下列三种情形之一
(1)在x0没有定义
这是因为 函数P(x)在(- +)内任意一点 x0处有定 义 并且
lim
x x0
P(
x)
=
P(x0
)
注: 如果区间包括端点 那么函数在右端点连续是指左连续
在左端点连续是指右连续
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连续函数
在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的 连续函数 或者说函数在该区间上连续
并且
f(0)=1>0 f(1)=-2<0
根据零点定理 在(0 1)内至少有一点x 使得 f(x)=0
即
x 3-4x 2+1=0
函数的连续性知识点及例题解析
函数的连续性知识点及例题解析1. 函数的连续性概念在数学中，函数的连续性指的是当自变量的值变化时，函数值的变化趋势和自变量的变化趋势相一致。
如果在某个区间内，函数在该区间的任意一点都存在极限，并且极限与该点的函数值相等，则称该函数在该区间内连续。
2. 函数的连续性条件函数f(x)在点x=a处连续的条件是：- 函数在点x=a处存在- 函数在点x=a处的左极限等于右极限- 函数在点x=a处的极限与函数在该点的函数值相等3. 函数的连续性的判定方法3.1 图像法：通过观察函数的图像来确定函数是否连续。
如果函数的图像没有跳跃、断裂或间断现象，那么该函数在相应区间内是连续的。
3.2 极限法：通过计算函数的极限来判定函数是否连续。
如果函数在某个点的极限存在并与函数在该点的函数值相等，则该函数在该点连续。
4. 函数的连续性例题解析例题1：考虑函数：\[ f(x) = \begin{cases} x+1, & \text{if } x \leq 0 \\ x-1, & \text{if } x > 0 \end{cases} \]问：函数f(x)在点x=0是否连续？解析：根据函数的定义可知，函数在x=0处存在极限，即\(\lim_{x\to0^-}f(x) = 0+1 = 1\)和\(\lim_{x\to0^+}f(x) = 0-1 = -1\)。
由于左极限和右极限不相等，所以函数在x=0处不连续。
例题2：考虑函数：\[ g(x) = \begin{cases} \sin(x), & \text{if } x \neq 0 \\ 1, & \text{if } x = 0 \end{cases} \]问：函数g(x)在点x=0是否连续？解析：根据函数的定义可知，函数在x=0处存在极限，即\(\lim_{x\to0}g(x) = \lim_{x\to0}\sin(x) = \sin(0) = 0\)。
数学知识点：函数的连续性_知识点总结
数学知识点：函数的连续性_知识点总结
（1）如果函数y=f（x）在点x=x0处及其附近有定义，并且满足，则称函数y=f（x）在点x=x0处连续；否则称y=f（x）在点x=x0处不连续，或间断点。
（2）如果函数f（x）在某一开区间（a，b）内每一点处都连续，就说函数f（x）在开区间（a，b）内连续，对于闭区间[a，b]上的函数f（x）,高考语文，如果在开区间（a，b）内连续，在左端点x=a处有，在右端点x=b处有，就说函数f（x）在闭区间[a，b]上连续。
3、如果f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数，那么在闭区间[a，b]上f（x）一定有最大值和最小值。
函数的连续性的特点：
（1）f（x）在x0处有定义；
（2）f（x）在x0处的极限存在；
（3）f（x）在点x0处的极限等于函数值。
三大特点，缺一不可。
常用结论：
如果f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数，那么在闭区间[a，b]上f（x）一定有最大值和最小值。
函数的连续性
函数的连续性函数的连续性是数学中重要的一个概念，它描述了函数在某个点附近的表现。
连续性可以用来刻画函数的光滑程度和连贯性，对于分析和解决实际问题具有重要的意义。
本文将详细介绍函数的连续性以及相关的性质和定理。
1. 连续函数的定义与性质连续函数是指在定义域上的每一个点都具有连续性的函数。
具体而言，若函数f(x)在某一点x=a处的极限存在且与f(a)的函数值相等，那么函数f(x)在点x=a处连续。
连续函数具有以下重要性质：- 连续函数的和、差、积仍为连续函数；- 连续函数的复合函数仍为连续函数；- 有界闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值。
2. 初等函数的连续性初等函数是由常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等通过有限次的代数运算与函数复合得到的函数。
初等函数在其定义域上都是连续函数。
初等函数的连续性可以通过初等函数的定义和性质来证明。
以指数函数为例，指数函数f(x) = exp(x)在整个实数域上都是连续函数，因为它是由幂函数与以基数e为底的指数函数复合得到的。
3. 间断点与连续点函数可以在某些点上具有间断现象，这些点称为间断点。
间断点分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
相应地，函数在某些点上具有连续性，这些点称为连续点。
可去间断点是指在该点处存在左极限和右极限，但极限值不相等。
通过修正函数在该点处的定义可以使其连续。
跳跃间断点是指在该点处左右极限存在且不相等，函数在该点处无法修正。
4. 连续函数的中值定理中值定理是连续函数的重要定理之一，它刻画了连续函数在某个区间上的平均增长率等于其两个端点处斜率之间某个值的关系。
根据中值定理，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且可导于开区间(a,b)内，则存在一个点c∈(a,b)，满足f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)。
这个定理在微积分和实际问题的分析中有广泛的应用。
5. 连续函数的一致连续性一致连续性是连续函数的另一个重要性质，它描述了函数在整个定义域上的连续性。
函数的连续性(125)
介值定理
总结词
介值定理是连续函数的一个重要性质，它表 明如果函数在区间两端取值介于两个常数之 间，则该区间内必存在至少一个介值点。
详细描述
介值定理可以表述为，如果函数$f(x)$在区 间$[a, b]$上连续，且存在两个常数$m, M$，使得$m leq f(x) leq M$对所有$x in [a, b]$成立，则存在至少一个$c in (a, b)$， 使得$f(c) = m + frac{M - m}{2}$。这个定 理在解决一些优化问题时非常有用。
- x_2| < delta$时，有$|f(x_1) - f(x_2)| < epsilon$。
紧致性
要点一
总结词
紧致性是指函数在某个区间内是紧致的，即函数在该区间 内既有上界又有下界，且在该区间内任意子集都具有有限 性。
要点二
详细描述
紧致性是实数理论中的一个重要概念，它描述了一个集合 的有限性质。具体来说，如果一个函数在某个区间内既有 上界又有下界，并且在该区间内任意子集都具有有限性， 则称该函数在该区间内是紧致的。紧致性在数学分析中有 着广泛的应用，例如在证明极限定理、一致连续定理等方 面都有重要的应用。
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05 连续性的扩展概念
一致连续性
总结词
一致连续性是指函数在定义域内的每一点都 连续，且在整个定义域上具有一致的连续性 。
详细描述
一致连续性是比连续性更强的数学性质，它 要求函数在定义域内的每一点都连续，并且 在整个定义域上具有一致的连续性。也就是 说，对于任意给定的正数$epsilon$，存在一 个正数$delta$，使得当$x_1, x_2$满足$|x_1
函数连续的三个条件
函数连续的三个条件
函数连续性的定义：“连续”是相对于“间断”而言的，顾名思义就是接连不断的。
设函数f()在点0的一些邻域内有定义，若极限
lim(→0)f()=f(0), 则称f()在点0处连续。
如果函数f()在区间D的每一点都是连续的，则称f()在区间D上连续。
判断函数连续性的第一种方法：图形直观判断法。
可以观察函数的二维图形，可以判定函数的曲线是连续的还是间断的。
判断函数连续性的第一种方法：函数定义法。
用函数连续性的定义判断函数是否连续。
若极限lim(→0)f()=f(0), 则称f()在点0处连续。
判断函数连续性的第三种方法：导数法。
若函数f()在点0可导，则函数f()在点0连续。
所以可以通过求一个函数的导数，来判断函数是否连续。
函数在一个区间内可导，则这个函数一定连续。
函数的连续性(课件
函数在区间上的连续性
函数在区间上的连续性是指，对于该区间内的任意一点，函数在该点都连续。如 果一个函数在某个闭区间$[a, b]$内的每一点都连续，则称该函数在区间$[a, b]$ 上连续。
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闭区间上的连续函数满足中值定理， 即如果一个闭区间上的连续函数在两 端取值相等，则该函数在这个区间内 至少有一个不动点。
闭区间上的连续函数具有介值性质， 即如果一个闭区间上的连续函数在两 端取值异号，则该函数在这个区间内 至少有一个零点。
连续函数在无穷区间上的性质
连续函数在无穷区间上可以取到无穷大或无穷小 的值。
一致连续性
总结词
如果一个函数在其定义域内的任意两点x1 和x2，当x1趋近于x2时，函数值也趋近于 相同值，则称该函数一致连续。
VS
详细描述
一致连续性是连续函数的一个重要性质， 它表明函数在定义域内的任意两点之间的 变化都是均匀的。一致连续的函数在定义 域内不会出现剧烈的波动或间断，因此其 性质比较稳定。这个性质在解决一些数学 问题时也非常有用，例如求解函数的极限 等。
连续函数与不等式的关系
连续函数在定义域内的单调性可以用来证明不等 式。
3
利用连续函数证明不等式的方法
通过构造函数、利用函数的单调性、求导数等手 段，将不等式问题转化为连续函数的性质问题。
利用连续函数解决实际问题
实际问题的数学模型
实际问题通常需要建立数学模型进行描述和求解。
连续函数与实际问题的关系
函数的连续性
初等函数在其有定义的区间内都是连续的.
即若 f ( x ) 是一初等函数,它在 [a , b] 上有定义,则对任何
x0 (a, b), 有
x x0
lim f ( x ) f ( x0 ).
例9 求下列极限:
x 2 ln(4 3 x ) (1) lim ; x 1 arctan x
x 1, x 0 1 例5 讨论函数 f ( x ) , x 0,在 x0 0处的连续性. 2 sin x , x 0
左、右极限均存在但不相等的函数的间断点称为跳跃 间断点. 函数的跳跃间断点和可去间断点统称为函数的第一类 间断点.
定义5 若 x0 为函数 f ( x ) 的一个间断点,且 lim f ( x ) 与
x x0
lim f ( ( x )) f ( ( x0 )).
推论 若 lim ( x ) A,且 y f ( u) 在 u A 处连续,则
lim f ( ( x )) f (lim ( x )).
即若函数 y f ( u) 连续,则极限符号可以拿到连续函数 符号里边去.
无穷型间断点
1 sin , x 0, x 例7 讨论函数 f ( x ) 在点 x0 0 处的连续 0, x 0
性. 振荡型间断点
三、连续函数的基本性质
定理2 若 f ( x ), g( x ) 在点 x0 处连续,则
(1) f ( x ) g( x ) 在点 x0 处连续,其中 , 为常数; (2) f ( x ) g( x ) 在点 x0处连续;
1 x 例8 求 lim sin(1 ) . x x
函数的连续性与间断点
函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点一直是数学中的重要概念之一。
从初等数学到高等数学，我们都会接触到函数的连续性问题。
本文将深入探讨函数的连续性与间断点的概念、性质以及应用。
一、函数连续性的概念与性质1.1 函数连续性的定义在数学中，如果一个函数在某一点处的极限等于该点处的函数值，那么我们就称这个函数在该点处连续。
具体来说，设函数f(x)在点x=a 的某个邻域内有定义，如果对于任意给定的ε>0，存在Δ>0，使得当|x-a|<Δ时，有|f(x)-f(a)|<ε成立，则称函数f(x)在点x=a处连续。
1.2 连续函数的性质（1）连续函数的和、差、积仍然是连续函数。
（2）连续函数的复合函数仍然是连续函数。
（3）有界闭区间上的连续函数必定有最大值和最小值。
二、函数间断点的分类和性质2.1 第一类间断点如果函数f(x)在点x=a处的左极限和右极限都存在，但不相等，即lim┬(x→a⁻)f(x)≠lim┬(x→a⁺)f(x)，那么我们称点x=a为函数f(x)的一个第一类间断点。
第一类间断点分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点三种情况。
2.2 第二类间断点如果函数f(x)在点x=a处的左极限和右极限至少有一个不存在，或者虽然都存在但相等于无穷大，即lim┬(x→a⁻)f(x)不存在或lim┬(x→a⁺)f(x)不存在或lim┬(x→a⁻)f(x)=+∞或lim┬(x→a⁺)f(x)=+∞，那么我们称点x=a为函数f(x)的一个第二类间断点。
三、连续性的应用3.1 介值定理介值定理是函数连续性的重要应用之一。
它指出，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，且f(a)≠f(b)，那么对于介于f(a)和f(b)之间的任意一个数k，存在一个c∈(a, b)，使得f(c)=k。
3.2 零点存在定理零点存在定理是函数连续性的又一个重要应用。
它指出，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，并且f(a)和f(b)异号，那么方程f(x)=0在区间(a, b)内至少有一个根。
函数连续性的定义
对自变量的增量 函数
x x0
有函数的增量 连续有下列等价命题:
x 0
在点
lim f ( x) f ( x0 )
x 0
lim f ( x0 x) f ( x0 )
lim y 0
y y f ( x)
y
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )
显然 lim f ( x) 1 f (1)
x1
y
1 2
1
x 1 为其可去间断点 .
x 1 , x 0 (5) y f ( x) 0 , x 0 x 1 , x 0
o
1
x
y
1
o
f (0 ) 1,
f (0 ) 1
1
x
x 0 为其跳跃间断点 .
若其中有一个为 , 称
x0 为无穷间断点 . x0 为振荡间断点 .
若其中有一个为振荡 , 称
例如:
y
y tan x
2
x 为其无穷间断点 . 2
o
x
y
1 y sin x
x 0 为其振荡间断点 .
y
0
x
x 1 为可去间断点 .
o 1 2 , x 1
第八节 函数的连续性与间断点
一、 函数连续性的定义
二、 函数的间断点
一、 函数连续性的定义
定义: 设函数 在
的某邻域内有定义 , 且
则称函数 f ( x) 在 x0 连续.
可见 , 函数 (1) (2) 极限
(3) 在点
在点 x0 连续必须具备下列条件: 有定义 , 即 存在 ;
函数的连续性(112)
介值定理
总结词
介值定理是连续函数的另一个重要性质，它表明如果在闭区间上连续的函数在两端取值 分别为正和负，则该区间内必存在至少一个值，使得函数取该值。
详细描述
介值定理指出，如果函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，且$f(a) cdot f(b) < 0$，则 存在至少一个$c in (a, b)$使得$f(c) = 0$。此外，如果函数在区间两端取值分别为正 和负，则存在至少一个值$d in [a, b]$，使得$f(d) = c$，其中$c$为介于两端取值之间
极限的定义
01
连续性是定义极限的基础，函数在某点的连续性决定了该点处
的极限行为。
导数与连续性
02
导数与函数的连续性密切相关，一个函数在某点的导数存在意
味着该点处函数是连续的。
一致连续与积分
03
一致连续的函数在区间上的积分值是一致的，这为定积分的计
算提供了基础。
在实数理论中的应用
实数完备性
连续性是实数完备性的一个重要组成部分，它确保实数具有大小 关系和四则运算的完备性。
的任意数。
一致连续性定理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
总结词
一致连续性定理是关于函数连续性的一 种更严格的性质，它要求函数在给定区 间上的一致连续性。
VS
详细描述
一致连续性定理指出，如果函数$f(x)$在闭 区间$[a, b]$上一致连续，则对于任意给定 的$epsilon > 0$，存在$delta > 0$，使 得当$|x_1 - x_2| < delta$时，有$|f(x_1) f(x_2)| < epsilon$。这意味着函数在区间 上的每一点附近的变化都非常小，从而在 整个区间上都是连续的。
函数的连续性定义
函数的连续性定义
函数连续性的定义:设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义,若lim(x→x0)f(x)=f(x0),则称f(x)在点x0处连续。
若函数f(x)在区间I的每一点都连续,则称f(x)在区间I上连续。
判定函数连续求导就可以，如果可导就肯定连续。
拓展资料：
函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。
例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。
对于这种现象，我们说因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。
由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。
对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。
这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。
函数的连续性与间断点
函数的连续性与间断点函数的连续性和间断点是函数学中常见的概念，它们与函数的性质紧密相关。
本文将介绍函数的连续性和间断点的定义、分类以及与函数图像的关系。
一、函数的连续性函数的连续性是指函数在一定区间内的普遍性质，即函数在该区间内的每个点都具有连续性。
具体而言，对于给定的函数f(x)，若函数在x=a的某个邻域内，当x趋近于a时，f(x)也趋近于f(a)，则称函数在x=a处连续。
函数的连续性可以通过极限的定义来进一步说明。
对于函数f(x)，若对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε，则称函数在x=a处连续。
函数的连续性有三种基本类型：第一类间断点、第二类间断点和可去间断点。
1. 第一类间断点第一类间断点是指函数在该点的左右极限不相等的点。
换句话说，对于函数f(x)，若x=a是函数的一个间断点，且存在两个不相等的实数L1和L2，使得lim(x→a-)f(x)=L1，lim(x→a+)f(x)=L2，则称x=a为函数的第一类间断点。
2. 第二类间断点第二类间断点是指函数在该点的左右极限至少有一个不存在或者为无穷大的点。
即，对于函数f(x)，若x=a是函数的一个间断点，且至少存在一个左极限lim(x→a-)f(x)或右极限lim(x→a+)f(x)不存在或为无穷大，则称x=a为函数的第二类间断点。
3. 可去间断点可去间断点是指函数在该点的左右极限都存在，但与该点的函数值不相等。
也就是说，对于函数f(x)，若x=a是函数的一个间断点，且lim(x→a-)f(x)=lim(x→a+)f(x)=L，但f(a)≠L，则称x=a为函数的可去间断点。
二、函数的连续性与图像函数的连续性与函数图像的连续性密切相关。
对于连续函数而言，其图像是一条连续的曲线，没有突变或跳跃的情况。
而间断点则对应着函数图像上的断点或间断处。
对于第一类间断点而言，其在函数图像上呈现为两个不连续的部分，可以用一个空心圆标记该点。
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结论： 设（1）设函数 f (x) 在点x0连续，函数 g (x)在点x0不连续；（2）函数 f (x)和 g (x) 在点x0 都不连续. 问函数 f (x) + g (x)， f (x) g (x) 分别在(1), (2)情况下，在点 x0是否连续？ x4 e 1 补例3. 求 lim x 0 1 cos( x 1 cos x )
有函数的增量
函数连续性的等价定义 对自变量x0的增量 函数
在点 x0 连续有下列等价命题:
x x0
lim f ( x) f ( x0 )
x 0
lim y 0
左连续
lim f ( x0 x) f ( x0 ) x 0 y y f ( x)
y
f ( x0 0) f ( x0 ) f ( x0 0)
注意：对于非连续函数，极限符号与函数符号不 一定可以交换.
x 0 x 0
x x0
二、 函数的间断点
在点 的某空心邻域内有定义 , 则下列 设 情形之一函数 f (x) 在点 不连续 : (1) 函数 在 无定义 ; (2) 函数 在 虽有定义，但 不存在; (3) 函数 在 虽有定义 , 且 存在 , 但
若函数 f (x)在开区间(a, b)内每一点都连续 , 而且在 点 x =a 右连续，在点 x =b 左连续 , 则称函数 f (x)在闭 区间[a, b]上连续. 或称它为[a, b]上的连续函数 . 由 f ( x) 在 x0 连续知
f ( lim x)
这说明，对于连续函数，极限符号与函数符号可 以交换. 例如 lim cos x cos(lim x) cos 0 1
x t a 1, 则 x log a (1 t ) , 解: 令
lim (1 x)
x 0
1 x
t 原式 lim t 0 log a (1 t )
说明: 当
例3 求 解: 原式
时, 有 ln(1 x) ~ x, e 1 ~ x
3 sin x ln(1 2 x )
第二章
§2.8 函数的连续性
一、 函数连续性的定义 二、 函数的间断点
现实世界中很多变量是连续不断的. 如气温、时间、 物体的运动等等，都是连续变化的. 这种现象反映在数学上就是连续性， 函数的连续性是微积分的又一重要概念！
一、 函数连续性的定义(点和区间)
定义: 设函数 在 的某邻域内有定义 , 且 lim f ( x) f ( x0 ) , 则称函数 f ( x) 在 x0 连续.
y tan x
x
x 为其无穷间断点 .
2
o
2
y
y sin
1 x
x 0为其振荡间断点 .
0
x
y
x 1为可去间断点 .
x , x 1 (4) y f ( x) 1 , x 1 2 显然， lim f ( x) 1 f (1)
y
1 2
o 1
x x0
0
例如, 复合而成 , 因此
是由连续函数链
x0
在 x 0上连续 .
二、初等函数的连续性 基本初等函数在定义区间内连续. 连续函数经四 则运算仍连续, 连续函数的复合函数连续. 一切初等函数在其定义区间内连续.（87页）
利用连续函数的复合函数的连续性求极限
例1.求 解: 原式
例2. 求
这样的点 称为函数 f ( x )的间断点 . 间断点的分类: 第一类间断点: 如果 及 均存在 ,
x x0
lim f ( x) f ( x0 )
若 称 x0 为可去间断点 . 若 称 x0 为跳跃间断点 . 第二类间断点: 如果 及 中至少一个不存在 , 若其中有一个为 , 称 x0 为无穷间断点 . 若其中有一个为振荡 , 称 x0为振荡间断点 . y 例如:
x
1
x 1为其可去间断点 .
x 1 , x 0 (5) y f ( x) 0 , x 0 x 1 , x 0 f (0 0) 1, f (0 0) 1 x 0 为其跳跃间断点 .
x1
o
y
1
1
x
o
1
x
练习题
1. 讨论函数 间断点的类型. 答案: x = 1 是第一类可去间断点 , x = 2 是第二类无穷间断点 . 1 x sin , x 0 0 时 f ( x) 在 , a ____ 2. 设 f ( x) x 2 a x , x0 x =0连续函数. 提示: f (0 0) 0 , f (0 0) f (0) a
内容小结
在点 连续的等价形式
左连续 在点
右连续
间断的类型 可去间断点 第一类间断点 左右极限都存在 跳跃间断点 无穷间断点 左右极限至少有一 第二类间断点 振荡间断点 个不存在
连续函数的运算与
第二章
初等函数的连续性
一、连续函数的运算法则
二、初等函数的连续性
一、连续函数的运算法则 定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , 商 (分母不为 0) 运算的结果, 仍是一个在该点 连续的函数. ( 利用极限的四则运算法则证明) 定理2. 连续单调递增 (递减) 函数的反函数 也连续 单调递增(递减). (证明略) 例如, y sin x 在 上连续单调递增， 其反函数 y arcsin x 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增. 在 上连续单调 递增, 又如, 在 上也连续单调递增. 其反函数 定理3. （连续函数的复合函数是连续的） 若函数 在点 x0 连续，且 ( x0 ) u0 ,函数 f (u ) 在点 u0 连续，则复合函数 f [ ( x)] 在点 x0 连续，即
x
x0
lim
3 sin x
ln(1 2 x )
x0
lim
3 x
2 x e6 .
x 2 2
例4 求
1 1 解: 原式 = lim [(sin cos ) ] x x x x 2 2 lim (1 sin ) 1 x x 2 sin 2 (1 sin x ) x
e
课本89页例题 例10 求 lim [sin ( x 2 4) lg( x 8)]
x 2
解 lim [sin ( x 2 4) lg( x 8)]
lim [sin ( x 2 4)] lim [lg( x 8)] sin lim ( x 4) lg lim ( x 8) sin 0 lg 10 1
第二章
五 闭区间上连续函数的性质
一、最值定理 二、介值定理
一、最值定理
定理2.15.在闭区间上连续的函数在该区间上一 定有最大值和最小值. 从而在闭区间有界. (证明略) 即: 设 f ( x)在[ a , b ] 上连续 , 则 1 , 2 [ a , b ] , 使 f (1 ) min f ( x), f ( 2 ) max f ( x) . y y f ( x)
2 3
x 0
cos x cos a （4） 求 lim x a xa xa xa 2 sin sin cos x cos a 2 2 解 lim lim x a x a xa xa xa sin xa xa 2 lim sin sin a lim sin xa xa xa 2 2 2 1 cos x （5） 求 lim x 0 x (1 cos x ) 1 cos x 1 1 cos x lim 解 lim 2 x 0 x 0 x (1 cos x ) ( x ) 1 cos x x 2 2 x 2 1 1 1 lim lim . 2 x 0 ( x ) 1 cos x x0 1 cos x 2 x 2
2 x 2
x 2
x 2
e cos x 例11 求 lim x 0 arcsin( 1 x ) x2 02 e cos x e cos 0 2 lim 解 x 0 arcsin( 1 x) arcsin( 1 0)
x 2
x2
x 2
课本94页---习题28 ( 1 2 x 1) arcsin x （2） 求 lim x 0 tan x 2 2x x ( 1 2 x 1) arcsin x 2 解 lim lim 1 2 2 x 0 x 0 tan x x tan x sin x （3） 求 lim x 0 2 x 2 (e x 1) tan x sin x tan x sin x lim 解 lim x 0 2 x 2 (e x 1) x0 2 x 2 x 3 1 1 tan x(1 cos x) tan x sin x lim lim lim x 0 2 3 x 0 2 x3 2 x x x 0 1 x x2 2 1 lim . 3 2 x 4
a x b
a x b
注意: 若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断点， 结论不一定成立 . o a 1 2 例如, 无最大值和最小值. y 又如,
2
b
x
也无最大值和最小值 推论. 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 二、介值定理 定理2.14 ( 零点定理 ) 设函数满足 f (a) f (b) 0, 则至少存在一点 y 使 ( 证明略 ) y f ( x) 定理2.16. ( 介值定理 ) 设函数 f (x) a b x 在[ a , b ] 上连续, 且 f (a) A , f (b) B , o A B , 则对A与B 之间的任一数 C ，至少 （定理2 图） y 存在一点 使 y f ( x) 证: 作辅助函数 ( x) f ( x) C , B C 则 ( x)在[ a , b ]上连续 , 且 A ( A C )( B C )