初一升初二数学测试题715说课讲解
7.初一升初二数学班第七次课
3.课本P41练习1、2．
第1题。
证明：
第2题。
解：
四．概括总结:判别两三角形全等的常用方法有几种？各是什么？
“SSS”公理__________________________________________________
②“SAS”定理_________________________________________________
∴∠AFB=∠DEC=°（垂直的定义）
在Rt△和Rt△中
∴≌（）
∴∠=∠（）
∴（内错角相等，两直线平行）
三、练习
1、判断题：
（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。（）
（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等（）
（3）一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（）
教学内容
一、想一想，填一填：
1、判定两个三角形全等常用的方法：、、、
2、如上图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是
3、如下图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，
（1）若∠A=∠D，AB=DE，
则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）
根据（用简写法）
（2）若∠A=∠D，BC=EF，
则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）
2、学生本次上课情况评价：○优秀○良好○一般○差
教师签名：
家长签名：___________
根据（用简写法）
（3）若AB=DE，BC=EF，
则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）
根据（用简写法）
（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF
七年级升八年级数学暑期衔接班讲义第七讲等三角形的判定一SAS试题
ADBC EF卜人入州八九几市潮王学校第七讲：全等三角形的断定〔一〕SAS【知识要点】1．求证三角形全等的方法〔断定定理〕：①SAS ；②ASA ；③AAS ；④SSS ；⑤HL ； 需要三个边角关系；其中至少有一个是边；2．“SAS 〞定理：有两边及夹角对应相等的两个三角形全等； ①求证全等的格式：〔“全等五行〞〕 如： ②利用全等进展几何证明的三大环节：预备证明、“全等五行〞、全等应用； ③“边边角〞不能证明两个三角形全等；2．三角形全等的的应用：①证明线段相等；②证明角相等；3．注意不需要预备证明而直接利用的隐藏条件：公一共边、公一共角、对顶角. 【新知讲授】 “SAS 〞公理的运用例1、：如图，C 为AB 的中点，CD ∥BE ，CD=BE ，求证：∠D=∠E. 稳固练习1.如图，点E 、A 、C 在同一条直线上，AB ∥CD ，AB=CE ，AC=CD ，求证：BC=DE.2.：如图，AB=AC ，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，求证：∠B=∠C. 例2.：如图，AB=CD ，∠ABC=∠DCB ，求证：∠ABD=∠ACD. 稳固练习：1.：如图，AB ∥CD ，AB=CD ，AE=DF ，求证：CE ∥BF. 2．：如图，AB=AD ，AC=AE ，∠1=∠2，求证：∠DEB=∠2.A BCDEF在△ABC 和△DEF 中：AB DEA D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ∽△DEF.〔SAS 〕A BED C ADBC EFADB C例3.如图，BD 、CE 为△ABC 的两条中线，延长BD 到G ，使BD=DG ，延长CE 到F ，使CE=EF.〔1〕求证：AF=AG ；〔2〕试问：F 、A 、G 三点是否在同一直线线？证明你的结论. 稳固练习：1.：如图，AB ⊥BD 于点B ，CD ⊥BD 于点D ，AB=CD ，BE=DF ，求证：∠EAF=∠ECF.2.：如图，AB=AC ，AD 平分∠BAC ，求证：∠DBE=∠DCE.例4.：如图，OA=OB ，OC=OD ，求证：∠ACD=∠BDC.〔提示：不能用等腰三角形的性质〕 稳固练习：1.：如图，OD=OE ，OA=OB ，OC 平分∠AOB ，求证：∠A=∠B.2.：如图，AB=CD ，BE=CF ，∠B=∠C ，求证：∠EAF=∠EDF. 【课后作业】1．如图，点A 、F 、C 、D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB=DE ，∠A =∠D，AF=DC ，求证：BC∥EF．2．：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB=DE ，BE=CD ，试判断△ACE 的形状并说明理由. 3.如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，EAAD ，FDAD ，AE=DF ，AB=DC ，求证：ACE=DBF.4．：如图，OD=OE ，OC 平分∠AOB ，求证：∠A=∠B.5．如图，四边形ABCD 中，AD=BC ，AD ∥BC ，求证：AB=CD ，AB ∥CD.6．如图，，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE. 〔1〕求证：BD=CE ；〔2〕假设∠BAC=∠DAE=α，延长BD 交CE 于点P ，那么∠BPC 的度数为.〔用含α的式子表示〕7．如图，C 是线段AB 的中点，CD 平分∠ACE ，CE 平分∠BCD ，CD=CE ．(1)求证：△ACD≌△BCE；ABCDEF(2)假设∠D=50°，求∠B的度数．8．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F、E分别是AD及其延长线上的点，请你添加一个条件，使△BDE ≌△CDF(不再添加其它线段)，并能用“SAS〞公理进展证明．〔1〕你添加的条件是：；〔2〕证明：。
初一升初二数学练习题讲解
初一升初二数学练习题讲解在初中数学学习的过程中，练习题是巩固知识、提高能力的有效方式之一。
接下来，我将为大家讲解一些初一升初二数学练习题，希望能够帮助大家更好地掌握相关知识。
一、整式的加减法首先，我们来讲解一下整式的加减法。
整式是由字母代表的数与常数的乘积之和。
例如：3x+2y+5是一个整式。
在进行加减法运算时，我们要注意将同类项合并，即将具有相同字母的项合并在一起。
例如，计算下列整式的和：4x+3y-5z 和 -2x-4y+2z解：按照整式的加减法原则，我们将具有相同字母的项合并，有：(4x+(-2x)) + (3y+(-4y)) + ((-5z)+2z)即 2x - y - 3z所以，4x+3y-5z 和 -2x-4y+2z 的和是 2x - y - 3z。
二、一元一次方程的解其次，我们来讨论一元一次方程的解。
一元一次方程是指方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1。
解一元一次方程可以通过移项、合并同类项和消元的方法来实现。
例如，解方程3x+5=14解：首先，我们将方程中的常数项移到等号右边，得到3x=14-5，即 3x=9。
接着，我们可以将等号两边的式子化简，得到x=3。
所以，方程3x+5=14 的解是 x=3。
三、几何问题还有一个常见的数学练习题类型是几何问题。
在初中阶段，我们会接触到关于平面图形的面积、周长、角度等问题。
下面，我将通过一个具体的实例来讲解。
问题：如图所示，ABCD是一个正方形，边长为2cm。
若P为AD边上一点，且由P作BC边的垂线交延长线于E，求BE的长度。
解：根据正方形性质可知，AC为对角线，对角线相交点为E的角为直角。
由于对角线相等，得到AC=2√2 cm。
根据勾股定理可得，BE^2 + EC^2 = BC^2。
因为正方形的边长为2cm，所以BC=2 cm。
代入上式，得到 BE^2 + EC^2 = 2^2 。
由于EC=AC=2√2 cm，所以代入上式，得到BE^2 + (2√2)^2 = 2^2。
初一升初二数学衔接
初一升初二数学衔接·第8讲——二元一次方程组的解法（七年级第八章）【知识要点】（一）二元一次方程(组)的定义1．二元一次方程：含有两个未知数，并且含有两个未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．注意：二元一次方程定义中，关键在于方程中必须含有两个未知数，并且方程中含未知数的项的次数是1次．2．二元一次方程的一个解:适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解．3．二元一次方程组: 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．注意体会二元一次方程组的两个特征：（1）方程组中共含有两个未知数，而每个方程所含未知数的个数可能是2个，也可能是1个；（2）方程组中至少含有两个方程. 每个方程中所含未知数的项的次数是1次． 对所给出的二元一次方程，要能熟练的整理成一般形式：⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a4．二元一次方程组的解 :二元一次方程组中各个方程的的公共解，叫做这个二元一次方程组的解.即:满足方程组中每个方程的一对未知数的值称为该二元一次方程组的解．（二）二元一次方程组的解法 1．代入法：用代入法解二元一次方程组的一般步骤：（1）在方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程变形成用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数的关系式．（2）将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值．（4）将这个求得的未知数的值，再代入关系式求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用符号“{”联立起来． （5）注意检验．2．加减法：用加减法解二元一次方程组的步骤．（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等． （2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值．（4）将这个求得的两个未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“{”联立起来． (5)注意检验．注意：解二元一次方程组的方法很多，但常用的方法是代入法和加减法．这两种方法各有长处，解题时应注意审题，选择一种恰当的方法解题．二元一次方程、二元一次方程组及其解法是在一元一次方程及其解法基础上学习的，要注意新旧知识的联系和转化：【典型例题】例1 判断下列方程中，哪些是二元一次方程？哪些不是？为什么？（1）123-=-y x ； （2）13121=+y x ； （3）7532=-x ； （4）01=+xy ； （5）x 1+2y=4；（6）0=+y x ．自我解答：分析：根据二元一次方程的定义来判断． 解：（1）、（2）、（6）都是二元一次方程；（3）不是二元一次方程．因为它只含有一个未知数x ．（4）不是二元一次方程．因为方程中含未知数的项xy 的次数是2次．（5）不是二元一次方程．因为二元一次方程是整式方程，x1不是整式． 点评：二元一次方程是整式方程，方程中分母不能含有未知数．例2 判断下列说法是否正确： （1）二元一次方程734=-y x 的解是⎩⎨⎧-==11y x ； （2）⎩⎨⎧=-=01y x 是二元一次方程44-=-y x 的一个解； （3）方程组⎩⎨⎧+==-3203x y y x 是二元一次方程组；（4）方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02113y x yx 是二元一次方程组； （5）方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-==+0333231y x yx y x 是二元一次方程组； （6）方程组⎩⎨⎧=+=+154432z y y x 是二元一次方程组.自我解答：解：（1）不正确．⎩⎨⎧-==11y x 只是方程734=-y x 的一个解，该方程还有无数个其它的解．（2）正确．把x ＝－1，y ＝0代入方程44-=-y x 左右两边，其值相等． （3）正确．（4）不正确． 因为方程3x+y1=1不是二元一次方程．（5）正确．方程组中尽管有三个方程，但只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1次．（6）不正确．因为方程组中含有三个未知数x ，y ，z ．点评：（1）区别“……是方程的（一个）解”与“方程的解是……”两种说法的含义．第一种说法只需判断所给数是否满足方程，第二种说法需判断方程的解集．在不限定条件下，二元一次方程的解有无限多个．（2）二元一次方程组中方程的个数可以是2个，也可以是3个，4个等．例3 已知方程132212=+-+n m y x 是一个二元一次方程，求m 和n 的值． 分析：二元一次方程必须同时满足下列条件：（1）是整式方程；（2）方程中含有两个未知数；（3）方程中含未知数的项的次数是1次． 自我解答：解：根据二元一次方程的意义可得： m ＋2＝1，1－2n ＝1 ∴m ＝－1，n ＝0点评：根据概念解题，必须掌握概念的全部含义．例4 已知方程632=-y x ．（1）用含x 的代数式表示y ；（2）当x 取何值时，y 的值为2？分析：用含x 的代数式表示y ，只需把x 看成已知数，把y 看成未知数，按一元一次方程的解法去解． 自我解答：解：（1）移项，得 632=-y x ，即623-=x y系数化为1，得 362-=x y （2）把y ＝2代入方程，得 2x －6＝6，2x ＝12∴x ＝6即当x ＝6时，y 的值为2． 例5 试求方程1323=+y x 的正整数解．分析：用含x 的代数式表示y ，注意条件“正整数解”，进一步讨论即可． 自我解答：解：由1323=+y x 可得2313x y -=． 根据题意，当x ＝1时，y ＝5；当x ＝3时，y ＝2．∴方程1323=+y x 的整数解是⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==2351y x y x ；．例6 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+ ② 02141① 13y x y x 分析：根据方程的特点，本题采用代入法较好． 自我解答：解法一：由①得 x ＝1－3y ③ 把③代入②得021)31(41=+-y y ，4141-=-y1=y 即把y =1代入③得 x ＝1－3×1＝－2． ∴ ⎩⎨⎧=-=12y x解法二：由②得x ＋2y ＝0，即x ＝－2y ③ 把③代入①得 －2y ＋3y ＝1，y ＝1把y ＝1代入③得 x ＝－2×1＝－2∴ ⎩⎨⎧=-=12y x点评：所选方程不同，变形的方式不同，代入后得到的方程也不同．但对有解方程而言，所得的结果应是相同的．例7 解方程组：⎩⎨⎧==+②42-3① 1223y x y x分析：观察方程①、②，发现y 的系数互为相反数，两方程相加，可消去y ，求得x 的值；方程中x 的系数相等，两方程相减，消去x ，可求得y 的值． 求出一个未知数的值后，代入原方程组任一方程可求得另一个未知数的值． 自我解答：解法一：①＋②，得6x ＝16，x ＝38把x ＝38代入①，得3×38＋2y ＝12y ＝2∴ ⎪⎩⎪⎨⎧==238y x解法二： ①－②，得2y ＋2y ＝12－4 4y ＝8 y ＝2把y ＝2代入①， 得3x ＋2×2＝12x ＝38∴ ⎪⎩⎪⎨⎧==238y x点评：两个方程相减时，第二个方程中各项符号要变号．例８ 解方程 ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=+② 2557①5531x y yx x 分析：先整理成一般形式：⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a ，再确定消去哪个未知数．自我解答：解：原方程组整理得： ⎩⎨⎧-=-=-④2575 ③ 5310y x y x③－④×2，得 －3y ＋14y ＝5＋50 11y ＝55 y ＝5把y ＝5代入③，得 10x －15＝5 x ＝2∴ ⎩⎨⎧==52y x点评：遇到形式比较复杂的方程组，首先化简成一般形式. 再决定采用什么方法去解题．例9 解方程组 ⎩⎨⎧-=+--=+--② 1)(5)(2① 21)(7)(6y x y x y x y x分析：根据此方程的特点，把（x －y ），（x ＋y ）分别看成整体，解出它们的值，再组成新的方程组求x 、y 的值． 自我解答：解：①－②×3， 得 8（x ＋y ）＝24x ＋y ＝3 ③ 把③代入②，得 6（x －y ）－21＝21 x －y ＝7 ④由③、④得 ⎩⎨⎧=-=+② 7① 3y x y x 解得 ⎩⎨⎧-==25y x ．点评：此题充分利用了方程的特点，采用整体代换的方法．解题中充分利用这一方法，可给解题带来方便．例10 解方程组0.1x －2＝y ＋7＝0.7x ＋y分析：此题是方程组的一种特殊形式，将它改写在一般形式，再去求解． 自我解答：解：由原方程组可得：⎩⎨⎧+=-+=-y x x y x 7.021.0721.0整理，得⎩⎨⎧=--=-②26.0 ① 91.0y x y x①－②，得 0.7x ＝7， x ＝10． 把x ＝10代入①，得0.1×10－y ＝9，y ＝－8．∴ 原方程组的解是 ⎩⎨⎧-==810y x ．点评：此形式的方程组可改写成三个一般形式的方程组，任选其中一个，便可求得原方程组的解．例11 解方程组⎩⎨⎧=+=②102① 3:2:y x y x分析：根据比例的性质，由①得2y ＝3x ，代入②可求得x 值，进而求得y 的值．另一种方法是根据方程①，引入比例系数k ．解法如下： 自我解答：解：由方程①，设x ＝2k ③y ＝3k ④ 把③、④代入方程②得 2k ＋3k ＝16， ∴k ＝2把k ＝2代入③、④得 x ＝2， y ＝6．∴ ⎩⎨⎧==64y x ．点评：有比例的方程组，通过“设k ”的办法，可以简化解题过程． 例12 已知代数式q px x ++2，当x ＝－1时，它的值是－5；当x ＝－2时，它的值是4，求p 、q 的值．分析：根据代数式值的意义，可得两个未知数都是p 、q 的方程． 自我解答：解：当x ＝－1时，代数式的值是－5，得5)1()1(2-=+-+-q p①当x ＝－2时，代数式的值是4，得4)2()2(2=+-+-q p②将①、②两个方程整理，并组成方程组⎩⎨⎧=+--=+-④ 02③ 6q p q p 解方程组，便可解决． 结果：由④得q ＝2p 把q ＝2p 代入③，得 －p ＋2p ＝－6 解得p ＝－6把p ＝－6代入q ＝2p ＝－12所以p 、q 的值分别为－6、－12．例13 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+ ③ ②①325232 0z y x z y x z y x 分析：通过消元的方法,将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程．自我解答：解：③－①，得y ＝3把y ＝3代入①和②，得⎩⎨⎧=+-=-⑤ 7④3z x z x ④＋⑤，得2x ＝4， x ＝2把x ＝2代入⑤，得z ＝5∴⎪⎩⎪⎨⎧===532 z y x 点评：本题常规解法是先转化为二元一次方程组,但本题运用技巧可直接得到一元一次方程． 例14 解方程组26553423=-+=+=+zy x z y z x ． 分析：首先把方程组转化为一般形式．自我解答：解：原方程组可写成⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=++ ＝265 25z3y 2 423zy x z x 整理得，⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+=+③②①125 103 823z y x z y z x ③×3－②，得15x －4z=26 ④ ①×2＋④，得21x ＝42， x ＝2把x ＝2代入①，得6＋2z ＝8， z ＝1把z ＝1代入②，得3y ＋1＝10， y ＝3∴⎪⎩⎪⎨⎧===1z 3y 2x 点评：题的关键是把方程组化为一般形式． 例15 已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=+53ny mx y x 与⎩⎨⎧=-=-512y x my nx 的解相同，求m 、n 的值．分析：不易直接解出方程组的解，但根据同解的定义把x ＋y ＝3和x －y ＝5组合成方程组即可． 自我解答：解：依题意得，⎩⎨⎧=-=+53y x y x解得⎩⎨⎧-==14y x 把x ＝4，y ＝－1代入⎩⎨⎧=-=-125my nx ny mx解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==731419n m点评：本题的解题关键是抓住了方程组的解相同的意义求解． 【中考链接】1．（南京市中考题）解方程组 ② 823① 02⎩⎨⎧=+=-y x y x解答：①＋②，得4x ＝8， ∴x ＝2，把x ＝2代入①，得2－2y ＝0， ∴y ＝1，∴原方程组的解是⎩⎨⎧==12x x ． 2．（江苏省南通市中考题）某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元．捐款情况如表：表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．若设捐款2元的有x 名同学，捐款3元的有y 名同学，根据题意，可得方程组（ ） （A ）⎩⎨⎧=+=+663227y x y x（B ）⎩⎨⎧=+=+1003227y x y x（C ）⎩⎨⎧=+=+662327y x y x（D ）⎩⎨⎧=+=+1002327y x y x答案：A3．（江苏省常州市中考题）解方程组：⎩⎨⎧=+=+② 82① 5y x y x解答：②－①，得x ＝3，把x ＝3代入①，得 3＋y ＝5 ∴y ＝2，∴方程组的解为⎩⎨⎧==23y x ． 4．（北京市海淀区中考题）解方程组⎩⎨⎧=+-=-16214y x y x解答：由①得，x ＝4y －１ ③把③代入②，得２（4y －１）＋y ＝16 ∴y ＝2，把y ＝2代入③，得x ＝7， 所以原方程组的解为⎩⎨⎧==27y x ． 5．（江苏省苏州市中考题）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-10231312y x y x 解答：把①去分母，化简得：3x －2y ＝8 ③ ②＋③，得：6x ＝18，∴x ＝3，把x ＝3代入②，得：9＋2y ＝10 ∴y ＝21所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧==213y x ．6．（江西省中考题）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+11)1(2231y x yx 解答：由①得：x ＋1＝6y ③把③代入②，得 12y －y ＝11 ∴y ＝1把y ＝1代入③，得x ＋1＝6 ∴x ＝5所以原方程组的解是⎩⎨⎧==15y x ．仔细复习本讲例题及中考连接。
初一升初二数学试题
初一升初二数学试题(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--初一升初二数学试卷姓名_______ 成绩_______一．选择题1．为了解某地区初一年级7000名学生的体重情况，现从中抽测了500名学生的体重，就这个问题来说，下面的说法中正确的是( )名学生是总体 B.每个学生是个体名学生是所抽取的一个样本 D.样本容量是5002.小明要从长度分别为5、6、11、16的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形,那么他选的三根木棒的长度分别是 ( ) 、6、11 B. 6、11、16 、11、16 D. 5、6、163.∠l 与∠2是内错角，∠l ＝40°，则 ( )A 、∠2＝40°B 、∠2＝140°C 、∠2＝40°或∠2＝140°D 、∠2的大小不确定4.下列各式中计算正确的是( )A ．222()2m n m mn n --=++B ．22242)2(b ab a b a ++=+C ．12)1(422++=+a a aD ．222)(b a b a -=-5． 一个数等于它的倒数的9倍，则这个数是（ ）．（A ）3 （B ）13 （C ）±3 （D ）±136. 一个数的平方根与立方根相等，则这个数是（）（A ）1 （B ）±1 （C ）0（D ）－17．与数轴上的点一一对应的数是（）（A ）整数 （B ）有理数 （C ）无理数 （D ）实数 8．周长为24，斜边长为10的直角三角形面积为（ ）（A ）12（B ）16 （C ）20 （D ）249、下列计算中，不正确的是（ ）．A 、1243a a a =⋅B 、(－2x 2y)3＝－6x 6y 3C 、3ab 2•(－2a)＝－6a 2b 2D 、(－5xy)2÷5x 2y ＝5y10、某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工上市销售．该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或粗加工16吨．现计划用15天完成加工任务，该公司应按排几天精加工，几天粗加工？设安排x 天精加工，y 天粗加工．为解决这个问题，所列方程组正确的是（ ）A ．14016615x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．14061615x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．15166140x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．15616140x y x y +=⎧⎨+=⎩二．填空11．若()()7,1322=-=+b a b a ，则=+22b a __________，=ab ___________。
七升八暑期衔接班数学讲义(word版)
七升八暑期衔接班数学培优讲义目录1. 第一讲：与三角形有关的线段；2. 第二讲：与三角形有关的角；3. 第三讲：与三角形有关的角度求和；4. 第四讲：专题一：三角形题型训练(一)；5. 第五讲：专题二：三角形题型训练(二)；6. 第六讲：全等三角形；7. 第七讲：全等三角形的判定（一）SAS；8. 第八讲：全等三角形的判定（二）SSS，ASA，AAS；9. 第九讲：全等三角形的判定（三）HL；10.第十讲：专题三：全等三角形题型训练；11. 第十一讲：专题四：全等三角形知识点扩充训练；12. 第十二讲：角平分线的性质定理及逆定理；13. 第十三讲：轴对称；14. 第十四讲：等腰三角形；15. 第十五讲：等腰直角三角形；16. 第十六讲：等边三角形（一）；17. 第十七讲：等边三角形（二）;18. 第十八讲：专题五：全等、等腰三角形综合运用（一）19. 第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（二）20. 第二十讲：专题七：综合题题型专题训练；第一讲与三角形有关的线段【知识要点】一、三角形1. 概念：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾相连. A2. 几何表示：①顶点；②内角、外角；③边；④三角形.3. 三种重要线段及画法：①中线；②角平分线；③高线.B C二、三角形按边分类：（注意：等边三角形是特殊的等腰三角形）不等边三角形三角形等腰三角形腰底不相等的等腰三角形腰底相等的等腰三角形等边三角形三、三角形的三边关系( 教具)引例：已知平面上有A、B、C 三点. 根据下列线段的长度判断A、B、C 存在的位置情况：(1)若AB=9，AC=4，BC=5，则A、B、C 存在的位置情况是：(2)若AB=3，AC=10，BC=7，则A、B、C 存在的位置情况是：(3)若AB=5，AC=4，BC=8，则A、B、C 存在的位置情况是：(4)若AB=3，AC=9，BC=10，则A、B、C 存在的位置情况是：(5)若AB=4，AC=6，BC=12，则A、B、C 存在的位置情况是：总结：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.三角形的三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边.【应用】利用定理判断三条线段能否构成三角形或确定三角形第三边的长度或范围.1．已知BC=a，AC=b，AB=c.（1）A、B、C 三点在同一条直线上，则a，b，c 满足：；（2）若构成△ABC，则a，b，c 满足：；2．已知BC=a，AC=b，AB=c，且a＜b＜c.（1）A、B、C 三点在同一条直线上，则a，b，c 满足：；（2）若构成△ABC，则a，b，c 满足：；【新知讲授】例一、如图，在△ABC中.①AD为△ABC的中线，则线段= = 1；A 2②AE为△ABC的角平分线，则= = 1；2③AF为△ABC的高线，则= =90 °；④以AD为边的三角形有；B F E D C⑤∠AEC是的一个内角；是的一个外角.例二、已知，如图，BD⊥AC，AE⊥CG，AF⊥AC，AG⊥AB，则△ABC的BC边上的高线是线段( ).(A)BD (B) AE (C) AF (D) AG例三、（1）以下列各组长度的线段为边，能．构成三角形的是( ).(A)7cm ，5cm，12cm (B)6cm ，8cm，15cm(C)4cm ，6cm，5cm (D)8cm ，4cm，3cm GFEBA D C（2）满足下列条件的三条线段不能．．组成三角形的是. （a、b、c 均为正数）①a=5，b=9，c=7；②a∶b∶c=2 ∶3∶5；③1，a，b，其中1+a＞b；④a，b，c，其中a+b＞c；⑤a+2，a+6，5；⑥a＜b＜c，其中a+b＞c.例四、已知三角形的三边长分别为2，5，x，则x 的取值范围是.发散：①已知三角形的三边长分别为2，5，2x-1 ，则x 的取值范围是.②已知三角形的三边长分别为2，5，2 4 x，则x 的取值范围是.3③已知三角形三边长分别为2，x，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为( ).(A)2 (B)3 (C)5 (D)13④已知三角形的两边长分别为2，5，则三角形周长l 的取值范围是.⑤已知一个三角形中两边长分别为a、b，且a＞b，那么这个三角形的周长l 的取值范围是.(A)3b ＜l ＜3a (B)2a ＜l ＜2a+2b (C)a+2b ＜l ＜2a+b (D)a+2b ＜l ＜3a-b例五、已知三角形的三边长分别为5，11-x ，3x-1.（1）则x 的取值范围是；（2）则它的周长l 的取值范围是；（3）若它是一个等腰三角形，则x 的值是.发散：①已知三角形的三边长分别为2，5-x ，x-1 ，则x 的取值范围是.②已知三角形两边的长分别为 3 和7，则第三边 a 的取值范围是；若它的周长是偶数，则满足条件的三角形共有个；若它是一个等腰三角形，则它的周长为.③已知等腰三角形腰长为2，则三角形底边 a 的取值范围是；周长l 的取值范围是.④已知三角形三边的长a、b、c 是三个连续正整数，则它的周长l 的取值范围是. 若它的周长小于19，则满足条件的三角形共有个.⑤若 a 、b、c 是△ABC的三边长，化简| a b c | +| a b c | 的结果为( ).(A) 2b (B)0 (C) 2a (D) 2a 2c⑥已知在△ABC中，AB=7，BC∶AC=4∶3，则△ABC的周长l 的取值范围为.【题型训练】1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ).(A)2cm ，3cm，5cm (B)5cm ，6cm，10cm (C)1cm ，1cm，3cm (D)3cm ，4cm，9cm2．各组线段的比分别为①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶4∶5；⑤3∶3∶6. 其中能组成三角形的有( ).(A)1 组(B)2 组(C)3 组(D)4 组3. 三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）(A) 中线(B) 角平分线(C) 高线(D) 角平分线或中线4. 已知三角形的三边长分别为6，7，x，则x 的取值范围是( ).(A)2 ＜x＜12 (B)1 ＜x＜13 (C)6 ＜x＜7 (D)1 ＜x＜75．已知三角形的两边长分别为 3 和5，则周长l 的取值范围是( ).（A）6＜l ＜15 （B）6＜l ＜16 （C）11＜l ＜13 （D）10＜l ＜166．已知等腰三角形的两边长分别为 5 和11，则周长是( ).（A）21 （B）27 （C）32 （D）21 或277．等腰三角形的底边长为8，则腰长 a 的范围为.8. 等腰三角形的腰长为8，则底边长 a 的范围为.9. 等腰三角形的周长为8，则腰长 a 的范围为；底边长 b 的范围为.10. 三角形的两边长分别为6，8，则周长l 的范围为.11. 三角形的两边长分别为6，8，则最长边 a 的范围为.12. 等腰三角形的周长为14，一边长为3，则另两边长分别为.13. 若a、b、c 分别为△ABC的三边长，则｜a+b-c ｜- ｜b-c-a ｜+｜c-b-a ｜= .14. 已知在ΔABC中，AB=AC，它的周长为16 厘米，AC边上的中线BD把ABC分成周长之差为 4 厘米的两个三角形，求ABC各边的长. ADB C15. 等腰三角形一腰的中线（如图，等腰△ABC中，AB=AC，BD为△ABC的中线）把它的周长分为15 厘米和 6 厘米两部分，求该三角形各边长. ADB C综合探究、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系1.如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；2.如图，在△ABC中，∠A B C、∠ACB的外角∠ACD的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；3.如图，在△ABC中，∠ABC的外角∠CBD、∠ACB的外角∠BCE的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.A A AII B CB C B C D D EI例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系发散探索一：如图，∠A B D、∠ACD的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A、∠D 之间的数量关系.A A I ADIID B CB C B C D发散探索二：如图，∠ABD的平分线与∠ACD的邻补角∠ACE的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A、∠D 之间的数量关系.AIBB DCEIAA IDEC B CE D发散探索三：如图，∠ABD的邻补角∠DBE平分线与∠ACD的邻补角∠DCF的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A、∠D之间的数量关系.A A AD【知识要点】第二讲与三角形有关的角一、三角形按角分类: ①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；A二、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°（∠ A+∠B+∠1=180°）；三、三角形的内角和定理的推论：1 2①直角三角形两锐角互余；B C②三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和（∠2=∠A+∠B）；③三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角；四、n 边形的内角和定理：（n-2 ）×180°；五、n 边形的外角和为360°.【新知讲授】例一、①正方形的每个内角的度数为；正五边形的每个内角的度数为；正六边形的每个内角的度数为；正八边形的每个内角的度数为；正十边形的每个内角的度数为；正十二边形的每个内角的度数为.②若一个正多边形的内角和等于等于外角和的 5 倍，则它的边数是.③若一个正多边形的每一个内角都等于144°，则它的边数是.④若一个正多边形的每一个内角都等于相邻外角的 2 倍°，则它的边数是.例二、如图，△ABC中，∠A=50°，两条高线B D、CE所在直线交于点H，求∠BHC的度数.A AEECH D BDHB C例三、如图，△ABC中，∠A=50°，两条角平分线B D、CE交于点I ，求∠BIC 的度数.AEIB C例四、如图，四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，求证：AB∥CD，AD∥BC.A D例五、如图，AB∥C D，AD∥BC，AE⊥BC，AF⊥CD，求证：∠BBAD+∠EAF=180°.CA DFD例六、如图，六边形ABCDEF中，AF∥CD，∠A=∠D，∠B=∠E，求证：BC∥EF.A FEBC D例七、如图，在凸六边形ABCDEF中，∠A+∠B+∠F=∠C+∠D+∠E，求证：BC∥EF.DECFA B【题型训练】1.如图，△ABC中，BD、CE为两条角平分线，若∠BDC=90°，∠BEC=105°，求∠ A.AEDB C2.如图，△ABC中，BD、CE为两条角平分线，若∠BDC=∠AEC，求∠A 的度数.AEDB C3.如图，在△ABC中，BD为内角平分线，CE为外角平分线，若∠BDC=125°，∠E=40°，求∠BAC的度数.EADB C M4.如图，在△ABC中，BD为内角平分线，CE为外角平分线，若∠BDC与∠E 互补，求∠BAC的度数.EADB C M第二讲作业1.如果一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是( ).(A) 等腰三角形(B) 直角三角形(C) 锐角三角形(D) 钝角三角形2.如图所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是( ).(A) ∠A＞∠1＞∠2 (B) ∠2＞∠1＞∠A(C) ∠A＞∠2＞∠1 (D) ∠2＞∠A＞∠13.下面四个图形中，能判断∠1＞∠2 的是( ).(A) (B) (C) (D)4．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( ).A．75°B．90°C．105°D．120°5. 在活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠=( ).(A) 30°(B) 45°(C) 60°(D) 75°6. 如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2 的度数为( ).(A)120 °(B)180 °(C)240 °(D)300 °7．如图，在△ABC中，∠C＝70o，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2=( ).(A)360 o (B)250 o (C)180 o (D)140 o8.如图，折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D、E 分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠，A 与A′重合，若∠ A=75°，则∠1+∠2= ( ).(A) 150°(B) 210°(C) 105°(D) 75°9.如图，在△ABC 中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD 的度数为（）(A)40 °(B)45 °(C)50 °(D)55 °10.已知ΔABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=3∠A，则此三角形( ).(A) 一定有一个内角为45 (B) 一定有一个内角为60(C) 一定是直角三角形(D) 一定是钝角三角形11.将一副三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为( ). OB(A) 75°(B) 95°(C) 105°(D) 120°12.若一个正多边形的每一个内角都等于160°，则它是( ). A(A) 正十六形(B) 正十七形(C) 正十八边形(D) 正十九边形13.一个多边形的内角和比它的外角和的 2 倍还大180°，这个多边形的边数为( ).(A)7 (B)8 (C)9 (D)1014.已知：在△ABC 中，∠B是∠A的 2 倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于( ).(A)40 °(B)60 °(C)80 °(D)90 °15.如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是.16.如图，在△ABC中，D、E 分别是边AB、AC上的两点，BE、CD相交于点F，∠A=62°，∠ACD=40°，∠ABE=20°，求∠BFC的度数.AD E17.如图，已知直线DE分别交△ABC 的边AB、AC于D、E 两点，交边BC的延长线于点F，若∠B=67°，∠ACB=74°，∠AED=48°，求∠BDF的度数．第三讲：与三角形有关的角度求和【知识要点】1. 与三角形有关的四个基本图及其演变；2. 星形图形的角度求和.【新知讲授】例一、如图，直接写出∠ D 与∠A、∠B、∠C 之间的数量关系.A A ADDB CB C B C D箭形：；蝶形：；四边形：.请给出“箭形”基本图结论的证明（你能想出几种不同的方法）：例二、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系A1.如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；IB C2.如图，在△ABC中，∠A B C、∠ACB的外角∠ACD的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A的关系；AIB C DE3. 如图，在△ ABC 中，∠ ABC 的外角∠ C B D 、∠ ACB 的外角∠ BCE 的平分线交于点 I ，探求∠ I 与∠ A 的关系 .ABC例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间D的关系E发散探索一： 如图，∠ A B D 、∠ ACD 的平分线交于点 I ，探索∠ I 与∠ A 、∠ D 之间的数量关系 .IAAIADIIDBCBCBCD发散探索二： 如图，∠ ABD 的平分线与∠ ACD 的邻补角∠ ACE 的平分线所在的直线交于点 I ，探索∠ I 与∠ A 、∠ D 之间的数量关系.A IBBDCEIAA IDECBCED发散探索三： 如图，∠ ABD 的邻补角∠ DBE 平分线与∠ ACD 的邻补角∠ DCF 的平分线交于点 I ，探索∠ I 与∠ A 、∠ D 之间的数量 关系 .AAADDBC B C B DC FEFEIIFI例四、如图，在△ ABC 中， BP 、BQ 三等分∠ ABC ， CP 、CQ 三等分∠ ACB.（ 1）若∠ A=60°，直接写出：∠ BPC 的度数为，∠ BQC 的度数为；（ 2）连接 PQ 并延长交 BC 于点 D ，若∠ BQD=63°，∠ CQD=80°，求△ ABC 三个内角的度数 .A例五、如图，B D、CE交于点M，OB平分∠ ABD，OC平分∠ ACE，OD平分∠ ADB，OE平分∠ AEC，求证：∠BOE=∠COD；AE ODM【题型训练】BC1.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数和. AD CB EA2.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.EFBC 3．如图，已知∠1=60°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.发散探索：①如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；②如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；③如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .④如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .⑤如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；⑥如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；⑦如图，BC⊥EF，求∠ A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数.D第三讲作业1.如图，B 岛在 A 岛的南偏西30°，A 岛在C岛的北偏西35°，B 岛在 C 岛的北偏西78°，则从B岛看A、C两岛的视角∠ABC的度数为( ).(A)65 °(B)72 °(C)75 °(D)78 °2.如图，D、E 分别是AB、AC 上一点，BE、CD 相交于点F，∠ACD=30°，∠ABE=20°，∠BDC+∠BEC=170°则∠ A 等于( ).(A)50 °(B)85 °(C)70 °(D)60 °3.一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是( ).(A)75 °(B)60 °(C)65 °(D)55 °ADEFB C4.如图，在△ABC中，∠BAC=36°，∠C=72°，BD平分∠ABC交AC于点D，AF∥BC，交BD的延长线于点F，AE 平分∠CAF交DF 于E 点. 我们定义：在一个三角形中，有一个角是36°，其余两个角均为72°的三角形和有一个角是108°，其余两个角均为36°的三角形均被称作“黄金三角形”，则这个图中黄金三角形共有( ).(A)8 个(B)7 个(C)6 个(D)5 个5．如图，∠A=35°，∠B=∠C=90°，则∠D的度数是( ).(A)35 °(B)45 °(C)55 °(D)65 °6.如图，已知∠A+∠BCD=140°，BO平分∠ABC，DO平分∠ADC，则∠BOD=( ).(A)40 °(B)60 °(C)70 °(D)80 °7.如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到了一个四边形，则∠1+∠2= ．8.如图，在△ABC中，∠A=80°，点D为边BC延长线上的一点，∠ACD=150°，则∠B= .9.将一副直角三角板如上图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠ 1 的度数为.10.一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点 D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M ．若∠ADF=100，°则∠BMD为．1.如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= .12.如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD 的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，，如此下去，∠A n﹣1BC的平分线与∠A n﹣1CD的平分线交于点A n ．设∠A=θ．则∠A1= ；A n = ．13.已知：如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，则1 11 BOC 90 A21802 2A ；如图 2 ，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的两条三等分角线分别对应交于点O1 、O2 ，则BO1C 21801A ，BO C11802A ；；根据以上阅读理解，当n 等分角时，内部有2n 1 个交点，你以猜想3 3 3 3 BO n 1 C =( ).(A) 2 1180 AA A A n nO n-1(B) 1 2 O2180 A On n O1 O2O1 n 1(C) (C)n180 A1 n 1 C B C B C(D) 1180图1n 1A图2 图3 n n14.在△ ABC中，∠ C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，BE 平分∠ ABC，求∠ DBE度数.B第四讲专题一：三角形题型训练（一）【知识要点】平行线、三角形内角和的综合运用【新知讲授】例一、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE、DF 分别平分∠ABC、∠ADC，请你判断BE、DF 的位置关系并证明你的结A论.DEFB C例二、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC的外角平分线与∠ADC的平分线交于点E，请你判断BE、DE的位置关系并证明你的结论.ADEM B C例三、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC的外角，请你判断BE、DF的位置关系并证明你的结论. ADNBCFME例四、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E，请你判断B E、DE的位置关系并证明你的结论.DBCEA例五、如图，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF 平分∠ADC的的外角，请你判断BE、DE的位置关系并证明你的结论.MDF例六、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E，请你判断BE、DE的位置关系并证明你的结论.NEDMCBA例七、如图，△ABC中，P 为BC边上任一点，PD∥AB，PE∥AC.（1）若∠ A=60°，求∠ DPE的度数；（2）若EM平分∠BEP，DN平分∠CDP，试判断EM与DN之间的位置关系，写出你的结论并证明.ADEB P CM N例八、如图，△ABC中，D、E、F 分别在三边上，∠BDE＝∠BED，∠CDF＝∠CFD.（1）若∠ A=70°，求∠ EDF的度数；（2）EM平分∠BED，FN平分∠CFD，若EM∥FN，求∠A 的度数. AEFB M D N C例九、如图，△ABC中，D、E、F 分别在三边上，∠DBE＝∠DEB，∠DCF＝∠DFC. A（1）若∠A=70°，求∠EDF的度数；E（2）EM平分∠ BED，FN平分∠ CFD，若EM∥FN，求∠ A 的度数.F【题型训练】 B M D N C1. 如图1、图 2 是由10 把相同的折扇组成的“蝶恋花”和“梅花”，图中的折扇完全打开且无重叠，则“梅花”图案中五角星的 5 个锐角的度数均为( ).(A) 36 °(B) 42 °(C) 45 °(D) 48 °2. 如图，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC上一点，DE⊥BC交AC于点E，DF⊥A B，垂足为F，若∠AED=160°，则∠EDF等于( ).(A)50 °(B)60 °(C)70 °(D)80 °3. 如图，△ABC中，∠B=∠C，∠BAD=32°，∠ADE=∠AED，则∠CDE= .AE4. 已知△ABC 中，∠ACB—∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC于E，∠BAC的外角的平分线交BC的延长线于F，则△AEF 的形状是.5. 如图，AB∥CD，∠A=∠C，AE⊥DE，∠D=130°，则∠B的度数为.6．如图：点D、E、F 为△A BC三边上的点，则∠1+∠2 +∠3+∠4+∠5+∠6= ．DA D CEB EC FA Bc 60 ，∠P=110°，则de 的7. 若一束光线经过三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中的字母表示相应的度数，若值为，x的值.B M CA D，则∠BAD= ，8. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点M，连接MD，且MD恰好平分∠AMC，若∠MDC=4°5∠ABC= .第四讲作业1. 如图，已知△ABC的三个顶点分别在直线a、b 上，且a∥b，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3 的度数是( ).(A)40 °(B)60 °(C)80 °(D)120 °2. 如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF的大小为( ).(A)60 °(B)75 °(C)90 °(D)105 °3. 如图，已知D、E 在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A 的度数为( ).(A)100 °(B)90 °(C)80 °(D)70 °4. 已知，直线l 1∥l2，将一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于( ).(A) 30°(B) 35°(C) 40°(D) 45°5. 如图，将三角尺的直角顶点放在直线 a 上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为( ).(A) 50°(B) 60°(C) 70°(D) 80°6. 小明同学把一个含有45°角的直角三角板在如图所示的两条平行线m，n 上，测得=120°，则的度数是( ).(A)45 °(B)55 °(C)65 °(D)75 °7. 如图，在Rt △ABC中，∠C=90°．D 为边CA延长线上的一点，DE‖AB, ∠ADE=42°，则∠ B 的大小为( ).(A) 42 °(B) 45 °(C) 48 °(D)58 °8. 如图，B 处在 A 处的南偏西45°方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C 处在 B 处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（）(A)65 °(B)72 °(C)75 °(D)78 °9. 如图，已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED的度数是( ).(A)63 °(B)83 °(C)73 °(D)53 °10. 如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线 b 上．若∠1=40°，则∠2的度数为．11. 如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B=70°，∠ A=60°.（1）求∠ EDC的度数；（2）求∠ BDC度数.12．如图，∠ DAB+∠D=180°，AC平分∠ DAB，且∠ CAD=25°，∠ B=95°.(1)求∠ DCA的度数；(2)求∠ FEA的度数.13．如图，B 处在A处的南偏西57°的方向， C 处在 A 处的南偏东15°方向，C 处在 B 处的北偏东82°方向，求∠C的度数.A北南CB第五讲专题一：三角形题型训练（二）知识点：三角形三边的关系定理：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°典型例题：1、已知Δ ABC的周长为10，且三边长为整数，求三边的长。
最新初一升初二暑期数学衔接教材
初一升初二暑期数学衔接教材第一讲 与三角形有关的线段知识点1、三角形的概念☑ 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
☑ 三角形的表示方法三角形用符号“△”表示，顶点是A,B,C 的三角形，记作“△ABC ” 三角形ABC 用符号表示为△ABC 。
三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示.知识点2、三角形的三边关系【探究】任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？☑ 三角形的两边之和大于第三边，可用字母表示为a+b ＞c ，b+c ＞a ，a+c ＞b拓展：a+b ＞c ，根据不等式的性质得c-b ＜a ，即两边之差小于第三边。
即a-b ＜c ＜a+b （三角形的任意一边小于另二边和，大于另二边差）【练习1】一个三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则此三角形的第三边的长可能是（ ） A ．3cmB ．4cmC ．7cmD ．11cm【练习2】有下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？(1)3，5，8； (2)5，6，10； (3)5，6，7. (4)5,6,12【辨析】有三条线段a 、b 、c ，a+b ＞c ，扎西认为：这三条线段能组成三角形.你同意扎西的看法吗？为什么？【例1】用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。
（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？ 【练习】1、三角形三边为3，5，3-4a ，则a 的范围是 。
2、三角形两边长分别为25cm 和10cm ，第三条边与其中一边的长相等，则第三边长为 。
3、等腰三角形的周长为14，其中一边长为3，则腰长为4、一个三角形周长为27cm ，三边长比为2∶3∶4，则最长边比最短边长 。
初一升初二暑假数学教材讲义
第1讲 平方根月 日 姓名：【学习目标】1、了解算术平方根与平方根的概念，并且会用根号表示；2、会进行有关平方根和算术平方根的运算；3、理解算术平方根与平方根的区别和联系，培养同学们的抽象概括能力。
【知识要点】1、算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做的算 术平方根，记作“a ” ，读作“根号a ”。
注意：（1）规定0的算术平方根为0，即00=；（2）负数没有算术平方根，也就是a 有意义时，a 一定表示一个非负数；（3）a 0≥（0≥a ）。
2、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根 （也叫二次方根）。
注意：（1）一个正数a 必须有两个平方根，一个是a 的算术平方根“a ” ，另外一个是“-a ”,读作“负根号a ” ，它们互为相反数；（2）0只有一个平方根，是它本身；（3）负数没有平方根。
3、开平方：求一个数a 的平方根的运算。
其中a 叫做被开方数。
⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a ()a a =2()0≥a观察二者的特征，注意他们的区别与联系。
【典型例题】例1、 求下列各数的算术平方根与平方根（1）25 （2）100 （3）1（4）0 （5）94 （6）7例2、 计算（1）81 （2）41 （3）-169例3、计算（1）()264 （2）24925⎪⎪⎭⎫⎝⎛（3）()22.7 （4）()22-（5（6）例4、当22-+a a 有意义时，a 的取值范围是多少？【经典练习】1、求下列各数的算术平方根和平方根（1）16 （2）225121（3）12（4）0.01 （5）()25-2、计算（1）28116⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （2）()25.0-（3+（4）41225.0+⨯3、判断 （1）－52的平方根为－5 （ ）（2）正数的平方根有两个，它们是互为相反数 （ ）（3）0和负数没有平方根 （ ）（4）4是2的算术平方根 （ ）（5）9的平方根是±3 （ ）（6）因为161的平方根是±41,所以161=±41 （ ） 4、121---x x 有意义，则x 的范围___________5、如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ）A.a 2=±mB.a =±m 2C.a =±mD.±a =±m 【课后作业】1、下列各数中没有平方根的数是（ ）A.－(－2)3B.3－3C.a 0D.－（a 2+1） 2、2a 等于（ ）A.aB.－aC.±aD.以上答案都不对3、若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（ ）A.S 的平方根是aB.a 是S 的算术平方根C.a =±SD.S =a 4、当x ___________时，x 31-是二次根式． 5、要使21-+x x 有意义，则x 的范围为___________ 6、计算（1）-16964 （2）2243+记一记 100102= 121112= 144122= 169132=196142= 225152= 256162= 289172=324182= 361192= 400202= 625252=第6讲 立方根月 日 姓名：【学习目标】1. 掌握立方根的概念，并会用根号表示一个数的立方根。
七升八数学衔接教材
初一升初二衔接课程数学三角形与三角形有关的线段1.定义：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
三角形ABC 用符号表示为△ABC.三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示. 2.三角形三边的不等关系三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。
3.三角形的高：从三角形的 向它的 作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,（注意八字形）注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
三角形的三条高相交于一点。
．．．．．．．．．．．．．4.三角形的中线：三角的三条中线相交于一点。
（三角形中线分三角形面积相等的两个三角形）5.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交， 与 之间的线段,叫做三角形的角平分线.三角形三个角的平分线相交于一点．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条中线的．．．．．．．．．交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．角三角形的三条高的交点在三角形的外部。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6.三角形的稳定性:例1.一个等腰三角形的周长为32 cm ，腰长的3倍比底边长的2倍多6 cm.求各边长.例2.已知：△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：△ABC的各边的长。
例3.已知△ABC的周长是24cm，三边a、b、c满足c+a=2b，c-a=4cm，求a、b、c的长.例4.已知等腰三角形的周长是16cm．（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；（2）若其中一边长为6cm，求另外两边长；（3）若三边长都是整数，求三角形各边的长．例5.已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4,求等腰三角形各边的长。
初一升初二暑假衔接班数学教材(共15讲)
目录第一部分——温故知新专题一整式运算 (1)专题二乘法公式 (3)专题三平行线的性质与判定 (9)专题四三角形的基本性质 (11)专题五全等三角形 (14)专题六如何做几何证明题 (17)专题七轴对称 (22)第二部分——提前学习专题一勾股定理 (25)专题二平方根与算数平方根 (29)专题三立方根 (32)专题四平方根与立方根的应用 (35)专题五实数的分类 (39)专题六最简二次根式及分母有理化 (42)专题七非负数的性质及应用 (46)专题八二次根式的复习 (49)第一部分——温故知新专题一 整式运算1.由数字与字母 组成的代数式叫做单项式。
单独一个数或字母也是单项式。
单项式中的 叫做单项式的系数单项式中所有字母的 叫做单项式的次数 2.几个单项式的和叫做多项式多项式中 叫做这个多项式的次数 3.单项式和多项式统称为4.整式加减实质就是 后5.同底数幂乘法法则：nm n m a a a +=·（m .n 都是正整数）；逆运算=+nm a6.幂的乘方法则：()=nma （m .n 都是正整数）；逆运算=mna 7.积的乘方法则：()=nab （n 为正整数）；逆运算=nnb a8.同底数幂除法法则：nm n m a a a -=÷（a ≠0，m .n 都是正整数）；逆运算=-nm a9.零指数的意义：()010≠=a a ；10.负指数的意义：()为正整数p a aap p,01≠=- 11.整式乘法：（1）单项式乘以单项式；（2）单项式乘以多项式；（3）多项式乘以多项式 12.整式除法：（1）单项式除以单项式；（2）多项式除以单项式知识点1.单项式多项式的相关概念归纳：在准确记忆基本概念的基础上，加强对概念的理解，并灵活的运用 例1.下列说法正确的是（ ）A ．没有加减运算的式子叫单项式B .35abπ-的系数是35-C .单项式－1的次数是0D .3222+-ab b a 是二次三项式 例2.如果多项式()1132+---x n xm 是关于x 的二次二项式，求m ，n 的值知识点2.整式加减归纳：正确掌握去括号的法则，合并同类项的法则 例3.多项式()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--8313322xy y kxy x 中不含xy 项，求k 的值知识点3.幂的运算归纳：幂的运算一般情况下，考题的类型均以运算法则的逆运算为主，加强对幂的逆运算的练习，是解决这类题型的核心方法。
七升八数学衔接讲义
七升八数学衔接讲义第一讲与三角形有关的线段知识点1、三角形的概念☑ 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
☑ 三角形的表示方法 三角形用符号“△〞表示，顶点是A,B,C 的三角形，记作“△ABC 〞 三角形ABC 用符号表示为△ABC 。
三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示. 知识点2、三角形的三边关系【探究】任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？☑ 三角形的两边之和大于第三边，可用字母表示为a+b ＞c ，b+c ＞a ，a+c ＞b拓展：a+b ＞c ，根据不等式的性质得c-b ＜a ，即两边之差小于第三边。
即a-b ＜c ＜a+b 〔三角形的任意一边小于另二边和，大于另二边差〕 【练习1】一个三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，那么此三角形的第三边的长可能是〔 〕 A ．3cmB ．4cmC ．7cmD ．11cm【练习2】有以下长度的三条线段能否组成三角形？为什么？(1)3，5，8； (2)5，6，10； (3)5，6，7. (4)5,6,12【辨析】有三条线段a 、b 、c ，a+b ＞c ，扎西认为：这三条线段能组成三角形.你同意扎西的看法吗？为什么？【小结】三角形的两边之和是指任意两边之和【例1】用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。
〔1〕如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？〔2〕能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？知识点3 三角形的三条重要线段 ☑ 三角形的高(1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高〔简称三角形的高〕 (2)高的表达方法 AD 是△ABC 的高 AD ⊥BC ，垂足为D点D 在BC 上，且∠BDA=∠CDA=90度[练习]画出①、②、③三个△ABC 各边的高,并说明是哪条边的高.abc (1)CB A A A A①②③AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段____ BC 边上的高是_________ BC 边上的高是_________ BC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ [辨析] 高与垂线有区别吗？_____________________________________________[探究] 画出图1中三角形ABC 三条边上的高，看看有什么发现？如果△ABC 是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？试着画一画【结论】________________________________________ ☑ 三角形的中线〔1〕定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线 [练习]画出①、②、③三个△ABC 各边的中线,并说明是哪条边的中线.①②③AB 边上的中线是线段____ AB 边上的中线是线段____ AB 边上的中线是线段____ BC 边上的中线是_________ BC 边上的中线是_________ BC 边上的中线是_________ AC 边上的中线是________ AC 边上的中线是_________ AC 边上的中线是_________ 图中有相等关系的线段：___________________________________________________[探究1]观察△ABC 的三条边上的中线，看看有什么发现？如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？【结论】_________________________________[探究2]如图，AD 为三角形ABC 的中线，△ABD 和△ACD 的面积相比有何关系？【结论】__________________________________________ 【例2】如图，△ABC 的周长为16厘米，AD 是BC 边上的中线，AD=45AB ，AD=4厘米，△ABD 的周长是12厘米，求△ABC 各边的长。
初一升初二暑期数学教程(一)
2019年初一升初二暑期培优教材（数学）2019年07月第一讲 平方根【学习目标】1、了解算术平方根与平方根的概念，并且会用根号表示；2、会进行有关平方根和算术平方根的运算；3、理解算术平方根与平方根的区别和联系，培养同学们的抽象概括能力。
【知识要点】1、算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记作“a ” ，读作“根号a ”。
注意：（1）规定0的算术平方根为0，即00=；（2）负数没有算术平方根，也就是a 有意义时，a 一定表示一个非负数；（3）a 0≥（0≥a ）。
2、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫二次方根）。
注意：（1）一个正数a 必须有两个平方根，一个是a 的算术平方根“a ” ，另外一个是“-a ”,读作“负根号a ” ，它们互为相反数；（2）0只有一个平方根，是它本身；（3）负数没有平方根。
3、开平方：求一个数a 的平方根的运算。
其中a 叫做被开方数。
⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a ()a a =2()0≥a【典型例题】例1、 求下列各数的算术平方根与平方根（1）25 （2）100 （3）1（4）0 （5）94 （6）7 例2、 计算（1）81 （2）41 （3）-169例3、计算 （1）()264 （2）24925⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （3）()22.7（4）()22- （5）2544369++ （6）416925-⨯例4、当22-+a a 有意义时，a 的取值范围是多少？【经典练习】1、求下列各数的算术平方根和平方根.（1）16 （2）225121 （3）12（4）0.01 （5）()25- （6）（-101）2 2、计算（1）28116⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （2）()25.0-（3）146449+ （4）41225.0+⨯3、判断 （1）－52的平方根为－5 （ ）（2）正数的平方根有两个，它们是互为相反数 （ ）（3）0和负数没有平方根 （ ）（4）4是2的算术平方根 （ ）（5）9的平方根是±3 （ ）（6）因为161的平方根是±41,所以161=±41 （ ） 4、121---x x 有意义，则x 的范围___________5、如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ）A.a 2=±mB.a =±m 2C.a =±mD.±a =±m【课后作业】1、下列各数中没有平方根的数是（ ）A.－(－2)3B.3－3C.a 0D.－（a 2+1）2、2a 等于（ ）A.aB.－aC.±aD.以上答案都不对3、若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（ ）A.S 的平方根是aB.a 是S 的算术平方根C.a =±SD.S =a4、当x ___________时，x 31-是二次根式．5、要使21-+x x 有意义，则x 的范围为___________ 6、计算（1）- 16964 （2）2243+ 【记一记 】100102= 121112= 144122= 169132=196142= 225152= 256162= 289172=324182= 361192= 400202= 625252=第二讲 立方根【学习目标】1. 掌握立方根的概念，并会用根号表示一个数的立方根。
七年级升八年级数学 暑期衔接班讲义 第十五讲 等腰直
DACBD A M EC B第十五讲：等腰直角三角形如图，在等腰Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D. 基本性质：1．边：AB=AC ，DA=DB=DC=12BC ； 2．角：∠BAC=∠ADB=∠ADC=90°； ∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°；3．形：等腰Rt △ABC ，等腰Rt △ABD ，等腰Rt △ACD.第一部分【能力提高】一、如图，M 为等腰Rt △ABC 斜边BC 的中点，D 为AB 上一点，ME ⊥MD 交直线AC 于点E.（1）求证：MD=ME ；其它结论：①AD+AE=AB ；②BD+CE=AB ；③△MDE 为等腰直角三角形；④12ABCADME S S四.（2）如图，若D 为AB 反向延长线上一点，其它条件不变， 请完成图形并探究（1）中的结论.二、如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD =∠CBD =15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE=CA ．（1）求证：DE 平分∠BDC；（2）若点M 在DE 上，且DC=DM ，求证：ME=BD ．DAE C B A NM P E CB D E AC B图1三、如图，M 为等腰Rt △ABC 直角边AC 的中点，AE ⊥BD 交BC 于点E ，连结DE. （1）求证：①∠ADB=∠CDE ；②AE+DE=BD ；（2）如图2，若AM=CN ，AE ⊥BM 交BC 于点E ，BM 、EN 交于点P.求证：①∠AMB=∠CNE ；②AE+PE=BP.四、如图1，在等腰Rt △ABC 中，D 为直线BC 上一点，过点D 作AD 的垂线DE ，过点B 作AB的垂线BE.（1）求证：AD=DE ；E B D A C C A D B E图2图3A DB EEBDA CCADBE 图4图5图6（2）拓展变化一：图形的演变（纵深演变）如图2和图3中，当D 分别在BC 的延长线或反向延长线上时，求证：AD=DE ；（3）拓展变化二：条件的演变（横向演变）如图4，图5，图6中，等腰Rt △ABC 中，D 为直线BC 上一点，以AD 为腰作等腰Rt △ADE ，连接BE ，求证AB ⊥BE.A CPA CPA CP第二部分【综合运用】五、（1）如图，等腰Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，P 为△ABC 形外一点，∠APB=90°，求证：∠APC=∠BPC=45°；（2）如图，等腰Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，P 为△ABC 形外一点，∠APC=45°，求证：∠APB=90°；（3）如图，等腰Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，P 为△ABC 形外一点，CP 平分∠APB ，求证：∠APB=90°（∠APC=∠BPC=45°）；ACP ACPACHP B（4）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，P为△ABC形外的一点，∠APC=∠BPC=45°，求证：AC=BC；（5）如图，在等腰△ABC中，AC=BC，P为△ABC形外的任一点，且∠APC=∠BPC=45°，求证：∠ACB=90°；（6）如图，在（1）～（5）的条件下，过C作CH⊥AP于点H.求证：①PA+PB=2PH；②PA-PB=2AH；ACHPDACBEODACBM EN（7）如图，当P点、C点在直线AB的同侧，类同（1）～（6）的条件、结论，进行探究.六、如图，以任意△ABC的两边AB、AC为腰作两个等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，连接BE、CD交于点O.（1）求证：BE=CD；（2）求∠BOC的度数；（3）连接AO，求证：AO平分∠DOE；（4）M、N分别为CD、BE的中点，判断△AMN的形状，并证明你的结论.。
2018年七年级升八年级数学暑期衔接班讲义第七讲全等三角形的判定(一)SAS(无答案)新人教版
第七讲：全等三角形的判断（一）SAS【知识重点】1．求证三角形全等的方法（判断定理）：① SAS；② ASA；③ AAS；④ SSS；⑤ HL；需要三个边角关系；此中起码有一个是边；2．“ SAS”定理：有两边及夹角对应相等的两个三角形全等；①求证全等的格式：（“全等五行” ）如：在△ ABC和△ DEF中：A DAB DEA DAC DFB C E F∴△ ABC∽△ DEF.（ SAS）②利用全等进行几何证明的三大环节：预备证明、“全等五行” 、全等应用；③“边边角”不可以证明两个三角形全等；2．三角形全等的的应用：①证明线段相等；②证明角相等；3．注意不需要预备证明而直接利用的隐蔽条件：公共边、公共角、对顶角 .【新知讲解】“ SAS”公义的运用例 1、已知：如图， C 为 AB的中点， CD∥ BE， CD=BE，求证：∠ D=∠E.稳固练习1. 如图，点E、 A、 C在同一条直线上，AB∥ CD， AB=CE， AC=CD，求证： BC=DE.2. 已知：如图，AB=AC， D、 E 分别为 AB、AC的中点，求证：∠B=∠C.例 2. 已知：如图， AB=CD，∠ ABC=∠ DCB，求证：∠ ABD=∠ACD.稳固练习：A B1. 已知：如图，AB∥CD， AB=CD， AE=DF，求证： CE∥ BF.EFC D 2．已知：如图，AB=AD， AC=AE，∠ 1=∠ 2，求证：∠ DEB=∠ 2.例 3. 如图， BD、 CE为△ ABC的两条中线，延伸 BD到 G，使 BD=DG，延伸 CE到 F，使 CE=EF.（1）求证： AF=AG；（2）试问： F、A、 G三点能否在同向来线线？证明你的结论.稳固练习：1. 已知：如图，AB⊥BD于点 B， CD⊥ BD于点 D，AB=CD， BE=DF，求A证：∠ EAF=∠ ECF.F DB E2. 已知：如图，AB=AC， AD均分∠ BAC，求证：∠ DBE=∠ DCE.C例 4. 已知：如图， OA=OB，OC=OD，求证：∠ ACD=∠ BDC. （提示：不可以用等腰三角形的性质）稳固练习：1. 已知：如图，OD=OE， OA=OB， OC均分∠ AOB，求证：∠ A=∠ B.2. 已知：如图，AB=CD， BE=CF，∠ B=∠C，求证：∠ EAF=∠ EDF.【课后作业】1．如图，已知点A、F、C、 D在同向来线上，点 B 和点 E 分别在直线 AD的双侧，且 AB=DE，∠A=∠D， AF=DC，求证： BC∥EF．2．已知：如图，AB⊥ BD， CD⊥ BD， AB=DE， BE=CD，试判断△ ACE的形状并说明原因 .3.如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EA AD，FD AD，AE=DF，AB=DC，求证：ACE= DBF.E FA B C D4．已知：如图，OD=OE， OC均分∠ AOB，求证：∠ A=∠ B.5．如图，四边形ABCD中， AD=BC， AD∥ BC，求证： AB=CD， AB∥ CD.A DB C6．如图，已知，AB=AC， AD=AE，∠ BAC=∠ DAE.（1）求证： BD=CE；（2）若∠ BAC=∠DAE= ，延伸 BD交 CE于点 P，则∠ BPC的度数为.（用含的式子表示）AEDB C7．如图， C 是线段 AB的中点， CD均分∠ ACE， CE均分∠ BCD， CD=CE．(1) 求证：△ ACD≌△ BCE；D E(2) 若∠ D=50°，求∠ B 的度数．A C B8．如图，在△ABC中， D 是 BC边的中点， F、E 分别是 AD及其延伸线上的点，请你增添一个条件，使△BDE≌△ CDF ( 不再增添其余线段) ，并能用“ SAS”公义进行证明．（ 1）你增添的条件是：；（ 2）证明：。
2021暑期课程人教版七年级下册数学讲义初一升初二-第1讲：知识概括(教师版)
2021暑期课程人教版七年级下册数学讲义初一升初二-第1讲：知识概括知识讲解1、“三线八角”模型如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”注意：⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF相交．⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．2、平行线（1）两条平行线之间的距离处处相等.（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度,平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.（3）如何理解“垂线段”与“距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同.3、二元一次方程满足的条件（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.4、解二元一次方程组用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．代入消元法(1)代入消元法关键是先把系数较简单方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便．5、实数算术平方根=，那么这个正数x叫做a的算术平方根.一般地，如果一个正数x的平方等于a，即2x a性质：非负性规定：0的算术平方根是0.平方根一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.=，那么实数x叫做a的平方根.这就是说，如果2x a3.根据平方根估整数立方根（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.=，那么x叫做a的立方根.这就是说，如果3x a=（2）性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0实数__________叫做无理数.____________统称实数.____________与数轴上的点一一对应.绝对值性质一个正实数的绝对值是________；一个负实数的绝对值是_______；0的绝对值是_______.6、解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.注意：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.例题精析【教学建议】此处内容主要用于教师课堂的精讲，每个题目结合试题本身、答案和解析部分，教师有的放矢的进行讲授或与学生互动练习。
2015暑假初一升初二数学(学生)
第一讲 和绝对值有关的问题一、 绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上 叫做数a 的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是 ②负数的绝对值是③零的绝对值是零。
也可以写成： ()()()||0a a a a a a ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
二、 典型例题例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ C ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号例3．已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？例4．方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个 例5．已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值．()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++例6．观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3.并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：____ .（2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可以表示为 ． （3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 _____. （4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为练习：1.阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为∣AB ∣。
七年级升八年级数学暑期衔接班讲义第七讲等三角形的判定一SAS试题
ADBC EF第七讲：全等三角形的断定〔一〕SAS【知识要点】1．求证三角形全等的方法〔断定定理〕：①SAS ；②ASA ；③AAS ；④SSS ；⑤HL ； 需要三个边角关系；其中至少有一个是边；2．“SAS 〞定理：有两边及夹角对应相等的两个三角形全等； ①求证全等的格式：〔“全等五行〞〕 如： ②利用全等进展几何证明的三大环节：预备证明、“全等五行〞、全等应用；③“边边角〞不能证明两个三角形全等；2．三角形全等的的应用：①证明线段相等；②证明角相等；3．注意不需要预备证明而直接利用的隐藏条件：公一共边、公一共角、对顶角. 【新知讲授】 “SAS 〞公理的运用例1、：如图，C 为AB 的中点，CD ∥BE ，CD=BE ，求证：∠D=∠E.稳固练习在△ABC 和△DEF 中：AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ∽△DEF.〔SAS 〕1.如图，点E、A、C在同一条直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD，求证：BC=DE.2.：如图，AB=AC，D、E分别为AB、AC的中点，求证：∠B=∠C.例2.：如图，AB=CD，∠ABC=∠DCB，求证：∠ABD=∠ACD.稳固练习：1.：如图，AB∥CD，AB=CD，AE=DF，求证：CE∥BF. 2．：如图，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，求证：∠DEB=∠2.A B C DEF例3.如图，BD 、CE 为△ABC 的两条中线，延长BD 到G ，使BD=DG ，延长CE 到F ，使CE=EF.〔1〕求证：AF=AG ；〔2〕试问：F 、A 、G 三点是否在同一直线线？证明你的结论.稳固练习：1.：如图，AB ⊥BD 于点B ，CD ⊥BD 于点D ，AB=CD ，BE=DF ，求证：∠EAF=∠ECF.2.：如图，AB=AC ，AD 平分∠BAC ，求证：∠DBE=∠DCE.ABCDEF例4.：如图，OA=OB，OC=OD，求证：∠ACD=∠BDC. 〔提示：不能用等腰三角形的性质〕稳固练习：1.：如图，OD=OE，OA=OB，OC平分∠AOB，求证：∠A=∠B.2.：如图，AB=CD，BE=CF，∠B=∠C，求证：∠EAF=∠EDF.【课后作业】1．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC，求证：BC∥EF．A DB C EFA DB C2．：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB=DE ，BE=CD ，试判断△ACE 的形状并说明理由.3. 如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，EA AD ，FD AD ，AE=DF ，AB=DC ，求证：ACE=DBF.4．：如图，OD=OE ，OC 平分∠AOB ，求证：∠A=∠B.5．如图，四边形ABCD 中，AD=BC ，AD ∥BC ，求证：AB=CD ，AB ∥CD.A BED C EADCB6．如图，，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE. 〔1〕求证：BD=CE ；〔2〕假设∠BAC=∠DAE=α，延长BD 交CE 于点P ，那么∠BPC 的度数为 .〔用含α的式子表示〕7．如图，C 是线段AB 的中点，CD 平分∠ACE ，CE 平分∠BCD ，CD=CE ．(1)求证：△ACD≌△BCE； (2)假设∠D=50°，求∠B 的度数．8．如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，F 、E 分别是AD 及其延长线上的点，请你添加一个条件，使△BDE ≌△CDF (不再添加其它线段)，并能用“SAS 〞公理进展证明． 〔1〕你添加的条件是： ； 〔2〕证明：励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
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初一升初二数学测试
题715
初一升初二摸底考试试题
一、选择题（每题3分，共21分）
1、下列说法正确的是（）
A.一元一次方程一定只有一个解；
B. 二元一次方程x + y = 2有无数解；
C．方程2x = 3x没有解； D. 方程中未知数的值就是方程的解。
图1
2、图1是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，其是正边形
A、四边形
B、五边形
C、六边形
D、十二边形
3、在三角形ABC中，三边长分别为6,8,10厘米，则此三角形是（）
A、锐角三角形 B直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形
4、方程组35
210
x y
x y的解是( )
A.
2
1
X
Y B.
3
4
x
y C.
4
3
x
y D.
5
10
x
y
5、如图所示,每组左右两边的图形成轴对称的是( )
(A)(B)(C)(D)
6、如图所示，△BEF是由△ABC平移所得,点A、B、E在同一直线上，若∠F=700，∠E=680,则∠CBF是
（）
A.420
B.680
C.700
D.无法确定
7、已知一只轮船载重量是600吨，容积是2400m3，现在甲、乙两种货物待装，甲种货物每吨体积7m3，乙种货物每吨体积2m3，求怎样装货物才能最大限度地利用船载重量和容积，若设分别装甲、乙两种货物为x 吨，y吨，于是可列方程组的是（）
A.
2400
72600
x y
x y B.
600
722400
x y
x y C.
2400
72600
x y
x y D.
600
722400
x y
x y
二、填空题（每题4分，共40分）
8、已知△ABC的周长为25cm，三边a、b、c中，a=b，c∶b=1∶2，则三边长a= ，b= ,c= .
9、一个三角形的内角中，至少有个锐角。
10、当x＝时，等式3x－5=5+x成立。
11、如图，已知∠1=32°，,∠3=115°，那么∠2=
12、写出一个一元一次方程,使它的解为x=2,_________.
13、,在△ABC中,AB=AC,DE是AB的中垂线,△ABC的周长为14厘米,BC= 6厘米,则AB=________.
第11题第16题
14、某项工作，甲单独做45天完成，乙单独做30天完成，现让乙先做22天，然后由甲去完成剩下的，问甲需再工作多少天？设甲需再工作x天，根据题意可列出方程
15、一个n边形除一个内角外，其余各个内角的和为1680度，那么它是_____边形，这个内角是
度。
16、△ABC中，∠A=65°，∠B=75°，如图，将△ABC沿EF对折，使C点与C′点重合。
（1）△和△关于直线EF成轴对称。
（2）∠C′= 。
（3）当∠1=45°，∠2= 。
17、如下图是用棋子摆成的“上”字：
第一个“上”字第二个“上”字第三个“上”字如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：
（1）第四、第五个“上”字分别需用和枚棋子；
（2）第n个“上”字需用枚棋子。
三、解答题（共89分）
18、每题5分）
1
(3)6()
2
x x19、每题5分3(1)5
5(1)3(5)
x y
y x
20.每题7分）解不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（1）3(x+2)-1>x-1（2）
14
2
32
x x
A
B
F E C
第6题
A
D
E
C
B
A
B F
C`
C
E
2
1
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仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3
21、（9分）m 为何值时，关于x 的方程4x —2m ＝3x+1的解是x ＝2x —3m 的2倍。
23、（9分）根据下列语句，用三角板、圆规或直尺作图，不要求写作法：
（1）过点C 作直线MN//AB ； （2）作△ABC 的高CD ；
（3）以CD 所在直线为对称轴，作与△ABC 关于直线CD 对称的△A'B'C'， 并说明完成后的图形可能代表什么含义.
24、（12分）某家电集团公司研制生产的新家电，前期投资200万元，每生产一台这种新家电，后期还需投资0.3万元。
已知每台新家电可实现产值0.5万元。
设总投资为P 万元，总利润为Q 万元（总利润=总产值－总投资），新家电总产量为x 台。
(1)试用x 的代数式表示P 和Q
(2)当总产量达到900台时，该公司能否盈利？ (3)当总产量达到多少台时，该公司开始盈利。
25、（13分）为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有 A 、B 两种型号的设备， 其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表：
A 型
B 型 价格／（万元／台） 12 10 处理污水量／（吨／月） 240 200 年消耗费／（万元／台）
1 1
A 型
B 型 价格／(万元／台) 12 10 处理污水量／(吨／月) 240 200 年消耗费／(万元／台)
1
1
经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元。
（1）请你设计该企业有几种购买方案；
（2）若企业每月产生的污水量为2 040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案；
（3）在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计
算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，l0年节约资金多少万元?（注：企业处理污水
的费用包括购买设备的资金和消耗费）
26、（13分）如图(1), 已知△ABC 中, ∠BAC=900
, AB=AC, AE 是过A 的一条直线, 且B 、C 在A 、E 的异侧,
BD ⊥AE 于D, CE ⊥AE 于E.
图1 图2 图3
(1)试说明: BD=DE+CE.
(2) 若直线AE 绕A 点旋转到图(2)位置时(BD<CE), 其余条件不变, 问BD 与DE 、CE 的关系如何? 不需说明. (3) 若直线AE 绕A 点旋转到图(3)位置时(BD>CE), 其余条件不变, 问BD 与DE 、CE 的关系如何?
A
B C。