《近世代数》考试卷

xx师范大学05级《近世代数》考试卷

(xx学年第二学期)

考试类别考试使用学生数理学院数学xx级初阳综合理科xx级考试时间150分钟出卷时间xx年6月10日

说明：考生应将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理

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一、选择题( 每小题2分，共20分)

1．设A＝{a，b，c}，在下列运算表所给出的A的代数运算中，不满足结合律的是( )。

A B

D

2．设A，B是两个集合，且|A |＝4，|B |＝3，那么，| 2A×B |＝( )。

A．12 B．48 C．64 D．81

3．设S是一个半群，那么，在下列关于半群S的叙述中，正确的是( )。

A．S必定有左单位元e L或者有右单位元e R

B．S中消去律必定成立

C．如果S是一个交换半群，那么，S一定存在单位元

D．如果S至少有两个不同的左单位元，那么，S必定没有右单位元

4．设G1，G2是两个循环群，且G1＝(a)，G2＝(b)，那么，下列结论成立的是( )。

A．必存在G1到G2的同态映射f B．必存在G1到G2的同态满射f C．必存在G1到G2的同态单射f D．必存在G1到G2的同构映射f

5．设G是一个群，H1，H2是G的两个子群，在下列各式中一定成立的是( )。

A．H1H2＝H1B．H1H2＝H1∪H2

C．H1H2＝H1∩H2D．H1H1＝H1

6．设G是一个有限群，H是G的一个不变子群，在下列叙述中，正确的是( )。

A．∀a，b∈G，有aba－1∈H

B．∀a∈H，∀b∈G，有aba－1∈H

C．∀a∈G，∀b∈H，有aba－1∈H

D．如果aH＝bH，则ab－1＝b－1a

7．设R是一个环，a，b∈R，n∈Z，在下列等式恒成立的是( )。

A．n(ab)＝(na)b＝a(nb) B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2

C．(ab)2＝a2b2D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2

8．设Z15是以15为模的剩余类环，那么，Z15的子环共有( ) 个。

A．2 B．4 C．6 D．15

9．设R是一个环，X是环R的一个非空子集，[ X ]表示由子集X生成的子环，( X )表示由子集X生成的理想，那么，下列集合之间的关系一定成立的是( )。

A．[ X ]⊆( X ) B．[ X ]⊇( X ) C．[ X ]＝( X ) D．[ X ] ≠( X )

10．设R是一个环，I是R的一个理想，在下列关于环的叙述中，正确的是( )。

A．如果I是R的一个素理想，则I必定是R的一个极大理想

B．如果I是R的一个极大理想，则I必定是R的一个素理想

C．如果R是一个无零因子环，则零理想{0}是R的一个素理想

D．如果R是一个无零因子环，则零理想{0}是R的一个极大理想

二、填空题( 空格2分，共24分。答题时请写清题号)

1．设集合A＝{a，b，c}，记A×A为A与A的积集合，2A为A的幂集合。那么，A×A＝，2A＝。

2．设A＝{1，2，3，4}，S＝{{1}，{2，3}，{4}}，那么，由集合A的分类S所确定的等价关系E＝(写成A×A的子集的形式)。

3．设G是一个不可交换群，那么，G最少含有个元素，试给出一个你所熟悉的最小的不可交换群：。

4．设3次对称群S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，子群H ＝{(1)，(23)}，那么，S3的两个左陪集(12)H与(13)H的积[(12)H][(13)H]＝，且求S3关于子群H的左陪集分解。

5．记以30为模的剩余类加群Z30＝{0，1，2，…，29}，以10为模的剩余类加群Z10＝{[0]，[1]，[2]，…，[9]}，作群同态映射：

→Z10，k[2k]，∀k∈Z30，

f：Z

那么，同态映射f的象Im f＝，f的同态核Ker f＝。

6．设R是一个环，a∈R，记(a) 为由元素a生成的主理想。当R是一个有单位元的环时，则(a)＝；当R是交换环时，则(a)＝；

7．设R是一个环，I，K是R的两个理想，那么，(I＋K) / I ≅。

三、计算题( 每小题8分，共16分。要求写出计算的过程或计算的理由)

1．在7次对称群S7中计算：

(1) 将(1357)－1 (345) (1357) 表示成若干个互不相交的循环置换之积；

(2) 设k是一个自然数，计算：[(1357)－1 (345) (1357)]k。

2．设Z 12为以12为模的剩余类环，

(1) 求出Z 12的所有理想；

(2) 试给出Z 12的所有极大理想与素理想。

四、证明题 ( 每小题10分，共40分 )

1．设G 1，G 2是两个群，记

G ＝G 1×G 2＝{(a ，b ) | a ∈G 1，b ∈G 2}，

规定G 的代数运算“ ”：

(a ，b ) (c ，d )＝(ac ，bd )， ∀(a ，b )，(c ，d )∈G 。

(1) 验证G 关于代数运算“ ”作成一个群；

(2) 如果G 1，G 2分别为m ，n 阶的循环群，证明G 是mn 阶的循环群。

2．设G 是一个群，H 是G 的一个不变子群，规定商集合G / H 的运算：

(aH )(bH )＝(ab )H ， ∀aH ，bH ∈G / H ，

证明：以上所规定的代数运算是合理的，即与代表元的取法无关。

3．设

Z [

p ]＝{a ＋b p | a ，b ∈Z ，p 为某个固定的素数}， 验证Z [

p ]关于数的加法与乘法作成一个整环。

4．设R [x ]为实数域R 上的一元多项环，p (x )为R [x ]上的一个不可约多项式。

(1) 证明：由多项式p (x )生成的理想(p (x ))是R [x ]上的一个极大理想。

(2) 证明：商环R [x ] / (p (x )) 或同构于实数域R ，或同构于复数域C 。

5．(此题只要求初阳学院的同学做) 设 G ＝⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s s 101， H ＝⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n 101， (1) 证明：G 关于矩阵的乘法作成一个群，且H 是G 的一个不变子群；

(2) 求商群G / H 。

Q Z