信号的基函数表示法
信号第一章2讲_2
23
连续函数f(t)与单位冲激函数的乘积等于冲 连续函数 与单位冲激函数的乘积等于冲 的乘积等于 激点的函数值与 相乘 激点的函数值与δ(t)相乘
f ( t )δ ( t ) = f ( 0)δ ( t )
(15 21)
若冲激点在t 若冲激点在 0处，且f(t)在t0处连续，则 在 处连续，
f (t )δ (t t0 ) = f (t0 )δ (t t0 )
20
若冲激点在t=t 则定义式为： 若冲激点在 0处，则定义式为：
∫ ∞ δ ( t t 0 ) dt = 1 δ ( t t 0 ) = 0 ( t ≠ t0 )
单位冲激函数的特性： 单位冲激函数的特性： 的特性
+∞
δ(t-t0) (1)
0
t0
t
单位冲激函数的积分是单位阶跃函数 单位冲激函数的积分是单位阶跃函数 的积分是
17
冲激函数定义： 冲激函数定义： 矩形脉冲演变为冲激函数 单位冲激函数可视为幅度 脉宽τ 单位冲激函数可视为幅度 τ 与脉宽τ的乘积 矩形面积） 个单位的矩形脉冲 （矩形面积）为1个单位的矩形脉冲。 个单位的矩形脉冲。 当τ趋于0时，脉冲的幅度趋于无穷大。 趋于 时 脉冲的幅度趋于无穷大。
1
1
G(t)
返回
9
二、奇异信号 定义：奇异信号是一类特殊的连续时间信 定义：奇异信号是一类特殊的连续时间信 其函数本身有不连续点 跳变点）， 有不连续点（ 号，其函数本身有不连续点（跳变点）， 其函数的导数与积分有不连续点 导数与积分有不连续点。 或其函数的导数与积分有不连续点。 它们是从实际信号中抽象出来的理想化 了的信号， 了的信号，在信号与系统分析中占有很重 要的地位。 要的地位。 常见的奇异信号：单位斜坡信号， 常见的奇异信号：单位斜坡信号，单位阶 跃信号， 单位冲激信号等 跃信号，和单位冲激信号等。
基函数和基组
基函数和基组
基函数是一组函数，用于表示电子波函数，以便将模型的偏微分方程转化为适合在计算机上高效执行的代数方程。
常用的基函数有Slater Type Orbitals (STOs)和Gaussian Type Orbitals (GTOs)。
而基组则是由原子轨道组成的，可以是原子轨道线性组合方法，也可以是平面波。
在量子化学计算中，基组是一组有限的基函数，用于描述电子波函数。
基组的选择对于计算结果的精度和稳定性至关重要。
常用的基组有STO-nG基组、Pople基组等。
最小基组STO-nG基组表示用n个Gaussian型函数来拟合1个Slater型基函数，每个原子轨道用一个STO描述，称为单Zeta基组。
而价层分裂基组Pople基组中，每个原子轨道用两个STO描述，三Zeta基组中，每个轨道使用三个STO描述。
另外，极化函数和弥散函数是特殊的基函数，极化函数增加轨道的可极化性，使轨道在角度分布上具有更大的变形性，更接近真实的电子云变形情况，会使计算精度得到明显升高。
如需了解更多关于基函数和基组的信息，建议查阅量子化学领域的专业书籍或文献。
小波变换重构公式
小波变换重构公式小波变换是一种非常重要的信号处理方法，它可以将信号分解成不同尺度的频率成分，并提供了一种有效的重构方法。
本文将介绍小波变换的重构公式，并探讨其在信号处理中的应用。
我们来回顾一下小波变换的基本概念。
小波变换是一种时频分析方法，通过将信号分解成不同尺度的频率成分，可以更好地捕捉信号的局部特征。
而小波重构则是将分解后的小波系数重新合成原始信号的过程。
小波重构的公式可以表示为：```x(t) = Σ(Cj,k * ψj,k(t))```其中，x(t)是原始信号，Cj,k是小波系数，ψj,k(t)是小波基函数。
通过对不同尺度的小波系数进行加权求和，可以重构出原始信号。
在实际应用中，小波重构常用于信号压缩、去噪和特征提取等领域。
以信号压缩为例，小波重构可以将信号的冗余信息去除，从而实现对信号的压缩。
在这个过程中，我们可以根据信号的特性选择适合的小波基函数，通过调整小波系数的阈值来控制压缩比例，从而实现对信号的高效压缩。
小波重构还可以用于信号的去噪。
在信号中存在噪声的情况下，通过小波分解可以将信号分解为不同尺度的频率成分，其中高频成分通常包含噪声。
通过对高频小波系数进行阈值处理，可以将噪声滤除，然后再进行小波重构，得到去噪后的信号。
小波重构还可以用于信号的特征提取。
通过选择适合的小波基函数，可以提取出信号中的有用信息，如信号的边缘、频率特征等。
这对于信号的分类、识别和模式分析等任务非常重要。
在实际应用中，小波重构的性能取决于选择合适的小波基函数和调整小波系数的阈值。
不同的小波基函数适用于不同类型的信号，因此在选择小波基函数时需要考虑信号的特性。
而阈值的选择则需要根据信号的噪声水平和重构精度来确定，过高的阈值可能会导致信号信息的丢失，而过低的阈值则可能无法有效去除噪声。
小波变换的重构公式是一种重要的信号处理方法，它通过将信号分解成不同尺度的频率成分，并通过加权求和的方式实现信号的重构。
小波重构在信号压缩、去噪和特征提取等领域有着广泛的应用，能够帮助我们更好地理解和处理信号。
信号的描述方法
号，如噪声。
信号的特性
幅度
幅度是指信号的强度或振幅，表示信号的大小或强弱程度。在模拟信号中，幅度通常表示 为连续变化的物理量；在数字信号中，幅度通常表示为电压或电流的幅度。
示信号的周期性或节奏。在模拟信号中，频率表示为 连续变化的波形；在数字信号中，频率表示为二进制数据的变化速率。
Z变换
Z变换的定义
Z变换是一种将离散时间信号序列从时域转换到复平面上的频域的方法，通过 将序列 $x[n]$ 映射到复平面上的函数 $X(z)$ 来描述信号的频域特性。
Z变换的性质
具有线性性、时移性、频移性、时域卷积定理和频域卷积定理等性质，可以用 于分析信号的频域特性和系统的稳定性。
THANKS
相位
相位是指信号在不同时刻所处的位置或状态，表示信号的时间关系或同步性。相位的变化 通常用于调制和解调等通信技术中。
02
信号的时域描述
信号的幅度
01
02
03
04
幅度
表示信号的强弱程度，通常用 振幅来描述。振幅是信号在时
域中的最大值或最小值。
幅度调制
通过改变信号的幅度来传递信 息，例如声音的响度或无线电
计算方法
通过将信号分解为不同频率的正弦波和余弦波，然后计算每个频率 分量的能量，再除以对应的频率带宽，得到每个频带的能量密度。
应用
用于分析信号的频谱特性和频率成分，了解信号在不同频率下的能量 分布情况。
功率谱密度函数
定义
功率谱密度函数（PSD）是描述 信号功率在频率域分布的函数， 表示单位频带内的信号功率。
频谱密度函数的应用
用于信号的统计特性分析和噪声抑制等。
傅里叶变换
01
02
03
信号与系统的基本概念-1
例: 求下列积分
(2)
(1)
t
(3t 2 2t 1) (1 t )dt e ( )d
(3) (t 2 3) (t 2)dt
1
1
解:
(1) 原式 (3t 2 2t 1) (t 1)dt
(3t 2 2t 1)
例: 画出 f (t)=(t-1)U(1-t2)的波形。
10
2、单位门信号
1 G (t ) 0
2 2 其余
t
性质：截取性
G (t ) U (t ) U (t ) 2 2
单位门信号G(t)具有使任意无时限信号f (t)变为时限信 号的功能，即将f (t)乘以G(t) ，所得f (t)G(t)即为时限信号。 3、单位冲激信号 (1)定义
6
m=0, ±1, ±2, …
例: 试判断下列信号是否为周期信号。若是，确定其周期。
(1) f1 (t ) sin 3t cost 3 16 1 (2) f 2 (t ) A sin( t ) B cos( t ) C sin( t ) 2 15 29
解： f1(t)中两个子信号sin3t和cos t 的周期分别为 (1)
Sa (t )
特点： ① ② ③ ④ ⑤
Sa(t ) Sa(t )
偶函数
t 0
t 0, Sa (t ) 1, 即 lim Sa (t ) 1
Sa(t ) 0,
t n , n 1,2,3,
sint t dt
0
sint dt , t 2
数字信号处理复习总结-最终版
绪论:本章介绍数字信号处理课程的基本概念。
0.1信号、系统与信号处理1.信号及其分类信号是信息的载体，以某种函数的形式传递信息.这个函数可以是时间域、频率域或其它域，但最基础的域是时域。
分类：周期信号/非周期信号确定信号/随机信号能量信号/功率信号连续时间信号/离散时间信号/数字信号按自变量与函数值的取值形式不同分类：2.系统系统定义为处理（或变换）信号的物理设备,或者说,凡是能将信号加以变换以达到人们要求的各种设备都称为系统。
3。
信号处理信号处理即是用系统对信号进行某种加工。
包括：滤波、分析、变换、综合、压缩、估计、识别等等。
所谓“数字信号处理”,就是用数值计算的方法，完成对信号的处理.0.2 数字信号处理系统的基本组成数字信号处理就是用数值计算的方法对信号进行变换和处理。
不仅应用于数字化信号的处理，而且也可应用于模拟信号的处理。
以下讨论模拟信号数字化处理系统框图。
（1）前置滤波器将输入信号x a（t)中高于某一频率（称折叠频率,等于抽样频率的一半）的分量加以滤除。
（2)A/D变换器在A/D变换器中每隔T秒（抽样周期)取出一次x a(t)的幅度，抽样后的信号称为离散信号。
在A/D 变换器中的保持电路中进一步变换为若干位码。
（3）数字信号处理器（DSP）(4）D/A变换器按照预定要求,在处理器中将信号序列x（n)进行加工处理得到输出信号y（n）。
由一个二进制码流产生一个阶梯波形，是形成模拟信号的第一步.（5）模拟滤波器把阶梯波形平滑成预期的模拟信号；以滤除掉不需要的高频分量，生成所需的模拟信号y a(t）.0.3 数字信号处理的特点（1）灵活性.(2）高精度和高稳定性。
(3)便于大规模集成。
（4）对数字信号可以存储、运算、系统可以获得高性能指标。
0。
4 数字信号处理基本学科分支数字信号处理（DSP)一般有两层含义，一层是广义的理解，为数字信号处理技术-—DigitalSignalProcessing,另一层是狭义的理解,为数字信号处理器—-DigitalSignalProcessor.0。
信号与系统MATLAB常见信号的表示及运算
信号与系统——实验指导实验一 常见信号的表示及运算一、实验目的1．熟悉常见信号的意义、特性及波形2. 掌握用matlab软件产生基本信号的方法.3. 应用matlab软件实现信号的加、减、乘、反褶、移位、尺度变换及卷积运算。
二、实验原理1. 信号的表示方法● 常用信号：连续函数()θω+=t t f sin )(, at Ae t f =)(，ttt Sa sin )(= 离散信号()n n f 0sin )(ω=，njw e n f 0)(=，)()(n u a n f n =● 奇异信号：连续函数：冲激函数)(t δ，阶跃函数)(t u ，斜坡函数)(t R 离散信号：冲激函数)(n δ，阶跃函数)(n u ，斜坡函数)(n R2．卷积连续函数的卷积：⎰∞∞--=τττd t f f t g )()()(21离散函数的卷积：∑∞-∞=-=m m n fm f n g )()()(21三、实验要求1.预习实验原理;2.对实验内容编写程序(M文件),上机运行;3.绘出运算或变换后信号的波形.四．实验内容1. 熟悉matlab 工作环境（1） 运行matlab.exe ，进入matlab 工作环境，如图（1）所示。
图1 matlab工作环境（2） matlab工作环境由Command Window（命令窗口）、Current Direcroty（当前目录）、workspace（工作空间）、command History（历史命令）和Editor（文件编辑器）5部分组成。
其中所有文件的编辑和调试、运行在Editor编辑窗口下进行。
程序的运行也可以在命令窗口进行。
程序调试的信息显示在命令窗口。
（3） 程序文件的产生：点击菜单file下的New下的M_files，进入编辑器界面，如图2。
图2 M文件编辑器（4） 在m文件编辑器下键入程序代码，保存程序文件（命名规则同C语言）。
如果所定义的是函数文件，则要求函数名为M文件名。
希尔伯特变换公式
希尔伯特变换公式希尔伯特变换（Hilbert Transform）是信号处理领域中的一种重要方法，可以将实部信号变换为虚部信号或者将虚部信号变换为实部信号。
它常用于信号分析、调制解调、信号检测等应用中。
希尔伯特变换在数学上具有许多重要的性质和定理，其中最著名的就是希尔伯特变换的公式。
X(t) = \frac{1}{\pi} P.V. \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x(\tau)}{t - \tau} d\tau其中，X(t)表示得到的复信号，x(t)表示原始的实部信号，P.V.表示柯西主值，\int_{-\infty}^{\infty}表示对变量\tau从负无穷到正无穷的积分。
这个公式的意义是，通过对原始信号进行积分，并用柯西主值来消除奇点，得到一个复信号。
复信号X(t)的实部就是原始信号x(t)，而虚部则是原始信号在频域上的一个相位信息。
X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-i \omega t} dt 其中，X(\omega)表示变换后得到的频域信号，e^{-i \omega t}表示傅里叶变换的基函数。
然后，我们通过一些数学技巧，可以将傅里叶变换转换为希尔伯特变换。
具体过程如下：1. 对傅里叶变换的结果X(\omega)进行频域平移，将频率轴平移到正半轴。
X(\omega) \rightarrow X(\omega - \frac{\pi}{2})2.将平移后的结果再进行傅里叶反变换，得到变换后的信号y(t)。
y(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\omega -\frac{\pi}{2}) e^{i \omega t} d\omega3. 最后，我们通过在变换后的信号上加上一个相位角为-\frac{\pi}{2}的复指数，得到复信号X(t)。
X(t) = y(t) e^{-i \frac{\pi}{2}} = y(t) (-i)将y(t)带入公式中，得到：X(t) = -\frac{i}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i \omega t} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) e^{-i (\omega -\frac{\pi}{2})\tau} d\tau \right] d\omega通过交换积分的顺序，可以得到：X(t) = \frac{1}{\pi} P.V. \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x(\tau)}{t - \tau} d\tau这就是希尔伯特变换的公式。
信号第一章3(4)讲_2
16
t
t
t
t
f ( )d
2.5
t
0.5 1 2 3 t
返回
17
1.7 离散时间信号—序列
表示离散信号的时间函数，只在某些规定 的离散瞬时给出函数值；在其他时间，函数 没有定义。
这些时间上不连续的值构成数值的序列。
一、常用的离散时间信号 二、离散时间信号的运算
18
一、常用的离散时间信号 1、单位函数序列
2
0
2、当
0
不是整数时，但为有理数 其中，Q，P为互质的整数
只有当k=P，N=Q时 为最小正整数
28
2
Q 0 P 2
Q 则： N k P k 0
3、当
0 是无理数时，任何k皆不能使N为正整 数，此时正弦序列是非周期的。
2
无论正弦序列是否呈周期性，0都称为它 的频率
f(t/3) 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t
13
f(t/3)u(3-t) 1 0 1 2 3 t
3. 解：将f(t)表示为函数形式
f (t ) R(t ) R(t 1) u(t 3)
所以，
f (t ) u(t ) u(t 1) (t 3)
也称“单位脉冲”，“单位冲激”，“单位取样”
单位函数定义：
1 n 0 (n) 0 n 0
(n)
0 1 2
n
(n)类似于连续时间信号(t)，但其定义很简 单： (n)在n=0处幅值为1，其余点取值为0。 19
2、单位阶跃序列
1 n 0 u(n) 0 n 0
1第一章信号分析的理论基础11引言引言12信号的分类信号的分类13信号的基函数表示法信号的基函数表示法14正交函数正交函数15奇异函数16信号的时域分解与变换信号的时域分解与变换17离散时间信号序列18卷积卷积216信号的时域分解与变换将信号分解为正交函数的线性组合将信号表示为阶跃信号或冲激信号之和信号的时域分解316信号的时域分解与变换一任意信号分解为阶跃函数之和二任意信号表示为冲激函数之和三信号的时域变换练习
matlab信号omp 法
matlab信号omp 法
"matlab信号omp法"这句话指的是在MATLAB环境中使用正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit，简称OMP）算法处理信号的方法。
正交匹配追踪（OMP）是一种贪婪算法，用于求解稀疏表示问题。
在信号处理中，我们经常需要从一组测量数据中恢复出原始信号，而原始信号往往可以被一组基函数稀疏表示。
OMP算法就是用来求解这个问题的。
在MATLAB中，可以使用omp函数来实现OMP算法。
omp函数的基本语法如下：
[x,resnorm,residual,exitflag] = omp(A,b,c)
其中，
●A是基函数组成的矩阵
●b是测量数据组成的向量
●c是稀疏表示的稀疏度（即需要恢复的信号的非零元素个数）
omp函数返回以下输出：
●x是恢复的信号
●resnorm是恢复误差的范数
●residual是恢复误差
●exitflag是退出标志，如果成功恢复信号，则exitflag为1，否则为0。
最后总结来说，"matlab信号omp法"是指在MATLAB环境中使用正交匹配追踪算法处理信号的方法。
这种方法可以有效地从测量数据中恢复出原始信号，特别适用于处理稀疏信号。
信号的分类及其表示方法
ˆ x(t ) {
x (t ), 0t T x (t kT ), 其他
也可通过“零延拓”将x(t)延拓为非周期无限 长信号：
(t ) {x (t ), x 0,
0t T
其他
对于有限长离散信号（向量） T x x0 , x1 , x2 ,..., xN 1 ，常将其延拓成无穷 x(t ) {xk } ： 周期序列
v v(t )
（1-1-1）
其中v是电压,t是时间变量．
设v(t)是周期函数(周期为2π),则在一定条 件下可表为傅立叶级数:
a0 v(t ) (an cos nt bn sin nt ) 2 n1
（1-1-2）
其中：
1 an 2 1 bn 2
v(t ) cos ntdt , n 0,1, 2,...
对于任意一点 t0 ，总可以找到一个连
续函数，其傅立叶级数在该点 发散的。
t0
处是
存在绝对可积的函数x(t),其傅立叶级数
处处发散。
当函数x(t)平方可积时，其傅立叶级数
处处收敛。
对于一些傅立叶级数收敛性不好的连续
函数，在某种平均意义下具有很好的收 敛性。
例如,若记SN (t )为连续周期函数x(t)的傅立叶 级数的前2N+1项部分和，则
1-3-2 单位脉冲和线性系统
所谓单位脉冲 (t ) ，通常被用来表 示瞬间存在的冲激信号。该冲击信号的 物理特征是在t=0处取值为无穷大，而在 其他时刻取值均为零；或者是具有一定 特性的函数序列的极限。 由于其自身所具有的特性， (t ) 函 数有着不同的数学解释。在课本中介绍 了几种常被科技工作者使用的关于 (t ) 的解释。
实验一 常用基本信号的MATLAB表示和运算
一．实验目的1.学会用MATLAB 表示常用连续信号的方法；2.学会用MATLAB 进行信号基本运算的方法； 二．实验原理与步骤 原理：1.信号的MATLAB 表示 （1）向量表示法对于连续时间信号()f t ,可以用两个行向量f 和t 来表示，其中向量t 是用形如12::t t p t =的命令定义的时间范围向量，其中，1t 为信号起始时间，2t 为终止时间，p 为时间间隔。
向量f 为连续信号f(t)在向量t 所定义的时间点上的样值。
例如：对于连续信号sin()()()t f t Sa t t==，同时用绘图命令plot()函数绘制其波形。
其程序如下： t2=-10:0.1:10; %定义时间t 的取值范围：-10~10，取样间隔为0.1，%则t2是一个维数为201的行向量 f2=sin(t2)./t2; %定义信号表达式，求出对应采样点上的样值 %同时生成与向量t2维数相同的行向量f2 figure(2); %打开图形窗口2Plot(t2,f2); %以t2为横坐标，f2为纵坐标绘制f2的波形 运行结果如下：（2）符号运算表示法如果一个信号或函数可以用符号表达式来表示，那么我们就可以用前面介绍的符号函数专用绘图命令ezplot()等函数来绘出信号的波形。
例如：对于连续信号sin()()()t f t Sa t t==，我们也可以用符号表达式来表示它，同时用ezplot()命令绘出其波形。
其MATLAB 程序如下： Syms t; %符号变量说明f=sin （t ）/t; %定义函数表达式ezplot （f,[-10,10]）; %绘制波形，并且设置坐标轴显示范围 运行结果如下：（3）常见信号的MATLAB 表示 单位阶跃信号：方法一：调用Heaviside(t)函数首先定义函数Heaviside(t)的m函数文件，该文件名应与函数名同名即Heaviside.m。
%定义函数文件，函数名为Heaviside,输入变量为x,输出变量为yfunction y=Heaviside（t）y=(t>0);%定义函数体，即函数所执行指令%此处定义t>0时y=1,t<=0时y=0,注意与实际的阶跃信号定义的区别。
信号与系统定义知识点总结
信号与系统定义知识点总结一、信号的基本概念1. 信号的定义：信号是指随时间或空间变化的某一物理量，它可以是电压、电流、声压、光强等。
信号可以是连续的，也可以是离散的。
2. 基本信号类型：常见的信号类型包括连续时间信号、离散时间信号、周期信号、非周期信号等。
3. 基本信号操作：信号的加法、乘法、平移、缩放等操作对信号的表示和分析非常有用。
二、连续时间信号的表示和分析1. 连续时间信号的表示：连续时间信号可以用数学函数来表示，如正弦函数、余弦函数、指数函数等。
2. 连续时间信号的性质：连续时间信号的周期性、奇偶性、能量和功率等性质对信号的分析和处理至关重要。
3. 连续时间信号的分析方法：傅里叶级数和傅里叶变换是分析连续时间信号最常用的方法，它可以将信号分解成一系列正弦、余弦函数的和，方便对信号进行分析。
三、离散时间信号的表示和分析1. 离散时间信号的表示：离散时间信号可以用序列来表示，如离散单位冲激函数、阶跃函数等。
2. 离散时间信号的性质：离散时间信号的周期性、能量和功率等性质对信号的分析和处理同样十分重要。
3. 离散时间信号的分析方法：离散傅里叶变换和Z变换是分析离散时间信号最常用的方法，它可以将离散时间信号转换成频域表示，方便对信号进行分析。
四、系统的基本概念1. 系统的定义：系统是对信号进行输入输出转换的装置或过程，它可以是线性系统、非线性系统，时变系统、时不变系统等。
2. 系统的性质：系统的稳定性、因果性、线性性、时不变性等性质对系统的分析和设计至关重要。
3. 系统的表示和分析：系统可以用微分方程、差分方程、传递函数、状态空间等不同方法进行表示和分析。
五、线性时不变系统的性质与分析1. 线性时不变系统的特点：线性时不变系统具有线性性质和时不变性质，这使得对其进行分析和设计更加方便。
2. 线性时不变系统的表示：线性时不变系统可以用微分方程、差分方程、传递函数、状态空间等不同方法进行表示。
3. 线性时不变系统的分析方法：冲激响应、频域分析、零极点分析等方法对线性时不变系统的分析非常重要。
信号和系统的数学描述及其性质
2.3 系统的数学描述及其分类(续)
5) 人口增长模型 6) 飞机高度控制系统 若某地第 n 年总人口为 y[ n]， 航迹雷达测得第 n 秒飞机的实际 k 为人口增长率， x[n] 是第 n 高度为 y[n] ； x[n] 为计算机给出 的飞机的预期高度作为系统的输 年从外地迁入的人口。则有 入，它与前一秒飞机实际高度 y[n] (1 k ) y[n 1] x[n] y[n 1] 之差来调节飞机高度， 调节速度为 c ( x[ n] y[ n 1]) ， 或改写成
2 3 4
5 6 7 8 2
n
5 4 3 2 1 0 1 2
至少，对于有限长序列，序列值表是它的一种充分的表示。
2.2 信号的数学描述及其分类(续)
● 模拟信号和数字信号 通常所谓的“模拟信号”就是连续时间信号。
数字信号却不等同于离散时间信号，它可以看成 离散时间信号的一个子类，它们之间的差别为：
几点说明：
● 连续时间信号除了在无限或有限实数区间上处处连续的函 数外，还包括具有孤立的不连续点的函数。本课程中有关 连续函数中的不连续点的概念有所突破(见下表)。 高等数学中 泛函分析中 阶跃型不连续点的函数值等 阶跃型不连续点上函数没有定义， 于其左、右极限之半，且认 不连续点处是可微的，微分会产生 为不连续点处是不可微的。 像冲激函数那样的奇异函数。 ● 离散时间信号通常有两种情况： ▲ 通过对连续时间信号“等间隔抽样”获得的样本值序列，其 中自变量所取的整数即为抽样间隔的整数倍。 ▲ 自变量只能取值与某个整数集合的离散时间序列，例如：
23系统的数学描述及其分类续各种各样的数乘系统包括所有的传感器或换能器这些不同系统的输入和输出的信号变换关系都可写成扬声器23系统的数学描述及其分类续23系统的数学描述及其分类续一个动力学系统两个系统的数学描述是二阶线性常系数微分方程23系统的数学描述及其分类续这两个离散时间系统的数学描述形式称为差分方程飞机高度控制系统若某地第年总人口为年从外地迁入的人口
小波变换原理公式
小波变换原理公式小波变换是一种信号处理和数据分析的方法，它可以将信号分解成不同尺度的频率成分。
小波变换的原理公式如下：W(a, b) = ∫f(t)ψ*[(t-b)/a]dt其中，W(a, b)表示小波系数，a和b分别表示尺度参数和平移参数。
f(t)是原始信号，ψ(t)是小波基函数。
小波变换的原理可以通过对其公式进行解释。
首先，尺度参数a控制小波基函数的压缩或扩展程度，即决定了小波基函数在时间轴上的拉伸。
当a较大时，小波基函数会被拉伸，从而对应较低频率的成分；而当a较小时，小波基函数会被压缩，对应较高频率的成分。
平移参数b则决定了小波基函数在时间轴上的平移，即决定了小波基函数的起始位置。
通过改变平移参数b，可以对不同时间段的信号进行分析。
小波变换的过程可以分为两个步骤：分解和重构。
首先，通过不同尺度和平移参数的组合，对原始信号进行分解，得到一系列小波系数。
这些小波系数表示了不同频率和时间范围的信号成分。
然后，通过逆小波变换，将这些小波系数重构成原始信号。
小波变换具有多尺度分析的特点，可以对信号的局部特征进行捕捉。
相比于傅里叶变换，小波变换更适用于非平稳信号的分析，因为小波基函数在时间和频率上都有局部性。
小波变换在许多领域都有广泛的应用。
在信号处理中，小波变换可以用于信号去噪、特征提取、边缘检测等。
在图像处理中，小波变换可以用于图像压缩、图像增强等。
在金融分析中，小波变换可以用于股票价格预测、风险管理等。
在生物医学领域，小波变换可以用于心电信号分析、脑电信号分析等。
小波变换是一种强大的信号处理和数据分析工具，其原理公式提供了一种理论基础。
通过对尺度和平移参数的调节，可以对不同频率和时间范围的信号成分进行分析和提取。
小波变换在许多领域都有广泛的应用，为解决实际问题提供了有效的工具和方法。
傅里叶变换和小波变换的基函数
傅里叶变换和小波变换的基函数傅里叶变换和小波变换是两种常用的信号处理技术，它们在许多领域都有广泛的应用，如图像处理、音频处理、通信系统等。
这两种变换方法的主要区别在于它们的基函数不同，这使得它们在处理不同类型的信号时具有不同的特性和优势。
一、傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法，它的基本思想是将一个复杂的信号分解成一系列简单的正弦波和余弦波的叠加。
傅里叶变换的基函数是复指数函数，具体形式如下：f(t) = Σa_n * e^(-i * 2 * pi * n * t)其中，a_n是傅里叶系数，表示第n个正弦波或余弦波的幅值；i是虚数单位；t是时间变量；n是频率变量。
傅里叶变换的优点是计算简单，易于实现。
然而，它的基函数是固定的，无法根据信号的特性进行自适应调整，因此在处理非平稳信号时可能存在一些问题。
例如，在处理含有大量高频成分的信号时，傅里叶变换可能会丢失部分信息，导致重构信号的质量下降。
二、小波变换小波变换是一种比傅里叶变换更为灵活的信号处理方法，它的基本思想是将一个复杂的信号分解成一系列具有不同尺度和位置的小波基函数的叠加。
小波变换的基函数是由母小波通过平移和缩放得到的一组函数，具体形式如下：ψ_a,b(t) = 1 / sqrt(a) * ψ(t / a) * e^(-i * b * t)其中，ψ_a,b(t)表示第a层、第b个小波基函数；ψ(t)是母小波；a是尺度变量；b是平移变量；t是时间变量。
小波变换的优点是可以对信号进行多尺度、多分辨率的分析，因此具有很强的局部化能力。
这意味着它可以更好地捕捉信号中的瞬时特征，从而提高信号处理的效果。
此外，由于小波变换的基函数可以自适应调整，因此在处理非平稳信号时具有更好的性能。
然而，小波变换的计算复杂度较高，尤其是在高维信号处理时。
三、傅里叶变换与小波变换的比较1. 基函数：傅里叶变换的基函数是固定复指数函数，而小波变换的基函数是一组可以自适应调整的小波函数。
信号基本运算(尺度变换,卷积等)
o 123
n
hn
1
o 123 n
hn m
a m um
hn m
a m um
o 123
m
n0
o 123
m
n 1
y(n) u(n) n αm 1 αn1 un 1 yn
m0
1α
11
当n 时，yn 1
1α
o 1234
g(t )
1 1t
1 2
d
t
2 T4
1 f1 f2t
1 O t 3 1
t
t 3 1
t
3
1
即2 t 4
g(t) 1 1(t )d t 2 t 2
t3 2
42
T4
1 f1
f2t
（A）1
（B）-1
（C）1.5 f1（t）
（D) -0.5
f t f1 t f2 t
f2（t）
-1
t
1
-1
tt
图1
2、卷积积分f (t-t1)* δ(t-t2)的结果为
A.f (t-t1-t2)
B. δ(t-t1-t2)
C.f (t+t1+t2)
D. δ(t+t1+t2)
3、已知f1 (t),f2(t)的波形如题图所示，试 画出f1(t)*f2(t)的波形。
当 f1或t 为f2非t 连续函数时，卷积需分段，积分限分段定。
卷积的性质
•代数性质 •微分积分性质 •与冲激函数或阶跃函数的卷积
一．代数性质
正交基函数
正交基函数
正交基函数是一种常用的数学工具，尤其是在加法和乘法理论中发挥着重要的
作用。
它的算法可以在高维度的空间中找到相互正交的基底函数，使得其基底函数可以用来表示任意复杂的数据。
正交基函数的性质使得在现实生活的很多领域都有着广泛的应用，比如在信号处理领域，可以使用正交基函数来表示信号。
在机器学习中，正交基函数也可以用来进行多维特征抽取，使得机器能够学习最重要的特征，从而实现高效的学习。
正交基函数主要有几种，比如三角形波函数、Haar 小波和二次特征函数。
三
角��波函数是一种最常用的正交基函数，它有许多用途，一般用于信号的频谱分解、量子力学中的波模态以及数学可行性计算等。
Haar 小波是一种常用的正交基
函数，它是一种专门用于完成机器学习多维特征抽取的算法，能够在任何复杂的数据集上训练出最重要特征。
另外，二次特征函数是根据训练数据自动选择出来的，它用来提取最重要的二次特征，这样可以减少训练数据集中冗余数据的影响，从而实现更加高效的机器学习。
很多的现实应用都使用到了正交基函数，它们在各个领域发挥重要作用，使得
计算机可以更有效地进行学习。
而且，正交基函数也是高效、可复制和可操作的，所以它们能够被用来解决大多数实际问题。
另外，正交基函数也有助于实现更加精准的机器学习，使得机器能够准确地把握现实情况，从而帮助人们解决复杂的问题。
信号理论(总结)
更精确的不确定原理：
ˆ( ) L2 , 则： 设s (t ) L2 , 且满足：ts (t ), s
2 1 s sˆ 1 4Covt 2
第二章
信号空间 --------信号理论的数学基础
集合论基础
集合:
具有某种特定性质的事物的总体。
信号的集合表示：
正弦 信号 周期信号 能量有限信号 带宽有限信号
总能量： E
2 | s ( t ) | dt 信号波形的时域特征：平均时间（时间中心）：
<t>= t | s(t ) | dt
2
持续时间(时宽）：
= (t <t>) | s(t ) | dt
2 t 2
2
任意时间函数的平均值：
<g(t )>= g (t ) | s(t ) | dt
f n ( x) f 0 ( x) , a.e
即：A {x f n ( x)不收敛与f 0 ( x)}是一个零测集。
控制收敛定理
假定f n ( x) f ( x)几乎处处, 如果 f n ( x) g ( x) 对于所有的n成立，那么f ( x)可积，并且
f ( x)dx lim f
2 ˆ M n Sx ˆ xx , x M n} x { x L ； xx ˆ
投影定理：
ˆ a1e1 x ˆ, e1 ) 0 (x x
ˆ ( x, e1 )e1 x
2
ˆ x ( x, e1 )e1 min x x xx
表示唯一。即 x V
线性空间的基不是唯一的。
信号的基函数表示法
常用的完备正交函数集： 1、三角函数集
1, cos 1t , cos 21t ,cos n1t , sin 1t , sin 21t ,sin n1t ,
2、复指数函数集
1, e j1t , e j 21t , e jn1t , j1t j 21t jn1t e ,e , e ,
dt
d ,
所以 f (t )
f ( ) (t ) d
出现在不同时刻的， 不同强度的冲激函 数的和。
X
2．连续阶跃信号之和
f t f t 1 f t 1 t 1 f 0
第
16 页
t 1 t1
第
12 页
O
O
O
f (t ) f A (t ) f D (t ) f D t ：信号的直流分量，即 平均值。 1 tห้องสมุดไป่ตู้0 T f D (t ) f (t ) d t T t0
1 P T
t 0 T
t0
1 f (t ) d t T
2
t 0 T
t0
f D ( t ) f A ( t ) d t f ( t ) 1 T
基函数
f (t ) an n (t )
n
需要解决的问题： (1)选择最佳基函数集фn(t) (2)确定相应的系数an 函数之间具有正交性、系数具有终结性
X
1.4 正交函数
方式不是惟一的： V1用V2 表示， V1 V V V V V e1 Ve1 1 c c1 2 2 2 e Ve 2 Ve 2 c12V2 Ve cV
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
r 1
g1 t , g 2 t g r t 相互正交：
基底函数 r =0,1,2,...n t2 i j 0, t1 gi (t ) g j (t ) d t K i , i j
cr
t2
t1
f (t ) gr (t ) d t
V1 V2 0
系数
即 c12 0
两矢量正交
X
第
正交分解
•平面中任一矢量可分解为x,y二方向矢量。 •空间中任一矢量可分解为x,y,z三方向矢量。
4 页
•一个三维空间矢量 V xi yj zh ，必须用三个正交
的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差：
常用的完备正交函数集： 1、三角函数集
1, cos 1t , cos 21t ,cos n1t , sin 1t , sin 21t ,sin n1t ,
2、复指数函数集
1, e j1t , e j 21t , e jn1t , j1t j 21t jn1t e ,e , e ,
t1
若c12 0， f 1 (t ), f 2 (t )称为正交函数，满足 则
t2
t1
f 1 (t ) f 2 (t ) d t 0
X
第
三．正交函数集
信号的基函数表示方法
n
6 页
任意信号f(t)可表示为n维正交函数之和：
f ( t ) c1 g1 ( t ) c2 g2 ( t ) cr gr ( t ) cn gn ( t ) cr gr ( t )
9 页
内相互正交的条件是 两复变函数在区间t 1 , t 2
t2
t1
f 1 ( t ) f ( t )dt f 2 ( t ) f 1 ( t )dt 0
2 t1
t2
内，复变函数集 gr t r 1,2,, n满足关系 若在区间 t1 , t 2
第
12 页
O
O
O
f (t ) f A (t ) f D (t ) f D t ：信号的直流分量，即 平均值。 1 t 0 T f D (t ) f (t ) d t T t0
1 P T
t 0 T
t0
1 f (t ) d t T
2
t 0 T
t0
f D ( t ) f A ( t ) d t f ( t ) 1 T
§1.3信号的基函数表示法
1.3 信号的基函数表示法
• 信号的表示方法
2 1
第
f (t )
2 页
1、抽象符号：f(t)、x(t) 2、图形表示： -1 0 2 3、解析表达式：f1(t)=Asint，f2(t)=u(t) 4、统一的形式：用一组基本的时间函数的线性组合
基函数
f (t ) an n (t )
dt
d ,
所以 f (t )
f ( ) (t ) d
出现在不同时刻的， 不同强度的冲激函 数的和。
X
2．连续阶跃信号之和
f t f t 1 f t 1 t 1 f 0
第
16 页
t 1 t1
X
序言
为了便于研究信号的传输和处理问题，往往将 信号分解为一些简单(基本)的信号之和，分解角度 不同，可以分解为不同的分量 • • • • • • 直流分量与交流分量 偶分量与奇分量 脉冲分量 实部分量与虚部分量 正交函数分量 利用分形理论描述信号
第
11 页
X
一．直流分量与交流分量
f (t ) E t t f A (t ) E t f D (t )
第
13 页
o : odd
1 f e ( t ) f ( t ) f ( t ) 2 1 f o ( t ) f ( t ) f ( t ) 2 信号的平均功率 = 偶分量功率 + 奇分量功率
X
三．脉冲分量
1．矩形窄脉冲序列
f t f
第
14 页
2 2 D
t 0 T
t0
2 f A (t ) d t
信号的平均功率 = 信号的直流功率 + 交流功率
X
二．偶分量与奇分量
对任何实信号而言：
f e ( t ): 偶分量 f ( t ) f e ( t ) f o ( t ) f o ( t ): 奇分量 f e t f e t e : even f o t f o t
2 2
第 3 页
一．矢量的正交分解
V2
怎样分解，能得到最小的误差分量？
Ve V2
c12V2 c1V2
V1 c12V2 Ve 误差矢量 c12V2 V1 cos(V1V2 ) V1 cos(V1V2 ) V1V2 cos(V1V2 ) V1 V2 c12 V2 V2V2 V2 V2
0
O
t
f ( t ) f (0)u( t )
d f ( t1 ) u( t t1 ) d t1 d t1
将信号分解为冲激信号叠加的方法应用很广， 后面的卷积积分中将用到，可利用卷积积分求系统 的零状态响应。
Xห้องสมุดไป่ตู้
四．实部分量与虚部分量
瞬时值为复数的信号可分解为实虚部两部分之和。
第
17 页
t2 t1
t2
t1
f (t ) g r (t ) d t Kr
g 2 r (t ) d t
•此公式是个通式，适合于任何正交函数集。
• c1 , c 2 ,c n 是相互独立的，互不影响，计算时先抽取 哪一个都可以，非正交函数就无此特性。 •正交函数集规定： 所有函数应两两正交。 不能因一个函数集中某几个函数相互正交就说该 函数集是正交函数。
可浏览网站：
X
cr
t2
t1 t2
f ( t ) gr ( t ) d t
t1
gr ( t ) gr ( t ) d t
,
gr ( t )为gr ( t )的共轭
X
第
五、完备正交函数集
r 1
10 页
当n 时，满足f (t ) Cr g r (t )，则称函数集为完备正交函数集
f (t ) fr (t ) jf i (t )
共轭复函数
f * (t ) f r (t ) jf i (t )
即
1 fr (t ) f (t ) f * (t ) 2
1 jf i ( t ) f ( t ) f * ( t ) 2
实际中产生的信号为实信号，可以借助于复信号来 研究实信号。
当t ,
O
t
脉高：f , 脉宽： , 存在区间： (t ) u(t ) u 此窄脉冲可表示为 f u(t ) u(t )
X
第
15 页
从 到, f (t )可表示为许多窄脉冲的 叠加
f (t )
X
第
总结
• 两周期信号在同一周期内(同区间内)正交的条件是 c12=0，即：
8 页
T
f1 ( t ) f 2 ( t ) d t 0
正交矢量之间相互不包含分量 • 对一般信号在给定区间正交，而在其他区间不一定 满足正交。 • 两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一 信号。
X
第
四.复变函数的正交特性
X
五．正交函数分量
如果用正交函数集来表示一个信号，那么，组成 信号的各分量就是相互正交的。把信号分解为正交函 数分量的研究方法在信号与系统理论中占有重要地位， 这将是本课程讨论的主要课题。 我们将在第三章中开始学习。
第
18 页
X
六．利用分形（fractal）理论描述信号
• • • •
第
19 页
分形几何理论简称分形理论或分数维理论； 示例 创始人为B.B.Mandelbrot; 分形是“其部分与整体有形似性的体系”； 在信号传输与处理领域应用分形技术的实例表现在 以下几个方面：图像数据压缩、语音合成、地震信 号或石油探井信号分析、声纳或雷达信号检测、通 信网业务流量描述等。这些信号的共同特点都是具 有一定的自相似性，借助分性理论可提取信号特征， 并利用一定的数学迭代方法大大简化信号的描述， 或自动生成某些具有自相似特征的信号。
V xi yj , Ve zh 0
X
第
二．正交函数
5 页
在区间 t 1 t t 2 内，信号f 1 t 用f 2 t 表示，即 f 1 (t ) c12 f 2 (t ) 误差 t2 1 2 2 2 ε f e (t ) t1 f (t ) c12 f 2 t dt t 2 t1 d 2 为求使 2最小的c12 , 必需使 0, 求得 系数 dc12 t2 t1 f 1 (t ) f 2 (t ) d t f 1 (t ), f 2 (t c12 t2 f 2 ( t ), f 2 ( t f 22 ( t ) d t
t2 t1
t2
t1
g i ( t ) g i* ( t ) d t g i ( t ), g i ( t ) K i
i j
g i ( t ) g * ( t ) d t g i ( t ), g j ( t ) 0 j