一次函数与一元一次不等式(基础)知识讲解
一次函数与一元一次方程不等式
数学集体备课教案
不等式ax+b＞c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值大于c的对应的自变量取值范围；
不等式ax+b＜c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值小于c的对应的自变量取值范围．
三、互学展示
例2 画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求：
（1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集;
（2）当x取何值时，y<3?
做一做
如图，已知直线y=kx+b与x轴交于点(- 4,0)，则当y>0时，x的取值范围是（）
归纳总结
求kx+b＞0(或<0)(k≠0)的解集,从“函数值”看y=kx+b的值大于(或小于)0时，x的取值范围
求kx+b＞0(或<0)(k≠0)的解集, 从“函数图象”看确定直线y=kx+b在x轴上方(或下方)的图象所对应的x 取值范围
四、帮学提升
1．一次函数y=kx+3的图象如图所示，则方程kx+3=0的解为 .
2.学习之友p60第2题学生自行回答
组内练习，组长帮助组员解决问题
x −3
y。
一元一次不等式与一次函数
（2）列：将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
（3）解：解方程得出未知系数的值；
（4）答：将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
二、典型例题：
1、若点 在函数 的图象上，则 的值是
（1）当x分别取何值时，y1=y2，y1<y2，y1>y2？
（2）在同一坐标系中，分别作出这两个函数的图像，请你说说（1）中的解集与函数图像之间的关系．
6、某企业急需一辆汽车，但无资金购买，公司经理决定租一辆汽车，使用期限为一个月．甲汽车出租公司的出租条件为每千米的租车费为1．2元，乙汽车出租公司的条件是每月须支付司机800元的工资，另外每千米的租车费为1元，设在这一个月中汽车行驶x（km），租用甲公司的费用为y1（元），租用乙公司的费用为y2（元）．
增减性
k>0，y随x的增大而增大；（从左向右上升）
k<0，y随x的增大而减小。（从左向右下降）
倾斜度
|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
图像的
平 移
b>0时，将直线y=kx的图象向上平移 个单位；
b<0时，将直线y=kx的图象向下平移 个单位.
4、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（ 设、列、解、答 ）
自变量
范 围
x为全体实数
图 象
一条直线
必过点
（0，0）、（1，k）
（0，b）和（- ，0）
走 向
k>0时，直线经过一、三象限；
k<0时，直线经过二、四象限
k＞0，b＞0,直线经过第一、二、三象限
八年级数学下册第19章一次函数 一次函数与一元一次方程不等式说课稿新版新人教版
一次函数与一元一次方程、不等式一、教材分析1、地位和作用本大节内容是在学生已有对一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组等的认识之后,从变化和对应的角度,对一次运算进行更深入的讨论,是站在更高起点上的动态分析。
通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系,用函数的观点加深对这些已经学习过的内容的认识,加强知识间的横向和纵向联系,发挥函数的统领作用,构建和发展相互联系的知识体系。
本节课的主要内容是对前两小节内容的复习,但不是简单的回顾复习,而是居高临下的进行动态分析,使新旧知识融会贯通,加大学生对已经学习过的相关内容之间联系的认识,进一步体验函数的重要性,提高灵活分析问题和解决问题的能力。
2、教材的重点与难点：本节的教学重点是巩固一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的关系；由于从图象的角度认识方程及不等式涉及到变化、对应以及数形结合的思想,这对学生来说有一定困难,所以本节的教学难点为从函数图象的角度认识一元一次方程及一元一次不等式。
二、目标分析：1、知识技能：充分利用图象巩固一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的关系。
2、数学思考：通过对一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的关系的探究及相关实际问题的解决,体会数形结合的思想。
3、解决问题：能利用一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的关系,解决实际问题。
4、情感态度：（1）、通过对一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的关系的探索,培养学生的探究精神,体会事物之间的相互联系；（2）、通过利用一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的联系解决实际问题,进一步感受数学的价值。
三、学法分析1、学生自主探索,思考问题,获取知识,掌握方法,真正成为学习的主体。
2、学生在小组合作学习中体验学习的快乐。
合作交流的友好氛围,让学生更有机会体验自己与他人的想法,从而掌握知识,发展技能,获得愉快的心理体验。
四、教法分析本节课以启发激励为主,让学生在习题的逐层升华中乐学、会学、善学。
一元一次不等式与一次函数
一元一次不等式与一次函数【基础知识精讲】1.一元一次不等式与一次函数的关系。
两个一次函数有时根据需要，要比较其函数值的大小，这时问题就转化为一元一次不等式的问题。
另一方面，利用解不等式的方法也可以求出两个一次函数的值的大小。
事实上，不等式与函数和方程是紧密联系的一个整体。
2.一次函数的图象与一元一次不等式的关系。
一次函数y=kx＋b（k≠0）的图像是一条直线，当kx＋b＞0时，表示图像在x轴上方的部分；当kx＋b=0时，表示直线与x轴的交点；当kx＋b＜0时，表示图像在x轴下方的部分。
【考点聚焦】本章一元一次不等式与一次函数是中考热点，随着素质教育的逐步发展，突出了对创新意识的考查，加大了对“三个一次”（即一元一次方程，一次函数，一元一次不等式）综合应用考查及解决实际问题的考查。
题型有选择题、填空题及解决实际问题（多为压轴题）。
【典例精析】例1作出函数y=x－3的图象如图所示，并观察图象回答下列问题：（1）x取哪些值时，y＞0；（2）x取哪些值时，y＜0；（3）x取哪些值时，y＞3。
思路点拨：首先要认清一次函数的图象是一条直线，两点确定一条直线，所以需要知图象上两点的坐标，可取(3，0)和(0，－3)。
解：由图象可知：（1）当x＞3时，y＞0；（2）当x＜3时，y＜0；（3）当x＞6时，y＞3。
评注：（1）两点确定一条直线。
（2）大于往右看，小于往左看。
【试解相关题】兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9米，然后自己才开始跑。
已知弟弟每秒跑3米，哥哥每秒跑4米，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：（1）何时弟弟跑在哥哥前面？（2）何时哥哥跑在弟弟前面？思路点拨：此题两问均牵扯到不等式问题，但需先列函数关系式。
解：设当时间为x秒时，跑过的路为y米，则y哥哥=4x，y弟弟=3x＋9如图所示，由图象知9秒前弟弟跑在哥哥前面；9秒后，哥哥跑在弟弟前面。
评注：通过以上两例，体会：刻画运动变化的规律需要用函数模型；刻画运动变化过程中的某一瞬间需要用方程模型。
第三节 一元一次不等式与一次函数的关系(一)
第三节一元一次不等式与一次函数的关系（一）【学习目标】1．一元一次不等式与一次函数的关系。
2．会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较.【学习重难点】重点：了解一元一次不等式与一次函数之间的关系。
难点：利用方程、不等式、函数思想解决实际问题。
【学习过程】1、一次函数y=kx+b的图像是，交x轴于点（，），交y轴于（，）。
2.不等式kx+b＞0的解即为x轴方函数图像所对应的x的值；不等式kx+b＜0的解即为x轴方函数图像所对应的x的值。
二．教材精读例1：作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题：（1）x取哪些值时，2x－5=0？（2）x取哪些值时，2x－5＜0？（3）x取哪些值时，2x－5＞3？实践练习：兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9 m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3 m，哥哥每秒跑4 m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：（1）何时弟弟跑在哥哥前面？（2）何时哥哥跑在弟弟前面？（3）谁先跑过20 m？谁先跑过100 m？（4）你是怎样求解的？与同伴交流？ax －3例2：当x 取什么值时，一次函数y =3x +12的值（1）是正数； （2）是负数； （3）是零？分析：x 轴上方的图像对应的函数值大于0，x 轴下方的图像对应的函数值小于0，x 轴上的图像对应的函数值等于0.实践练习：在同一坐标系中画出一次函数y 1＝－x ＋1与y 2＝2x －2的图象，并根据图象回答下列问题：（1）写出直线y 1＝－x ＋1与y 2＝2x －2的交点P 的坐标．（2）直接写出：当x 取何值时y 1＞y 2；y 1＜y 2形成提升1、 某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x 千米，个体车主收费y 1元，国营出租车公司收费为y 2元，观察下列图象可知，当x________时，选用个体车较合算.2、如图，已知函数y＝3x＋b和y＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象可得不等式3x＋b＞ax－3的解集是_______________。
一元一次不等式与一次函数讲解
一元一次不等式与一次函数讲解一元一次不等式与一次函数是数学中非常重要的概念，它们在我们的生活中都有广泛的应用。
本文将从定义、性质、解法等多个方面介绍一元一次不等式与一次函数，帮助读者更加深入地理解这两个概念。
一、一元一次不等式一元一次不等式，简单来说，就是只有一个未知量的一次不等式。
比如：ax + b > c，其中a、b、c是已知实数，x是未知实数。
一元一次不等式常常用于解决一些实际问题，比如数量关系、利润计算等。
一、一元一次不等式的性质1. 对于一元一次不等式ax + b > c，如果a > 0，则当x > (c-b)/a时，不等式成立；如果a < 0，则当x < (c-b)/a时，不等式成立。
2. 对于一元一次不等式ax + b < c，如果a > 0，则当x < (c-b)/a时，不等式成立；如果a < 0，则当x > (c-b)/a时，不等式成立。
上述性质可以帮助我们更好地解决一元一次不等式的问题。
二、一次函数一次函数，是指一个函数的自变量只有一个，且函数的表达式是一个一次多项式。
一次函数通常表示成f(x) = kx + b的形式，其中k 和b为常数。
一次函数在实际问题中经常被用到，比如直线运动、物品价格变化等，因为它的表达式简单，易于计算，而且有明确的几何意义。
二、一次函数的性质1. 一次函数的图像是一条直线。
2. 当k > 0时，函数图像单调递增；当k < 0时，函数图像单调递减。
3. 如果k = 0，则函数是一个常函数，图像为一条水平直线；如果b = 0，则函数是一个零函数，图像过原点。
4. 一次函数的x轴截距为-b/k，y轴截距为b。
上述性质有助于我们更好地理解一次函数的性质，同时也为我们解决一些实际问题提供了帮助。
三、一元一次不等式的解法对于一元一次不等式ax + b > c，我们可以通过以下几个步骤来解决：1. 将不等式移项得到ax > c-b。
一元一次不等式与一次函数整理
一元一次不等式与一次函数整理一元一次不等式和一次函数是初中数学中的重要内容，它们在实际生活中有着广泛的应用。
本文将从概念、性质、解法和应用四个方面来介绍一元一次不等式和一次函数。
一、概念一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次不等式，例如：ax+b>c，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
一次函数是指函数的表达式为y=kx+b，其中k、b为常数，x、y为自变量和因变量。
二、性质1. 一元一次不等式的解集是一个区间，可以用数轴表示出来。
2. 一次函数的图像是一条直线，斜率k表示函数的增长速度，截距b表示函数的起点。
3. 一元一次不等式和一次函数都具有可加性和可减性，即若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
三、解法1. 一元一次不等式的解法有两种：图像法和代数法。
图像法是将不等式转化为数轴上的图形，通过观察图形来确定解集。
代数法是通过移项、化简等代数运算来求解。
2. 一次函数的解法是通过求出函数的斜率和截距，然后画出函数的图像，根据图像来确定函数的性质和解析式。
四、应用1. 一元一次不等式和一次函数在经济学中有着广泛的应用，例如：利润、成本、收益等问题都可以用一次函数来描述。
2. 一元一次不等式和一次函数在物理学中也有着重要的应用，例如：速度、加速度、力等问题都可以用一次函数来描述。
3. 一元一次不等式和一次函数在生活中也有着实际的应用，例如：购物打折、优惠券等问题都可以用一元一次不等式来描述，而房价、工资等问题都可以用一次函数来描述。
一元一次不等式和一次函数是初中数学中的重要内容，它们在实际生活中有着广泛的应用。
掌握一元一次不等式和一次函数的概念、性质、解法和应用，对于提高数学素养和解决实际问题都有着重要的意义。
一元一次不等式与一次函数的关系
一元一次不等式与一次函数的关系
一元一次不等式与一次函数之间有着密切的联系，这一联系表现在以下几个方面：
一、当令一元一次不等式中等号左边的表达式为一次函数时，可以将其化简为一次函数形式：
1. 一元一次方程组：
a. 当一元一次方程组中等式左右两边分别为一次函数时，可以将其化简为一次函数形式。
b. 两个一次方程涉及到同一个未知数时，可以最终得出结果，即将一元一次不等式化简为一次函数的形式。
2. 一元二次不等式：
a. 当一元二次不等式左边为一次函数时，也可以将其化简为一次函数形式。
b. 二次不等式的解也可以表现为一次函数的形式，即分段函数。
二、求解一元一次不等式可以利用一次函数的性质：
1. 关于一元一次方程：
a. 利用一次函数求函数图像实现一元一次方程的求解，从而得到不
等式的解。
b. 利用一次函数的性质验证不等式的正确性，从而得到不等式的解。
2. 关于一元二次方程：
a. 利用一次函数的对称性，判断不等式的大小，从而得到不等式的解。
b. 利用一次函数的单调性，得到不等式上下界，从而得到不等式的解。
综上所述，一元一次不等式与一次函数有着密切的联系，一元一次不
等式可以化简为一次函数形式，求解一元一次不等式也可以利用一次
函数的性质。
一次函数与一元一次不等式(基础)知识讲解
一次函数与一元一次不等式（基础）【学习目标】1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想．2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．【要点梳理】【高清课堂：393614 一次函数与一元一次不等式，知识要点】要点一、一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.要点二、一元一次方程与一元一次不等式我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.要点三、如何确定两个不等式的大小关系（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．【典型例题】类型一、一次函数与一元一次不等式1、如图，直线交坐标轴于A（－3，0）、B（0，5）两点，则不等式＜0的解集为（ ）A．＞－3 B．＜－3 C．＞3 D．＜3【思路点拨】＜0即＞0，图象在轴上方所有点的横坐标的集合就构成不等式＞0的解集.ax b +ax b +ax b +ax b +a b a y ax b =+x ax b +a x y ax b =+y ax b =+x y ax b cx d +>+a c 0ac ≠⇔y ax b =+y cx d=+x ⇔y ax b =+y cx d =+y kx b =+kx b--x x xx kx b --kx b +x kx b +【答案】A；【解析】观察图象可知，当＞－3时，直线落在轴的上方，即不等式＞0的解集为＞－3，∵＜0∴＞0，∴＜0解集为＞－3．【总结升华】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．举一反三：【高清课堂：393614 一次函数与一元一次不等式，例2】【变式】如图，直线与坐标轴的两个交点分别为A（2，0）和B（0，－3），则不等式＋3≥0的解集是（ ）A．≥0 B．≤0 C．≥2 D．≤2【答案】A；提示：从图象上知，直线的函数值随的增大而增大，与轴的交点为B （0，－3），即当＝0时，＝－3，所以当≥0时，函数值≥－3．2、直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解为（ ）．A． B． C． D．无法确定【答案】B；x y kx b =+x kx b +x kx b --kx b +kx b --x y kx b =+kx b +x x xx y kx b =+y x y x y x kx b +b x k y l +=11:x k y l 22:=x x k b x k 21>+1->x 1-<x 2-<x【解析】从图象上看的解，就是找到在的上方的部分图象，看这部分图象自变量的取值范围.当时，，故选B.【总结升华】本题考察了用数形结合的方法求解不等式的大小关系，解题的关键是找出表示两条直线的交点的横坐标，再根据在上方的图象表示的函数值大，下方的图象表示的函数值小来解题.举一反三：【变式】直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式＜的解集为（ ）A．＞1 B．＜1 C．＞－2 D．＜－2【答案】B；提示：与直线：在同一平面直角坐标系中的交点是（1，－2），根据图象得到＜1时不等式＜成立．3、画出函数的图象，并利用图象求：(1)方程2＋1＝0的解；(2)不等式2＋1≥0的解集；(3)当≤3时，的取值范围；(4)当－3≤≤3时，的取值范围．【思路点拨】可用两点法先画出函数的图象，方程2＋1＝0的解从“数”看就是自变量取何值时，函数值是0，从“形”看方程2＋1＝0的解就相当于确定直线与轴的交点，故图象与轴交点的横坐标就是方程2＋1＝0的解．同理：图象在轴上方所有点的横坐标的集合就构成不等式2＋1＞0的解集．【答案与解析】解：列表：x012-y 10x k b x k 21>+1l 2l 1-<x x k b x k 21>+1l 1y k x b =+2l 2y k x c=+x 1k x b +2k x c +x x x x 1y k x b =+2l 2y k x c =+x 1k x b +2k x c +21y x =+x x y x y x 21y x =+x x x 21y x =+x x x x x在坐标系内描点(0，1)和，并过这两点画直线，即得函数的图象．如图所示．(1)由图象可知：直线与x 轴交点，∴ 方程2＋1＝0的解为；(2)由图象可知：直线被轴在点分成两部分，在点右侧，图象在轴的上方．故不等式2＋1≥0的解集为；(3)过点(0，3)作平行于轴的直线交直线于点M，过M 点作轴的垂线，垂足为N．则N 点坐标为(1，0)；从图象上观察，在点(1，0)的左侧，函数值≤3，则当≤3时，自变量的取值范围是≤1；(4)过(0，－3)作轴的平行线交直线于点P ，过P 作轴的垂线，垂足为H，则点H 的坐标为(－2，0)．观察图象，在(－2，0)的右侧，在(1，0)的左侧，函数值－3≤≤3．∴ 当－3≤≤3时，自变量的取值范围是－2≤≤1．【总结升华】仔细体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系： (1)一元一次方程(是已知数)的解就是直线上这点的横坐标；(2)一元一次不等式≤≤(，是已知数，且＜)的解集就是直线上满足≤≤那条线段所对应的自变量的取值范围；(3)一元一次不等式≤(或≥)(是已知数)的解集就是直线上满足≤(或1,02⎛⎫-⎪⎝⎭21y x =+21y x =+1,02⎛⎫-⎪⎝⎭x 12x =-21y x =+x 1,02⎛⎫-⎪⎝⎭1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭x x 12x ≥-x 21y x =+x y y x x x 21y x =+x y y x 0kx b y +=0y y kx b =+0y y =1y kx b +2y 1y 2y 1y 2y y kx b =+1y y 2y kx b +0y kx b +0y 0y y kx b =+y 0y≥)那条射线所对应的自变量的取值范围.举一反三：【变式】（2015春•东城区期末）已知直线y=kx+b 经过点A（5，0），B（1，4）．（1）求直线AB 的解析式；（2）若直线y=2x﹣4与直线AB 相交于点C，求点C 的坐标；（3）根据图象，写出关于x 的不等式2x﹣4＞kx+b 的解集．【答案】解：（1）∵直线y=kx+b 经过点A（5，0），B（1，4），∴，解得，∴直线AB 的解析式为：y=﹣x+5；（2）∵若直线y=2x﹣4与直线AB 相交于点C，∴．解得，∴点C（3，2）；（3）根据图象可得x＞3．类型二、用一次函数的性质解决不等式的实际问题4、（2015•新疆）某超市预购进A、B 两种品牌的T 恤共200件，已知两种T 恤的进价如表所示，设购进A 种T 恤x 件，且所购进的两种T 恤全部卖出，获得的总利润为W 元． 品牌 进价/（元/件） 售价/（元/件）A 50 80B 4065（1）求W 关于x 的函数关系式；（2）如果购进两种T 恤的总费用不超过9500元，那么超市如何进货才能获得最大利润？并求出最大利润．（提示：利润=售价﹣进价）【思路点拨】（1）由总利润=A 品牌T 恤的利润+B 品牌T 恤的利润就可以求出w 关于x 的函数关系式；y 0y（2）根据“两种T恤的总费用不超过9500元”建立不等式求出x的取值范围，由一次函数性质就可以求出结论．【答案与解析】解：（1）设购进A种T恤x件，则购进B种T恤（200﹣x）件，由题意得：w=（80﹣50）x+（65﹣40）（200﹣x），w=30x+5000﹣25x，w=5x+5000．答：w关于x的函数关系式为w=5x+5000；（2）∵购进两种T恤的总费用不超过9500元，∴50x+40（200﹣x）≤9500，∴x≤150．∵w=5x+5000．∴k=5＞0∴w随x的增大而增大，∴x=150时，w的最大值为5750．∴购进A种T恤150件．∴购进A种T恤150件，购进B种T恤50件可获得最大利润，最大利润为5750元．【总结升华】本题考查了由销售问题的数量关系求函数的解析式的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，一次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．。
八下一元一次不等式与一次函数
一、概述不等式与一次函数作为初中数学的重要内容，是数学中的基础知识之一。
通过学习不等式与一次函数，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高数学运算能力，培养数学思维。
在八年级下册中，不等式与一次函数的学习也是一个重点内容，本文将重点介绍八下一元一次不等式与一次函数的相关知识。
二、一元一次不等式的基本概念1. 一元一次不等式的定义一元一次不等式是指一个未知数的一次方程，且不等式关系为大于、小于、大于等于或小于等于。
2. 一元一次不等式的解集一元一次不等式的解集是使不等式成立的所有实数的集合。
解集一般用数轴上的区间表示。
3. 一元一次不等式的性质一元一次不等式的性质包括加减法性质、乘除法性质以及绝对值性质。
这些性质在求解一元一次不等式时起着重要作用。
三、一元一次不等式的解法1. 一元一次不等式的解法求解一元一次不等式时，可以通过加减法、乘除法性质，或者通过绝对值性质来进行变形。
然后求出不等式的解集。
2. 一元一次不等式的解集表示一元一次不等式的解集表示在数轴上的区间，可以用不等号的方向和顶点来表示。
3. 一元一次不等式的解的检验求解一元一次不等式后，需要进行解的检验，即将得到的解集带入不等式中，验证所求解是否正确。
四、一次函数的基本概念1. 一次函数的定义一次函数是指函数y=kx+b，其中k和b是常数，且k≠0。
一次函数的图像是一条直线。
2. 一次函数的图像特征一次函数的图像是一条直线，其斜率k决定了直线的斜率和方向，常数b决定了直线的截距。
3. 一次函数的性质一次函数的性质包括增减性、奇偶性、零点、定义域、值域等。
五、一元一次不等式与一次函数的通联1. 一元一次不等式与一次函数的关系一元一次不等式与一次函数之间存在着密切的通联，通过不等式解的方法可以求出一次函数的定义域和值域，通过一次函数的图像可以帮助理解不等式解集的表示。
2. 一元一次不等式与一次函数的应用一元一次不等式与一次函数的知识可以相互应用，通过一次函数的图像特征可以帮助理解不等式的解集表示，通过不等式解的方法可以求出一次函数的定义域和值域。
一次函数和方程关系解不等式的方法一次函数与一元一次不等式
一次函数和方程关系:
一次函数
一元一次方程
形式
y=kx+b
ax+b=0
内容
表示的是一对(x，y)之间的关系，
它有无数对解
表示的是未知数x的值，
最多只有1个值
一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的关系：
（1）一元一次不等式ax+b>0（a≠0）是一次函数y=ax+b（a≠0）的函数值>0的情形；一元一次不等式ax+b<0（a≠0）是一次函数y=ax+b（a≠0）的函数值<0的情形。
（2）直线y=ax+b上使函数值y>0（x轴上方的图像）的x的取值范围是ax+b>0的解集；使函数值y<0（x轴下方的图像）的x的取值范围是ax+b<0的解集。
相互关系
一次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元一次方程的根
例如：
y=4x+8与x轴的交点是(2，0),
则一元一次方程4x+8=0的根是x=2。
函数和不等式:
解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。
对应一次函数y=kx+b，它与x轴交点为（b/k，0）。
当k>0时，不等式kx+b>0的解为：x> b/k，不等式kx+b<0的解为：x< b/k；
一元一次不等式与一次函数洋葱数学
一元一次不等式与一次函数洋葱数学本文将介绍一元一次不等式与一次函数在洋葱数学中的应用。
我们将从基本概念开始，逐步深入探讨这两个概念的关系，以及它们在数学和实际问题中的应用。
一元一次不等式是指形如ax+b<c或ax+b>c的不等式，其中a、b、c均为实数，且a≠0。
一次函数是指形如y=ax+b的函数，其中a、b均为实数，且a≠0。
在洋葱数学中，这两个概念是紧密相关的。
首先，我们可以通过一次函数的图像来直观地理解一元一次不等式。
一次函数的图像通常是一条直线，可以分成两个部分：斜率为正的部分和斜率为负的部分。
对于一元一次不等式ax+b<c或ax+b>c来说，其实就是在一条直线上选择某一条区间，使得不等式成立。
具体来说，如果a>0，则不等式ax+b<c的解集是一条直线上左侧的一段区间，不等式ax+b>c的解集是一条直线上右侧的一段区间；如果a<0，则不等式ax+b<c的解集是一条直线上右侧的一段区间，不等式ax+b>c的解集是一条直线上左侧的一段区间。
其次，一元一次不等式与一次函数还有一个重要的联系，那就是它们都可以用来解决实际生活中的问题。
例如，假设你每天需要走路去学校，走一公里需要消耗x卡路里的能量，你的身体每天最多能消耗y卡路里的能量，那么你最多能走多少公里呢？这个问题可以用一元一次不等式来解决，假设你最多能走d公里，则有xd≤y，即x≤y/d，这就是一个一元一次不等式。
如果我们把每天走的路程d作为自变量，消耗的能量x作为因变量，那么就可以得到一个一次函数。
通过求解这个不等式或者函数，就可以得出你最多能走多少公里，从而合理安排自己的身体状况。
综上所述，一元一次不等式与一次函数在洋葱数学中都是非常基础的概念，它们之间有着密切的联系，并且都具有广泛的应用。
对于学习数学的人来说，深入理解这两个概念的关系，将会有助于更好地掌握数学知识，提高解决实际问题的能力。
一次函数一元一次方程和一元一次不等式讲解
一次函数一元一次方程和一元一次不等式讲解1.什么是一次函数一次函数，也称为一次多项式函数或线性函数，是指形如$y=a x+b$的函数，其中$a$和$b$是常数，$x$是自变量，$y$是因变量。
一次函数的图像为一条直线，具有特定的斜率和截距。
一次函数的基本形式为$y=ax+b$，其中$a$表示斜率，决定了函数图像的倾斜程度，$b$表示截距，决定了函数图像与$y$轴的交点。
2.一元一次方程的求解等式性质一元一次方程是指只含有一个变量的一次方程。
解一元一次方程的核心思想是通过运用和**方程统一变形原则**，将方程逐步化简，最终得到变量的解。
求解一元一次方程的一般步骤如下：1.对方程中的项进行整理和合并，使得方程成为$a x+b=0$的形式；2.根据方程统一变形原则，将方程中的常数项移至方程的右侧，得到$a x=-b$；3.利用解方程的等式性质，将方程两边同时乘以$\fr ac{1}{a}$，得到$x=\f ra c{-b}{a}$；4.化简得到最终解，即$x$的值。
通过以上步骤，可以求得一元一次方程的解。
3.一元一次不等式的求解等式性质一元一次不等式是指只含有一个变量的一次不等式。
求解一元一次不等式的方法与求解一元一次方程类似，同样可以运用和**不等式统一变形原则**。
求解一元一次不等式的一般步骤如下：1.对不等式中的项进行整理和合并，使得不等式成为$a x+b<c$或$a x+b>c$的形式；2.根据不等式的性质，将常数项移至不等式的右侧；3.根据不等式统一变形原则，将不等式两边同时乘以正数或除以负数，注意在乘或除的过程中要考虑到反号问题；4.根据不等式的性质，得到不等式的最终解。
需要注意的是，在进行不等式符号的翻转时，需要根据乘或除的正负进行对应，以确保不等式符号的方向正确。
4.总结一次函数、一元一次方程和一元一次不等式在数学中起着重要的作用。
掌握了一次函数的概念和性质，以及求解一元一次方程和不等式的方法，能帮助我们更好地理解和解决数学问题。
一元一次不等式与一次函数题型及做题技巧
一元一次不等式与一次函数题型及做题技巧一、引言在数学学习过程中，一元一次不等式与一次函数题型是我们经常会遇到的内容。
它们不仅在中学阶段占据着重要的位置，而且在后续学习中也有着深远的影响。
本文将以一元一次不等式与一次函数为主题，探讨其相关的题型及做题技巧，帮助读者更好地理解和掌握这一部分内容。
二、一元一次不等式的基础概念在开始探讨一元一次不等式的题型及做题技巧之前，我们首先需要了解一元一次不等式的基础概念。
一元一次不等式是指形如ax+b>c或ax+b<c的不等式，其中a、b、c均为实数，且a ≠ 0。
在解一元一次不等式时，我们需要找到不等式的解集，即满足不等式的实数的集合。
针对一元一次不等式，我们通常会涉及到一些常见的题型，例如绝对值不等式、含参数的不等式等。
在解题过程中，需要根据不等式的特点选取合适的解法，以便快速有效地求解不等式。
三、一元一次不等式题型及做题技巧1. 绝对值不等式绝对值不等式是一种常见的不等式类型，它的形式通常为|ax+b|>c或|ax+b|<c。
在解绝对值不等式时，我们需要将不等式分为两种情况讨论，即当ax+b>0时和ax+b<0时。
对于不等式|ax+b|>c，我们需要分别解出ax+b>c和ax+b<-c的不等式组，并将其合并得到最终的解集。
而对于不等式|ax+b|<c，我们同样需要分别解出ax+b<c和ax+b>-c的不等式组，然后得到最终的解集。
在解绝对值不等式时，我们需要注意 |ax+b| = a * x + b 或者 |ax+b| = -a * x - b ，然后分别进行讨论。
2. 含参数的不等式含参数的不等式是指不等式中存在未知参数的情况，通常我们需要根据参数的取值范围来求解不等式。
在解含参数的不等式时，我们需要分情况讨论参数的取值范围，然后分别求解不等式并得出最终的解集。
与绝对值不等式类似，在解含参数的不等式时，我们需要将不等式分为不同情况进行讨论，以免遗漏某些情况带来的解集。
一次函数与一元一次方程不等式关系PPT课件
通过一元一次方程求得的函数 解析式可以用来描述函数的图 像。
函数图像与一元一次方程解的关系
函数图像与x轴的交点是一元一次方程的解，即当y=0时，对应的x值就是方程的解。 函数图像与x轴的交点个数与一元一次方程的解的个数相同，可能有1个或多个解。
通过观察函数图像与x轴的交点情况，可以直观地了解一元一次方程的解的情况。
一次函数与一元一次方程不 等式关系ppt课件
• 一次函数的基本概念 • 一元一次方程的基本概念 • 一次函数与一元一次方程的关系 • 一次函数与一元一次不等式的关系 • 实例分析
01
一次函数的基本概念
一次函数的定义
01
一次函数：一般形式为y=kx+b （k≠0），其中x为自变量，y为因 变量，k为斜率，b为截距。
详细描述
选取几个典型的一次函数，如 y=x、y=2x+1等，通过代入法或 消元法将其转化为对应的一元一 次方程，并解释转化过程和原理 。
一次函数与一元一次不等式的实例分析
总结词
通过具体实例展示一次函数与一元一 次不等式的关系
详细描述
选取几个典型的一次函数，如y=x、 y=2x+1等，通过移项或不等式性质 将其转化为对应的一元一次不等式， 并解释转化过程和原理。
一元一次方程的解法
总结词
解一元一次方程通常采用移项、合并同类项、系数化为1等方法。
详细描述
解一元一次方程的基本步骤包括去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化 为1。例如，对于方程 3x - 5 = 2，可以通过移项和合并同类项得到 x = 3。
一元一次方程的应用
总结词
一元一次方程在实际生活中有广泛的应用如购物问题、行程问题等。02
斜率k决定了函数的增减性，k>0 时，函数单调递增；k<0时，函 数单调递减。
一次函数与一元一次不等式知识讲解
一次函数与一元一次不等式知识讲解一次函数是指变量的最高次数为1的函数，表达式一般为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a不等于0。
一元一次不等式是指一个未知数的一次函数与一个不等式关系。
一次函数与一元一次不等式是二元关系，它们在数学中具有重要的意义和应用。
一次函数的性质与特点：1.常数项b表示函数在y轴上的截距，在函数图像上表示函数曲线与y轴的交点。
2.系数a表示函数的斜率，代表了函数图像的倾斜程度。
当a>0时，函数是增函数；当a<0时，函数是减函数。
3.函数曲线是一条直线，通过两个点即可确定一条直线。
因此，一次函数的图像是一条直线。
一元一次不等式的性质与特点：1.不等式中的未知数只有一个，并且只有一次。
2.不等式关系可能是大于、小于、大于等于、小于等于等形式，根据实际问题选择不同的不等号。
3.解不等式的方法与解方程类似，但需要注意不等号的取等情况。
下面通过一个具体的例子来进一步讲解一次函数与一元一次不等式的应用。
例子：家庭的月度水费与用水量x的关系可以用一次函数表示，已知该家庭用水量每增加10立方米，水费增加12元。
如果一个月的水费超过100元，那么最少要用多少立方米的水？解析：设该家庭每个月用水量为x立方米，月度水费为f(x)元。
根据题意，我们可以列出一次函数的表达式：f(x)=12/10x+b其中，12/10x表示每增加10立方米，水费增加12元，b表示常数项。
根据题目中提到的条件，水费超过100元，即f(x)>100。
将f(x)代入不等式中，得到不等式：12/10x+b>100解不等式的步骤如下：1.将不等式转化为等式，得到12/10x+b=100。
2.消去分数，得到12x+10b=1000。
3.根据题意，b为常数项，所以可将10b看作常数C，得到12x+C=1000。
4.求解x，得到x=(1000-C)/12、由于x代表用水量，所以要求最少用水量，即x的值应该尽量小。
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一次函数与一元一次不等式（基础）
【学习目标】
1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观
地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数
形结合的思想及转化的思想．
2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．
【要点梳理】
要点一、一次函数与一元一次不等式
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax b +＞0或ax b +＜0或ax b +≥0或ax b +≤0（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数
y ax b =+的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范
围.
要点诠释：求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集，从“数”的角度看，就是x 为何值时，函数y ax b =+的值大于0？从“形”的角度看，确定直线y ax b
=+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.
要点二、一元一次方程与一元一次不等式
我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的
解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.
要点三、如何确定两个不等式的大小关系
ax b cx d +>+（a ≠c ，且0ac ≠）的解集⇔y ax b =+的函数值大于y cx d =+的
函数值时的自变量x 取值范围⇔直线y ax b =+在直线y cx d =+的上方对应的点的横坐标范围．
【典型例题】
类型一、一次函数与一元一次不等式
1、如图，直线y kx b =+交坐标轴于A （－3，0）、B （0，5）两点，则不等式kx b
--＜0的解集为（ ）
A ．x ＞－3
B ．x ＜－3
C ．x ＞3
D ．x ＜3
【思路点拨】kx b --＜0即kx b +＞0，图象在x 轴上方所有点的横坐标的集合就构成不等式kx b +＞0的解集.
【答案】A ；
【解析】观察图象可知，当x ＞－3时，直线y kx b =+落在x 轴的上方，
即不等式kx b +＞0的解集为x ＞－3，
∵kx b --＜0
∴kx b +＞0，
∴kx b --＜0解集为x ＞－3．
【总结升华】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
举一反三：
【变式】如图，直线y kx b =+与坐标轴的两个交点分别为A （2，0）和B （0，－3），则不等式kx b +＋3≥0的解集是（ ）
A ．x ≥0
B ．x ≤0
C ．x ≥2
D ．x ≤2
【答案】A ；
提示：从图象上知，直线y kx b =+的函数值y 随x 的增大而增大，与y 轴的交点
为B （0，－3），即当x ＝0时，y ＝－3，所以当x ≥0时，函数值kx b +≥－3．
2、直线b x k y l +=11:与直线x k y l 22:=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，
则关于x 的不等式x k b x k 21>+的解为（ ）．
A ．1->x
B ．1-<x
C ．2-<x
D ．无法确定
【答案】B ；
【解析】从图象上看x k b x k 21>+的解，就是找到1l 在2l 的上方的部分图象，看这部分图象
自变量的取值范围.当1-<x 时，x k b x k 21>+，故选B.
【总结升华】本题考察了用数形结合的方法求解不等式的大小关系，解题的关键是找出表示两条直线的交点的横坐标，再根据在上方的图象表示的函数值大，下方的图象表示的函数值小来解题.
举一反三：
【变式】直线1l ：1y k x b =+与直线2l ：2y k x c =+在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式1k x b +＜2k x c +的解集为（ ） y=k 2-1-2y x y=k 1x+b
O
A ．x ＞1
B ．x ＜1
C ．x ＞－2
D ．x ＜－2
【答案】B ；
提示：1y k x b =+与直线2l ：2y k x c =+在同一平面直角坐标系中的交点是（1，
－2），根据图象得到x ＜1时不等式1k x b +＜2k x c +成立．
3、（2016春•瑞昌市期中）如图，根据图中信息解答下列问题：
（1）关于x 的不等式ax+b ＞0的解集是 ．
（2）关于x 的不等式mx+n ＜1的解集是 ．
（3）当x 为何值时，y 1≤y 2？
（4）当x 为何值时，0＜y 2＜y 1？
【思路点拨】紧密结合图象，根据直线与坐标轴的交点来确定不等式的解集，从而判断函数值的大小关系.
【答案与解析】
解：（1）∵直线y 2=ax+b 与x 轴的交点是（4，0），
∴当x ＜4时，y 2＞0，即不等式ax+b ＞0的解集是x ＜4；
故答案是：x ＜4；
（2）∵直线y1=mx+n与y轴的交点是（0，1），
∴当x＜0时，y1＜1，即不等式mx+n＜1的解集是x＜0；．
故答案是：x＜0；
（3）由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是（2，18），当函数y1的图象在y2的下面时，有x≤2，
所以当x≤2时，y1≤y2；
（4）如图所示，当2＜x＜4时，0＜y2＜y1．
【总结升华】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解答该类题目时，需要学生具备一定的读图能力，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出x的值，是解答本题的关键．举一反三：
【变式】（2015春•东城区期末）已知直线y=kx+b经过点A（5，0），B（1，4）．（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线y=2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
（3）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解集．
【答案】
解：（1）∵直线y=kx+b经过点A（5，0），B（1，4），
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为：y=﹣x+5；
（2）∵若直线y=2x﹣4与直线AB相交于点C，
∴．
解得，
∴点C（3，2）；
（3）根据图象可得x＞3．
类型二、用一次函数的性质解决不等式的实际问题
4、（2015•新疆）某超市预购进A、B两种品牌的T恤共200件，已知两种T恤的进价如表所示，设购进A种T恤x件，且所购进的两种T恤全部卖出，获得的总利润为W元．
品牌进价/（元/
件）
售价/（元/件）
A5080 B4065
（1）求W关于x的函数关系式；
（2）如果购进两种T恤的总费用不超过9500元，那么超市如何进货才能获得最大利润？并求出最大利润．（提示：利润=售价﹣进价）
【思路点拨】（1）由总利润=A品牌T恤的利润+B品牌T恤的利润就可以求出w关于x的函数关系式；
（2）根据“两种T恤的总费用不超过9500元”建立不等式求出x的取值范围，由一次函数性质就可以求出结论．
【答案与解析】
解：（1）设购进A种T恤x件，则购进B种T恤（200﹣x）件，由题意得：w=（80﹣50）x+（65﹣40）（200﹣x），
w=30x+5000﹣25x，
w=5x+5000．
答：w关于x的函数关系式为w=5x+5000；
（2）∵购进两种T恤的总费用不超过9500元，
∴50x+40（200﹣x）≤9500，
∴x≤150．
∵w=5x+5000．
∴k=5＞0
∴w随x的增大而增大，
∴x=150时，w的最大值为5750．
∴购进A种T恤150件．
∴购进A种T恤150件，购进B种T恤50件可获得最大利润，最大利润为5750元．
【总结升华】本题考查了由销售问题的数量关系求函数的解析式的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，一次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．。