曲线论 曲线的切线和法平面

§2.3 曲线的切线和法面
给出曲线上一点P ，点Q 是P 的临近一点（如图1），把割线PQ 绕
P
点旋转，使Q 点沿曲线趋于P 点，若割线PQ 趋近于一定的位置，则
我们把这个割线PQ 的极限位置称为曲线在P 点的切线. 定点P 称为切点. 直观上看，切线是通过切点的所有直线当中最贴近曲线的直线。

设曲线的参数方程是()r r t = ，切点P 对应参数0t ，Q 点对应参数0t t
+∆（如图
2），则有00()()PQ r t t r t =+∆-。

在割线PQ 上作向量PR ，使得00()()
r t t r t P R t
+∆-=
∆ 。

当Q P →（即0t ∆→）时，若
()r t
在0
t 可微，则由向量函数的微
商可得向量PR
的极限
0000()()()lim
t r t t r t r t t
∆→+∆-'=∆。

根据曲线的切线定义，得到
PR
的极限是切线上的一向量
()r t '
，它称为曲线上一点的切向
量。

由于我们已经规定只研究曲线的正常点，即()0r t '≠
，所以曲线上一点的切向量是存在的。

而这个切向量就是切线上的一个非零向量。

由以上的推导过程可以看出，这个切向量的正向和曲线的参数t
的增
O
量方向是一致的。

现在我们导出曲线上一点的切线方程。

我们仍设曲线上一个切点P 所对应的参数为0t ，P 点的向径是
0()r t ，{,,}X Y Z ρ=
是切线上任一点的向径
（如图3），因为00()()r t r t ρ'- ，则得P 点的切线方程为00()()r t r t ρλ'-=
，其中λ为切线上的参数。

下面再导出用坐标表示的切线方程。

设
0000(){(),(),()}r t x t y t z t =
， 0000(){(),(),()}r t x t y t z t ''''=
，
则由上述切线方程消去λ得到
000000()()()()
()
()
X x t Y y t Z z t x t y t z t ---=
=
'''，
这是坐标表示的切线方程。

例1 求圆柱螺线(){cos ,sin ,}r t a t a t bt =
在3
t π
=
处的切线方程。

解：易得
(){cos ,sin ,}r t a t a t bt =
， (){sin ,cos ,}r t a t a t b '=-
，
3
t π
=
时，有
(){,}3223a b r π
π= ，
(){,,}322
a r
b π
'=- ， 所以切线的方程为
(
)()33
r r π
π
ρλ'-=
，
即
1231()2
23
ae ae be λλπρλ-=
+
++。

如果用坐标表示，则得切线方程为
3
222a Z b
X Y a b
π
-
--
==，
即
223
Z b
X a Y a b
π---
=
=。

经过切点而垂直于切线的平面称为曲线的法平面或法面。

下面导出曲线的法面方程。

设曲线上一点P ，它所对应的参数为0t ，P 点的向径是0()r t
，
{,,}X Y Z ρ=
是法面上任一点的向径
（如图4），则由00()()r t r t ρ'-⊥
得到曲线的法面方程为
00[()]()0
r t r t ρ'-⋅=。

若设0000(){(),(),()}r t x t y t z t =
，
0000(){(),(),()}r t x t y t z t ''''=
，
则由上述法面方程得到
000000[()]()[()]()[()]()0X x t x t Y y t y t Z z t z t ''-⋅+-⋅+-⋅=，这就是坐标表示
的法面方程。

例2 求圆柱螺线(){cos ,sin ,}r t a t a t bt =
在6
t π
=处的法面方程。

解：易得
(){cos ,sin ,}r t a t a t bt =
， (){sin ,cos ,}r t a t a t b '=-
，
6
t π
=
时，有
(),,}6226a b r π
π= ，
(){,,}622
a r a
b π
'=- 。

所以法面的方程为
[()]()0
66
r r ππ
ρ'-⋅= ，
即
[]()())()0
2222
6
a a X Y Z
b b π
-
⋅-
+-
⋅+-
=，
整理后得到
2
203
aX bZ b π
-
-+
=。