五年级奥数约数个数和约数和

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高斯小学奥数五年级上册含答案_第10讲_约数与倍数

高斯小学奥数五年级上册含答案_第10讲_约数与倍数

第十讲约数与倍数在前面的章节,我们学习了数论中的整除和质数合数等知识.有关约数与倍数的知识.约数和倍数的定义是这样的:对整数a 和b ,如果a |b ,我们就称a 是b 的约数(因数),b 是a 的倍数.根据定义,我们很容易找到一个数的所有约数,例如对12:因为12 1 12 2 6 3 4 ,可知12可以被1、2、3、4、6、12整除,那么它的约数有 1、2、3、4、6、12,共6个.从上面12的分拆可以看出,约数具有“ 成对出现”的特征,也就是:最大约数对应最 小约数、第二大约数对应第二小约数等. 所以在写一个数的所有约数时,可以逐对写出.另 外如果计算较大约数不太方便,可以转而计算与其成对的较小约数.例题1. 12345654321的第三大约数是多少?「分析」第三大约数有点大,那我们可以先求出第三小的约数,12345678987654321的第二大约数是多少?从上面的分析知,可以通过枚举的方法逐对写出一个数的所有约数, 从而可就算出它的约数个数.但是对很大的数,例如 20120000,用枚举来计算个数便很麻烦,所以我们要采用新的方法计算.以72为例,首先采用枚举可知 72共12个约数,分别为1、72; 2、36; 3、24; 4、18;6、12; 8、9.因为72的约数能整除72,而72的所有质因数也都能整除 72,所以对72进 行质因数分解,有: 72 23 32,那么72的所有约数应当由若干个 2与若干个3构成.显 然,2有0个到3个共4种选择;3有0个到2个共3种选择,根据乘法原理,72的约数共4 3 12个,见下表(注意20 1、30 1 ):从72的这个例子,我们可以总结出计算约数个数的一个简单做法:今天,我们来学习数论中再根据它计算第三大的约数.约数个数等于指数加再相乘例题2.下列各数分别有多少个约数?23, 64, 75, 225,720.「分析」熟练掌握约数个数的计算公式即可.下列各数分别有多少个约数?18, 47, 243, 196, 450.例题3. 3600有多少个约数?其中有多少个是3的倍数?有多少个是4的倍数?有多少个不是6的倍数?「分析」约数既然能整除3600 ,那说明约数一定包含在3600的因数中•我们知道4 2 23600 2 3 5,那么3600的所有约数一定是由若干个2、若干个3和若干个5组成的.如果约数是3的倍数,那么它至少要含有多少个3?3456共有多少个约数?其中有多少个是3的倍数?有多少个是4的倍数?有多少个不是6的倍数?前面介绍过,一个数的约数具有“可配对”的特点,在练习时大家可以发现,平方数在进行配对时会出现两个重复的数,所以平方数有奇数个约数,根据上面关于约数个数的知识我们可以知道,有奇数个约数的数一定是平方数,有偶数个约数的数一定不是平方数.前面介绍过,一个数的约数具有“可配对”的特点,在练习时大家可以发现,平方数在进行配对时会出现两个重复的数, 所以平方数有奇数个约数, 根据上面关于约数个数的知识 我们可以知道, 有.奇.数.个.约.数.的.数.一.定.是.平.方.数. , 有.偶.数.个.约.数.的.数.一.定.不.是.平.方.数. .7222122231 02 03 0320301 21 302 22304 23 308 31 20 31 3 21 31 6 2231 12 23 3124 3220 32 92132 1822 32 36233272约数个数等于指数加1 再相乘例题 2.下列各数分别有多少个约数?23, 64, 75, 225, 720.「分析」 熟练掌握约数个数的计算公式即可. 练 习 2下列各数分别有多少个约数?18, 47, 243, 196, 450.例题 3.3600 有多少个约数?其中有多少个是 3的倍数?有多少个是 4 的倍数?有多少个不 是 6 的倍数? 「分析」 约数既然能整除 3600,那说明约数一定包含在 3600 的因数中.我们知道 4223600 24 32 52,那么 3600 的所有约数一定是由若干个 2、若干个 3和若干个 5组成的.如 果约数是 3 的倍数,那么它至少要含有多少个 3?练 习 33456 共有多少个约数?其中有多少个是3 的倍数?有多少个是4 的倍数?有多少个不是 6 的倍数?722212223前面介绍过,一个数的约数具有“可配对”的特点,在练习时大家可以发现,平方数在进行配对时会出现两个重复的数, 所以平方数有奇数个约数, 根据上面关于约数个数的知识 我们可以知道, 有.奇.数.个.约.数.的.数.一.定.是.平.方.数. , 有.偶.数.个.约.数.的.数.一.定.不.是.平.方.数. .1 02 03 0320301 21 302 22304 23 308 3120 31 3 21 31 6 2231 12 23 3124 3220 32 92132 1822 32 36233272约数个数等于指数加1 再相乘例题 2.下列各数分别有多少个约数?23, 64, 75, 225, 720.「分析」 熟练掌握约数个数的计算公式即可. 练 习 2下列各数分别有多少个约数?18, 47, 243, 196, 450.例题 3.3600 有多少个约数?其中有多少个是 3的倍数?有多少个是 4 的倍数?有多少个不 是 6 的倍数? 「分析」 约数既然能整除 3600,那说明约数一定包含在 3600 的因数中.我们知道 4223600 24 32 52,那么 3600 的所有约数一定是由若干个 2、若干个 3和若干个 5组成的.如 果约数是 3 的倍数,那么它至少要含有多少个 3?练 习 33456 共有多少个约数?其中有多少个是3 的倍数?有多少个是4 的倍数?有多少个不是 6 的倍数?7222122230 01 02 03 0前面介绍过,一个数的约数具有“可配对”的特点,在练习时大家可以发现,平方数在进行配对时会出现两个重复的数, 所以平方数有奇数个约数, 根据上面关于约数个数的知识 我们可以知道, 有.奇.数.个.约.数.的.数.一.定.是.平.方.数. , 有.偶.数.个.约.数.的.数.一.定.不.是.平.方.数. .30 20 301 21 302 22 304 23 308 3120 31 3 21 31 6 2231 12 23 3124 3220 32 92132 1822 32 36233272约数个数等于指数加1 再相乘例题 2.下列各数分别有多少个约数?23, 64, 75, 225, 720.「分析」 熟练掌握约数个数的计算公式即可. 练 习 2下列各数分别有多少个约数?18, 47, 243, 196, 450.例题 3.3600 有多少个约数?其中有多少个是 3的倍数?有多少个是 4 的倍数?有多少个不 是 6 的倍数? 「分析」 约数既然能整除 3600,那说明约数一定包含在 3600 的因数中.我们知道 4223600 24 32 52,那么 3600 的所有约数一定是由若干个 2、若干个 3和若干个 5组成的.如 果约数是 3 的倍数,那么它至少要含有多少个 3?练 习 33456 共有多少个约数?其中有多少个是3 的倍数?有多少个是4 的倍数?有多少个不是 6 的倍数?7222122231 02 03 032030121 3022230423 308前面介绍过,一个数的约数具有“可配对”的特点,在练习时大家可以发现,平方数在进行配对时会出现两个重复的数, 所以平方数有奇数个约数, 根据上面关于约数个数的知识 我们可以知道, 有.奇.数.个.约.数.的.数.一.定.是.平.方.数. , 有.偶.数.个.约.数.的.数.一.定.不.是.平.方.数. .3120 313 21 316 22 3112 23 3124 3220 32 92132 1822 32 36233272约数个数等于指数加1 再相乘例题 2.下列各数分别有多少个约数?23, 64, 75, 225, 720.「分析」 熟练掌握约数个数的计算公式即可. 练 习 2下列各数分别有多少个约数?18, 47, 243, 196, 450.例题 3.3600 有多少个约数?其中有多少个是 3的倍数?有多少个是 4 的倍数?有多少个不 是 6 的倍数? 「分析」 约数既然能整除 3600,那说明约数一定包含在 3600 的因数中.我们知道 4223600 24 32 52,那么 3600 的所有约数一定是由若干个 2、若干个 3和若干个 5组成的.如 果约数是 3 的倍数,那么它至少要含有多少个 3?练 习 33456 共有多少个约数?其中有多少个是3 的倍数?有多少个是4 的倍数?有多少个不是 6 的倍数?7222122231 02 03 032030121 3022230423 308前面介绍过,一个数的约数具有“可配对”的特点,在练习时大家可以发现,平方数在进行配对时会出现两个重复的数, 所以平方数有奇数个约数, 根据上面关于约数个数的知识 我们可以知道, 有.奇.数.个.约.数.的.数.一.定.是.平.方.数. , 有.偶.数.个.约.数.的.数.一.定.不.是.平.方.数. .3120 313 21 316 22 3112 23 3124 3220 32 92132 1822 32 36233272约数个数等于指数加1 再相乘例题 2.下列各数分别有多少个约数?23, 64, 75, 225, 720.「分析」 熟练掌握约数个数的计算公式即可. 练 习 2下列各数分别有多少个约数?18, 47, 243, 196, 450.例题 3.3600 有多少个约数?其中有多少个是 3的倍数?有多少个是 4 的倍数?有多少个不 是 6 的倍数? 「分析」 约数既然能整除 3600,那说明约数一定包含在 3600 的因数中.我们知道 4223600 24 32 52,那么 3600 的所有约数一定是由若干个 2、若干个 3和若干个 5组成的.如 果约数是 3 的倍数,那么它至少要含有多少个 3?练 习 33456 共有多少个约数?其中有多少个是3 的倍数?有多少个是4 的倍数?有多少个不是 6 的倍数?7222122231 02 03 032030121 3022230423 308前面介绍过,一个数的约数具有“可配对”的特点,在练习时大家可以发现,平方数在进行配对时会出现两个重复的数, 所以平方数有奇数个约数, 根据上面关于约数个数的知识 我们可以知道, 有.奇.数.个.约.数.的.数.一.定.是.平.方.数. , 有.偶.数.个.约.数.的.数.一.定.不.是.平.方.数. .3120 313 21 316 22 3112 23 3124 3220 32 92132 1822 32 36233272约数个数等于指数加1 再相乘例题 2.下列各数分别有多少个约数?23, 64, 75, 225, 720.「分析」 熟练掌握约数个数的计算公式即可. 练 习 2下列各数分别有多少个约数?18, 47, 243, 196, 450.例题 3.3600 有多少个约数?其中有多少个是 3的倍数?有多少个是 4 的倍数?有多少个不 是 6 的倍数? 「分析」 约数既然能整除 3600,那说明约数一定包含在 3600 的因数中.我们知道 4223600 24 32 52,那么 3600 的所有约数一定是由若干个 2、若干个 3和若干个 5组成的.如 果约数是 3 的倍数,那么它至少要含有多少个 3?练 习 33456 共有多少个约数?其中有多少个是3 的倍数?有多少个是4 的倍数?有多少个不是 6 的倍数?7222122231 02 03 032030121 3022230423 308前面介绍过,一个数的约数具有“可配对”的特点,在练习时大家可以发现,平方数在进行配对时会出现两个重复的数, 所以平方数有奇数个约数, 根据上面关于约数个数的知识 我们可以知道, 有.奇.数.个.约.数.的.数.一.定.是.平.方.数. , 有.偶.数.个.约.数.的.数.一.定.不.是.平.方.数. .3120 313 21 316 22 3112 23 3124 3220 32 92132 1822 32 36233272约数个数等于指数加1 再相乘例题 2.下列各数分别有多少个约数?23, 64, 75, 225, 720.「分析」 熟练掌握约数个数的计算公式即可. 练 习 2下列各数分别有多少个约数?18, 47, 243, 196, 450.例题 3.3600 有多少个约数?其中有多少个是 3的倍数?有多少个是 4 的倍数?有多少个不 是 6 的倍数? 「分析」 约数既然能整除 3600,那说明约数一定包含在 3600 的因数中.我们知道 4223600 24 32 52,那么 3600 的所有约数一定是由若干个 2、若干个 3和若干个 5组成的.如 果约数是 3 的倍数,那么它至少要含有多少个 3?练 习 33456 共有多少个约数?其中有多少个是3 的倍数?有多少个是4 的倍数?有多少个不是 6 的倍数?。

五年级奥数主要知识点

五年级奥数主要知识点

五年级奥数主要知识点五年级奥数是小学数学竞赛的一个重要阶段,它不仅要求学生掌握基础数学知识,还要求学生具备一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。

以下是五年级奥数的主要知识点:一、数论基础- 整数的奇偶性:理解奇数和偶数的概念,掌握奇偶数的基本性质。

- 质数与合数:区分质数和合数,了解它们的定义和特点。

- 最大公约数和最小公倍数:学会求两个或多个数的最大公约数和最小公倍数,理解其在数学中的应用。

二、分数和小数- 分数的加减乘除:掌握分数的四则运算,包括通分、约分等技巧。

- 分数的大小比较:学会比较分数的大小,理解分数的性质。

- 小数的运算:熟练进行小数的加减乘除运算,理解小数点的移动规律。

三、比例和比例关系- 比例的基本性质:理解比例的概念,掌握比例的基本性质。

- 正比例和反比例:区分正比例和反比例,理解它们在实际问题中的应用。

四、几何图形- 平面图形:学习三角形、四边形、圆等基本平面图形的性质和面积计算。

- 立体图形:了解长方体、正方体、圆柱、圆锥等立体图形的体积和表面积计算。

五、排列组合与计数原理- 排列组合:掌握排列和组合的基本概念,学会解决相关的数学问题。

- 计数原理:理解加法原理和乘法原理,学会应用这些原理解决实际问题。

六、逻辑推理- 条件逻辑:学会根据给定条件进行逻辑推理,解决数学问题。

- 数学证明:了解数学证明的基本方法,学会用逻辑推理来证明数学命题。

七、应用题- 行程问题:解决涉及速度、时间和距离的行程问题。

- 工程问题:理解工作效率和工作时间的关系,解决相关的工程问题。

- 经济问题:学习解决涉及价格、成本和利润的经济问题。

八、数学思维和解题技巧- 归纳推理:通过观察和分析,归纳出数学规律和模式。

- 逆向思维:学会从问题的结果出发,逆向推导出解决问题的方法。

- 转化思维:将复杂问题转化为简单问题,或将不同类型问题相互转化。

五年级奥数的学习不仅能够提高学生的数学素养,还能培养他们的逻辑思维和创新能力。

【教师版】小学奥数5-4-3 约数与倍数(三).专项练习及答案解析

【教师版】小学奥数5-4-3 约数与倍数(三).专项练习及答案解析

1. 本讲主要对课本中的:约数、公约数、最大公约数;倍数、公倍数、最小公倍数性质的应用。

2. 本讲核心目标:让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识,例如:(1)约数、公约数、最大公约数;倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系;(2)整数唯一分解定理:让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构,而且表达形式唯一”一、 约数、公约数与最大公约数概念(1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a 能被整数b 整除,a 叫做b 的倍数,b 就叫做a 的约数;(2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数,称这个整数为它们的“公约数”;(3)最大公约数:公约数中最大的一个就是最大公约数;(4)0被排除在约数与倍数之外1. 求最大公约数的方法①分解质因数法:先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来.例如:2313711=⨯⨯,22252237=⨯⨯,所以(231,252)3721=⨯=;②短除法:先找出所有共有的约数,然后相乘.例如:2181239632,所以(12,18)236=⨯=;③辗转相除法:每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数.用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下:先用小的一个数除大的一个数,得第一个余数;再用第一个余数除小的一个数,得第二个余数;又用第二个余数除第一个余数,得第三个余数;这样逐次用后一个余数去除前一个余数,直到余数是0为止.那么,最后一个除数就是所求的最大公约数.(如果最后的除数是1,那么原来的两个数是互质的).例如,求600和1515的最大公约数:151********÷=;6003151285÷=;315285130÷=;28530915÷=;301520÷=;所以1515和600的最大公约数是15. 2. 最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数;②几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数;③几个数都乘以一个自然数n ,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n .3. 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数,其他分数不变;求出各个分数的分母的最小公倍数a ;求出各知识点拨教学目标5-4-3.约数与倍数(三)个分数的分子的最大公约数b ;b a即为所求. 4. 约数、公约数最大公约数的关系(1)约数是对一个数说的;(2)公约数是最大公约数的约数,最大公约数是公约数的倍数二、倍数的概念与最小公倍数(1)倍数:一个整数能够被另一整数整除,这个整数就是另一整数的倍数(2)公倍数:在两个或两个以上的自然数中,如果它们有相同的倍数,那么这些倍数就叫做它们的公倍数(3)最小公倍数:公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。

小学奥数知识点梳理1——数论

小学奥数知识点梳理1——数论

小学奥数知识点梳理1——数论数论是研究整数及其性质的学科。

其中包括奇偶、整除、余数、质数合数、约数倍数、平方、进制和位值等方面的内容。

首先,奇偶性是整数的基本属性之一,一个整数要么是奇数,要么是偶数。

对于奇偶数的运算性质,有以下规律:(1)奇数加减奇数得偶数,偶数加减偶数得偶数,奇数加减偶数得奇数,偶数加减奇数得奇数;(2)奇数个奇数的和或差为奇数,偶数个奇数的和或差为偶数,任意多个偶数的和或差总是偶数;(3)奇数乘奇数得奇数,偶数乘偶数得偶数,奇数乘偶数得偶数;(4)若干个整数相乘,其中有一个因数是偶数,则积是偶数;如果所有的因数都是奇数,则积是奇数;(5)偶数的平方能被4整除,奇数的平方被4除余1.总之,几个整数相加减,运算结果的奇偶性由算式中奇数的个数所确定。

其次,整除是数论中的重要概念。

要掌握能被30以下质数整除的数的特征。

例如,被2整除的数的特征为它的个位数字之和可以被2整除,被3或9整除的数的特征为它的各位数字之和可以被3或9整除,被5整除的数的特征为它的个位数字之和可以被5整除。

而对于被7、11、13整除的数的特征,可以使用关键性式子7×11×13=1001.判定一个数能否被7或11或13整除,只需把这个数的末三位与前面隔开,分成两个独立的数,取它们的差(大减小),看它是否被7或11或13整除。

此法则可以连续使用。

最后,还有进制和位值等方面的内容。

其中,进制是指计数的基数,如十进制、二进制、八进制和十六进制等。

而位值则是指数位所代表的数值大小,如十进制数中的个位、十位、百位等。

掌握进制和位值的概念,可以更好地理解数的表示和计算方法。

总之,数论是一门重要的数学学科,涉及到整数及其性质的多个方面。

掌握数论的基本概念和规律,可以更好地理解和应用数学知识。

N=xxxxxxxx,判断N能否被17整除。

由于429=25×17+4,所以N不能被17整除。

N=xxxxxxx,判断N能否被17整除。

约数与约数和的公式求法(五年级)

约数与约数和的公式求法(五年级)

约数与约数和的公式求法(五年级)
题⽬:120这个数的约数有多少个?这些约数的和是多少?
解答:120=2×2×2×3×5,所以约数有4×2×2=16个
这些约数的和是(1+2+4+8)×(1+3)×(1+5)=360
(⽹上看到这位⽼师巧算约数的个数与约数和,这⽅法我才第⼀次看到,于是百度搜索了⼀下求约数与约数和的巧妙⽅法。


例如:1800=2*900=2*3*300=2*3*3*100=2*2*3*3*50=2*2*2*3*3*5*5
=2的3次⽅*3的2次⽅*5的2次⽅
所以约数的个数是(指数+1)相乘这是约数个数的计算公式
所以约数的个数是(3+1)*(2+1)*(2+1)=36个
约数和的公式是这样理解的:
120=2×2×2×3×5,(1+2+4+8)×(1+3)×(1+5)=360
第⼀个2是2,第⼆个4是2的平⽅,第三个8是2的3次⽅,3和5也⼀样.
例如:72=2*2*2*3*3,所以约数和就是(1+2+4+8)*(1+3+9)=195
题⽬:把分数1/12 表⽰成形如1/() +1/()多少种?
简析:12×12=2^4×3^2,⽤指数+1的⽅法来求,(4+1)×(2+1)=15
15÷2+1=8种
题⽬:把分数1/6 表⽰成形如1/() +1/()多少种?
简析:6×6=2^2×3^2,(2+1)×(2+1)=9,9÷2+1=5种。

奥数讲座(5年级-上)(14讲)

奥数讲座(5年级-上)(14讲)

五年级奥数讲座(一)目录第一讲数的整除问题第二讲质数、合数和分解质因数第三讲最大公约数和最小公倍数第四讲带余数的除法第五讲奇数与偶数及奇偶性的应用第六讲能被30以下质数整除的数的特征第七讲行程问题第八讲流水行船问题第九讲“牛吃草”问题第十讲列方程解应用题第十一讲简单的抽屉原理第十二讲抽屉原理的一般表述第十三讲染色中的抽屉原理第十四讲面积计算第一讲数的整除问题数的整除问题,内容丰富,思维技巧性强。

它是小学数学中的重要课题,也是小学数学竞赛命题的内容之一。

一、基本概念和知识1.整除——约数和倍数例如:15÷3=5,63÷7=9一般地,如a、b、c为整数,b≠0,且a÷b=c,即整数a除以整除b(b不等于0),除得的商c正好是整数而没有余数(或者说余数是0),我们就说,a能被b整除(或者说b能整除a)。

记作b|a.否则,称为a不能被b整除,(或b不能整除a),记作ba。

如果整数a能被整数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数。

例如:在上面算式中,15是3的倍数,3是15的约数;63是7的倍数,7是63的约数。

2.数的整除性质性质1:如果a、b都能被c整除,那么它们的和与差也能被c整除。

即:如果c|a,c|b,那么c|(a±b)。

例如:如果2|10,2|6,那么2|(10+6),并且2|(10—6)。

性质2:如果b与c的积能整除a,那么b与c都能整除a.即:如果bc|a,那么b|a,c|a。

性质3:如果b、c都能整除a,且b和c互质,那么b与c的积能整除a。

即:如果b|a,c|a,且(b,c)=1,那么bc|a。

例如:如果2|28,7|28,且(2,7)=1,那么(2×7)|28。

性质4:如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。

即:如果c|b,b|a,那么c|a。

例如:如果3|9,9|27,那么3|27。

3.数的整除特征①能被2整除的数的特征:个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义:一方面,个位数字是偶数(包括0)的整数,必能被2整除;另一方面,能被2整除的数,其个位数字只能是偶数(包括0).下面“特征”含义相似。

【知识总结】约数个数定理和约数和定理及其证明

【知识总结】约数个数定理和约数和定理及其证明

【知识总结】约数个数定理和约数和定理及其证明
据说这俩是⼩学奥数内容?完了我菜成⼀团没上过⼩学
本⽂只研究正整数A的约数个数和约数和。

⾸先对A分解质因数
A=\prod_i^n p_i^{a_i} \ (p_i是质数)
约数个数定理
先看结论
num=\sum_i^n (a_i+1)
考虑对于A的任意⼀个约数a,都显然存在唯⼀的数列a'使
a=\prod_i^n p_i^{a'_i} \ (0 \leq a'_i \leq a_i)
由唯⼀分解定理得,每⼀个符合条件的数列a'都对应A的⼀个约数,反之亦然。

由乘法原理得共有(a_1+1)*(a_2+1)...*(a_n+1)种数列a',得证。

约数和定理
同样先看结论:
sum=\prod_{i=1}^n\sum_{j=0}^{a_i}p_i^j
⾸先考虑n=1的情况,即A=p^a \ (p是质数),显然约数和是\sum_{i=0}^{a}p^i
当n>1,如果已知了x=A/{p_n^{a_n}}的约数和sum',如何求A的约数和sum呢?
显然,给每个x的约数x'均乘上每⼀个p_n^i \ (0 \leq i \leq a_n),就构成了A的约数集合。

那么就得到
sum=\sum \left(x'*\sum _{i=0}^{a_n}p_n^i\right)
由乘法分配律得到
sum=sum'*\sum _{i=0}^{a_n}p_n^i
⼜由当n=1时sum=\sum_{i=0}^{a}p^i递推得到最终的结论。

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小学五年级奥数题大全及答案(更新版)

小学五年级奥数题大全及答案(更新版)

小学五年级奥数题大全及答案五年级奥数1、小数的巧算2、数的整除性3、质数与合数4、约数与倍数5、带余数除法6、中国剩余定理7、奇数与偶数8、周期性问题9、图形的计数10、图形的切拼11、图形与面积12、观察与归纳13、数列的求和14、数列的分组15、相遇问题16、追及问题17、变换和操作18、逻辑推理19、逆推法20、分数问题1.1小数的巧算(一)年级班姓名得分一、填空题1、计算 1.135+3.346+5.557+7.768+9.979=_____.2、计算 1.996+19.97+199.8=_____.3、计算 9.8+99.8+999.8+9999.8+99999.8=_____.4、计算6.11+9.22+8.33+7.44+5.55+4.56+3.67+2.78 +1.89=_____.5、计算1.1+3.3+5.5+7.7+9.9+11.11+13.13+15.15+17.17+19.19=_____.6、计算 2.89⨯4.68+4.68⨯6.11+4.68=_____.7、计算 17.48⨯37-17.48⨯19+17.48⨯82=_____.8、计算 1.25⨯0.32⨯2.5=_____.9、计算 75⨯4.7+15.9⨯25=_____.10、计算 28.67⨯67+32⨯286.7+573.4⨯0.05=_____.二、解答题11、计算 172.4⨯6.2+2724⨯0.3812、计算 0.00...0181⨯0.00 (011)963个0 1028个013、计算12.34+23.45+34.56+45.67+56.78+67.89+78.91+89.12+91.2314、下面有两个小数:a=0.00...0105 b=0.00 (019)1994个0 1996个0求a+b,a-b,a⨯b,a÷b.1.2小数的巧算(二)年级班姓名得分一、真空题1、计算 4.75-9.64+8.25-1.36=_____.2、计算 3.17-2.74+4.7+5.29-0.26+6.3=_____.3、计算 (5.25+0.125+5.75)⨯8=_____.4、计算 34.5⨯8.23-34.5+2.77⨯34.5=_____.5、计算 6.25⨯0.16+264⨯0.0625+5.2⨯6.25+0.625⨯20=_____.6、计算 0.035⨯935+0.035+3⨯0.035+0.07⨯61⨯0.5=_____.7、计算 19.98⨯37-199.8⨯1.9+1998⨯0.82=_____.8、计算 13.5⨯9.9+6.5⨯10.1=_____.9、计算 0.125⨯0.25⨯0.5⨯64=_____.10、计算 11.8⨯43-860⨯0.09=_____.二、解答题11、计算32.14+64.28⨯0.5378⨯0.25+0.5378⨯64.28⨯0.75-8⨯64.28⨯0.125⨯0.537812、计算 0.888⨯125⨯73+999⨯313、计算 1998+199.8+19.98+1.99814、下面有两个小数:a=0.00...0125 b=0.00 (08)1996个0 2000个0试求a+b, a-b, a⨯b, a÷b.2.1数的整除性(一)年级班姓名得分一、填空题1、四位数“3AA1”是9的倍数,那么A=_____.2、在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.3、能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.4、能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.5、1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.6、所有能被3整除的两位数的和是______.7、已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____.8、如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____.9、42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____.10、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号.二、解答题1、173□是个四位数字.数学老师说:“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问:数学老师先后填入的3个数字的和是多少?12、在1992后面补上三个数字,组成一个七位数,使它们分别能被2、3、5、11整除,这个七位数最小值是多少?13、在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券?14、试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13.2.2数的整除性(二)年级班姓名得分一、填空题1、一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.2、123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____.3、下面一个1983位数33…3□44…4中间漏写了一个数字(方框),已知这991个 991个个多位数被7整除,那么中间方框内的数字是_____.4、有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_____.5、有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是____.6、一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是_____.7、任取一个四位数乘3456,用A表示其积的各位数字之和,用B表示A的各位数字之和,C表示B的各位数字之和,那么C是_____.8、有0、1、4、7、9五个数字,从中选出四个数字组成不同的四位数,如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来,第五个数的末位数字是_____.9、从0、1、2、4、5、7中,选出四个数,排列成能被2、3、5整除的四位数,其中最大的是_____.10、所有数字都是2且能被66……6整除的最小自然数是_____位数.100个二、解答题11、找出四个互不相同的自然数,使得对于其中任何两个数,它们的和总可以被它们的差整除,如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那么这四个数里中间两个数的和是多少?12、只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎样修改?13、500名士兵排成一列横队.第一次从左到右1、2、3、4、5(1至5)名报数;第二次反过来从右到左1、2、3、4、5、6(1至6)报数,既报1又报6的士兵有多少名?14、试问,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上,使得在任何5个相连的数中,都至少有两个数可被3整除?如果回答:“可以”,则只要举出一种排法;如果回答:“不能”,则需给出说明.3.1质数与合数(一)年级班姓名得分一、填空题1在一位的自然数中,既是奇数又是合数的有_____;既不是合数又不是质数的有_____;既是偶数又是质数的有_____.2、最小的质数与最接近100的质数的乘积是_____.3、两个自然数的和与差的积是41,那么这两个自然数的积是_____.4、在下式样□中分别填入三个质数,使等式成立.□+□+□=505、三个连续自然数的积是1716,这三个自然数是_____、_____、_____.6、找出1992所有的不同质因数,它们的和是_____.7、如果自然数有四个不同的质因数, 那么这样的自然数中最小的是_____.8、9216可写成两个自然数的积,这两个自然数的和最小可以达到_____.9、从一块正方形的木板上锯下宽为3分米的一个木条以后,剩下的面积是108平方分米.木条的面积是_____平方分米.10、今有10个质数:17,23,31,41,53,67,79,83,101,103.如果将它们分成两组,每组五个数,并且每组的五个数之和相等,那么把含有101的这组数从小到大排列,第二个数应是_____.二、解答题11、2,3,5,7,11,…都是质数,也就是说每个数只以1和它本身为约数.已知一个长方形的长和宽都是质数个单位,并且周长是36个单位.问这个长方形的面积至多是多少个平方单位?12、把7、14、20、21、28、30分成两组,每三个数相乘,使两组数的乘积相等.13、学生1430人参加团体操,分成人数相等的若干队,每队人数在100至200之间,问哪几种分法?14、四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克数如下:8、9、10、11、12、13.已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的两瓶内有多少油?3.2质数与合数(二)年级班姓名得分一、填空题1、在1~100里最小的质数与最大的质数的和是_____.2、小明写了四个小于10的自然数,它们的积是360.已知这四个数中只有一个是合数.这四个数是____、____、____和____.3、把232323的全部质因数的和表示为AB,那么A⨯B⨯AB=_____.4、有三个学生,他们的年龄一个比一个大3岁,他们三个人年龄数的乘积是1620,这三个学生年龄的和是_____.5、两个数的和是107,它们的乘积是1992,这两个数分别是_____和_____.6、如果两个数之和是64,两数的积可以整除4875,那么这两数之差是_____.7、某一个数,与它自己相加、相减、相乘、相除,得到的和、差、积、商之和为256.这个数是_____.8、有10个数:21、22、34、39、44、45、65、76、133和153.把它们编成两组,每组5个数,要求这组5个数的乘积等于那组5个数的乘积.第一组数____________;第二组数是____________.9、有_____个两位数,在它的十位数字与个位数字之间写一个零,得到的三位数能被原两位数整除.10、主人对客人说:“院子里有三个小孩,他们的年龄之积等于72,年龄之和恰好是我家的楼号,楼号你是知道的,你能求出这些孩子的年龄吗?”客人想了一下说:“我还不能确定答案。

五年级奥数-约数和倍数

五年级奥数-约数和倍数

五年级奥数-约数和倍数1.两个三位数的最大公约数是29,它们的最小公倍数是4959。

那么这两个三位数的差是多少?2.两个自然数的和是60,它们的最小公倍数与最大公约数的和是84,则这两个数分别是多少?3.三根铁丝,长度分别是120厘米、180厘米、300厘米,现在要把它们截成相等的小段,每段都不能有剩余,那么每小段最长多少厘米?一共可截成多少段?4.1155的两位约数中最大的一个是多少?5.如果甲乙两数的最大公约数是6,最小公倍数是90,如果甲数是18,那么乙数是多少?6.写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数。

五年级奥数-约数和倍数答案1解析:199294959⨯⨯=,所以这两个三位数分别为929⨯、1929⨯,所以这两个三位数的差是290)919(29=-⨯。

2解析:设这两个自然数的最大公约数是m ,这两个自然数分别为ma 、mb (a 与b 互质,且不妨假设a >b ),那么这两个自然数的最小公倍数是mab ,依据题意有:⎩⎨⎧=+=+8460mab m mb ma 即⎩⎨⎧=+=+84)1(60)(ab m b a m 说明m 是60和84的公约数,可能为12、6、4、3、2、1。

当m =12时,⎩⎨⎧=+=+715ab b a ,解得⎩⎨⎧==23b a ,所以⎩⎨⎧==2436mb ma 。

当m =6时,⎩⎨⎧=+=+14110ab b a ;当m =4时,⎩⎨⎧=+=+21115ab b a ;当m =3时,⎩⎨⎧=+=+24120ab b a ;当m =2时,⎩⎨⎧=+=+42130ab b a ;当m =1时,⎩⎨⎧=+=+84160ab b a ;上述方程组都没有整数解,舍去。

所以,这两个数分别是36和24。

3解析:每小段的长度是120、180、300的约数,也是120、180和300的公约数。

120、180和300的最大公约数是60,所以每小段的长度最大是60厘米,一共可截成120÷60+180÷60+300÷60=10段。

五年级数学奥赛题二 (6)

五年级数学奥赛题二 (6)

一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用.1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?【分析与解】 360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5;360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0~3,6为0~2,c为0~1).因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24.我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w;我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23),所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w;最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5).于是,我们计算出值:13×15×6=1170.所以,360所有约数的和为1170.评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论:I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)Ⅱ.约数的和是在严格分解质因数后,将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积.如:21000=23×3×53×7,所以21000所有约数的和为(1+2+22+23)×(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)=74880.2.一个数是5个2,3个3,6个5,1个7的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中,最大的是多少?【分析与解】设这个数为A,有A=25×33×56×7,99=3×3×11,98=2×7×7,97均不是A 的约数,而96=25×3为A的约数,所以96为其最大的两位数约数.3.写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数.【分析与解】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数.由以上分析知,我们所求的为360~630之间有多少个完全平方数?18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360~630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252.即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625.4.今有语文课本42册,数学课本112册,自然课本70册,平均分成若干堆,每堆中这3种课本的数量分别相等.那么最多可分多少堆?【分析与解】显然堆数是42的约数,是112的约数,是70的约数.即为42,112,70的公约数,有(42,112,70)=14.所以,最多可以分成14堆.5.加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?【分析与解】为了使生产均衡,则每道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人,有6A=10B=15C=k,那么k的最小值为6,10,15的最小公倍数,即[6,10,15]=30.所以A=5,B=3,C=2,则三道工序最少共需要5+3+2=10名工人.6.有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚?【分析与解】 设在x 分钟后3人再次相聚,甲走了120x 米,乙走了lOOx 米,丙走了70x 米,他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍.即120x-100x,120x-70x,lOOx-70x 均是300的倍数,那么300就是20x,50x,30x 的公约数.有(20x,50x,30x):300,而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=lOx,所以x=30. 即在30分钟后,3人又可以相聚.7.3条圆形跑道,圆心都在操场中的旗杆处,甲、乙、内3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时,3人都在旗杆的正东方向,里圈跑道长15千米,中圈跑道长14千米,外圈跑道长38千米.甲每小时跑312千米,乙每小时跑4千米,丙每小时跑5千米.问他们同时出发,几小时后,3人第一次同时回到出发点? 【分析与解】 甲跑完一圈需11235235÷=小时,乙跑一圈需114416÷=小时,丙跑一圈需335840÷=则他们同时回到出发点时都跑了整数圈,所以经历的时间为235,116,340的倍数,即它们的公倍数.而213,,351640⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]()2,1,335,16,4=661==. 所以,6小时后,3人第一次同时回到出发点.评注:求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为新分数的分子,将分母的最大公约数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最小公倍数;求一组分数的最大公约数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最大公约数作为新分数的分子,将分母的最小公倍数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最大公约数.8.甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少? 【分析与解】 有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6×90=540,则乙数为540÷18=30.9.A,B两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A有12个约数,数B有10个约数,那么A,B两数的和等于多少?【分析与解】方法一:由题意知A可以写成3×52×a,B可以写成3×52×6,其中a、b 为整数且只含质因子3、5.即A:31+x×52+y,B=31+m×52+n,其中x、Y、m、n均为自然数(可以为0)由A有12个约数,所以[(1+x)+1]×[ (2+y)+1]=(2+x)×(3+y)=12,所以21,01x xy y==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩4xy=⎧⎨=⎩或.对应A为31+2×52=675,31+1×52+1=1125,或31+0×52+4=46875;由B有10个约数,所以[(1+m)+1]×[(2+n)+l]=(2+m)×(3+n):10,所以2mn=⎧⎨=⎩.对应B为31+0×52+2=1875.只有(675,1875)=75,所以A=675,B=1875.那么A,B两数的和为675+1875=2550.方法二:由题中条件知A、B中有一个数质因数中出现了两次5,多于一次3,那么,先假设它出现了N次3,则约数有:(2+1)×(N+1):3×(N+1)个12与10其中只有12是3的倍数,所以3(N+1)=12,易知N=3,这个数是A,即A=33×52=675.那么B的质数中出现了一次3,多于两次5,则出现了M次5,则有:(1+1)×(M+1)=2(M+1)=10,M=4.B=3×54=1875.那么A,B两数的和为675+1875=2550.10.有两个自然数,它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少?【分析与解】设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2.它们的和为:a+b=(a,b)ql+(a,b)q2=(a,b)(q1+q2)=297………①它们的最大公约数与最小公倍数的和为:[a,b]+(a,b)=(a,b)qlq2+(a,b)=(a,b)(qlq2+1)=693,且(q1,q2)=1.………………………………………………………………②综合①、②知(a,b)是297,693的公约数,而(297,693)=99,所以(a,b)可以是99,33,1l,9,3,1.第一种情况:(a,b)=99,则(q1+q2)=3,(qlq2+1)=7,即qlq2=6=2×3,无满足条件的ql,q2;第二种情况:(a,b)=33,则(q1+q2)=9,(q1q2+1)=21,即q1q2=20=22×5,则ql=5,q2=4时满足,a=(a,b)q1=33×5=165,b=(a,b)q2=33×4=132,则a-b=165-132=33;第三种情况:(a,b)=11,则(q1+q2)=27,(q1q2+1)=63,即q q2=62=2×31,无满足条件的q1,q2;一一验证第四种情况,第五种情况,第六种情况没有满足条件的q1q2. 所以,这个两个自然数的差为33.11.两个不同自然数的和是60,它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60.问这样的自然数共有多少组?【分析与解】 设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2.它们的和为:a+b=(a,b)q1+(a,b)q2=(a,b)(ql+q 2)=60…………① 它们的最大公约数与最小公倍数的和为:[a,b]+(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)=(a,b)(q1q2+1)=60,且(q1,q2)=1…………………………………………………………………②联立①、②有(ql+q2)=(q1q2+1),即ql+q2-qlq2=1,(ql-1)(1-q2)=0,所以ql=1或q2=1. 即说明一个数是另一个数的倍数,不妨记a=kb(k 为非零整数), 有()[]60,60a b kb b a b b a b kb +=+=⎧⎪⎨+=+=+=⎪⎩a,b ,即()160k b +=确定,则k 确定,则kb 即a确定。

小学奥数第594讲 约数、倍数、完全平方数

小学奥数第594讲 约数、倍数、完全平方数

学科培优数学“约数、倍数、完全平方数”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲中的知识点并不难理解,对于约数、最大公约数;倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本上都已经学习过,所以重点在于一些性质的应用,完全平方数在考试中经常出现,所以对于平方差公式还有一些主要性质一定要记住.知识梳理一、最大公约数与最小公倍数的常用性质(1)两个自然数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质。

即若(,),(,),=⨯=⨯那么(,)1a b=A a a bB b a b(2)两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。

即(,)[,]⨯=⨯a b a b a b(3)对于任意3个连续的自然数,如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇,那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数b)偶奇偶,那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍二、约数个数与所有约数的和(1)求任一整数约数的个数:一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。

(2)求任一整数的所有约数的和:一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后,将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和,然后再将这些得到的和相乘,乘积便是这个合数的所有约数的和。

三、完全平方数常用性质1.主要性质●完全平方数的尾数只能是0,1,4,5,6,9。

不可能是2,3,7,8。

●在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

●完全平方数的约数个数是奇数,约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

●若质数p整除完全平方数2a,则p能被a整除。

2.一些推论●任何偶数的平方一定能被4整除;任何奇数的平方被4(或8)除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

●一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

●自然数的平方末两位只有:00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,09,29,49,69,89,16,36,56,76,96。

五年级奥数培优第19讲《最大公因数》

五年级奥数培优第19讲《最大公因数》

学科教师辅导讲义知识梳理一、约数和倍数的定义整数A能被整数B整除,A叫做B的倍数,B就叫做A的约数(在自然数的范围内)。

如:2和6是12的约数,12是2的倍数,12也是6的倍数;18的约数有1、18、2、9、3、6。

注意:①一个数的约数个数是有限的,一个数的倍数有无数个。

②任何数都有最小的约数1,最大的约数本身,最小的倍数也是本身。

③一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。

3的倍数有:3、6、9、12……其中最小的倍数是3,没有最大的倍数。

④因数和约数的区别:约数必须在整除的前提下才存在,而因数是从乘积的角度来提出的。

如果数a与数b 相乘的积是数c,a与b都是c的因数。

二、质数与合数(1)只有1和本身两个约数的数叫做质数(或素数);(2)除了1和本身外还有其它约数的数叫做合数;(3)1既不是质数,也不是合数;(4)100以内的质数有:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

(5)每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。

其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的质约数,例如15=3×5,3和5叫做15的质约数。

(6)把一个合数用质约数相乘的形式表示出来,叫做分解质约数。

几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数。

其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数,例如12的约数有1、2、3、4、6、12;18的约数有1、2、3、6、9、18。

其中,1、2、3、6是12和18的公约数,6是它们的最大公约数,记作(12,18)=6。

(7)公约数只有1的两个数,叫做互质数,成互质关系的两个数,有下列几种情况:1和任何自然数互质;相邻的两个自然数互质;两个不同的质数互质;当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质;如果较小数是较大数的约数,那么较小数就是这两个数的最大公约数;如果两个数是互质数,它们的最大公约数就是1。

20181213小学奥数练习卷(知识点:约数个数与约数和定理)含答案解析

20181213小学奥数练习卷(知识点:约数个数与约数和定理)含答案解析

小学奥数练习卷(知识点:约数个数与约数和定理)注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷(选择题)一.选择题(共1小题)1.恰有20个因数的最小自然数是()A.120B.240C.360D.432第Ⅱ卷(非选择题)二.填空题(共40小题)2.写出不大于100且恰有8个约数的所有自然数是.3.已知自然数n有10个约数,2n有20个约数,3n有15个约数,那么6n有个约数.4.一个自然数恰有48个约数,并且其中有10个连续的自然数,那么这个数的最小值是.5.自然数N有很多个约数,把它的这些约数两两求和得到一组新数,其中最小的为4,最大的为2684,N有个约数.6.四位数的所有因数中,有3个是质数,其它39个不是质数.那么,四位数有个因数.7.四位数的约数中,恰有3个是质数,39个不是质数,四位数的值是.8.大于0的自然数,如果满足所有因数之和等于它自身的2倍,则这样的数称为完美数或完全数.比如,6的所有因数为1,2,3,6,1+2+3+6=12,6就是最小的完美数.是否有无限多个完美数的问题至今仍然是困扰人类的难题之一.研究完美数可以从计算自然数的所有因数之和开始,81的所有因数之和为.9.恰好有12个不同因数的最小的自然数为.10.有10个不同因数的最小自然数为.11.两个正方形的面积之差为2016平方厘米,如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米,那么满足上述条件的所有正方形共有对.12.60的不同约数(1除外)的个数是.13.如果一个自然数N(N>1)满足:N的因数个数就是其个位数字,那么这样的N就称为“中环数”(比如34=2×17,所以它有4个因数,正好就是34的个位数字,所以34就是一个”中环数”).在2~84中,一共有个“中环数”.14.在所有正整数中,因数的和不超过30的共有个.15.一个五位数是2014 的倍数,并且恰好有16个因数,则的最小值是.16.整数n一共有10个因数,这些因数从小到大排列,第8个是.那么整数n的最大值是.17.一个数恰好有8个因数,已知35和77是其中两个,则这个数是.18.在1~600中,恰好有3个约数的数有个.19.已知a、b是两个不同的正整数,并且a、b的约数个数与2013的约数个数相同,则两数之差(大减小)的最小值为.20.用表示a的不同约数的个数.如4的不同约数有1,2,4共3个,所以=3,那么(﹣)÷=.21.一个自然数恰有9个互不相同的约数,其中3个约数A,B,C满足:①A+B+C=79②A×A=B×C那么,这个自然数是.22.有一个自然数A,它的平方有9个约数,老师9个约数写在9张卡片上,发给学学三张、思思三张.学学说:“我手中的三个数乘积是A3.”思思说:“我手中的三个数乘积就是A2,而且我知道你手中的三个数和是625.”那么,思思手中的三个数和是.23.一个四位数,他最小的8个约数的和是43,那么这个四位回文数是.(回文数例如:1111、4334、3210123)24.一个正整数恰有8个约数,它的最小的3个约数的和为15,且这个四位数的一个质因数减去另一个质因数的5倍等于第三个质因数的2倍,这个数是.25.定义:A□B为A和B乘积的约数个数,那么,1□8+2□7+3□6+4□5=.26.已知自然数N的个位数字是0,且有8个约数,则N最小是.27.一个合数至少有3个约数..(判断对错)28.把72的所有约数从小到大排列,第4个是.29.把360的所有约数从小到大排列,第4个数是4,那么倒数第4个数是.30.已知360=2×2×2×3×3×5,那么360的约数共有个.31.一个正整数,它的2倍的约数恰好比它自己的约数多2个,它的3倍的约数恰好比它自己的约数多3个.那么,这个正整数是.32.已知300=2×2×3×5×5,则300一共有不同的约数.33.A、B两数都只含有质因数3和4,它们的最大公约数是36.已知A有12个约数,B有9个约数,那么A+B=.34.能被2345整除且恰有2345个约数的数有个.35.分母是3553的最简真分数的和是.36.若用G(a)表示自然数a的约数的个数,如:自然数6的约数有1、2、3、6,共4个,记作G(6)=4,则G(36)+G(42)=.37.聰聰先求出自然數N的所有約數,再將這些約數兩兩求和,結果發現,最小的和是3,最大的和是2010,那麼這個自然數N是.38.自然数N有20个正约数,N的最小值为.39.一个自然数恰好有18个约数,那么它最多有个约数的个位是3.40.数22×33×55有个不同的约数.41.设数A共有9个不同约数,B共有6个不同约数,C共有8个不同约数,这三个数中的任何两个都互不整除,则三个数之积的最小值是.三.解答题(共9小题)42.已知2008被一些自然数去除,得到的余数都是10,这些自然数共有多少个?43.A、B、C、D是一个等差数列,并且A有2个约数、B有3个约数、C有4个约数、D有5个约数.那么,这四个数和的最小值是.44.如果一个数的奇约数个数有2m个(m为自然数),则我们称这样的数为“中环数”,比如3的奇约数有1,3,一共2=21,所以3是一个“中环数”.再比如21的奇约数有1,3,7,21,4=22,所以21 也是一个中环数.我们希望能找到n个连续的中环数.求n的最大值.45.如果一个自然数的约数的个数是奇数,我们称这个自然数为“希望数”,那么,1000以内最大的“希望数”是.46.求100至160之间有8个约数的数.47.2008的约数有个.48.100以内共有8个约数的数共有多少个?它们各是多少?49.已知三位数240有d个不同的约数(因子),求d的值.50.求360所有约数的和.参考答案与试题解析一.选择题(共1小题)1.恰有20个因数的最小自然数是()A.120B.240C.360D.432【分析】首先把20拆成几个数的乘积,利用求约数个数的方法,从最小的质因数2考虑,依次增大,找出问题的答案即可.【解答】解:20=20=2×10=4×5=2×2×5;四种情况下的最小自然数分别为:219、29×3、24×33、24×3×5,其中最小的是最后一个24×3×5=240.故选:B.【点评】此题巧用求一个数约数的方法,从最小的质因数着手,分析不同的情形,得出结论.二.填空题(共40小题)2.写出不大于100且恰有8个约数的所有自然数是24、30、40、42、54、56、66、70、78、88.【分析】恰有8个约数的自然数,具有形式abc或ab3或a7(a、b、c是不同的质数),由此可得结论.【解答】解:根据题意可得:2×3×5=30,2×3×7=42,2×3×11=66,2×3×13=78,2×5×7=70;3×23=24,5×23=40,7×23=56,11×23=88,2×33=54;27=128>100.所以,所求的数从小到大依次是:24、30、40、42、54、56、66、70、78、88共十个.故答案为:24、30、40、42、54、56、66、70、78、88.【点评】本题考查约数个数问题,考查学生分析解决问题的能力,确定恰有8个约数的自然数,具有形式abc或ab3或a7(a、b、c是不同的质数)是关键.3.已知自然数n有10个约数,2n有20个约数,3n有15个约数,那么6n有30个约数.【分析】n有10个约数,而2n有20个约数,按约数和定理,得知n的分解式中不含有2,3n有15个约数,假设3n的分解式中不含有3,则3n的约数应该是(1+1)×10=20个,则n的分解式中含有一个3,6n分成2×3×n,再根据约数和定理,可以求得约数的个数.【解答】解:根据分析,n有10个约数,2n有20个约数,按约数和定理,又∵,∴n的质因数分解式中含有0个2;设n=3a m x,又∵,∴n的质因数分解式中含有一个3,根据约数和定理,得n的约数和为:(a+1)(x+1)=10,解得:a=1,x=4,此时n=3×m4;故6n=2×3×n=2×3×3×m4=2×32×m4,其约数和为:(1+1)×(2+1)(4+1)=2×3×5=30,故答案是:30.【点评】本题考查了约数个数与约数和定理,本题突破点是:根据约数和定理确定分解式中2和3的个数,再算约数的个数.4.一个自然数恰有48个约数,并且其中有10个连续的自然数,那么这个数的最小值是2520.【分析】因为这个数中的因数中有10个连续的自然数,那么这个数最小是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的最小公倍数,然后再验证这个最小公倍数是不是有48个约数.如果验证不到,再求2、3、4、5、6、7、8、9、10、11的最小公倍数,就这样去尝试.【解答】解:因为10=2×5,9=3×3,8=4×2,所以这10个数的最小公倍数,也就是7、8、9、10的最小公倍数.7、8的最小公倍数是56,9、10的最小公倍数是90,56和90的最小公倍数是2520.将2520分解质因数得23×32×5×7,所以它的因数个数是(3+1)×(2+1)×(1+1)×(1+1)=48个故此题填2520.【点评】此题考查是求公倍数的方法,以及如何去求约数的个数,采用的是假设验证的解题策略.5.自然数N有很多个约数,把它的这些约数两两求和得到一组新数,其中最小的为4,最大的为2684,N有8个约数.【分析】最小的数为4,则约数最小的数为1,另外一个第二小的约数为4﹣1=3,即:3是N的一个约数,最大的约数是本身,第二大的约数和第二小的约数相乘结果即为本身,所以第二大的约数为:,再根据最大的两约数和为2684,可以求出N的值,用约数和定理求出约数的个数.【解答】解:根据分析,约数最小的数为1,最小的两个约数和为4,则第二小的约数为:4﹣1=3,约数是成对出现的,N=1×N=3×,即是第二大的约数,由于最大的两约数和为2684,则有:,解得:N=2013,分解质因数2013=3×11×61,根据约数和定理,得:2013的约数个数为:(1+1)×(1+1)×(1+1)×(1+1)=8个,故答案是:8.【点评】本题考查了约数和定理与因数倍数知识,突破点是:根据约数和第二大和第二小约数,再求出N,再算其约数的个数.6.四位数的所有因数中,有3个是质数,其它39个不是质数.那么,四位数有12个因数.【分析】首先判断文字中含有隐含的数字,奇偶位数和相等是11的倍数,在分析因数的个数,同时注意题中说的是3个质数.42需要分解成3个数字相乘有唯一情况.再枚举即可.【解答】解:首先根据奇偶位数和相等一定是11的倍数.因数一共的个数是3+39=42(个),将42分解成3个数字相乘42=2×3×7.=a×b2×c6.如果是11×52×26=17600(不是四位数不满足条件).再看一下如果这个数字最小是=11×32×26=6336.=3663=11×37×32.因数的个数共2×2×3=12(个).故答案为:12个.【点评】本题考查因数个数的求解同时考查质数与合数的理解和运用,题中隐含数字11就是本题的突破口,同时关键分析42分解成2×3×7的情况.实际就是特殊的情况,都是最小的质数.问题解决.7.四位数的约数中,恰有3个是质数,39个不是质数,四位数的值是6336.【分析】根据因数个数是42个同时需要有3个质数,42分解成3个数字相乘就有唯一情况.同时这四位数中奇数偶数位数和相等.满足11整除特性.接下来从最小的情况枚举尝试即可.【解答】解:根据奇数偶数位数和相等,所以一定是11的倍数,因数个数是3+39=42个.四位数含有3个质数,需要将42分解成3个数字相乘.42=2×3×7.所以可以写成a×b2×c6.那么看一下质数是最小的是什么情况.11×32×26=6336.当质数再打一点b=5时,c=2时,11×52×26=17600(不满足是四位数的条件).故答案为:6336.【点评】本题考查因数个数的求法,同时对质数的理解和运用,突破口是42需要分解成3个数字相乘有唯一情况.同时数字是11的倍数.最后发现实际都是特殊情况唯一确定.问题解决.8.大于0的自然数,如果满足所有因数之和等于它自身的2倍,则这样的数称为完美数或完全数.比如,6的所有因数为1,2,3,6,1+2+3+6=12,6就是最小的完美数.是否有无限多个完美数的问题至今仍然是困扰人类的难题之一.研究完美数可以从计算自然数的所有因数之和开始,81的所有因数之和为121.【分析】先找出81的所有因数,再把81的所有因数相加即可.【解答】解:81的因数:1、3、9、27、81,81的所有因数之和为:1+3+9+27+81=121,故答案为:121.【点评】本题关键是找到81的所有因数.9.恰好有12个不同因数的最小的自然数为60.【分析】首先把12分成两个数的乘积或3个数的乘积,用因数减1当所求自然数的质因数个数,从最小的质数2开始考虑,使2的个数最多,算出乘积比较得出答案.【解答】解:12=1×12=2×6=3×4=2×2×3,有12个约数的自然数有:①2×2×…×2×2(11个2)=2048,②2×2×…×2(5个2)×3=96,③2×2×2×3×3=72,④2×2×3×5=60;从以上可以看出只有④的乘积最小;所以有12个约数的最小自然数是60.故答案为:60.【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式:a=pα×qβ×rγ(其中a 为合数,p、q、r是质数),则a的约数共有(α+1)(β+1)(γ+1)个约数.10.有10个不同因数的最小自然数为48.【分析】首先把10分成两个数的乘积或3个数的乘积,用因数减1当所求自然数的质因数个数,从最小的质数2开始考虑,使2的个数最多,算出乘积比较得出答案.【解答】解:因为10=2×5=1×10,210=1024,24×3=48,所以一个自然数有10个不同的约数,则这个自然数最小:24×3=48;故答案为:48.【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式:a=pα×qβ×rγ(其中a 为合数,p、q、r是质数),则a的约数共有(α+1)(β+1)(γ+1)个约数.11.两个正方形的面积之差为2016平方厘米,如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米,那么满足上述条件的所有正方形共有12对.【分析】假设大正方形的边长为x,小正方形的为y,x2﹣y2=(x+y)(x﹣y)=2016,x+y与x﹣y奇偶性相同,乘积2016是偶数,所以必是偶数,据此分解质因数2016=25×32×7,然后解答即可.【解答】解:假设大正方形的边长为x,小正方形的为y,有题意可得:x2﹣y2=2016,因式分解:(x+y)(x﹣y)=2016,x+y与x﹣y奇偶性相同,乘积2016是偶数,所以必是偶数,2016=25×32×7,2016因数的个数:(1+5)×(2+1)×(1+1)=36(个),共有因数36÷2=18对因数,其中奇因数有:(2+1)×2=6对,所以偶数有:18﹣6=12对,即,满足上述条件的所有正方形共有12对.故答案为:12.【点评】本题考查了约数个数的定理和奇偶性问题,关键是得到2016的约数的个数,难点是去掉几个奇因数;本题还可以根据x+y与x﹣y都是偶数,它们的积至少含有4这个偶数,所以2016÷4=504,然后确定504的约数是24个,即12对即可.12.60的不同约数(1除外)的个数是11.【分析】先将60分解质因数,60=2×2×3×5,再写成标准式是22×3×5,再利用约数个数公式,约数个数=不同质因数指数加1然后再相乘,最后减去1,即得答案.【解答】60分解质因数60=2×2×3×5,再下称标准式是22×3×5,再利用约数个数公式,约数个数=不同质因数指数加1然后再相乘.60的不同约数(1除外)的个数是(2+1)×(1+1)×(1+1)﹣1=11个.答:答案是11个.【点评】约数个数公式的推导要用乘法原理,当然此题也可以用列举法求解.13.如果一个自然数N(N>1)满足:N的因数个数就是其个位数字,那么这样的N就称为“中环数”(比如34=2×17,所以它有4个因数,正好就是34的个位数字,所以34就是一个”中环数”).在2~84中,一共有6个“中环数”.【分析】由题意,对N的因数个数分类讨论,由此即可得出结论.【解答】解:由题意,N的因数个数是2,N就是2;N的因数个数是3,则N是完全平方数,由于末尾是3,不存在N满足题意;N的因数个数是4,由于末尾是4,则满足条件的数为14,34,74;N的因数个数是5,则N是完全平方数,由于末尾是5,不存在N满足题意;N的因数个数是6,则N是76满足题意;同理78满足题意,所以在2~84中,”中环数”是2,14,34,74,76,78,故答案为6.【点评】本题考查因数与倍数,考查新定义,解题的关键是对N的因数个数分类讨论.14.在所有正整数中,因数的和不超过30的共有19个.【分析】由于一个数的因数包括本身,则这个数一定不超过30,则依此可以一一检验得到符合题意的正整数的个数.【解答】解:根据分析,此正整数不超过30,故所有不超过30的质数均符合条件,有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共10个;其它非质数有:1、4、6、8、9、10、12、14、15共9个满足条件,故满足因数的和不超过30的正整数一共有:10+9=19个.故答案为:19.【点评】本题考查了约数的个数知识,突破点是:从质数开始排查,再检验其它非质数.15.一个五位数是2014 的倍数,并且恰好有16个因数,则的最小值是24168.【分析】2014的倍数是五位数的数最小从10070开始,再根据的约数个数,来确定这个五位数的最小值.【解答】解:根据分析,2014的倍数是五位数的数:①最小是10070=5×2014,末尾三位是:70=2×5×7,约数个数为:(1+1)(1+1)(1+1)=8个;②12084=6×2014,末三位是:84=22×3×7,约数个数为:(2+1)(1+1)(1+1)=12个;③14098=7×2014,末三位是:98=2×72,约数个数为:(1+1)(2+1)=6个;④16112=8×2014,末三位是:112=24×7,约数个数为:(4+1)(1+1)=10个;⑤18126=9×2014,末三位是:126=2×32×7,约数个数为:(1+1)(2+1)(1+1)=12个;⑥20140=10×2014,末三位是:140=22×5×7,约数个数为:(2+1)(1+1)(1+1)=12个;⑦22154=11×2014,末三位是:154=2×7×11,约数个数为:(1+1)(1+1)(1+1)=8个;⑧24168=12×2014,末三位是:168=23×3×7,约数个数为:(3+1)(1+1)(1+1)=16个;显然符合题意的只有:24168.故答案是:24168.【点评】本题考查了约数个数与约数和定理,突破点是:根据约数和定理一一检验,得到符合题意的数.16.整数n一共有10个因数,这些因数从小到大排列,第8个是.那么整数n的最大值是162.【分析】由于整数的因数都是成对出现,则这10个约数必然是1、、3、、、、、、、n,立即可以填出1、2、3、、、、、、、n,也就是说n必然含有质因数2和3,然后结合因数个数定理可求解.【解答】解:根据分析可知10个因数分别为1、2、3、、、、、、、n,根据因数个数定理10=1×(9+1)=(1+1)×(4+1),由于含质因数2和3,则n应为21×34或24×31,其中21×34=162更大.故答案为:162.【点评】解答本题关键是:能根据因数成对出现的特点结合因数个数和定理.17.一个数恰好有8个因数,已知35和77是其中两个,则这个数是385.【分析】先把35和77分解质因数,即35=5×7,77=7×11,则这个数至少数是:5×7×11,然后根据求一个数约数的个数的计算方法:所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数,即(1+1)×(1+1)×(1+1)=8个,正好符合要求,然后解答可得出答案.【解答】解:35=5×7,77=7×11,则这个数至少数是:5×7×11=385,共有(1+1)×(1+1)×(1+1)=8(个)因数,正好符合要求.答:这个数是385.故答案为:385.【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式:a=pα×qβ×rγ(其中a 为合数,p、q、r是质数),则a的约数共有(α+1)(β+1)(γ+1)个约数.18.在1~600中,恰好有3个约数的数有9个.【分析】如果一个数恰好有3个约数,则这个数分解质因数的形式为P2(P为质数),然后确定在1~600中,完全平方数的个数即可.【解答】解:如果一个数恰好有3个约数,则这个数分解质因数的形式为P2(P 为质数),因为,242=576,252=625,所以,P是不大于24的质数,即2、3、5、7、11、13、17、19、23,共有9个;答:在1~600中,恰好有3个约数的数有9个.故答案为:9.【点评】本题考查了约数个数与约数和定理的灵活逆用;关键是明确:当一个数的因数的个数是奇数个数时,这个数是完全平方数.19.已知a、b是两个不同的正整数,并且a、b的约数个数与2013的约数个数相同,则两数之差(大减小)的最小值为1.【分析】显然先分解质因数2013,可以求得其约数的个数为(1+1)×(1+1)×(1+1)=8,而8=2×2×2=2×4,故而可以确定a和b的分解质因数的形式,再一一检验找出差值最小的数.【解答】解:根据分析,分解质因数2013=3×11×61,有(1+1)×(1+1)×(1+1)=8个约数,而一个数有8个余数,那么这个数分解质因数一定可以写成m3×n或m×n×w (m、n、w为互不相同的质数),故约数个数为8的数有多个,现举例说明两数之差最小的几组:①104=23×13与105=3×5×7均有8个约数(这是最小的满足差是1的一组);②189=33×7与190=2×5×19均有8个约数;③23×37=296与297=33×11均有8个约数;④2013=3×11×61,2014=2×19×53均有8个约数.综上,a、b 两数之差(大减小)的最小值为1.故答案是:1.【点评】本题考查了约数个数与约数和定理,本题突破点是:先分解质因数,求出约数的个数,再算出a,b最小的差.20.用表示a的不同约数的个数.如4的不同约数有1,2,4共3个,所以=3,那么(﹣)÷=1.【分析】由题意,12的约数个数是6个,6的约数个数是4个,5的约数个数是2个,即可得出结论.【解答】解:由题意,12的约数个数是6个,6的约数个数是4个,5的约数个数是2个,所以(﹣)÷=(6﹣4)÷2=1,故答案为1.【点评】本题考查因数与倍数,考查学生的计算能力,正确理解题意是关键.21.一个自然数恰有9个互不相同的约数,其中3个约数A,B,C满足:①A+B+C=79②A×A=B×C那么,这个自然数是441.【分析】一个自然数N恰有9个互不相同的约数,则可得N=x2y2,或者N=x8,利用其中3个约数A,B,C满足:①A+B+C=79;②A×A=B×C,进行验证即可得出结论.【解答】解:一个自然数N恰有9个互不相同的约数,则可得N=x2y2,或者N=x8,(1)当N=x8,则九个约数分别是:1,x,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,其中有3个约数A、B、C且满足A×A=B×C,不可能.(2)当N=x2y2,则九个约数分别是:1,x,y,x2,xy,y2,x2y,xy2,x2y2,其中有3个约数A、B、C且满足A×A=B×C,①A=x,B=1,C=x2,则x+1+x2=79,无解.②A=xy,B=1,C=x2y2,则xy+1+x2y2=79,无解.③A=xy,B=x,C=xy2,则xy+x+xy2=79,无解.④A=xy,B=x2,C=y2,则xy+x2+y2=79,解得:,则N=32×72=441.⑤A=x2y,B=x2y2,C=x2,则x2y+x2y2+x2=79,无解.故答案为441.【点评】本题考查约数个数和约数和定理,考查分类讨论的数学思想,解题的关键是一个自然数N恰有9个互不相同的约数,则可得N=x2y2,或者N=x8.22.有一个自然数A,它的平方有9个约数,老师9个约数写在9张卡片上,发给学学三张、思思三张.学学说:“我手中的三个数乘积是A3.”思思说:“我手中的三个数乘积就是A2,而且我知道你手中的三个数和是625.”那么,思思手中的三个数和是55.【分析】A2有9个约数,故由约数个数定理可逆推出:A的质因数分解形式为p4或pq(p、q为不相同的质数),分类讨论,即可得出结论.【解答】解:A2有9个约数,故由约数个数定理可逆推出:A的质因数分解形式为p4或pq(p、q为不相同的质数);若A=p4,那么可把A2的9 个约数写成如下的表格形式(幻方):学学手中必拿到了一行或一列或一条对角线;思思手中拿到的可能是(1、p、p7)(1、p2、p6)(1、p3、p5)(p、p2、p5)(p、p3、p4);只有后两组才能确定学学手中的牌,但后两组所确定的数需要1+p4+p8=625或1+p5+p7=625,可是这两种情况p均无解;故知A的质因数分解形式不能为p4,只能为pq;若A=pq,那么可把A2的9 个约数写成如下的表格形式思思手中拿到的可能是(1、p、pq2)(1、q、p2q)(1、p2、q2)(p、q、pq);经分析可知,只有当思思拿到(p、q、pq)时,才一定能确定学学手中的牌,此时学学手中的牌为(1、p2q、pq2),故1+p2q+pq2=625,解得A的两个质因数p、q为3和13,故思思手中的牌为(3、13、39),所求答案为3+13+39=55.故答案为55.【点评】本题考查约数和定理,考查幻方的运用,考查分类讨论的数学思想,正确运用约数个数定理是关键.23.一个四位数,他最小的8个约数的和是43,那么这个四位回文数是2772.(回文数例如:1111、4334、3210123)【分析】最小的八个约数的和为43,约数首先为自然数,首先该有1和2(如果没2的话,就不会有偶约数,最小的8个奇数的和大于43),不该有5(有5的话首末位都为0)和10,而1+2+3+4+6+7+8+9=40不够43,而回文数必然是11的倍数,所以11也是这8个约数之一,把11考虑进去,就只有下面一种情形了:1+2+3+4+6+7+9+11=43,然后求出这8个数的最小公倍数即可;由此解答.【解答】解:由分析可知:约数首先为自然数,首先该有1和2,不该有5和10,而1+2+3+4+6+7+8+9=40不够43,而回文数必然是11的倍数,所以11也是这8个约数之一,把11考虑进去,则有:1+2+3+4+6+7+9+11=43,以上数的最小公倍数为:4×7×9×11=2772,正好满足要求;答:这个四位回文数是2772;故答案为:2772.【点评】明确回文数的含义:从左往右读,还是从右往左读,都是同一个数,称这样的数为“回文数”;然后根据题意,进行推导,求出这8个约数,是解答此题的关键.24.一个正整数恰有8个约数,它的最小的3个约数的和为15,且这个四位数的一个质因数减去另一个质因数的5倍等于第三个质因数的2倍,这个数是1221或2013.【分析】它的最小的3个约数的和为15,1肯定是其中一个约数,另两个最小的约数之和是14,然后通过列举,推出它的最小的3个约数只能是:1,3,11;它是4位数,所以,3和它本身肯定也是它的约数,所以已经有5个约数了,其中有两个质因数3,11,另外它至少有3个质因数,设第3个质因数为x.那么它的约数有:1,3,11,33,x,3×x,11×x,这个数本身,刚好8个,所以有x﹣5×3=2×11或者x﹣5×11=2×3,由此可以得出x=37或61;由此即可得出结论.【解答】解:它的最小的3个约数的和为15,1肯定是其中一个约数,另两个最小的约数之和是14,可能是:7、7(不符),6、8(如果是这两个,那2也是,不符),5、9(如果是这两个,那3也是,不符),4、10(如果是这两个,那2也是,不符),3、11(符合),所以可以推出它的最小的3个约数只能是:1,3,11;它是4位数,所以,33和它本身肯定也是它的约数,所以已经有5个约数了,其中有两个质因数3,11,另外它至少有3个质因数,设第3个质因数为x.那么它的约数有:1,3,11,33,x,3×x,11×x,这个数本身,刚好8个,所以有x﹣5×3=2×11或者x﹣5×11=2×3,由此可以得出x=37或61;所以它的约数有:1,3,11,33(3×11),37,111(3×37),407(11×37),1221(3×11×37)或1,3,11,33(3×11),61,183(3×61),671(11×61),2013(3×11×61)所以答案应该是1221或2013;故答案为:1221或2013.【点评】此题考查了约数个数和约数和定理,根据题意,进行推导,得出它的最小的3个约数是:1,3,11,是解答此题的关键.25.定义:A□B为A和B乘积的约数个数,那么,1□8+2□7+3□6+4□5=20.【分析】依次算出各部分约数的个数,然后相加即可.【解答】解:1×8的因数有4个2×7的因数有4个3×6的因数有6个4×5的因数有6个所以1□8+2□7+3□6+4□5=4+4+6+6=20故填20【点评】此题的关键是看懂A□B的意思,然后确定运算顺序.26.已知自然数N的个位数字是0,且有8个约数,则N最小是30.【分析】根据能被2、5整除的数的特征;自然数N的个位数字是0,它一定有质因数5和2,要使N最小,5的个数应最少,而其它质因数最好都是2和3,并且2的个数不能超过2个;据此解答.【解答】解:自然数N的个位数字是0,它一定有质因数5和2,要使N最小,5的个数应最少为1个,而求其它因数最好都是2和3,并且2的个数不能超过2个,其它最好都是3;设这个自然数N=21×51×3a,根据约数和定理,可得:(a+1)×(1+1)×(1+1)=8,(a+1)×2×2=8,a=1;所以,N最小是:2×3×5=30;答:N最小是30.故答案为:30.【点评】本题关键是根据能被2、5整除的数的特征确定自然数N的质因数;难点是根据约数和定理得出质因数5、3和2的个数.27.一个合数至少有3个约数.√.(判断对错)【分析】根据合数的意义,一个数,如果除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫做合数.由此解答.【解答】解:根据合数的意义,一个合数至少有3个约数;所以这种说法是对的.。

小学五年级竞赛 第六讲 约数的个数与约数和定理

小学五年级竞赛 第六讲 约数的个数与约数和定理

第六讲约数的个数与约数和定理一、课前热身:1、20有多少个约数吗?这些约数的和是多少?2、大于0的自然数,如果满足所有约数之和等于它自身的2倍,则这样的数称为完美数或完全数.比如,6的所有约数为1,2,3,6,它们的和=1+2+3+6=12,而且6是最小的完美数.是否有无限多个完美数的问题至今仍然是困扰人类的难题之一.研究完美数可以从计算自然数的所有约数之和开始,321的所有因数之和为.二、典例精析:3、已知300=2×2×3×5×5,则300一共有多少个不同的约数?这些约数的和是多少?4、2009的平方的约数有多少个?5、一个正整数,它的2倍的约数恰好比它自己的约数多2个,它的3倍的约数恰好比它自己的约数多3个.那么,这个正整数是多少?6、已知a有8个约数,b有9个约数,且a、b的最大公约数是12,试求a、b的值.7、设数A共有9个不同约数,B共有6个不同约数,C共有8个不同约数,这三个数中的任何两个都互不整除,求三个数之积的最小值.8、自然数A的所有约数两两求和,又得到若干个自然数,在这些新的数中,其中最小的为4,最大的为876,求A的值.9、把360的所有约数从小到大排列,第4个数是4,那么倒数第4个数是多少?10、整数n一共有10个因数,这些因数从小到大排列,第8个是。

那么整数n的最大值是多少?三、竞赛真题:11、(2010•华罗庚金杯)恰有20个因数的最小自然数是()A.120 B.240 C.360 D.43212、(2012•希望杯)已知自然数N的个位数字是0,且有8个约数,则N最小是。

13、(2017•华罗庚金杯)已知自然数n有10个约数,2n有20个约数,3n 有15个约数,那么6n有个约数。

14、(2011•希望杯)如果一个自然数的约数的个数是奇数,我们称这个自然数为“希望数”,那么1000以内最大的“希望数”是。

15、(2016•华罗庚金杯)两个正方形的面积之差为2016平方厘米,如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米,那么满足上述条件的所有正方形共有多少对?四、课后练习:16、144的全部约数有多少个?这些约数的和是多少?17、某个自然数有12个约数,并且它的所有的约数的和为195,问这个数是多少?18、一个自然数恰有48个约数,并且其中有10个连续的自然数,那么这个数的最小值是。

五年级上册奥数含真题(含答案)

五年级上册奥数含真题(含答案)

第一讲数的整除问题数的整除问题,内容丰富,思维技巧性强。

它是小学数学中的重要课题,也是小学数学竞赛命题的内容之一。

一、基本概念和知识1.整除——约数和倍数例如:15÷3=5,63÷7=9一般地,如a、b、c为整数,b≠0,且a÷b=c,即整数a除以整除b (b不等于0),除得的商c正好是整数而没有余数(或者说余数是0),我们就说,a能被b整除(或者说b能整除a)。

记作b|a.否则,称为a 不能被b整除,(或b不能整除a),记作b a。

如果整数a能被整数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数。

例如:在上面算式中,15是3的倍数,3是15的约数;63是7的倍数,7是63的约数。

2.数的整除性质性质1:如果a、b都能被c整除,那么它们的和与差也能被c整除。

即:如果c|a,c|b,那么c|(a±b)。

例如:如果2|10,2|6,那么2|(10+6),并且2|(10—6)。

性质2:如果b与c的积能整除a,那么b与c都能整除a.即:如果bc|a,那么b|a,c|a。

性质3:如果b、c都能整除a,且b和c互质,那么b与c的积能整除a。

即:如果b|a,c|a,且(b,c)=1,那么bc|a。

例如:如果2|28,7|28,且(2,7)=1,那么(2×7)|28。

性质4:如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。

即:如果c|b,b|a,那么c|a。

例如:如果3|9,9|27,那么3|27。

3.数的整除特征①能被2整除的数的特征:个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义:一方面,个位数字是偶数(包括0)的整数,必能被2整除;另一方面,能被2整除的数,其个位数字只能是偶数(包括0).下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征:个位是0或5。

③能被3(或9)整除的数的特征:各个数位数字之和能被3(或9)整除。

④能被4(或25)整除的数的特征:末两位数能被4(或25)整除。

奥数知识点约数个数与约数和定理

奥数知识点约数个数与约数和定理

奥数知识点约数个数与约数和定理
奥数知识点约数个数与约数和定理
两数乘积为2800,而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1。

那么这两个数分别是()、()。

考点:约数个数与约数和定理。

分析:先把2800分解质因数,找出属于完全平方数的约数的`个数,再进一步分析,找出符合题意的答案。

解答:解:任何一个正整数,其约数应该是成对出现的,这意味着,一般情况下,一个正整数应该有偶数个约数;但正整数是完全平方数时,就会有奇数个约数;
根据题意:“两个数的乘积等于2800,其中一个数的约数个数比另一个数的约数多1”,这表明:这两个数中有一个是完全平方数;
由于:2800=2×2×2×2×5×5×7,其属于完全平方数的约数有五个:22=4、42=16、52=25、102=100、202=200,
分别进行分析:2800=4×700,各有3个和16个约数,不符合题意,=7×400,各有2个和15个约数,不符合题意,
2008=16×175,各有5个和6个约数,符合题意,=25×112,各有3个和10个约数,不符合题意,=28×100,各有6个和9个约数,不符合题意。

故答案为:16,175。

点评:
解决此题关键是先将2800分解质因数,再逐步找出符合条件的数。

【奥数知识点约数个数与约数和定理】。

五年级数学因数、约数、质数、合数、奇数、偶数以及倍数的概念

五年级数学因数、约数、质数、合数、奇数、偶数以及倍数的概念

Байду номын сангаас
倍数
一个整数能够被另一个整数整除,这个整数就是另一整数的倍数。如15能够被3或5整除 ,因此15是3的倍数,也是5的倍数。
一个数除以另一数所得的商。如a÷b=c,就是说,a是b的倍数。例如:A÷B=C,就可 以说A是B的C倍。
一个数的倍数有无数个,也就是说一个数的倍数的集合为无限集。 注意:不能把一个 数单独叫做倍数,只能说谁是谁的倍数。
偶数是能够被2所整除的整数。正偶数也称双数。若某数是2的倍数,它就是偶数,可
表示为2n;若非,它就是奇数,可表示为2n+1(n为整数),即奇数除以二的余数是一 。
偶数的特征
两个连续整数中必是一个奇数一个偶数; 奇数与奇数的和或差是偶数;偶数与奇数的和或差是奇数;任意多个偶数的和都是偶数 ;单数个奇数的和是奇数;双数个奇数的和是偶数; 两个奇(偶)数的和或差是偶数;一个偶数与一个奇数的和或差一定是奇数; 除2外所有的正偶数均为合数; 相邻偶数最大公约数为2,最小公倍数为它们乘积的一半; 奇数与奇数的积是奇数;偶数与偶数的积是偶数;奇数与偶数的积是偶数; 偶数的个位一定是0、2、4、6或8,奇数的个位一定是1、3、5、7或9; 任何一个奇数都不等于任何一个偶数,若干个整数的连乘积,如果其中有一个偶数,乘 积必然是偶数; 偶数的平方被4整除,奇数的平方被8除余1。
合数的特征
所有大于2的偶数都是合数。 所有大于5的奇数中,个位为5的都是合数。 除0以外,所有个位为0的自然数都是合数。 所有个位为4,6,8的自然数都是合数。 最小的(偶)合数为4,最小的奇合数为9。 每一个合数都可以以唯一形式被写成质数的乘积,即分解质因数。
奇数 & 偶数
奇数(odd)指不能被2整除的数 ,数学表达形式为:2k+1, 奇数可以分为正奇数和负奇数。

小学奥数全国推荐最新五年级奥数通用学案附带练习题解析答案46约数和倍数(二)

小学奥数全国推荐最新五年级奥数通用学案附带练习题解析答案46约数和倍数(二)

年 级五年级 学 科 奥数 版 本 通用版 课程标题 约数和倍数(二)在整除的应用当中,最大公约数和最小公倍数的应用最为广泛,也是最重要的部分。

这类题目中往往不直接指出是求最大公约数还是最小公倍数,学生最容易混淆,只有对这类题目的条件和问题作出全面的分析后,才能发现题中数量之间关系的实质,才能正确找到解决问题的途径。

一、判断法则:如果题目已知总体,求部分,一般用最大公约数解题,先求出总体的最大公约数,再依题意解答;如果题目已知部分,求总体,一般用最小公倍数解题,先求出部分的最小公倍数,再依题意解答。

求最小公倍数和最大公约数的应用题,解题方法比较独特。

当某些题中所求的数并非正好是已知数的最小公倍数或最大公约数时,我们可以通过“增加一部分”或“减少一部分”的方法,使问题转换成已知数的最小公倍数或最大公约数,从而求出结果。

二、在上节课中我们通过例题简单介绍了求约数个数的方法,本节课来解释这种方法:一般地,对自然数n 进行分解质因数,设n 可以分解为 n =k 32k x x x x αααα⨯⨯⨯⨯ 3211,其中k x x x 、、、 21是不同的质数,k ααα、、、 21是正整数,则形如m =k 32k x x x x ββββ⨯⨯⨯⨯ 3211的数都是n 的约数,其中1β可取11+α个值:0、1、2、…、1α;2β可取12+α个值:0、1、2、…、2α;…;k β可取1+k α个值:0、1、2、…、k α。

根据乘法原理,n 的约数的个数共有(11+α)×(12+α)×…×(1+k α)。

例1 长180厘米,宽45厘米,高18厘米的木料,能锯成尽可能大的正方体木块(无余料)_________块。

分析与解:根据“无余料”这一条件,可知长、宽和高分别能被正方体的棱长整除,即正方体的棱长是180、45和18的公约数。

为了使正方体木块尽可能大,正方体的棱长应是180、45和18的最大公约数。

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约数个数和约数和
月日姓名
【知识要点】
自然数d
c
b
a P
P
P
P
N
4
3
2
1



=,
4
3
2
1
P
P
P
P均为质数,a、b、c、d为自
然数,则约数的个数等于()()()()1
1
1
1+

+

+

+d
c
b
a,
所有约数的和等于
()()b
a P
P
P
P
2
2
1
1
1
1+
+
+

+
+
+
()()d
c P
P
P
P
4
4
3
3
1
1+
+
+

+
+
+
⨯。

【典型例题】
例1 用枚举法求120所有的因数。

例2 180共有几个约数?所有约数的和是多少?
例3 1~500中有奇数个约数的数有哪些?只有3个约数的数有哪些?
例4 共有8个不同约数,且小于120的自然数有哪些?
例5 有12个不同约数的最小自然数是多少?
加油!
随堂小测成绩
1.用枚举法求90的所有因数。

2.720的约数有多少个?约数的和是多少?
3.小于200的有奇数个约数的自然数有哪些?
4.小于200的有14个约数的自然数有哪些?
5.某自然数是4和5的倍数,包括1和它本身在内共有9个约数,这个自然数是多少?
课后作业成绩
1.用枚举法求124所有的因数。

2.126的约数个数有多少个?全部约数的和是多少?
3.200~600之间有奇数个约数的自然数有几个,都是哪些?
4.小于300的9个约数的自然数有哪些?
☆5.某自然数小于200,并且是2和9的倍数,包括1和它本身在内共有12个约数,这样的自然数有哪些?。

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