微积分基本定理
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两式相减，得到
(b) (a) F (b) F (a).
由于
(b) a f (t )dt a f ( x)dx, (a) a f (t )dt 0,
a
b
b
所以
. a f（x）dx F（b） F（a）
b
证毕. 为了简便起见， （b） F（a）常记做F（x）a . F |b
（x）是f（x）在[a, b]上的一个原函数 .
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证明： 根据导数定义，给自变 x一个增量x，则函数的增量 量
( x x) a
x x
f (t )dt（如图所示） , .
y
y f ( x)
x a （x x) ( x)
o
X+△x
b
x
a
1 e x2 2 解：因为 xe dx xe dx c 2 2 2
x2
ex x2 所以 是xe 的一个原函数，由牛顿— 莱布 2 尼滋公式有，
0
a
e xe dx |0 a 2
x2
1 a 0 1 a (e e ) (e 1). 2 2
2
a
例1
.xd x ex
x2
a f ( x)dx F (b) F (a).
证明： 已给F（x）是f（x）的一个原函数，根据 定理1有，
b
（x） a f（t）dt
也是F（x）的一个原函数，因此 在区间 a，b]上， [
（x） F（x） c，其中c为某个常数.
x
于是
（b) F (b) c, （a) F (a) c.
一、
4 (1) (4 2 ); 3 (3) (5)
3
; ;
1 2
2
18
1 2
( 2) ; 4a 1 ( 4) ; 4 (6)7 ln 2.
1 2
二、 (1) 01dx 0
ห้องสมุดไป่ตู้
1
1 xn 1 x2 1 3 3 3 (2) 1 xdx arctan 1 x arctan xdx 1 xdx arctan 3. 3 3 3 3
上一页 下一页
3、习题
一、利用牛顿—莱布尼滋公式求下列定积分：
(1) 1
2
1 x dx; dx
2
(3) 1 (5) 0
1 2
1 x 1 arcsin x 2
2
;
1 x2
; dx;
dx , ( a 0); 2 2 a x xdx 1 ( 4) 0 ; 2 2 ( x 1) 7 10 (6) 0 dx. 2 x ( 2) 0
6 （提示：将等式两边从 到 积分， . 0 2 3 2
dx 0
1
dx;
三、 f ( x) cos x
求出02 f ( x)dx即可）
上一页
微积分基本定理
1、积分上限函数及其导数
2、牛顿—莱布尼滋公式
3、小结与习题
新余高专数理系设计制作
1、积分上限函数及其导数
问题的提出：设f ( x)在区间 a, b]上连续，x [a, b], 则f ( x) [
在[a, x]上连续，所以积分a f ( x)dx存在, 也可写成a f (t )dt.
x x
f (t )dt a f (t )dt
x x
x
a f (t )dt a
x
f (t )dt a f (t )dt
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x
x
x x
f (t )dt f ( )x, ( x, x x).
积分中值定理
（x） lim 所以 f（）， lim f（） x0 x x0 x 又因为f（x）在[a，b]上连续，当x 0， x
x x
定义：当上限x在区间 a，b]上任意变动时，将积分a f (t )dt [
叫做积分上限函数，用 （x）表示，即
x
（x） a f (t )dt
定理1
若函数f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限函 ( x) a f (t )dt 数
x
x
在（a, b）上可导，且
d x ( x) a f (t )dt f ( x),即 dx
x 0
lim f（） f（x） , 所以（x） f（x） .
即（x）是f（x）的一个原函数 .
证毕. 上述定理初步地揭示了定积分与原函数的关系，也证明了 连续的函数一定存在原函数. 上一页 下一页
2、牛顿—莱布尼滋公式
[ 定理2 如果函数f ( x)在区间 a, b]上连续，且F ( x)是f ( x) 的任意一个原函数，那 么，
a
二、证明下列不等式： 1 1 dx 2 (1) 0 ; n 2 6 1 x
2 4 3 (2) 1 x arctan xdx . 3 9 9 三、设f（x）连续，f（x） cos x 302 f ( x)dx, 求f ( x).
上一页
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习题答案
定理中的公式a f ( x)dx F (b) F (a)叫做牛顿 — 莱布尼滋公式 . 注1：
b
注2：牛顿—莱布尼滋公式是微分学中的基本公式.此公式揭示了
定积分与原函数之间的密切关系：连续函数在积分区间[a，b]上的 定积分等于它的一个原函数在该区间上的增量.从而为定积分的计 算提供了简便有效的方法. 上一页 下一页
0
分积定求
x2
上一页
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例2 求定积分1 解： 1
2 1 3x
2 1 3x
2 3x
dx.
2 3x
dx 1
（ 2 3 2 3x）
2 3x 3 2 2 1 dx 1 dx 2 3x 2 2 ln(2 3x) |1 x |1
dx
ln 8 ln 5 1 8 ln 1. 5
两式相减，得到
(b) (a) F (b) F (a).
由于
(b) a f (t )dt a f ( x)dx, (a) a f (t )dt 0,
a
b
b
所以
. a f（x）dx F（b） F（a）
b
证毕. 为了简便起见， （b） F（a）常记做F（x）a . F |b
（x）是f（x）在[a, b]上的一个原函数 .
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证明： 根据导数定义，给自变 x一个增量x，则函数的增量 量
( x x) a
x x
f (t )dt（如图所示） , .
y
y f ( x)
x a （x x) ( x)
o
X+△x
b
x
a
1 e x2 2 解：因为 xe dx xe dx c 2 2 2
x2
ex x2 所以 是xe 的一个原函数，由牛顿— 莱布 2 尼滋公式有，
0
a
e xe dx |0 a 2
x2
1 a 0 1 a (e e ) (e 1). 2 2
2
a
例1
.xd x ex
x2
a f ( x)dx F (b) F (a).
证明： 已给F（x）是f（x）的一个原函数，根据 定理1有，
b
（x） a f（t）dt
也是F（x）的一个原函数，因此 在区间 a，b]上， [
（x） F（x） c，其中c为某个常数.
x
于是
（b) F (b) c, （a) F (a) c.
一、
4 (1) (4 2 ); 3 (3) (5)
3
; ;
1 2
2
18
1 2
( 2) ; 4a 1 ( 4) ; 4 (6)7 ln 2.
1 2
二、 (1) 01dx 0
ห้องสมุดไป่ตู้
1
1 xn 1 x2 1 3 3 3 (2) 1 xdx arctan 1 x arctan xdx 1 xdx arctan 3. 3 3 3 3
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3、习题
一、利用牛顿—莱布尼滋公式求下列定积分：
(1) 1
2
1 x dx; dx
2
(3) 1 (5) 0
1 2
1 x 1 arcsin x 2
2
;
1 x2
; dx;
dx , ( a 0); 2 2 a x xdx 1 ( 4) 0 ; 2 2 ( x 1) 7 10 (6) 0 dx. 2 x ( 2) 0
6 （提示：将等式两边从 到 积分， . 0 2 3 2
dx 0
1
dx;
三、 f ( x) cos x
求出02 f ( x)dx即可）
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微积分基本定理
1、积分上限函数及其导数
2、牛顿—莱布尼滋公式
3、小结与习题
新余高专数理系设计制作
1、积分上限函数及其导数
问题的提出：设f ( x)在区间 a, b]上连续，x [a, b], 则f ( x) [
在[a, x]上连续，所以积分a f ( x)dx存在, 也可写成a f (t )dt.
x x
f (t )dt a f (t )dt
x x
x
a f (t )dt a
x
f (t )dt a f (t )dt
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x
x
x x
f (t )dt f ( )x, ( x, x x).
积分中值定理
（x） lim 所以 f（）， lim f（） x0 x x0 x 又因为f（x）在[a，b]上连续，当x 0， x
x x
定义：当上限x在区间 a，b]上任意变动时，将积分a f (t )dt [
叫做积分上限函数，用 （x）表示，即
x
（x） a f (t )dt
定理1
若函数f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限函 ( x) a f (t )dt 数
x
x
在（a, b）上可导，且
d x ( x) a f (t )dt f ( x),即 dx
x 0
lim f（） f（x） , 所以（x） f（x） .
即（x）是f（x）的一个原函数 .
证毕. 上述定理初步地揭示了定积分与原函数的关系，也证明了 连续的函数一定存在原函数. 上一页 下一页
2、牛顿—莱布尼滋公式
[ 定理2 如果函数f ( x)在区间 a, b]上连续，且F ( x)是f ( x) 的任意一个原函数，那 么，
a
二、证明下列不等式： 1 1 dx 2 (1) 0 ; n 2 6 1 x
2 4 3 (2) 1 x arctan xdx . 3 9 9 三、设f（x）连续，f（x） cos x 302 f ( x)dx, 求f ( x).
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习题答案
定理中的公式a f ( x)dx F (b) F (a)叫做牛顿 — 莱布尼滋公式 . 注1：
b
注2：牛顿—莱布尼滋公式是微分学中的基本公式.此公式揭示了
定积分与原函数之间的密切关系：连续函数在积分区间[a，b]上的 定积分等于它的一个原函数在该区间上的增量.从而为定积分的计 算提供了简便有效的方法. 上一页 下一页
0
分积定求
x2
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例2 求定积分1 解： 1
2 1 3x
2 1 3x
2 3x
dx.
2 3x
dx 1
（ 2 3 2 3x）
2 3x 3 2 2 1 dx 1 dx 2 3x 2 2 ln(2 3x) |1 x |1
dx
ln 8 ln 5 1 8 ln 1. 5