模运算详解
模2除法运算详解
模2除法运算详解模2除法是计算机科学和电子工程领域中重要的一种运算。
该运算用于判断一个二进制数是否为偶数或奇数，还可以进行数据校验等。
本文将详细介绍模2除法的基本概念、算法原理、实现方法以及一些应用实例。
一、基本概念1.1 余数在数学中，有一个重要的概念——“余数”。
余数是指整除运算中，除数与被除数相减后剩下的部分。
例如，27÷4=6余3，其中4是除数，27是被除数，6是商，3是余数。
余数的取值范围是0到除数减1的整数。
1.2 二进制数二进制数是一种数制，用0和1表示数值。
在计算机中，二进制数是非常重要的一种数据表达方式。
二进制数的每一位代表数值中的2的幂，最左侧的一位代表最高位。
例如，1101的十进制值为13。
1.3 模2除法在计算机中，由于电子元件只能区分电信号的高低电平，因此采用二进制数进行运算。
模2除法是计算机中的一种基本运算，其具体含义是将一个二进制数除以2，求商和余数。
二、算法原理2.1 常规算法将一个二进制数除以2，就是将其右移1位。
例如，将1101右移1位，得到0110。
商就是右移后的结果，余数就是最右侧的一位（即低位），如果为0，则原数为偶数，如果为1，则原数为奇数。
2.2 优化算法对于一个8位二进制数，可以使用位运算来进行模2除法。
具体方法如下：先将二进制数与0x01进行按位与运算，得到最低位的值，再将二进制数右移1位，得到商。
这种算法比常规算法更快速、更简单。
例如，对于二进制数11011011，先与0x01进行按位与运算，得到最低位的1，然后右移1位，得到01101101，这就是商。
余数为1，说明原数为奇数。
三、实现方法3.1 常规方法常规算法的实现比较简单，只需要将二进制数右移1位，再将最右侧的位取出即可。
例如，对于二进制数1101，先右移一位，得到0110，然后将最右侧的一位取出，得到1，这就是余数。
3.2 优化方法优化算法的实现需要使用位运算，即与和移位运算。
快速幂取模算法详解
快速幂取模算法详解转载https:///ltyqljhwcm/article/details/53043646 article>1.⼤数模幂运算的缺陷：快速幂取模算法的引⼊是从⼤数的⼩数取模的朴素算法的局限性所提出的，在朴素的⽅法中我们计算⼀个数⽐如5^1003%31是⾮常消耗我们的计算资源的，在整个计算过程中最⿇烦的就是我们的5^1003这个过程缺点1：在我们在之后计算指数的过程中，计算的数字不都拿得增⼤，⾮常的占⽤我们的计算资源（主要是时间，还有空间）缺点2：我们计算的中间过程数字⼤的恐怖，我们现有的计算机是没有办法记录这么长的数据的，所以说我们必须要想⼀个更加⾼效的⽅法来解决这个问题2.快速幂的引⼊：我们⾸先从优化的过程开始⼀步⼀步优化我们的模幂算法1.朴素模幂运算过程：1. #define ans=12. for(int i=1;i<=b;i++)3. {4. ans*=a;5. }根据我们上⾯说的，这种算法是⾮常的⽆法容忍的，我们在计算的过程中出现的两个缺点在这⾥都有体现在这⾥我们如果要做优化的话，我肥就是每个过程中都加⼀次模运算，但是我们⾸先要记住模运算是⾮常的消耗内存资源的，在计算的次数⾮常的⼤的时候，我们是没有办法忍受这种时间耗费的2.快速幂引⼊：在讲解快速幂取模算法之前，我们先将⼏个必备的知识1.对于取模运算：(a*b)%c=(a%c)*(b%c)%c这个是成⽴的：也是我们实现快速幂的基础之后我们来看看快速幂的核⼼本质我通过离散课上的学习，将快速幂的本质差不多理解了⼀下，感觉还是很深刻的在这⾥，我们对指数懂了⼀些⼿脚，核⼼思想在于将⼤数的幂运算拆解成了相对应的乘法运算，利⽤上⾯的式⼦，始终将我们的运算的数据量控制在c的范围以下，这样我们可以客服朴素的算法的缺点⼆，我们将计算的数据量压缩了很⼤⼀部分，当指数⾮常⼤的时候这个优化是更加显著的，我们⽤Python来做⼀个实验来看看就知道我们优化的效率有多⾼了1. from time import *2. def orginal_algorithm(a,b,c): #a^b%c3. ans=14. a=a%c #预处理，防⽌出现a⽐c⼤的情况5. for i in range(b):6. ans=(ans*a)%c7. return ans8.9. def quick_algorithm(a,b,c):10. a=a%c11. ans=112. #这⾥我们不需要考虑b<0，因为分数没有取模运算13. while b!=0:14. if b&1:15. ans=(ans*a)%c16. b>>=117. a=(a*a)%c18. return ans19.20. time=clock()21. a=eval(input(“底数:”))22. b=eval(input(“指数:”))23. c=eval(input(“模:”))24. print(“朴素算法结果%d”%(orginal_algorithm(a,b,c)))25. print(“朴素算法耗时:%f”%(clock()-time))26. time=clock()27. print(“快速幂算法结果%d”%(quick_algorithm(a,b,c)))28. print(“快速幂算法耗时:%f”%(clock()-time))实验结果：4. 朴素算法结果55. 朴素算法耗时:3.2899526. 快速幂算法结果57. 快速幂算法耗时:0.006706我们现在知道了快速幂取模算法的强⼤了，我们现在来看核⼼原理：1. 对于任何⼀个整数的模幂运算2. a^b%c3. 对于b我们可以拆成⼆进制的形式4. b=b0+b1*2+b2*2^2+…+bn*2^n5. 这⾥我们的b0对应的是b⼆进制的第⼀位6. 那么我们的a^b运算就可以拆解成7. a^b0*a^b1*2*…*a^(bn*2^n)8. 对于b来说，⼆进制位不是0就是1，那么对于bx为0的项我们的计算结果是1就不⽤考虑了，我们真正想要的其实是b的⾮0⼆进制位9.10. 那么假设除去了b的0的⼆进制位之后我们得到的式⼦是11. a^(bx*2^x)*…*a(bn*2^n)12. 这⾥我们再应⽤我们⼀开始提到的公式，那么我们的a^b%c运算就可以转化为13. (a^(bx*2^x)%c）*…*(a^(bn*2^n)%c)14. 这样的话，我们就很接近快速幂的本质了1. (a^(bx*2^x)%c)*…*(a^(bn*2^n)%c)2. 我们会发现令3. A1=(a^(bx*2^x)%c)4. …5. An=(a^(bn*2^n)%c)6. 这样的话，An始终是A(n-1)的平⽅倍（当然加进去了取模匀速那），依次递推现在，我们基本的内容都已经了解到了，现在我们来考虑实现它：1. int quick(int a,int b,int c)2. {3. int ans=1; //记录结果4. a=a%c; //预处理，使得a处于c的数据范围之下5. while(b!=0)6. {7. if(b&1) ans=(ans*a)%c; //如果b的⼆进制位不是0，那么我们的结果是要参与运算的8. b>>=1; //⼆进制的移位操作，相当于每次除以2，⽤⼆进制看，就是我们不断的遍历b的⼆进制位9. a=(a*a)%c; //不断的加倍10. }11. return ans;12. }现在，我们的快速幂已经讲完了我们来⼤致的推演⼀下快速幂取模算法的时间复杂度⾸先，我们会观察到，我们每次都是将b的规模缩⼩了2倍那么很显然，原本的朴素的时间复杂度是O(n)快速幂的时间复杂度就是O(logn)⽆限接近常熟的时间复杂度⽆疑逼朴素的时间复杂度优秀很多，在数据量越⼤的时候，者中优化效果越明显3.OJ例题POJ1995题意：快速幂版题1. #include“iostream”2. #include“cstdio”3. #include“cstring”4. #include“cstdlib”5.6. using namespace std;7.8. int ans=0;9. int a,b;10. int c;11.12. int quick(int a,int b,int c)13. {14. int ans=1;15. a=a%c;16. while(b!=0)17. {18. if(b&1) ans=(ans*a)%c;19. b>>=1;20. a=(a*a)%c;24.25. int main()26. {27. int for_;28. int t;29. scanf(“%d”,&t);30. while(t–)31. {32. ans=0;33. scanf(“%d%d”,&c,&for_);34. for(int i=1;i<=for_;i++)35. {36. scanf(“%d%d”,&a,&b);37. ans=(ans+quick(a,b,c))%c;38. }39. printf(“%d\n”,ans);40. }41. return 0;42. }</div></div></article>。
蒙哥马利算法详解(一)
蒙哥马利算法详解(一)蒙哥马利算法详解什么是蒙哥马利算法蒙哥马利算法（Montgomery Algorithm）是一种用于大整数模幂运算的快速算法。
它在密码学中广泛应用，特别是在RSA加密和解密操作中。
原理概述蒙哥马利算法利用模幂运算中的数学性质，通过将大整数转换为蒙哥马利余数形式，从而加速运算。
转换为蒙哥马利余数1.选择合适的模数 R（一般为 2 的某次幂），使得模 R 的结果比较容易计算。
2.根据模数 R，计算出 R 的逆元R’，满足R × R’ ≡ 1 (modn)，其中 n 为要计算的大整数。
3.将大整数 n 转换为蒙哥马利余数形式n’ = (n × R) mod n，即n’ = n × R mod n。
4.将指数 e 也转换为蒙哥马利余数形式e’ = (e × R) mod n。
蒙哥马利幂运算1.对于大整数 x，计算其蒙哥马利余数表示x’ = (x × R) modn。
2.初始化结果r’ = 1。
3.对于 e 的每一个二进制位 b，从高位到低位进行以下操作：•如果 b = 1，则将r’ 更新为r’ = (r’ × x’) mod n。
•将x’ 更新为x’ = (x’ × x’) mod n。
4.循环结束后，结果r’ 即为最终的蒙哥马利幂运算结果。
蒙哥马利逆转换1.将蒙哥马利幂运算结果r’ 转换为普通表示r = (r’ × R’mod n) mod n。
优势与应用•蒙哥马利算法的优势在于其快速的模幂运算速度，加速了RSA加密和解密操作。
•在实际应用中，蒙哥马利算法可用于优化RSA密钥生成和加密解密过程中的模幂运算，提升运算效率。
注意事项•在实现蒙哥马利算法时，需要注意大整数操作的溢出问题。
•进行蒙哥马利算法运算时，需要保证模数 n 是一个正整数。
该算法的运用在密码学中具有重要意义，大大提高了RSA算法的运算速度，值得进一步学习和研究。
专题25 平面向量的模长问题-备战2019年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展(解析版)
专题25 平面向量的模长问题【热点聚焦与扩展】平面向量中涉及模长的问题，常用解法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，因此，解答这类问题时可以利用数形结合的思想，利用代数和几何特征，会加快解题速度. 本专题拟通过典型例题，介绍代数法和几何法两种思路，以期对大家有所启发.（一）代数法利用代数方法处理向量的模长问题，主要采取模长平方——数量积和坐标两种方式1、模长平方：通过22cos0a a a a =⋅=可得：22a a =，将模长问题转化为数量积问题，从而能够与条件中的已知向量（已知模长，夹角的基向量）找到联系.要注意计算完向量数量积后别忘记开方 2、坐标运算：若(),a x y =，则2a x =+某些题目如果能把几何图形放入坐标系中，则只要确定所求向量的坐标，即可求出（或表示）出模长3、有关模长的不等问题：通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系，从而将问题转化为求函数最值问题 （二）几何法1、向量和差的几何意义：已知向量,a b ，则有：（1）若,a b 共起点，则利用平行四边形法则求a b +，可得a b +是以,a b 为邻边的平行四边形的对角线 （2）若,a b 首尾相接，则利用三角形法则求出a b +，可得a b +，,a b 围成一个三角形 2、向量数乘的几何意义：对于a λ（1）共线（平行）特点：a λ与a 为共线向量，其中0λ>时，a λ与a 同向；0λ<时，a λ与a 反向 （2）模长关系：a a λλ=⋅ 3、与向量模长问题相关的定理：（1）三角形中的相关定理：设ABC 三个内角,,A B C 所对的边为,,a b c ① 正弦定理：sin sin sin a b cA B C== ② 余弦定理：2222cos a b c bc A =+-（2）菱形：对角线垂直平分，且为内角的角平分线特别的，对于底角60的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形. （3）矩形：若四边形ABCD 的平行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件4、利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长 学%科#网【经典例题】例1.【浙江省部分市学校（新昌一中、台州中学等）2018届高三上学期9+1联考】如图，点C 在以AB 为直径的圆上，其中2AB =，过A 向点C 处的切线作垂线，垂足为P ，则AC PB ⋅的最大值是（ ）A. 2B. 1C. 0D. 1- 【答案】B【解析】连结BC ，则=90ACB ∠︒ ∵AP PC ⊥∴()21AC PB PC⋅=≤∴AC PB ⋅的最大值为1 故选B点睛：（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题；（3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 例2.已知向量,a b 的夹角为45，且1,210a a b =-=，则b =（ ）2 C. 【答案】D【解析】思路：本题利用几何图形可解，运用向量加减运算作出如下图形：可知2,,4AB B AC π===只需利用余弦定理求出BC 即可.解1：如图可得：b BC =，在ABC 中，有：2222cos AC AB BC AB BC B =+-例3. 已知向量,a b ，且1,2a b ==，则2b a -的取值范围是（ ）A. []1,3B. []2,4C. []3,5D. []4,6 【答案】[]3,5解2：222244174cos ,178cos ,b a b a b a a b a b a b -=-⋅+=-=- 因为[]cos ,1,1a b ∈- []229,25b a ∴-∈即[]23,5b a -∈ 例4.【2018届浙江省杭州市高三第二次检测】记的最大值和最小值分別为和.若平面向量满足则（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知可得：，建立平面直角坐标系，，，可得：点睛：本题主要考查的知识点是向量的数量积及模的关系.通过建立平面直角坐标系将其转化为点与圆的位置关系，就可以求出距离的最值，解答本题的关键是转化，理解并掌握本题的解题方法.有一定的难度.例5.【2018届北京市城六区高三一模】已知点在圆上，点在圆上，则下列说法错误的是A. 的取值范围为B. 取值范围为C. 的取值范围为D. 若，则实数的取值范围为【答案】B【解析】∵M在圆C1上，点N在圆C2上，∴∠MON≥90°，学科%网∴≤0，又OM≤+1，ON≤+1，∴当OM=+1，ON=+1时，取得最小值（+1）2cosπ=﹣3﹣2，故A正确；设M（1+cosα，1+sinα），N（﹣1+cosβ，﹣1+sinβ），则=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），∴2=2cosαcosβ+2sinαsinβ+2=2cos（α﹣β）+2，∴0≤≤2，故B错误；故选B ．例6.【2017浙江，15】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是_______．【答案】4，【解析】【名师点睛】本题通过设入向量,a b 的夹角θ，结合模长公式， 解得54cos a b a b ++-=+转化能力和最值处理能力有一定的要求．例7.【2017课标1，理13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= .【答案】【解析】试题分析：222|2|||44||4421cos60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=所以|2|12a b +==秒杀解析：利用如下图形，可以判断出2a b +的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，则为例8.【2018届山西省孝义市高三下学期一模】已知向量与的夹角是，且，则向量与的夹角是__________． 【答案】【解析】分析：先根据题意画出平行四边形，再解三角形得解. 详解：如图所示，∴∵，∴∴所以向量与的夹角是120°. 故填120°.例9.【2018届湖北省高三4月调研】已知向量a 与b 的夹角为30°，2a b -=，则a b +的最大值为_________．【答案】4+【解析】分析：由题意2a b -=，利用基本不等式和向量的运算，求的a b ⋅≤进而可求得a b +的最大值.所以()2222024444cos30423a ba ba b a b a b a b a b +=+=++⋅=+⋅=+⋅=+⋅44232816323≤+⨯=+-，当且仅当a b =时，等号成立，所以28164a b +≤+=+.点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决． 例10.已知平面向量,,a b c 满足1,2a b ==，且1a b ⋅=-，若向量,a c b c --的夹角为60，则c 的最大值是_________.【答案】32sin BD d R BAD===，即max 221c =答案：3D【精选精练】1．已知正方形ABCD 的边长为1，则等于（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：根据平面向量的基本定理，得到，即可求解其模．详解：因为正方形的边长为，，则，学=科网因为，所以，故选C ．点睛：本题考查了两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，向量的模模的方法，运用向量和三角形法则求出向量的和是解题的关键．2.【2018届山东省栖霞市第一中学高三4月模拟】已知向量，，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D3.【浙江省嘉兴第一中学2018届高三9月基础知识测试】若，且，，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】故选：D. 4．对于任意向量，下列说法正确的是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意，根据向量加法的三角形法则，且三角形两边之差小于第三边，则，同理，所以，故正确答案为A.5．已知向量a ， b 满足： 324,a b a b ==+=，，，则a b =﹣3 【答案】D【解析】分析：利用向量的数量积运算及向量的模运算即可求出． 详解：∵|a |=3，|b |=2，|a +b |=4， ∴|a +b |2=|a |2+|b |2+2a b ⋅=16，∴2a b ⋅=3，∴|a ﹣b |2=|a |2+|b |2﹣2a b ⋅=9+4﹣3=10，∴|a ﹣b ， 故选：D ．6．【2018届四川省绵阳市三诊】ABC ∆中， 5AB =， 10AC =， 25AB AC ⋅=，点P 是ABC ∆内（包括边界）的一动点，且3255AP AB AC λ=- R λ∈（），则AP 的最大值是（ ）【答案】B因为10λ-≤≤，所以2AP 的最大值为37，故maxAP= B.点睛：本题中向量,AB AC 的模长、数量积都是已知的，故以其为基底计算2216129AP λλ=-+，其中λ的取值范围可以由P 的位置来确定.学……科%网 7．【2018届辽宁省部分重点中学协作体高考模拟】已知是边长为1的正三角形，若点满足，则的最小值为（ ）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】分析：以为原点，以为轴，建立坐标系，可得，，利用配方法可得的最小值.，故选C.点睛：本题主要考查向量的模与平面向量的坐标运算，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则；（２）三角形法则；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与求范围问题往往运用坐标运算来解答）. 8．【2018届湖南省永州市三模】在中，，，，是上一点，且，则等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C 【解析】 在中，，，是是上一点，且，如图所示， 设，所以，所以，解得，所以，故选C ．8.【浙江省台州市2018届高三上学期期末】已知m ， n 是两个非零向量，且1m =， 23m n +=，则m n n ++的最大值为（ ）C. 4D. 5 【答案】B 【解析】9．【2018届四川省蓉城名校高三4月联考】已知圆1C ： ()2251x y ++=， 2C ： ()225225x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，若M 为1C 上的动点，且10CM C M ⋅=，则CM 的最小值为（ ）A.4D. 【答案】A【解析】∵圆1C ： ()2251x y ++=，圆2C ： ()225225x y -+=，088,x -≤≤minCM∴=== ，选A.10．设向量a ， b ， c 满足1a b ==， 1·2a b =-， ,60a c b c --=︒则c 的最大值等于（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A【解析】∵1a b ==，且1·2a b =-，∴a b ，的夹角为120°， 设,,OA a OB b OC c === 学科*网 则,CA a c CB b c =-=- 如图所示， 则∠AOB=120°；∠ACB=60° ∴∠AOB+∠AOC=180° ∴A，O ，B ，C 四点共圆，∵AB b a =-， 2222|||2?|3AB a b a a b b =-=-+= ∴ 3.AB =由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=2sin ABACB=∠.当OC 为直径时， c 最大，最大为2． 故选：A ．点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、余弦定理的应用，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，·cos ·a b a b θ=（此时·a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影， a 在b 上的投影是a bb⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.11.，与的夹角为，则的最小值是______,的最小值是_______．【答案】,,即的最小值是.12.【2018届天津市十二校二模】已知直角梯形中，，，，，，是腰上的动点，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：以为轴，为原点,过与垂直的直线为轴，建立坐标系，可设，可得，，利用二次函数配方法可得结果.详解：以为轴，为原点,过与垂直的直线为轴，建立坐标系，，即的最小值为，故答案为.。
新教材高考数学临考题号押第2题复数含解析
押第2题 复数从近三年高考情况来看,复数为高考的必考内容,尤其是复数的概念、复数相等、复数的四则运算以及共轭复数,复数的乘、除运算是高考考查的重点内容,一般为选择题或填空题,难度不大,解题时要正确把握复数概念及准确运用复数的四则运算法则进行求解.1．常用结论：（1）()21i 2i ±=±；1＋i 1－i =i ；1－i 1＋i =i -.（2）i i(i)b a a b -+=+． （3）4414243*i 1i i i 1i (i )n n n n n ===-=-∈N ＋＋＋,,,,4414243*i i i i 0()n n n n n ++++++=∈N ．（4）模的运算性质：①22||||z z z z ==⋅；②1212z z z z ⋅=；③1122||||||z z z z =. （5）设ω＝－12＋32i,则①|ω|＝1；②1＋ω＋ω2＝0；③ω＝ω2.2．易错点：（1）判定复数是实数,仅注重虚部等于0是不够的,还需考虑它的实部是否有意义． （2）对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解,判别式不再成立．因此解此类方程的解,一般都是将实根代入方程,用复数相等的条件进行求解． （3）两个虚数不能比较大小．（4）利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时,注意a ,b ,c ,d ∈R 的前提条件．（5）注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如,若z 1,z 2∈C ,z 21＋z 22＝0,就不能推出z 1＝z 2＝0；z 2<0在复数范围内有可能成立．1．（2021·全国·高考真题）复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【详解】()()2i 13i 2i 55i 1i13i 10102-+-++===-,所以该复数对应的点为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭, 该点在第一象限, 故选：A.2．（2021·北京·高考真题）在复平面内,复数z 满足(1)2i z -=,则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ．1i +【答案】D 【详解】 由题意可得：()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+. 故选：D.3．（2021·全国·高考真题（文））已知2(1)32i z i -=+,则z =（ ） A ．312i --B ．312i -+C ．32i -+D ．32i --【答案】B 【详解】2(1)232i z iz i -=-=+,32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅. 故选：B.4．（2021·全国·高考真题（理））设()()2346z z z z i ++-=+,则z =（ ） A ．12i - B ．12i +C ．1i +D ．1i -【答案】C 【详解】设z a bi =+,则z a bi =-,则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+,所以,4466a b =⎧⎨=⎩,解得1a b ==,因此,1z i =+.故选：C.5．（2021·江苏·高考真题）若复数z 满足()1i 3i z +=-,则z 的虚部等于（ ） A ．4 B ．2C ．-2D ．-4【答案】C 【详解】若复数z 满足()1i 3i z +=-,则()()()()3i 1i 3i 12i 1i 1i 1i z ---===-++-, 所以z 的虚部等于2-. 故选：C.6．（2021·全国·高考真题）已知2i z =-,则()i z z +=（ ） A ．62i - B ．42i - C ．62i + D ．42i +【答案】C 【详解】因为2z i =-,故2z i =+,故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选：C.7．（2021·全国·高考真题（文））设i 43i z =+,则z =（ ） A ．–34i - B ．34i -+ C ．34i - D ．34i +【答案】C 【详解】 由题意可得：()2434343341i i i i z i i i ++-====--. 故选：C.1．（2022·山东青岛·一模）已知34i1iz +=+,i 为虚数单位,则z =（ ） A ．52B ．72C ．522D ．252【答案】C 【详解】 ()()()()34i 1i 34i 7i 71i 1i 1i 1i 222z +-++====+++-, 4915244z =+故选：C2．（2022·山东·潍坊一中模拟预测）若()2i 3i x y +=+,则实数x ,y 满足（ ） A ．2y x =B ．2y x =C ．20x y +=D ．20x y +=【答案】B 【详解】解：因为()22i 12i x x x +=-+,所以212i 3i x x y -+=+, 则2132x y x ⎧-=⎨=⎩,即实数x ,y 满足2y x =．故选：B3．（2022·山东淄博·一模）若复数2iiz a +=+的实部与虚部相等,则实数a 的值为（ ） A ．-3 B ．-1 C ．1 D ．3【答案】A 【详解】 解：()()()()()22i i 212i2i i i i 1a a a z a a a a +-++-+===++-+ 因为复数2iiz a +=+的实部与虚部相等, 所以212a a +=-,解得3a =- 故实数a 的值为3a =-. 故选：A4．（2022·山东潍坊·一模）已知复数z 满足345i z z +=+,则在复平面内复数z 对应的点在（ ）. A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【详解】设i z x y =+,,R x y ∈,则i z x y =-,由345i z z +=+得：(i)34(i)5i x y x y ++=-+,即(3)i 4(54)i x y x y ++=+-,于是得3454x x y y +=⎧⎨=-⎩,解得1x y ==,则有1i z =+对应的点为(1,1),所以在复平面内复数z 对应的点在第一象限. 故选：A5．（2022·山东·模拟预测）已知11iz z=-+,则复数z =（ ） A ．2i + B ．2i -C ．1i -D ．1i -+【答案】C 【详解】设i z a b =+（a ,b R ∈）,则i z a b =-. 因为11i z z =-+,所以i i 11ia b a b +-=-+, 即()()i 1i a b -+()1i i a b =+-+, 整理得2i 1i a b a ++=+,所以211a b a +=⎧⎨=⎩,解得11a b =⎧⎨=-⎩,所以1i z =-. 故选：C6．（2022·山东临沂·一模）已知()2i i z =-,则z 的虚部为（ ） A ．－2i B ．－2 C ．2 D ．2i【答案】C 【详解】由题意,12z i =+,则其虚部为2. 故选：C.7．（2020·山东·嘉祥县第一中学三模）欧拉公式i s co in s i x e x x +=(i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,i 3e π表示的复数位于复平面中的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【详解】根据题意i s co in s i xe x x +=,故i3is n 1cos 33i 2e πππ=+=,对应点12⎛ ⎝⎭,在第一象限. 故选：A .8．（2020·山东临沂·二模）若复数z 满足()1i i z -,则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【详解】复数z 满足()221i 3i 312z -=+=+=,∴()()()1i 1i 21i z -+=+, ∴1i z =+,则在复平面内z 的共扼复数1i -对应的点是()1,1-,它位于第四象限. 故选：D.9．（2021·山东省实验中学一模）已知i 是虚数单位,若复数z 满足()()21i 1i z -=+,则z =（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．3【答案】B 【详解】解：因为()()21i 1i z -=+, 所以()()()()21i 1i 1i 1ii 2i 1i 1z ++===-+--+,所以112z =+=. 故选：B.10．（2021·山东·模拟预测）已知复数z 对应的向量为OZ (O 为坐标原点),OZ 与实轴正向的夹角为120°,且复数z 的模为2,则复数z 为（ ） A ．13i + B ．2C ．()1,3-D ．13i -+【答案】D 【详解】设复数z 对应的点为(x ,y ),则1cos120212x z ⎛⎫==⨯-=- ⎪⎝⎭,3sin120232y z ==⨯=,∴复数z 对应的点为(1,-3),∴13z i =-+, 故选D ．（限时：30分钟）1．已知 i 是虚数单位,复数4132⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【详解】242221111312224242⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+⨯=+ ⎪ =⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ -⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎣⎦11312=4242⎛⎫=+⨯---⎪ ⎝⎭,所以412⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭对应的点为12⎛- ⎝⎭在第三象限. 故选：C.2．在复平面内,复数z 满足()()1i 1i ,z a b a b R +=++∈,且z 所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上,则2+a b 的最小值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】B 【详解】由()()1i 1i ,z a b a b R +=++∈,得()()()()()1i 1i 1i1i 11i 1i 1i 22++---++++===+++-a b b a a b a b z , 因为z 所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上, 所以102102++⎧≥⎪⎪⎨--⎪≥⎪⎩a bb a ,即1010++≥⎧⎨--≥⎩a b b a ,设()()+2++-a b=m a b n b a ,解得3212⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩m n ,所以()()()()3131+211112222++-=+++---≥-a b =a b b a a b b a , 当且仅当1110++=⎧⎨--=⎩a b b a ,即10=-⎧⎨=⎩a b 时等号成立,所以2+a b 的最小值为1-. 故选：B. 3．已知复数5i1iz -=+（i 为虚数单位）,则z 的共轭复数z =（ ） A ．23i + B ．24i - C ．33i + D ．24i +【答案】A 【详解】()()()()5i 1i 5i 46i23i 1i 1i 1i 2z ----====-++- ∴23i z =-故23i z =+ 故选：A.4．已知复数324i 1i z +=-,则z =（ ）A B C ．D ．【答案】B 【详解】()()324i 1i 24i 24i3i 1i 1i 2z -++-====--- ,z =；故选：B.5．设复数1i z =-（i 是虚数单位）,则复数22z z+=（ ）A ．1i -B ．1i +C ．2i +D ．2i -【答案】A 【详解】22z z +=()()()()221i 21i 2i 1i 2i 1i 1i 1i 1i ++-=-=+-=---+. 故选：A6．已知复数z 满足()21i 24i z -=-,其中i 为虚数单位,则复数z 的虚部为（ ） A ．2 B ．1 C ．2- D ．i【答案】B 【详解】 由题意,化简得()224i24i 2i 42i 2i 21i z --+====+--,所以复数z 的虚部为1. 故选：B7．已知34i z =+,则()i z z -=（ ） A ．1117i + B ．1917i +C ．1117i -D ．1923i +【答案】B 【详解】 因为34i z =+,所以5z ==,所以i 5i z -=-,所以()()()i 34i 5i 1917i z z -=+-=+, 故选: B.8．已知复数1i z =-,则2i z z -=（ ）A ．2B ．3C ．D ．【答案】D 【详解】因为1i z =-,所以1i z =+,则()()2i 21i i 1i 33i z z -=--+=-,所以2i z z -= 故选：D ． 9．已知复数21iz =-,复数z 是复数z 的共轭复数,则z z ⋅=（ ）A ．1BC ．2D ．【答案】C 【详解】根据复数的运算性质,可得2222221i 1i z z z ⎛⎫⋅==== ⎪ ⎪--⎝⎭. 故选；C ． 10．复数43i2iz -=-（其中i 为虚数单位）的模为（ ）A ．1BC ．D ．5【答案】B 【详解】 因为43i 2i z -=-()()()()43i 2i 112i 112i 2i 2i 555-+-===--+,故z ==故选：B.11．若复数z 满足13z -=,则z 的最大值为（ ） A ．1 B ．2C ．5D ．6【答案】C 【详解】设i,z a b a b R =+∈、.则13z -=表示复平面点(,)z a b 到点(1,的距离为3.则z 的最大值为点(1,到(0,0)的距离加上3.即max 35z =. 故选：C.12．若复数z 满足()2i 25i z -=-,则z =（ ） A ．98i 55-B ．18i 55--C ．83i 3-D ．18i 33--【答案】A 【详解】()2i 25i z -=-,25i (25i)(2i)98i 2i 555z --+===-- 故选：A13．若复数z 满足()31i 3i z +=+（i 为虚数单位）,则z =（ ）A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i -【答案】A 【详解】解：因为复数z 满足()31i 3i z +=+（i 为虚数单位）,所以()()33i 1i 3i 3i 24i12i 1i 1i 22z +++++=====++-, 故选：A. 14．复数z ==（ ）A ．12+B ．12C 1i 2D 1i 2+ 【答案】B 【详解】2112z ====. 故选：B.15．设z 是复数z 的共轭复数,若复数z 在复平面内对应的点为()4,2,则iz=（ ）11 A ．24i + B ．24i - C ．24i -- D ．24i -+【答案】C【详解】解：因为复数z 在复平面内对应的点为()4,2, 所以42i z =+,则42i z =-, 所以42i24i i i z-==--,故选：C。
高中数学向量题型详解和解答技巧
高中数学向量题型详解和解答技巧在高中数学中，向量是一个重要的概念，它不仅在几何中有着广泛的应用，而且在物理等其他学科中也具有重要的作用。
掌握好向量的性质和运算规则，对于解答数学题目至关重要。
本文将详细解析高中数学中的向量题型，并给出解答技巧，帮助读者更好地理解和掌握相关知识。
一、向量的基本概念和性质在开始解答向量题目之前，我们首先需要了解向量的基本概念和性质。
向量是有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。
向量的大小叫做向量的模，通常用|AB| 或 ||AB|| 表示。
向量的方向可以用有向线段的方向来表示，也可以用角度来表示。
在向量的运算中，我们常常会用到向量的加法、减法和数量乘法。
向量的加法满足交换律和结合律，即 A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)；向量的减法可以看作是加上一个相反向量，即 A-B=A+(-B)；向量的数量乘法满足分配律，即k(A+B)=kA+kB，(k+l)A=kA+lA。
二、向量的坐标表示和运算在解答向量题目时，我们通常会用坐标表示向量。
对于平面上的向量，我们可以用两个有序实数表示，称为向量的坐标。
例如，向量 AB 的坐标可以表示为 (x2-x1, y2-y1)。
在进行向量的运算时，我们可以利用向量的坐标表示进行计算。
向量的加法和减法可以直接对应坐标的加法和减法，即 (x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2)，(x1,y1)-(x2, y2)=(x1-x2, y1-y2)。
向量的数量乘法也可以直接对应坐标的数量乘法，即k(x, y)=(kx, ky)。
三、向量的共线和垂直性质在解答向量题目时，我们经常会遇到判断向量共线和垂直的情况。
两个向量共线的条件是它们的方向相同或相反，即向量 A=kB 或 A=-kB。
两个向量垂直的条件是它们的数量积为零，即 A·B=0。
根据共线和垂直的性质，我们可以解决一些与共线和垂直相关的题目。
例如，已知向量 A 和向量 B 的坐标分别为 (2, 3) 和 (-1, 2)，求证向量 A 和向量 B 垂直。
高中数学平面向量、复数(解析版)
热点04 平面向量、复数复数及其运算是新高考的一个必考点，内容比较简单，主要是考查共轭复数，复平面以及复数之间的一些运算。
一般出现在填空题的第二或者是第三题。
平面向量也是新高考的一个重要考点，主要涉及到向量的代数运算以及线性运算。
本专题也是学生必会的知识点。
通过选取了高考出现频率较高的复数、向量知识点采用不同的题型加以训练，题型与高考题型相似并猜测一部分题型，希望通过本专题的学习，学生能够彻底掌握复数与平面向量。
【满分技巧】复数一般考查共轭复数以及复平面的意义比较多，中间夹杂着复数之间的运算法则，这类题目相对比较简单，属于送分题目。
牵涉到知识点也是比较少，主要注重基本运算；特别会求复数类题目可采取答案带入式运算。
平面向量代数运算类题目一般采用基本运算法则，只要简单记住向量的坐标运算以及模长运算即可。
平面向量的线性运算一般采用三角形法则，应掌握一些常识性结论，如三点共线问题，重心问题等，在解决此类题目中记住三角形法则核心即可。
平面向量综合性的题目一般是代数运算与线性运算相结合。
此类题目简便解法是采用数形结合的方式去求解。
【考查题型】选择题，填空，解答题【常考知识】复数的概念和几何意义、复数的运算、向量的概念和意义、平面向量的线性运算、平面向量的数量积【限时检测】（建议用时：90分钟）一、单选题1．（2020·上海大学附属中学高三三模）已知O是正三角形ABC内部的一点，230OA OB OC++=，则OAC∆的面积与OAB∆的面积之比是A．32B．23C．2D．1【答案】B试题分析：如下图所示，D 、E 分别是BC 、AC 中点，由230OA OB OC ++=得()2OA OC OB OC +=-+即2OE OD =-，所以2OE OD =，设正三角形的边长为23a ，则OAC ∆底边AC 上的高为13AC h BE a ==，OAB ∆底边AB 上的高为1322AB h BE a ==，所以123221332322ACOACOABAB AC h S a a S AB h a a ∆∆⋅⨯===⋅⨯，故选B .考点：1.向量的几何运算；2.数乘向量的几何意义；3.三角形的面积. 2．（2020·上海高三二模）设12,z z 是复数，则下列命题中的假命题是（） A ．若120z z -=，则12z z = B ．若12z z =，则12z z = C ．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D ．若12=z z ，则2212z z =【答案】D试题分析：对（A ），若120z z -=，则12120,z z z z -==，所以为真；对（B ）若12z z =，则1z 和2z 互为共轭复数，所以12z z =为真； 对（C ）设111222,z a b z a i b i =+=+，若12=z z 22221122a b a b +=+，222211112222,z z a b z z a b ⋅=+⋅=+，所以1122z z z z ⋅=⋅为真；对（D ）若121,z z i ==，则12=z z 为真，而22121,1z z ==-，所以2212z z =为假．故选D ．考点：1.复数求模；2.命题的真假判断与应用．3．（2020·上海杨浦区·高三二模）设z 是复数，则“z 是虚数”是“3z 是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义及复数的概念进行判断．可取特例说明一个命题为假．【详解】充分性：取12z =-+，故31z =是实数，故充分性不成立；必要性：假设z 是实数，则3z 也是实数，与3z 是虚数矛盾，∴z 是虚数，故必要性成立． 故选：B ．.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查复数的概念，属于基础题． 4．（2020·上海松江区·高三其他模拟）若复数z =52i-，则|z |=（ ）A ．1 BC ．5D ．【答案】B【分析】利用复数的模的运算性质，化简为对复数2i -求模可得结果【详解】|z |=5||2i -=5|2i|- 故选：B.【点睛】此题考查的是求复数的模，属于基础题5．（2020·上海高三一模）设12,z z 为复数,则下列命题中一定成立的是( ) A ．如果120z z ->,那么12z z > B ．如果12=z z ,那么12=±z zC ．如果121z z >,那么12z z > D ．如果22120z z +=,那么12 0z z == 【答案】C【分析】根据复数定义,逐项判断,即可求得答案.【详解】对于A,取13z i =+,21z i =+时,120z z ->,即31i i +>+,但虚数不能比较大小, ,故A 错误; 对于B,由12=z z ,可得2222+=+a b c d ,不能得到12=±z z ,故B 错误;对于C ,因为121z z >,所以12z z >,故C 正确; 对于D ,取11z =,2z i =,满足22120z z +=,但是12 0z z ≠≠,故D 错误.故选:C.【点睛】本题解题关键是掌握复数定义,在判断时可采用特殊值法检验,考查了分析能力,属于基础题. 6．（2020·上海高三二模）关于x 的实系数方程2450x x -+=和220x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是（ ） A ．{}5 B ．{}1- C ．()0,1 D ．(){}0,11-【答案】D【分析】根据条件分别设四个不同的解所对应的点为ABCD ，讨论根的判别式，根据圆的对称性得到相应判断.【详解】解：由已知x 2﹣4x +5＝0的解为2i ±，设对应的两点分别为A ，B ， 得A （2，1），B （2，﹣1），设x 2+2mx +m ＝0的解所对应的两点分别为C ，D ，记为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），（1）当△＜0，即0＜m ＜1时，220x mx m ++=的根为共轭复数，必有C 、D 关于x 轴对称，又因为A 、B 关于x 轴对称，且显然四点共圆；（2）当△＞0，即m ＞1或m ＜0时，此时C （x 1，0），D （x 2，0），且122x x +＝﹣m ， 故此圆的圆心为（﹣m ，0），半径122x x r -====，又圆心O 1到A 的距离O 1A =， 解得m ＝﹣1，综上：m ∈（0，1）∪{﹣1}. 故选：D.【点睛】本题考查方程根的个数与坐标系内点坐标的对应，考查一元二次方程根的判别式，属于难题.二、填空题7.（2020•上海卷）已知复数z 满足12z i =-（i 为虚数单位），则z =_______8．（2019·上海高考真题）在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P ⋅≤，则1F P 与2F Q 的夹角范围为____________【答案】1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】通过坐标表示和121F P F P ⋅≤得到[]21,2y ∈；利用向量数量积运算得到所求向量夹角的余弦值为：222238cos 322y y y θ-==-+++；利用2y 的范围得到cos θ的范围，从而得到角的范围.【详解】由题意：()1F，)2F设(),P x y ，(),Q x y -，因为121F P F P ⋅≤，则2221x y -+≤ 与22142x y +=结合 224221y y ⇒--+≤，又y ⎡∈⎣ []21,2y ⇒∈(22221212cos F P F Q F P F Qθ⋅===⋅与22142x y +=结合，消去x ，可得：2222381cos 31,223y y y θ-⎡⎤==-+∈--⎢⎥++⎣⎦所以1arccos ,3θππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦本题正确结果：1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查向量坐标运算、向量夹角公式应用，关键在于能够通过坐标运算得到变量的取值范围，将问题转化为函数值域的求解.9.（2018·上海高考真题）在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则的AE BF ⋅最小值为____． 【答案】-3 【分析】据题意可设E （0，a ），F （0，b ），从而得出|a ﹣b|=2，即a=b +2，或b=a +2，并可求得2AE BF ab ⋅=-+，将a=b +2带入上式即可求出AE BF ⋅的最小值，同理将b=a +2带入，也可求出AE BF ⋅的最小值． 【详解】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴2EF a b =-=； ∴a=b+2，或b=a +2；且()()12AE a BF b ==-，，，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a=b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b=a +2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3．【点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．10．（2020·上海高三三模）设点O 为ABC 的外心，且3A π=，若(),R AO AB AC αβαβ=+∈，则αβ+的最大值为_________. 【答案】23【分析】利用平面向量线性运算整理可得()1OA OB OC αβαβ+-=+，由此得到1αβ+<；由3A π=可求得cos BOC ∠，设外接圆半径为R ，将所得式子平方后整理可得()213αβαβ+=+，利用基本不等式构造不等关系，即可求得所求最大值. 【详解】()()AO AB AC OB OA OC OA αβαβ=+=-+-()1OA OB OC αβαβ∴+-=+ 10αβ∴+-<，即1αβ+<，1cos 2A =1cos cos 22BOC A ∴∠==-， 设ABC 外接圆半径为R ，则()22222222222212cos R R R R BOC R R R αβαβαβαβαβ+-=++∠=+-，整理可得：()()22321313124αβαβαβαβ+⎛⎫+=+≤+⨯=++ ⎪⎝⎭， 解得：23αβ+≤或2αβ+≥（舍）,当且仅当13时，等号成立， αβ∴+的最大值为23.故答案为：23.【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够利用平面向量线性运算和平方运算将已知等式化为与外接圆半径有关的形式，进而消去外接圆半径得到变量之间的关系.11．（2020·上海高三一模）已知非零向量a 、b 、c 两两不平行，且()a b c //+，()//b a c +，设c xa yb =+，,x y ∈R ，则2x y +=______.【答案】－ 3【分析】先根据向量共线把c 用a 和b 表示出来，再结合平面向量基本定理即可求解． 【详解】解：因为非零向量a 、b 、c 两两不平行，且()//a b c +，()//b a c +，(),0a m b c m ∴=+≠， 1c a b m∴=- (),0b n a c n ∴=+≠ 1c b a n∴=-1111m n ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩，解得11m n =-⎧⎨=-⎩c xa yb =+1x y ∴==- 23x y ∴+=-故答案为：3-．【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量共线的合理运用．解题时要认真审题， 属于基础题.12．（2020·上海高三一模）已知向量12AB ⎛= ⎝⎭，3122AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则BAC ∠=________． 【答案】6π【分析】利用平面向量数量积的坐标运算计算出AB 、AC 的夹角的余弦值，进而可求得BAC ∠的大小.【详解】由平面向量的数量积的坐标运算可得3442AB AC ⋅=+=，1AB AC ==， 3cos 2AB AC BAC AB AC⋅∴∠==⋅ 0BAC π≤∠≤，6BAC π∴∠=．故答案为：6π 【点评】本题考查了向量坐标的数量积运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．13．（2020·上海崇明区·高三二模）在ABC 中，()()3cos ,cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC面积的最大值是____________ 【答案】34【分析】计算113sin 22624ABC S x π⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭△，得到答案. 【详解】()22211sin ,1cos,22ABC S AB AC AB AC AB ACAB AC=⋅=⋅-△()2221AB AC AB AC=⋅-⋅=211133cos sin cos sin 222624x x x x π⎛⎫=-=--≤ ⎪⎝⎭， 当sin 216x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时等号成立.此时262x ππ-=-，即6x π=-时，满足题意. 故答案为：34. 【点睛】本题考查了三角形面积的最值，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.14．（2020·上海高三其他模拟）已知ABC 的面积为1，点P 满足324AB BC CA AP ++=，则PBC 的面积等于__________． 【答案】12【分析】取BC 的中点D ，根据向量共线定理可得,,A P D 共线，从而得到1122PBC ABC S S ∆∆==． 【详解】取BC 的中点D ，1()2AD AC AB ∴=+． 432()()AP AB BC CA AB BC CA AB BC AB AC AB =++=+++++=+，1()4AP AC AB ∴=+∴12AP AD =，即,,A P D 共线．1122PBC ABC S S ∆∆==．故答案为：12．【点睛】本题主要考查向量共线定理，中点公式的向量式的应用以及三角形面积的计算，属于基础题．15．（2020·上海大学附属中学高三三模）设11(,)x y 、22(,)x y 、33(,)x y 是平面曲线2226x y x y +=-上任意三点，则12A x y =-212332x y x y x y +-的最小值为________【答案】-40【分析】依题意看做向量()22,a x y =与()33,b y x =-的数量积，()22,a x y =与()11,c y x =-的数量积之和，根据点所在曲线及向量数量积的几何意义计算可得；【详解】解：因为2226x y x y +=-，所以()()221310x y -++=，该曲线表示以()1,3-为圆心，以10为半径的圆．12212332A x y x y x y x y =-+-，可以看做向量()22,a x y =与()33,b y x =-的数量积，()22,a x y =与()11,c y x =-的数量积之和，因为点22(,)x y 在2226x y x y +=-上，点()33,y x -在2226x y y x +=+，点()11,y x -在2226x y y x +=--上，结合向量的几何意义，可知最小值为()()210102101040-+-=-，即()()()()2,64,22,62,440--+-=-故答案为：40-【点睛】本题考查向量数量积的几何意义的应用，属于中档题.16．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考）若复数z 满足i 1i z ⋅=-+，则复数z 的虚部为________ 【答案】1【分析】求解z 再得出虚部即可. 【详解】因为i 1i z ⋅=-+，故1111i iz i i i i i-+-==+=+=+，故虚部为1. 故答案为：1【点睛】本题主要考查了复数的运算与虚部的概念，属于基础题. 17．（2020·上海高三一模）复数52i -的共轭复数是___________. 【答案】2i -+【分析】由复数代数形式的除法运算化简复数52i -，求出z 即可． 【详解】解：55(2)5(2)22(2)(2)5i i i i i i ----===----+--， ∴复数52i -的共轭复数是2i -+ 故答案为2i -+【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础题．18．（2020·上海大学附属中学高三三模）已知复数22(13)(3)(12)i i z i +-=-，则||z =______【答案】【分析】根据复数乘法与除法运算法则化简，再根据共轭复数概念以及模的定义求解.【详解】22(13)(3)(13)(68)26(12)34i i i i z i i i +-++===-----|||26|z i ∴=-+==故答案为：【点睛】本题考查复数乘法与除法运算、共轭复数概念以及模的定义关系，考查基本分析求解能力，属基础题.19．（2020·上海高三其他模拟）若复数z 满足i 12i01z+=，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________【答案】1-【分析】根据行列式得到(12)0iz i -+=，化简得到复数的虚部.【详解】i 12i 01z +=即12(12)0,2iiz i z i i+-+===-，z 的虚部为1-故答案为1-【点睛】本题考查了行列式的计算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力.20．（2020·上海市建平中学高三月考）设复数z 满足||1z =，使得关于x 的方程2220zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为________ 【答案】32-【分析】设z a bi =+，（,a b ∈R 且221a b +=），将原方程变为()()222220ax ax bx bx i +++-=，则2220ax ax ++=①且220bx bx -=②；再对b 分类讨论可得；【详解】解：设z a bi =+，（,a b ∈R 且221a b +=）则原方程2220zx zx ++=变为()()222220ax ax bx bx i +++-= 所以2220ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去； 从而1a =-，此时13x =-±，故1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得14a =-，154b =± 所以11544z =-±综上满足条件的所以复数的和为1151153144442⎛⎫⎛⎫-+-++--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：32- 【点睛】本题考查复数的运算，复数相等的充要条件的应用，属于中档题.21．（2020·上海高三其他模拟）从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，使得关于x 的方程2220x ax b ++=有两个虚根，则不同的选取方法有________种 【答案】3【分析】关于x 的方程x 2+2ax +b 2＝0有两个虚根，即△＜0，即a ＜b ．用列举法求得结果即可． 【详解】∵关于x 的方程x 2+2ax +b 2＝0有两个虚根，∴△＝4a 2﹣4b 2＜0，∴a ＜b ． 所有的（a ，b ）中满足a ＜b 的（a ，b ）共有（1，2）、（1，3）、（2，3），共计3个， 故答案为3．【点睛】本题考查列举法表示满足条件的事件，考查了实系数方程虚根的问题，属于中档题．22．（2020·上海市七宝中学高三其他模拟）已知复数13z i =-+（i 是虚数单位）是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的一个虚根，则::a b c =________.【答案】1:2:10【分析】利用求根公式可知，一个根为13i -+，另一个根为13i --，利用韦达定理即可求出a 、b 、c 的关系，从而可得 ::a b c【详解】利用求根公式可知，一个根为13i -+，另一个根为13i --，由韦达定理可得()()()13131313b i i ac i i a ⎧-++--=-⎪⎪⎨⎪-+--=⎪⎩ ，整理得：210ba c a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以2b a =，10c a =，所以:::2:101:2:10a b c a a a == 故答案为：1:2:10【点睛】本题主要考查了实系数一元二次方程的虚根成对的原理，互为共轭复数，考查了韦达定理，属于基础题.23．（2020·上海高三其他模拟）设复数2i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，则pq =________【答案】20-【分析】由题意复数2i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，利用一元二次方程根与系数的关系求出p q 、的值，可得答案.【详解】解：由复数2i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，故2-i 是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，故2+2i i p +-=-，(2+)(2)i i q -=， 故4p =-，5q =，故20pq =-， 故答案为：20-. 【点睛】本题主要考查实系数的一元二次方程虚根成对定理，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题型.三、解答题24．（2018·上海市建平中学高三月考）如图所示，PAQ ∠是某海湾旅游区的一角，其中120PAQ ∠=，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米，AC 是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水上直线通道AD （平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．(1) 若规划在三角形ABC 区域内开发水上游乐项目，要求ABC 的面积最大，那么AB 和AC 的长度分别为多少米？(2) 在(1)的条件下，建直线通道AD 还需要多少钱？【答案】（1）AB 和AC 的长度分别为750米和1500米（2）50万元试题分析：（1）设AB 长为x 米，AC 长为y 米，依题意得8004001200000x y +=，即23000x y +=，表示面积,利用基本不等式可得结论；（2）利用向量方法，将AD 表示为2133AD AB AC =+，根据向量的数量积与模长的关系可得结果.试题解析：（1）设AB 长为x 米，AC 长为y 米，依题意得8004001200000x y +=， 即23000x y +=，1sin1202ABC S x y ∆=⋅⋅ 34x y =⋅⋅ 32x y =⋅ 23282x y +⎫≤⎪⎝⎭=28125032m 当且仅当2x y =，即750,1500x y ==时等号成立，所以当ABC 的面积最大时，AB 和AC 的长度分别为750米和1500米 （2）在(1)的条件下，因为750,1500AB m AC m ==． 由2133AD AB AC =+ 得222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22441999AB AB AC AC =+⋅+224411750750150015009929⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯-+⨯ ⎪⎝⎭ 250000= 500AD ∴=，1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． 解法二：在ABC ∆中，cos120BC =1500cos120== 在ABD ∆中，222cos 2AB BC AC BAB AC+-=⋅2227501500+-=7=在ABD ∆中，AD=500 1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元．解法三：以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()750,0B()1500cos120,1500sin120C ,即(C -，设()00,D x y由2CD DB =，求得00250{x y == 所以(D所以，AD =500=1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元．25．（2020·上海高三一模）在复平面内复数1z 、2z 所对应的点为1Z 、2Z ，O 为坐标原点，i 是虚数单位. （1）112z i =+，234z i =-，计算12z z ⋅与12OZ OZ ⋅；（2）设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d ∈R ），求证：1212OZ OZ z z ⋅≤⋅，并指出向量1OZ 、2OZ 满足什么条件时该不等式取等号.【答案】（1）12112z z i ⋅=+，125OZ OZ ⋅=-；（2）证明详见解析，当ab cd =时.【分析】（1）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，可知()11,2OZ =，()23,4OZ =-，然后进行数量积的坐标运算即可；（2）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，以及复数的几何意义表示出1OZ 、2OZ 计算其数量积，利用作差法比较221212,||z z OZ OZ ⋅⋅的大小，并得出何时取等号. 【详解】解：（1）()()121234112z z i i i ⋅=+⋅-=+()11,2OZ =，()23,4OZ =-所以125OZ OZ ⋅=- 证明（2）1z a bi =+，2z c di =+()()12ac bd ad z i z bc =-++∴⋅()()22212z z ac bd ad bc ∴⋅=-++()1,OZ a b =，()2,OZ c d =12OZ OZ ac bd ∴⋅=+，()2212OZ OZ ac bd ⋅=+()()()222221212||z z OZ OZ ac bd ad bc ac bd ∴-⋅-⋅=-+++ ()()2240ad bc ac bd ad cb =--=+⋅≥所以1212OZ OZ z z ⋅≤⋅，当且仅当ad cb =时取“=”，此时12OZ OZ .【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．26．（2020·上海市建平中学高三月考）已知曲线22:136x y C -=，Q 为曲线C 上一动点，过Q 作两条渐近线的垂线，垂足分别是1P 和2P .（1）当Q 运动到(3,时，求12QP QP ⋅的值；（2）设直线l （不与x 轴垂直）与曲线C 交于M 、N 两点，与x 轴正半轴交于T 点，与y 轴交于S 点，若SM MT λ=，SN NT μ=，且1λμ+=，求证T 为定点. 【答案】（1）23；（2）证明见解析； 【分析】（1）确定两条渐近线方程，求出点Q 到两条渐近线的距离，再计算1QP 与2QP 夹角的余弦值，应用向量的数量积公式，即可求得结论.（2）设而不解，联立直线与双曲线方程得到根与系数的关系，再利用向量式SM MT λ=，SN NT μ=，将,λμ表示出来，代入1λμ+=化简即可证得T 为定点. 【详解】解：（1）由曲线22:136x y C -=，得渐近线方程为20x y ±-=，作示意图如图所示：设1POx θ∠=，tan 2θ=2222cos sin cos 2cos sin θθθθθ-=+221tan 1tan θθ-=+13=- 则121cos cos 23PQP θ∠=-= ， 又1QP =|3223|3-32233-=，2QP =|3223|3--32233+=12QP QP ⋅1212cos QP QP PQP =⋅⋅∠181212333-=⋅=. （2）设1122(,),(,)M x y N x y ，(,0),(0,)T m S n ，0m >，设直线l 的斜率为k ，则:()l y k x m =-，又22136x y -=，得22222(2)260k x k mx k m -+--=得212222k m x x k +=--，2212262k m x x k+=-- 由SM MT λ=，则1111(,)(,)x y n m x y λ-=--，即1111()()x m x y n y λλ=-⎧⎨-=-⎩，得11x m x λ=- ，同理，由22x SN NT m x μμ=⇒=-，则1212x x m x m x λμ+=+--121221212()21()m x x x x m x x m x x +-==-++得212122()3m x x x x m +-=，则222222223(6)22m k m k m m k k⋅⋅+-+=--， 得29m =，又0m >，得3m =，即T 为定点(3,0).【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系，向量数量积的定义，设而不解，根与系数的关系，学生的计算能力,是一道综合应用能力较强的题目.27．（2020·上海高三其他模拟）已知ABC 的角ABC 的对边分别为a 、b 、c ，设向量(),m a b =，()sin ,sin n B A =，()2,2p b a =--．（1）若//m n ，判断ABC 的形状；（2）若m p ⊥，边长2c =，60C ︒∠=，求ABC 的面积． 【答案】（1）等腰三角形；（2【分析】（1）根据//m n ，利用向量平行的坐标表示，可直接根据边的关系，判断三角形的形状； （2）根据向量垂直的数量积的坐标表示可得ab a b =+，再根据余弦定理()22243a b ab a b ab =+-=+-，两式联立可直接求得ab ，并求得三角形的面积.【详解】 （1）若//m n ，则sin sin 0a A b B -=，即220a b -=， 解得：a b =，ABC ∆是等腰三角形.（2）若m p ⊥，则()()220a b b a -+-=， 解得：ab a b =+，根据余弦定理可得：2222cos60c a b ab =+-， 即()22243a b ab a b ab =+-=+-， 即()2340ab ab --=()()140ab ab +-=解得：1ab =-（舍）或4ab = ，113sin 43222ABC S ab C ∆==⨯⨯=， 所以ABC ∆的面积是3.【点睛】本题考查向量和解三角形的综合问题，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型.28．（2020·上海高三二模）在平面直角坐标系中，A 、B 分别为椭圆22:12x y Γ+=的上、下顶点，若动直线l 过点()()0,1P b b >，且与椭圆Γ相交于C 、D 两个不同点（直线l 与y 轴不重合，且C 、D 两点在y 轴右侧，C 在D 的上方），直线AD 与BC 相交于点Q ．（1）设Γ的两焦点为1F 、2F ，求12F AF ∠的值; （2）若3b =，且32PD PC =，求点Q 的横坐标； （3）是否存在这样的点P ，使得点Q 的纵坐标恒为13？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2π（2）23Q x =；（3）(0,3)P 【分析】（1）由椭圆方程易知∠OAF 2＝45°，结合对称性可得∠F 1AF 2＝90°；（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），根据已知条件可求得直线BC 的方程为y ＝2x ﹣1，直线AD 的方程为y ＝﹣x +1，联立两直线方程即可得到点Q 的横坐标；（3）设直线l 的方程为y ＝kx +b （k ＜0，b ＞1），与椭圆方程联立，可得()2121212b kx x x x b-=+，直线BC的方程为1111y y x x +=-，直线AD 的方程为2211y y x x -=+，进而得到点Q 的纵坐标，由此建立方程化简即可得出结论. 【详解】解：（1）由椭圆Γ的方程知，F 1（﹣1，0），F 2（1，0），A （0，1）， 则∠OAF 2＝45°， ∴∠F 1AF 2＝90°；（2）若b ＝3，设C 、D 的两点坐标为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）， ∵32PD PC =， ∴()()22113,3,32x y x y -=-，即2121333,222x x y y ==-， 而C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）均在2212x y +=上，代入得()2211221122991242x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得179y =， ∴213y =-，分别代入Γ解得，1284,93x x ==， ∴直线BC 的方程为y ＝2x ﹣1，直线AD 的方程为y ＝﹣x +1， 联立211y x y x =-⎧⎨=-+⎩，解得23x =，∴Q 点的横坐标为23； （3）假设存在这样的点P ，设直线l 的方程为y ＝kx +b （k ＜0，b ＞1）， 点C ，D 的坐标为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）， 联立2222y kx bx y =+⎧⎨+=⎩，得（2k 2+1）x 2+4kbx +2b 2﹣2＝0， 由△＝16k 2b 2﹣8（2k 2+1）（b 2﹣1）＞0，得2212b k ->，由12221224212221kb x x k b x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，可得()2121212b kx x x x b -=+， 直线BC 的方程为1111y y x x +=-，直线AD 的方程为2211y y x x -=+， 而x 1y 2＝kx 1x 2+bx 1，x 2y 1＝kx 1x 2+bx 2，联立11221111y y x x y y x x +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩，得()()()()()()()()12212112122121121221122x y x y x x kx x b x x x x y x y x y x x b x x x x ++-+++-==-++-++＝()()()()122122112113x x b x x b x x b x x b ++-==-++， 则b ＝3＞1，因此，存在点P （0，3），使得点Q 的纵坐标恒为13. 【点睛】本题考查椭圆方程及其性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查圆锥曲线中的定点定值问题，考查化简运算能力，属于较难题目.29．（2020·上海杨浦区·高三二模）已知双曲线222:1(0)y H x b b-=>，经过点(2,0)D 的直线l 与该双曲线交于M N 、两点.（1）若l 与x 轴垂直，且||6MN =，求b 的值； （2）若b =M N 、的横坐标之和为4-，证明：90MON ∠=︒.（3）设直线l 与y 轴交于点,,E EM MD EN ND λμ==，求证：λμ+为定值. 【答案】（1）b =2）证明见解析；（3）证明见解析； 【分析】（1）把2x =代入双曲线方程求得,M N 坐标，由6MN =可求得b ； （2）设()()1122,,,M x y N x y ，设直线方程为(2)y k x =-，代入双曲线方程应用韦达定理得1212,x x x x +，由124x x +=-可求得k ，再由数量积的坐标运算计算出OM ON ⋅可得结论；（3）设方程为(2)y k x =-，且(0,2)E k -，由,EM MD λ=可用,λμ表示出11,x y ，代入双曲线方程得222223240b b k b λλ---=，同理222223240b b k b μμ---=.故λμ、是方程222223240b x b x k b ---=的两根.由韦达定理可得结论．【详解】（1）:2l x =，2241y b-=，y =，∴),(2,),6M N MN b ==⇒=（2）22:12y H x -=，设()()1122,,,M x y N x y ，显然直线斜率存在，设方程为(2)y k x =-，并与H 联立得()222224420k x k x k -+--=，由124x x +=-得224412kk k-=-⇒=±-，此时126x x ⋅=-. ()()()12121212121222224OM ON x x y y x x x x x x x x ⋅=+=+--=-++ 122(4)40=--⨯-+=.（3）有题意可知直线l 斜率必存在，设方程为(2)y k x =-，且(0,2)E k -.由,EM MD EN ND λμ==得()()()()11112222,22,,22,x y k x y x y k x y λλ⎧+=--⎪⎨+=--⎪⎩，所以121x λλ=+，121k y λ-=+，又由于点M 在双曲线H 上，故22221122221111k y x b b λλλ-⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭-=⇒-= ⎪+⎝⎭化简得222223240b b k b λλ---=，同理222223240b b k b μμ---=.故λμ、是方程222223240b x b x k b ---=的两根.则222233b b λμ+==为定值.【点睛】本题考查直线与双曲线相交问题，考查韦达定理的应用．在直线与双曲线相交时常常设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，由直线方程与双曲线方程联立方程组消元后应用韦达定理得出1212,x x x x +，然后代入其他条件求解．30．（2020·上海高三二模）已知直线l ：y kx m =+和椭圆Γ：22142x y+=相交于点()11,A x y ，()22,B x y（1）当直线l 过椭圆Γ的左焦点和上顶点时，求直线l 的方程 （2）点)2,1C在Γ上，若0m =，求ABC 面积的最大值：（3）如果原点O 到直线l 23AOB 为直角三角形. 【答案】（1） 2y x =+ （2）22（3）证明见解析 【分析】（1）由椭圆方程得左焦点和上顶点坐标，代入直线方程可得结果；（2）联立直线与椭圆方程可得,A B 的坐标，可得弦长||AB ，求出点C 到直线AB 的距离。
蒙哥马利算法详解(二)
蒙哥马利算法详解(二)
蒙哥马利算法详解
什么是蒙哥马利算法？
蒙哥马利算法（Montgomery algorithm）是一种快速算法，用于
进行大整数的乘法和幂模运算。
它通过利用整数的特殊性质，提供了
一种高效的计算方法。
蒙哥马利算法的原理
蒙哥马利算法的原理基于模重复平方和模加法。
其核心思想是将
大整数的运算转化为模运算，并通过一定的变换，减少模运算的次数，从而提高计算速度。
蒙哥马利算法的步骤
1.将待计算的大整数转化为蒙哥马利表示。
2.对转化后的蒙哥马利表示进行模重复平方计算。
3.根据结果进行模加法操作。
4.将结果从蒙哥马利表示转回普通表示。
蒙哥马利算法的优势
蒙哥马利算法相对于传统的乘法和幂模运算方法，具有以下优势：
•降低了模运算的次数，提高了计算效率。
•通过预处理，减少了模加法运算过程中的中间变量，节省了内存空间。
•对硬件实现友好，适合在芯片设计等领域应用。
蒙哥马利算法应用领域
蒙哥马利算法在加密算法、数字签名、密码学等领域得到广泛应用。
其高效的计算方式使得对大整数进行加密、解密等操作更加迅速和安全。
总结
蒙哥马利算法是一种高效的大整数乘法和幂模运算算法。
通过利用模重复平方和模加法操作，它能够减少模运算的次数，提高计算速度。
在加密算法和密码学等领域有着重要的应用价值。
专题2.2复数的四则运算(七个重难点突破)高考数学
【详解】原式= − − + − − − = −.
(2)设z1 = x + 2i，z2 = 3 − yi(x，y ∈ R)，且z1 + z2 = 5 − 6i，求z1 − z2.
【答案】− + .
【详解】因为 = + ， = − ， + = − ，
− = + + − ，
显然 − ≠ ，由 − 为纯虚数，得 + = ，解得 = −，
所以 + = −.
故选：
试卷讲评课件
3.在复平面内，复数z对应的点Z的坐标为 −2sin120∘ , −2cos120∘ ，则
z + 2 3 =(
求 z1 + z2 .
【答案】
【分析】设对应的复数为 ，对应的复数为 ，利用向量运算
和复数的向量表示可解.
试卷讲评课件
【详解】设对应的复数为 ，对应的复数为
，
则 + 对应的复数为 + ， − 对应的
复数为 − ，
因为 = = ，且 − = ，
所以 + + − = − ，
=
+=
所以
，解得
，
=
− = −
所以
− = + − − = − + [ − − ] = − + .
试卷讲评课件
【分析】(1)(2)运用复数加减运算及复数相等求解即可.
③当 = 时， − = − ，
所以 = − + = − + − + − − = − + ，
C语言运算符详解
C语言运算符详解C语言是一种流行的编程语言，广泛应用于软件开发和系统编程领域。
在C语言中，运算符是一种非常重要的语法元素，用于对数据进行各种操作和计算。
本文将详细介绍C语言中常用的运算符及其使用方法，以帮助读者更好地理解和应用C语言。
一、算术运算符算术运算符用于执行基本的数学运算，包括加法、减法、乘法、除法和求余等操作。
常见的算术运算符包括加号（+）、减号（-）、乘号（*）、除号（/）和模运算符（%）。
下面将具体介绍这些运算符的使用。
1. 加法运算符（+）：用于执行两个数值相加的操作。
例如，表达式a + b将返回a和b的和。
2. 减法运算符（-）：用于执行两个数值相减的操作。
例如，表达式a - b将返回a减去b的结果。
3. 乘法运算符（*）：用于执行两个数值相乘的操作。
例如，表达式a * b将返回a和b的乘积。
4. 除法运算符（/）：用于执行两个数值相除的操作。
例如，表达式a / b将返回a除以b的结果。
需要注意的是，如果除数为0，则会出现错误。
5. 模运算符（%）：用于计算两个数值相除的余数。
例如，表达式a % b将返回a除以b的余数。
二、赋值运算符赋值运算符用于将一个值赋给一个变量。
常见的赋值运算符是等号（=）。
下面将介绍赋值运算符的使用。
1. 等号赋值符（=）：用于将右边的数值赋给左边的变量。
例如，a = b将把b的值赋给a。
除了普通的赋值运算符，还有一些复合赋值运算符，它们可以简化代码并实现特定的功能。
2. 加法赋值运算符（+=）：用于将右边的数值与左边的变量相加，并将结果赋给左边的变量。
例如，a += b等效于a = a + b。
3. 减法赋值运算符（-=）：用于将右边的数值从左边的变量中减去，并将结果赋给左边的变量。
例如，a -= b等效于a = a - b。
4. 乘法赋值运算符（*=）：用于将右边的数值与左边的变量相乘，并将结果赋给左边的变量。
例如，a *= b等效于a = a * b。
初三数学复数运算几何表示方法解析详解
初三数学复数运算几何表示方法解析详解复数是数学中一种重要的概念，它广泛应用于代数、几何和物理等领域。
在初三数学中，我们需要了解复数的运算和几何表示方法。
本文将详细解析初三数学中的复数运算和几何表示方法，帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
一、复数的基本概念复数由实部和虚部组成，用a+bi表示，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
实部和虚部都可以是实数。
二、复数的运算1. 加法和减法复数的加法和减法与实数的加法和减法类似，将实部和虚部分别相加或相减即可。
例如，(2+3i)+(4+5i)=6+8i，(2+3i)-(4+5i)=-2-2i。
2. 乘法复数的乘法可以通过分配律和虚数单位的性质来进行计算。
例如，(2+3i)(4+5i)=8+10i+12i+15i²=8+22i-15=--7+22i。
3. 除法复数的除法需要先将除数的分子和分母同时乘以除数的共轭复数，然后再按照乘法的规则进行计算。
例如，(2+3i)/(4+5i)=(2+3i)(4-5i)/(4+5i)(4-5i)=(8-10i+12i-15)/(16-25)=(--7+2i)/41。
三、复数的几何表示方法复数可以用平面直角坐标系中的点表示。
实部和虚部分别对应坐标系中的横坐标和纵坐标。
例如，复数2+3i可以表示为坐标(2,3)。
1. 复数的共轭复数的共轭是将虚部的正负号取反得到的复数。
例如，复数2+3i的共轭是2-3i。
在坐标系中表示，两个复数的共轭就是关于x轴对称的两点。
2. 模长和参数复数的模长表示复数到原点的距离，并且可以通过勾股定理计算得到。
例如，复数2+3i的模长是√(2²+3²)=√13。
复数的参数表示复数与x轴正方向的夹角，可以通过反正切函数计算得到。
例如，复数2+3i的参数是arctan(3/2)。
3. 乘法和除法的几何意义复数的乘法和除法在几何上具有一定的意义。
乘法相当于将原复数绕原点旋转一定的角度，并扩大或缩小一定的倍数。
小学奥数七大模块详解（超详细结构图）
⼩学奥数七⼤模块详解（超详细结构图）重点⼩学内部奥数复习材料
七⼤模块详解
（七⼤模块：计算、数论、⼏何、⾏程、应⽤题、计数和杂题）
模块⼀：计算模块
1、速算与巧算
2、分数⼩数四则混合运算及繁分数运算
3、循环⼩数化分数与混合运算
4、等差及等⽐数列
5、计算公式综合
6、分数计算技巧之裂项、换元、通项归纳
7、⽐较与估算
8、定义新运算
9、解⽅程
模块⼆：数论模块
1、质数与合数
2、因数与倍数
3、数的整除特征及整除性质
4、位值原理
5、余数的性质
6、同余问题
7、中国剩余定理（逐级满⾜法）
8、完全平⽅数
9、奇偶分析
10、不定⽅程
11、进制问题
12、最值问题。
余数问题试卷二年级
余数问题试卷二年级专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列哪个数除以3的余数是1？A. 2B. 5C. 8D. 112. 一个数除以4余2，除以5余3，这个数最小可能是多少？A. 23B. 27C. 29D. 313. 以下哪个数除以7的余数是6？A. 36B. 43C. 50D. 574. 一个数除以6余1，除以8余3，这个数最小可能是多少？A. 19B. 23C. 27D. 315. 以下哪个数除以9的余数是5？A. 32B. 41C. 50D. 59二、判断题（每题1分，共5分）6. 一个数除以5余2，那么这个数一定是奇数。
（）7. 如果一个数除以3余1，那么这个数除以9余数一定是4。
（）8. 一个数除以4余2，那么这个数除以8余数一定是2。
（）9. 一个数除以7余1，那么这个数除以14余数一定是1。
（）10. 如果一个数除以5余3，那么这个数除以10余数一定是3。
（）三、填空题（每题1分，共5分）11. 一个数除以4余3，除以5余2，这个数最小可能是______。
12. 以下哪个数除以6的余数是4？______13. 一个数除以7余2，除以8余3，这个数最小可能是______。
14. 以下哪个数除以9的余数是7？______15. 一个数除以3余2，除以4余1，这个数最小可能是______。
四、简答题（每题2分，共10分）16. 请简述什么是余数，并给出一个例子。
17. 如果一个数除以5余2，那么这个数除以10余数是多少？为什么？18. 请解释什么是同余，并给出一个例子。
19. 如果一个数除以3余1，那么这个数除以9余数是多少？为什么？20. 请解释什么是模运算，并给出一个例子。
五、应用题（每题2分，共10分）21. 一个数除以4余2，除以5余3，这个数最小可能是多少？22. 以下哪个数除以6的余数是4？23. 一个数除以7余2，除以8余3，这个数最小可能是多少？24. 以下哪个数除以9的余数是7？25. 一个数除以3余2，除以4余1，这个数最小可能是多少？六、分析题（每题5分，共10分）26. 如果一个数除以5余2，那么这个数除以10余数是多少？为什么？27. 如果一个数除以3余1，那么这个数除以9余数是多少？为什么？七、实践操作题（每题5分，共10分）28. 请找出一个数，使得它除以4余2，除以5余3。
C++中求余运算符（%）示例详解
C++中求余运算符（%）⽰例详解
介绍：
%是求余运算符，也叫模除运算符，⽤于求余数。
%要求两个操作数均为整数（或可以隐式转换成整数的类型）。
标准规定：
如果%左边的操作数为负数时，则模除的结果为负数或者0，
如果%左边的操作数为正数时，则模除的结构为正数或者0。
⽰例代码：
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
char c = 253;
int i =5 ;
cout<<c%2<<endl;
cout<<i%c<<endl;
cout<<19%10%5<<endl;
return 0;
}
输出：
-1
2
4
c 为字符类型，其235对应⼆进制位0xFD，也就是-3的补码形式。
则c变换为int 为-3；
总结
以上就是关于C++求余运算符的全部内容了，希望本⽂的内容对⼤家学习或者使⽤C++能带来⼀定的帮助，如果有疑问⼤家可以留⾔交流。
磁链计算模型分析详解
磁链计算模型分析详解1 引言异步电机按转子統场定向的矢量控制系统中，转子磁涟的准确估计至关重要。
如果转子獵链的估计不准确.转子磁场定向控制系统应有的优点，即实現转矩和磁通的解耦控制将无法实现。
由于直接检测转子磁徒的方法受到工艺和技术方面的限制.在实际的控制系统中，多采用问接计算转子磁徒的方法，即利用直接渕得的电压.电流或转速等信号，借助千转子銀傩计算模型，实时计算磁涟的幅值和相伎。
转子錢链模型可以从电动机数学模理中推导出来，也可以利用状态观测器或状态估计理论得到闭环的观测模型。
闭环方式的观测棣型，因计算比较复杂，理论研究尚不十分成熟，实际使用较少，多用比较简单的计算模型。
在计算根型中，由于主要实测信号的不同.又分为电流模型和电压按型两种⑴。
采用电压模型法.由于存在电压积分问題，结果在低迷运行时，模型运算困难。
采用电流模型法时, 由于存在一阶滞后环节，在动态过程中难以保证控制林度。
通常的组合模型法是考虑在不同的速度范国采用不同的计算棋型，主要是解决好过渡问題⑵。
该方法用到两个计算模型，计算复杂，且过渡处理造成成本增加。
而本丈却是立接通过对两个摸型的计算方程进行组合处理，消除了电压模型中的积分环节和电流揆型法中的一阶延时环节，得到一个新的琏徒计算揆型，并将其结合矢董控制系统进行仿真研究，结杲表明该模型具有较好的动态性能。
2常用转子怨链计算模型两相弊止坐标系下转子磁链的电压模型根据定子电流和定子电压的栓测值来估卑转子磁诞，所得出的模型叫做电压*笑理。
在两相赫止a B 坐标系下由定子电压方程可以得出⑶⑷：% "鼻十厶守十乙诗U . =RJ,a十厶— + L m—转子磁徒方程为:由上式得到转子电流a B分董:het ~石（血-―）-0 =+（%£ -厶忐）3為5叫)(7)式中:—转子时间常数：P —徹分算子，P = % : 3—转子转迷。
用式(3)把式(1)中的 几和 几置换掉，整理后得:% =令[J (%—恥)刊-叫・ % = ¥[«(("“ -%) 〃 - 叫0» _由以上分析易知.电压按型法实际上是一个纯积分器，而纯枳分君的累积误差和漂移问越都会导致 系统失稳。
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模2运算是一种二进制算法，CRC校验技术中的核心部分，因此，我们在分析CRC算法之前，必须掌握模2运算的规则。
与四则运算相同，模2运算也包括模2加、模2减、模2乘、模2除四种二进制运算。
而且，模2运算也使用与四则运算相同的运算符，即“＋”表示模2加，“－”表示模2减，“×”或“·”表示模2乘，“÷”或“/”表示模2除。
与四则运算不同的是模2运算不考虑进位和借位，即模2加法是不带进位的二进制加法运算，模2减法是不带借位的二进制减法运算。
这样，两个二进制位相运算时，这两个位的值就能确定运算结果，不受前一次运算的影响，也不对下一次造成影响。
①模2加法运算定义为：
0＋0＝0
0＋1＝1
1＋0＝1
1＋1＝0
例如0101＋0011＝0110，
列竖式计算：
0101
＋0011
──────
0110
②模2减法运算定义为：
0－0＝0
0－1＝1
1－0＝1
1－1＝0
例如0110－0011＝0101，
列竖式计算：
0110
－0011
──────
0101
③模2乘法运算定义为：
0×0＝0
0×1＝0
1×0＝0
1×1＝1
多位二进制模2乘法类似于普通意义上的多位二进制乘法，不同之处在于后者累加中间结果（或称部分积）时采用带进位的加法，而模2乘法对中间结果的处理方式采用的是模2加法。
例如1011×101＝100111，
列竖式计算：
1011
×101
──────
1011
+0000
+1011
────────
100111
④模2除法运算定义为：
0÷1＝0 1÷1＝1
多位二进制模2除法也类似于普通意义上的多位二进制除法，但是在如何确定商的问题上两者采用不同的规则。
后者按带借位的二进制减法，根据余数减除数够减与否确定商1还是商0，若够减则商1，否则商0。
多位模2除法采用模2减法，不带借位的二进制减法，因此考虑余数够减除数与否是没有意义的。
实际上，在CRC运算中，总能保证除数的首位为1
模2除法运算的商是由余数首位与除数首位的模2除法运算结果确定。
因为除数首位总是1，按照模2 除法运算法则，那么余数首位是1就商1，是0就商0。
例如1100100÷1011＝1110 (110)
列竖式计算：
1110
────────
1011)1100100
1011
──────
1111
-1011
──────
1000 -1011
──────
0110
-0000 ──────
11。