【高等代数】期末考试题(卷)A

一、填空题 （将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）

1、设1D =

3512

，

2D =345

510200

，则D =

12

D D O O

=_____________。

2、四阶方阵A B 、，已知A =

116

，且=B ()1

-12A 2A --，则B =_____________。 3、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，且3

2

B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。 4、若n 阶方阵A 满足关系式2

A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。

5、设()11,1,1α=，()21,

2,3α=，()31,3,t α=线性相关，

则t=_____________。 二、单项选择题 （每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表，每小题2分，共20分）

1、若方程

1321360

2

2

14

x x x

x -+-=

-

--成立，则x 是

（A ）-2或3； （B ）-3或2； （C ）-2或-3； （D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶方阵，则下列正确的公式为

（A ）()3

3

2

2

3

3A B+3AB +B A B A +=+； （B ）()()22

A B A+B =A B --；

（C ）()()2

A E=A E A+E --； （D ）()2

2

2

AB =A B

3、设A 为可逆n 阶方阵，则()*

*A

=

（A ）A E ； （B ）A ； （C ）n

A A ； （D ）2

n A A -；

4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵

（A ）100002⎛⎫ ⎪⎝⎭； （B ）100010011⎛⎫

⎪

⎪

⎪

⎝⎭； （C ）011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； （D ）010002100⎛⎫

⎪- ⎪ ⎪⎝⎭

；

5、下列命题正确的是

（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++=，则1,α2α，

，m α 线性无关； （B ）向量组1,α2α，

，m α 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,α2α，

，

m α线性相关；

（C ）向量组1,α2α，，m α 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关； （D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。

6、1,α2α，，m α和1β，2β，，m β为两个n 维向量组，且

1α=2β+3β+

+m β 2α=1β+3β+

+m β

m α=1β+2β++1m β-

则下列结论正确的是 （A ）()()1 212,,,,,,m m R R αααβββ< （B ）()()1 212,,,,,,m m R R αααβββ> （C ）()()1 212,,,,,

,m m R R αααβββ=

（D ）无法判定

7、设A 为n 阶实对称方阵且为正交矩阵，则有

（A ）A=E （B ）A 相似于E （C ）2

A E = （D ）A 合同于E

8、若1234,,,ηηηη是线性方程组AX O =的基础解系，则1η+2η+3η+4η是AX O =的 （A ）解向量 （B ）基础解系 （C ）通解； （D ）A 的行向量；

9、1,λ 2λ都是n 阶矩阵A 的特征值，12λλ≠，且1X 和2X 分别是对应于1λ和2λ的特征向量，当1,k 2k 满足什么条件时，1122X k X k X =+必是矩阵A 的特征向量。 （A ）10k =且20k =； （B ）10k ≠，20k ≠ （C ）120k k ≠ （D ）10k ≠而20k =

10、下列哪一个二次型的矩阵是110130000-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

（A ）22121222(,)23f x x x x x x =-+； （B ）22

121122(,)3f x x x x x x =-+;

(C)221231222(,,)23f x x x x x x x =-+; (D)22

123112232(,,)3f x x x x x x x x x =--+;

三、计算题（每小题9分，共63分）

1、设3阶矩阵，23=23A αγγ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 23B=βγγ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，其中23αβγγ，，，均是3维行向量，且已知行列式A =18，B =2，求A+B 2、解矩阵方程AX+B=X ，其中

010A=111101⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ ，112053B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

3、设有三维列向量组

11=11λα+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 21=11αλ⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 31=11αλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦，2

0=βλλ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

λ为何值时：

（1）β可由1 α，2α，3α线性表示，且表示式是唯一的；

（2）β不能由1 α，2α，3α线性表示；

（3）β可由1 α，2α，3α线性表示，且有无穷种表示式，并写出表示式。

4、已知四元非齐次线性方程组AX=β满足()3R A =，123γγγ，，是AX=β的三个解向量，其中

122402γγ⎛⎫ ⎪- ⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭， 2310

34γγ⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭

求AX=β的通解。

5、已知A=B ，且11A=111a a b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，000B=010002⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

求a , b

6、齐次线性方程组

123123

122303402a 0x x x x x x x x x -+=⎧⎫

⎪⎪-+=⎨⎬⎪⎪

-++=⎩⎭

中当a 为何值时，有非零解，并求出通解。

7、用正交变换法化二次型222

123123121323(,,)444444f x x x x x x x x x x x x =+++++为标

准型，并求出正交变换。 四、证明题（7分）

设A 为m ×n 矩阵，B 为n 阶矩阵，已知()n R A = 证明：若AB=O ，则B=O