双曲线经典练习题总结(带答案)

双曲线经典练习题总结（带答案）
一、选择题
1．以椭圆x 216＋y 2
9＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为( C )
A ．x 216－y 2
48＝1
B ．y 29－x 2
27
＝1
C ．x 216－y 248＝1或y 29－x 2
27＝1
D ．以上都不对
[解析] 当顶点为(±4,0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，双曲线方程为x 216－y 2
48＝1；当顶点为(0，
±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，双曲线方程为y 29－x 2
27＝1.
2．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( C ) A ．2 B ．22 C ．4 D ．42
[解析] 双曲线
2x 2－y 2＝8
化为标准形式为x 24－y 2
8
＝1，∴a ＝2，∴实轴长为2a ＝4.
3．(全国Ⅱ文，5)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2
＝1的离心率的取值范围是( C )
A ．(2，＋∞)
B ．(2，2 )
C ．(1，2)
D ．(1,2)
[解析] 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1
a
. ∴c 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a
2.
∵a >1，∴0<1a 2<1，∴1<1＋1
a
2<2，∴1<e < 2.故选C ．
4．(2018·全国Ⅲ文，10)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C
的渐近线的距离为( D ) A ．2 B ．2 C ．322
D ．22
[解析] 由题意，得e ＝c
a
＝2，c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝b 2.又因为a >0，b >0，所以a ＝b ，渐近
线方程为x ±y ＝0，点(4,0)到渐近线的距离为4
2
＝22， 故选D ．
5．(2019·全国Ⅲ卷理，10)双曲线C ：x 24－y 2
2＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，
O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( A ) A ．324
B ．322
C ．22
D ．32
[解析] 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝2
2x ，不妨设点
P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝3
2
，即△PFO 的底边长为6，高为
32，所以它的面积为12×6×32＝32
4
.故选A ． 6．若双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，
则C 的离心率为( A ) A ．2 B ．3 C ．2
D ．233
[解析] 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b
a x ，
圆的圆心为(2,0)，半径为2，
由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3.根据点到直线的距离公式得
2b a 2＋b 2
＝3，解得b 2＝3a 2. 所以C 的离心率e ＝c
a ＝
c 2a 2
＝1＋b 2
a
2＝2.故选A ． 二、填空题
7．(2019·江苏卷，7)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－
y 2
b 2
＝1(b >0)经过点(3,4)，则该
双曲线的渐近线方程是 [解析] 因为双曲线x 2－
y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，所以9－16b 2
＝1(b >0)，解得b ＝2，即双曲线方程为
x 2－
y 2
2
＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .
8．双曲线x 24＋y 2
k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是__－12＜k ＜0__.
[解析] 双曲线方程可变形为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝c
a ＝
4－k
2
.又因为e ∈(1,2)，即1＜4－k
2
＜2，解得－12＜k ＜0. 三、解答题
9．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝5
2的双曲线的方程；
(2)求实轴长为12，离心率为5
4
的双曲线的标准方程．
[解析] (1)设双曲线的方程为x 29－λ－y 2
λ－4＝1(4<λ<9)，则a 2＝9－λ，b 2＝λ－4，∴c 2＝a 2＋b 2
＝5，
∵e ＝52，∴e 2＝c 2a 2＝59－λ＝54，解得λ＝5， ∴所求双曲线的方程为x 24
－y 2
＝1.
(2)由于无法确定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，所以可设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2
b 2＝
1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，b >0)．
由题设知2a ＝12，c a ＝5
4且c 2＝a 2＋b 2，
∴a ＝6，c ＝152，b 2＝81
4
.
∴双曲线的标准方程为x 236－y 2814＝1或y 236－x 2
81
4
＝1.
B 级 素养提升
一、选择题
1．如果椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，那么双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的离心率为( A )
A ．
52
B ．54
C ．2
D ．2
[解析] 由已知椭圆的离心率为3
2，得a 2－b 2a 2＝34
，
∴a 2＝4b 2.∴a 2＋b 2a 2＝5b 24b 2＝5
4.
∴双曲线的离心率e ＝
5
2
. 2．双曲线x 2
－y 2
m ＝1的离心率大于2的充分必要条件是( C )
A ．m >12
B ．m ≥1
C ．m >1
D ．m >2
[解析] 本题考查双曲线离心率的概念，充分必要条件的理解． 双曲线离心率e ＝
1＋m >2，所以m >1，选C ．
3．(多选题)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2
＝1上的一点，F 1、F 2是C 的两个焦点．若
MF 1→·MF 2→
<0，则y 0的取值可能是( BC ) A ．－1 B ．0 C ．12
D ．1
[解析] 由双曲线方程可知F 1(－3，0)、F 2(3，0)， ∵MF 1→·MF 2→
<0，
∴(－3－x 0)(3－x 0)＋(－y 0)(－y 0)<0， 即x 20＋y 20－3<0，∴2＋2y 20＋y 20－3<0，y 2
0<13， ∴－
33<y 0<3
3
，故选BC ． 4．(多选题)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( BD ) A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2 B ．当a <b 时，e 1>e 2 C ．对任意的a ，b ，e 1<e 2 D ．当a >b 时，e 1<e 2
[解析] 由条件知
e 2
1＝c 2a 2＝1＋b 2a
2，e 2
2＝1＋
⎝ ⎛⎭
⎪⎫b ＋m a ＋m 2，当a >b 时，b ＋m a ＋m >b
a ，∴e 21<e 2
2.∴e 1<e 2.当a <b 时，b ＋m a ＋m <b
a ，∴e 21>e 2
2.∴e 1>e 2.所以，当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2. 二、填空题
5．(2019·课标全国Ⅰ理，16)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，
F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →
＝0，则C 的离心率为__2__.
[解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b
a x ，
∵F 1B →·F 2B →
＝0，∴F 1B ⊥F 2B ，
∴点B 在⊙O ：x 2＋y 2＝c 2上，如图所示，
不妨设点B 在第一象限，由⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝b a
x x 2
＋y 2＝c
2a 2
＋b 2
＝c 2
x ＞0
，
得点B (a ，b )，
∵F 1A →＝AB →
，∴点A 为线段F 1B 的中点，
∴A ⎝
⎛⎭⎪⎫a －c 2，b 2，将其代入y ＝－b a x 得b 2＝⎝⎛⎭⎫－b a ×a －c 2.
解得c ＝2a ，故e ＝c
a
＝2.
6．已知双曲线x 29－y 2a ＝1的右焦点为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为__y ＝±2
3x __.
[解析] 由已知得9＋a ＝13，即a ＝4，故所求双曲线的渐近线为y ＝±2
3x .
三、解答题
7．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．
[解析] 因为双曲线焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，F 1(－
c,0)、F 2(c,0)．
因为双曲线过点P (42，－3)， 所以32a 2－9
b
2＝1.①
又因为点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直， 所以QF 1→·QF 2→
＝0，即－c 2＋25＝0. 所以c 2＝25.② 又c 2＝a 2＋b 2，③
所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去)． 所以
b 2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是
x 216－y 2
9
＝1. 8．(2020·云南元谋一中期中)双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，其斜率为－3，求双曲线的离心率．
[解析] (1)由题意，b
a ＝1，c ＝2，a 2＋
b 2＝
c 2，∴a 2＝b 2＝2，
∴双曲线方程为x 22－y 2
2＝1.
(2)由题意，设A (m ，n )，则k OA ＝
33，从而n ＝33m ，m 2＋n 2＝c 2，∴A (32c ，c 2
)， 将A (32c ，c 2)代入双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1得：3c 24a 2－c 2
4b 2＝1，
∴c 2(3b 2－a 2)＝4a 2b 2，
且c 2＝a 2＋b 2，∴(a 2＋b 2)(3b 2－a 2)＝4a 2b 2， ∴3b 4－2a 2b 2－a 4＝0，∴3(b a )4－2(b
a )2－1＝0，
∴b 2a 2＝1从而e 2
＝1＋b 2
a 2＝2，∴e ＝ 2.。