11等腰三角形第4课时
第4课古代的生产工具与劳作导学案--高中历史选择性必修二
2023—2024学年度高中统编版历史新教材选择性必修2《经济与社会生活》课时教学案学案编订人审核人使用时间【史料史证能力训练二】古代劳作方式的发展材料一夫在芸耨，妻在机杼，民无二事，则有储蓄。
……春夏夫出于南亩，秋冬女练于布帛，则民不困。
(1)依据材料，概括小农经济的主要特点。
材料二家庭纺织民间冶金作坊官府纺织作坊(2)材料反映的手工业劳作方式有哪些？材料三中世纪西欧的庄园(3)观察图片，概述中世纪西欧庄园的特点。
默写过关知识深化高效训练不练不讲高效训练、不练不讲——知识题目化、能力具体化当场训练、同步测控：一、选择题1.从夏商周古墓出土的文物中发现，蚌、石农具的数量远多于青铜农具，青铜礼乐器、青铜兵器的数量也比青铜农具要多得多。
这一现象出现的主要原因是( )A.青铜器被贵族所垄断B.青铜器的铸造水平低C.奴隶制社会经济凋敝D.农业非主要生产部门2.现代考古在秦、魏等国故地出土了许多生铁铸造的农具。
19501951年河南辉县发掘了5座大型魏墓，1号墓出土铁器65件，其中农具占58件,包括锄、铲、镰、犁铮等一整套铁农具。
材料说明战国时期( )A.生铁铸造由魏国独断经营B.成套铁农具有利于农业精耕细作C.铁制农具成为随葬必备品D.铁制农具最早出现于河南辉县3.殷墟妇好墓中，有五十多件铜器的表面上粘附有纺织品残片。
研究发现，这些纺织品残片主要有六个品种，即麻织品、丝织物、用朱砂涂染的平纹丝织物、平纹变化组织、回形纹绮和纱罗组织的大孔罗。
据此材料二毛泽东在《中国革命和中国共产党》中指出，在中国封建时代，“农民不但生产自己需要的农产品，而且生产自己需要的大部分手工业品”。
（1）根据材料一并结合所学知识，分别概括指出图中社会生产的基本特征，并简要说明引起生产变化的根本原因。
（2）根据材料二并结合所学知识，简析中国古代农业家庭式劳作对社会发展的作用。
17．阅读材料，完成下列要求。
材料古埃及公元前4000年，开罗附近的墓地中发现残余铁砂；约公元前26世纪，在金字塔内挖出铁制镰刀赫梯公元前1400年左右，赫梯人大规模使用铁器古希腊在荷马时代(公元前12世纪到公元前9世纪)之末，铁制工具普遍使用，农业中装有铁铧的重犁施展威力，希腊多山而贫瘠的土地因之成片得以开垦与深耕，粮食生产也有较大程度地增长中国公元前6世纪首度出现铁的使用。
《三角形 第4课时》教案精品 2022年华师大版八下数学
9.1 三角形第4课时教学目标【知识与技能】1.掌握和理解三角形三边的关系.2.认识三角形的稳定性，并能利用三角形的稳定性解决一些实际问题.【过程与方法】联系三角形的三个内角、外角以及外角与内角之间的数量关系，探索三角形的三边之间的不等量关系.【情感态度】结合实践与应用，充分感受三角形的三边关系，体会三角形的稳定性.教学重难点【教学重点】三角形任何两边之和大于第三边的应用.【教学难点】三角形的两边求第三边的范围.课前准备课件教学过程一、情境导入，初步认识警察抓劫匪〔一名罪犯实施抢劫后，经AB—BC的路线往山上逃窜.警察为了能尽快抓到逃犯，经路线AC追赶，终于在山顶将罪犯捉拿归案.〕警察为什么能在这么短的时间内抓到罪犯呢？〔学生各抒已见.〕引入：警察的追击路线和罪犯的逃跑路线正好围成了一个三角形，那么警察能在这么短的时间内抓到罪犯，是不是与三角形的三条边有关系呢？是不是任意的三条线段都能围成一个三角形呢？今天我们就通过实际操作，分组讨论来研究三角形三条边之间的关系.【教学说明】创设情境，激发学生探究知识的欲望.二、思考探究，获取新知探究1 画一个三角形，使它的三条边分别为:4cm,3cm,2.5cm.画法步骤如下：(1)先画线段AB=4cm；(2)以点A为圆心，3cm长为半径画圆弧；(3)再以B为圆心，2.5cm长为半径画圆弧，两弧相交于点C；(4)连接AC、BC.△ABC就是所要画的三角形.这是根据圆上任意一点到圆心的距离相等.探究2 现有长2cm、3cm、4cm、5cm、6cm的五条线段，你任意选三条线段画三角形，使它的三边长分别是你所选择的三条线段的长.你在画的过程中可能会遇到什么情况？这是为什么？【归纳结论】三角形的任意两边的和大于第三边.你能用其它的依据说明“三角形的任意两边的和大于第三边〞吗？探究3 用3根木条钉一个三角形，拉三角形的顶点，这个三角形的形状会发生改变吗？三角形的大小会变吗？你知道这是为什么？用四根木条钉一个四边形，拉四边形的顶点，这个四边形的形状会发生改变吗？四边形的大小会变吗？你知道这是为什么？【归纳结论】如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形稳定性.四边形具有不稳定性.三角形的稳定性在生产实践中有着广泛的应用.例如桥梁拉杆、电视塔底座都是三角形结构.你还能列举生活中哪些地方用到了三角形的稳定性，哪些地方用到了四边形的不稳定性吗？【归纳结论】教师有意设置这些动手操作，共同探讨的活动，既满足了学生的这种需要，又让学生在高昂的学习兴趣中学到了知识，体验到了成功.三、运用新知，深化理解1.三条线段的长度分别为：(1)3cm、4cm、5cm (2)8cm、7cm、15cm(3)13cm、12cm、20cm (4)5cm、5cm、11cm能组成三角形的有〔〕组.2.现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是〔〕.3.三条线段的比是:①1∶3∶4;②1∶2∶3;③1∶4∶6;④3∶3∶6;⑤6∶6∶10;⑥3∶4∶5.其中可构成三角形的有( )C.4个4.等腰三角形的两边长分别为3和6,那么它的周长为( )5.一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，那么第三边长x的取值范围是 .假设x 是奇数，那么x的值是，这样的三角形有个；假设x是偶数，那么x的值是，这样的三角形有个.6.一个三角形的两边长分别是4cm、7cm，那么这个三角形的周长的取值范围是什么？7.等腰三角形的两边长分别为 4,9,求它的周长.8.如图，在△ABC内有一点D，试说明AB+AC＞BD+DC.【教学说明】通过练习及解决课前问题，进一步提高学生知识应用的能力.【答案】5.1<x<7 3、5 2 2 、4、6 36.解：根据三角形三边的关系可知，3<第三条边<11所以三角形的周长大于：4+7+3三角形的周长小于：4+7+11即，三角形的周长的取值范围是大于14 cm小于22 cm.7.解：因为三角形是等腰三角形，所以，当腰长为4时，三角形的三边分别为：4、4、9，而4+4<9所以不能构成一个三角形，应舍去.当腰长为9时，三角形的三边分别为：9、9、4，4+9>9所以能构成一个三角形.即周长为22.8.解：如图延长线段BD交AC于点E，在△ABE中，AB+AE＞BE. ①在△DEC中，DE+EC＞DC. ②由①+②得，AB+AE+EC+DE＞BD+DE+DC，即AB+AC＞BD+DC.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获与感想，然后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业1.布置作业:教材第82页“练习〞.2.完成练习册中本课时练习.五、教学反思课堂上通过有趣的情境故事引出本节课的知识点，激发学生的学习兴趣，让学生在经过自己的思考后，教师启发诱导解决实际问题，让学生做学习的主人，并探讨多种不同问题，使探究过程活泼起来，以更好地激发学生的积极思维，得到更大的收获.第二课时 勾股定理的逆定理【学习目标】1、探索并理解勾股定理的逆定理得出过程；2、会运用勾股定理的逆定理判断三边长度的三角形是不是直角三角形.【知识准备】1、勾股定理的内容：直角三角形两条直角边的平方和等于.2、在直角三角形中，两直角边长分别是3和4，那么斜边长是.3、直角三角形其中两边的长分别为5㎝和3㎝，那么第三边的长是_________.【自学提示】一、自学教材第56页-57页例1内容，完成以下题目：〔一〕“实验与探究〞局部：1、长度为12单位的细绳首尾相接围成的△ABC 的三边的长分别为：〔图上标出即可〕2、该△ABC 的长22b a +2c 〔填“=〞或“≠〞〕3、你用三角尺或量角器检验可知∠B90°，所以该△ABC 是三角形.4、图7-15中，最长为13单位的边所对角的度数为，所以该△也是.5、结合图7-16，利用勾股定理和SSS 可得出：勾股定理的逆定理：如果两条直角边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是.〔二〕勾股定理的逆定理的应用：1、判断由线段a ，b ，c 组成的三角形是不是直角三角形:〔1〕15=a ，8=b ，17=c ；〔2〕x 2，x 3，x 4.2、如果把一个直角三角形的三边同时扩大到原来的n 倍，得到的新三角形还是直角三角形吗？【问题积累】在学习中还存在哪些疑问？【共同释疑】(用多媒体出示)1、ABC Δ的三边分别a,b,ca=22n m -,b=2mn,c=22n m +(m>n,m,n 是正整数)，ABC Δ是直角三角形吗？说明理由.2、例2〔该四边形ABCD 的面积是多少？〕【当堂测试】1、如果三条线段长a ，b ，c 满足222b c a -=，其中最长的边为，最长的边所对角的度数为，该三角形是三角形.2、有6根细木棒，它们的长度分别是2,4,6,8,10,12，从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，那么这三根细木棒的长度分别是〔〕A 、2,4,8B 、4,8,10C 、6,8,10D 、8,10,123、三角形的三条边的长度分别是3，4，5，试判断该三角形是否是直角三角形.4、如下列图，点D 是ABC Δ上的一点，假设AB=10，AD=8，AC=17，BD=6，求BC的长.。
北师大版八年级数学下册1.1 等腰三角形(第4课时)
探究新知
证明： 三个角都相等的三角形是等边三角形.
已知：如图，∠A= ∠ B=∠C.
A
求证： AB=AC=BC.
证明： ∵ ∠A= ∠B,
∴ AC=BC. ∵ ∠B=∠C,
B
C
∴ AB=AC.
∴AB=AC=BC.
探究新知
证明： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
已知： 若AB=AC , ∠A= 60°.
C
推导过程：∵AB＝BC＝CA，∴ △ABC是等边三角形.
2.定理：三个角都相等的三角形是等边三角形. 推导过程：∵∠A＝ ∠ B＝ ∠ C，∴ △ABC是等边三角形.
3.定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 推导过程：∵AB＝AC，∠A＝ 60°，∴ △ABC等边三角形.
探究新知 归纳总结
A
求证:△ABC是等边三角形．
证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知), ∴∠C=∠B=60°(等边对等角)，
60°
B
C
∴∠A=60°(三角形内角和定理)．
∴∠A=∠B =∠C=60°．
∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).
探究新知 A
结论 等边三角形的判定方法：
1.定义：三条边都相等的三角形是等边三角形. B
探究新知
知识点 1 等边三角形的判定
思考： （1）等边三角形有哪些性质？
等边三角形的三条边相等，三个角相等，“三线合一”.
（2） 一个三角形满足什么条件时是等边三角形？
三条边相等的三角形是等边三角形（定 义）.你能证明这
三个角相等的三角形是等边三角形.
些定理吗？
（3）一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形? 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
八年级《等腰三角形》数学教案4篇
八年级《等腰三角形》数学教案4篇教案，也称课时计划，教师经过备课，以课时为单位设计的具体教学方案，教案是上课的重要依据，通常包括：班级、学科、课题、上课时间、课的类型、教学方法、教学目的、教学内容、课的进程和时间分配等。
以下是我为大家整理的，感谢您的欣赏。
八年级《等腰三角形》数学教案1教学目标(一)教学知识点1.等腰三角形的概念.2.等腰三角形的性质.3.等腰三角形的概念及性质的应用.1.经历作(画)出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点.2.探索并掌握等腰三角形的性质.(三)情感与价值观要求通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯.教学重点1.等腰三角形的概念及性质.2.等腰三角形性质的应用.教学难点等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用.教学方法探究归纳法.教具准备师：多媒体课件、投影仪;生：硬纸、剪刀.教学过程Ⅰ.提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案.这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形.来研究：①三角形是轴对称图形吗?②什么样的三角形是轴对称图形?[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是.[师]那什么样的三角形是轴对称图形?[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形.[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形.Ⅱ.导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形.作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形.[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点.[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形.现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本P138探究中的方法，•剪出一个等腰三角形.……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角.同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角.[师]有了上述概念，同学们来想一想.(演示课件)1.等腰三角形是轴对称图形吗?请找出它的对称轴.2.等腰三角形的两底角有什么关系?3.顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?4.底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?•底边上的高所在的直线呢?[生甲]等腰三角形是轴对称图形.它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系.[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等.[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线.[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴.[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴.[师]你们说的是同一条直线吗?大家来动手折叠、观察.[生齐声]它们是同一条直线.[师]很好.现在同学们来归纳等腰三角形的性质.[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高.[师]很好，大家看屏幕.(演示课件)等腰三角形的性质：1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合(通常称作“三线合一”).[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质.同学们现在就动手来写出这些证明过程).(投影仪演示学生证明过程)[生甲]如右图，在ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，因为所以BAD≌CAD(SSS).所以∠B=∠C.[生乙]如右图，在ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，因为所以BAD≌CAD.所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°.[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范.下面我们来看大屏幕.(演示课件)[例1]如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：ABC各角的度数.[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题.[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，•再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A.再由三角形内角和为180°，•就可求出ABC的三个内角.[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉.如果我们在解的过程中把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷.(课件演示)[例]因为AB=AC，BD=BC=AD，所以∠ABC=∠C=∠BDC.∠A=∠ABD(等边对等角).设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.于是在ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°.在ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°.[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识.Ⅲ.随堂练习(一)课本P141练习1、2、3.练习1.如下图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数.答案：(1)72°(2)30°2.如右图，ABC是等腰直角三角形(AB=AC，∠BAC=90°)，AD是底边BC上的高，标出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度数，图中有哪些相等线段?答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°;AB=AC，BD=DC=AD.3.如右图，在ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.答：∠B=77°，∠C=38.5°.(二)阅读课本P138～P140，然后小结.Ⅳ.课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用.等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等(等边对等角)，等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高.我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们.Ⅴ.课后作业(一)课本P147─1、3、4、8题.(二)1.预习课本P141～P143.2.预习提纲：等腰三角形的判定.Ⅵ.活动与探究如右图，在ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E.求证：AE=CE.过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质.结果：证明：延长CD交AB的延长线于P，如右图，在ADP 和ADC中ADP≌ADC.∠P=∠ACD.又DE∥AP，∠4=∠P.∠4=∠ACD.DE=EC.同理可证：AE=DE.AE=CE.板书设计§14.3.1.1等腰三角形(一)一、设计方案作出一个等腰三角形二、等腰三角形性质1.等边对等角2.三线合一三、例题分析四、随堂练习五、课时小结六、课后作业八年级《等腰三角形》数学教案2一、教材的地位和作用现实生活中，等腰三角形的应用比比皆是.所以，利用“轴对称”的知识，进一步研究等腰三角形的特殊性质，不仅是现实生活的需要，而且从思想方法和知识储备上，为今后研究“四边形”和“圆”的性质打下坚实的基础.性质“等腰三角形的两个底角相等”是几何论证过程中，证明“两个角相等”的重要方法之一.“等腰三角形底边上的三条重要线段重合”的性质是今后证明“两条线段相等”“两条直线互相垂直”“两个角相等”等结论的重要理论依据.教学重点：1. 让学生主动经历思考和探索的过程.2. 掌握等腰三角形性质及其应用.教学难点：等腰三角形性质的理解和探究过程.二、学情分析本年级的学生已经研究过一般三角形的性质，积累了一定的经验，动手能力强，善于与同伴交流，这就为本节课的学习做好了知识、能力、情感方面的准备.不同层次的学生因为基础不同，在学习中必然会出现相异构想，这也将是我在教学过程中着重关注的一点.三、目标分析知识与技能1.了解等腰三角形的有关概念和掌握等腰三角形的性质2. 了解等边三角形的概念并探索其性质3. 运用等腰三角形的性质解决问题过程与方法1.通过观察等腰三角形的对称性，发展学生的形象思维.2.探索等腰三角形的性质时，经历了观察、动手实践、猜想、验证等数学过程，积累数学活动经验，发展了学生的归纳推理，类比迁移的能力. 在与他人交流的过程中，能运用数学语言合乎逻辑的进行讨论和质疑，提高了数学语言表达能力.情感态度价值观：1.通过情境创设，使学生感受到等腰三角形就在自己的身边，从而使学生认识到学习等腰三角形的必要性.2.通过等腰三角形的性质的归纳，使学生认识到科学结论的发现,是一个不断完善的过程，培养学生坚强的意志品质.3.通过小组合作，发展学生互帮互助的精神，体验合作学习中的乐趣和成就感.四、教法分析根据学生已有的认知，采取了激疑引趣——猜想探究——应用体验——建构延伸的教学模式，并利用多媒体辅助教学.教学过程教学过程设计意图同学们，我们在七年级已研究了一般三角形的性质，今天我们一起来探究特殊的三角形：等腰三角形.等腰三角形的定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角.腰和底边的夹角叫做底角.提出问题：生活中有哪些现象让你联想到等腰三角形?首先让学生明确：本学段的几何图形都是按一般的到特殊的顺序研究的.通过学生描述等腰三角形在生活中的应用，让学生感受到数学就在我们身边，以及研究等腰三角形的必要性.剪纸游戏你能利用手中的这个矩形纸片剪出一个等腰三角形吗? 注意安全呦!学情分析：大部分学生会有自己的想法，根据轴对称图形的性质，利用对折纸片，再“剪一刀”就是就得到了两条“腰”;可能还有的同学会利用正方形的折法，获得特殊的等腰直角三角形;可能还有同学先画图，再依线条剪得.在这个过程中，注重落实三维目标.让学生在获取新知的过程中更好的认识自我,建立自信.我不失时机的对学生给予鼓励和表扬，使活动更加深入,课堂充满愉悦和温馨.知其然，更重要的是知其所以然.因此，我力求让学生关注剪法的理性思考.我设计了问题:你是如何想到的? 为的是剖析学生的思维过程：“折叠”就是为了得到“对称轴”，“剪一刀”就是就得到了两条“腰”,由“重合”保证了“等腰”.这样就建立了“操作”与“证明”的中间桥梁.从实际操作中得到证明的方法，也为发现“三线合一”做了铺垫.提出问题：等腰三角形还有什么性质?请提出你的猜想，验证你的猜想?并填写在学案上.合作小组活动规则：1、有主记录员记录小组的结论;2、定出小组的主发言人(其它同学可作补充);3、小组探究出的结论是什么?4、说明你们小组所获得结论的理由.等腰三角形的性质：性质一：等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).性质二：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”).学情分析：这个环节是本节课的重点，也是教学难点.尽管在教学过程中，因为学生的相异构想，数学猜想的初始叙述不准确，甚至不正确，但我不会立即去纠正他们，而是让同学们不断地质疑﹑辨析、研讨和归纳，逐渐完善结论.让他们真正经历数学知识的形成过程，真正的体现以人为本的教学理念，努力创设和谐的教育教学的生态环境.通过设置恰当的动手实践活动，引导学生经历观察、动手实践、猜想、验证等数学探究活动，这种探究的学习过程，恰恰是研究几何图形性质的一般规律和方法.(1)在此环节中，我的教学要充分把握好“四让”：能让学生观察的，尽量让学生观察;能让学生思考的，尽量让学生思考;能让学生表达的，尽量让学生表达;能让学生作结论的，尽量让学生作结论.这种教学方式，把学习的过程真正还给学生，不怕学生说不好，不怕学生出问题，其实学生说不好的地方、学生出问题的地方都正是我们应该教的地方，是教学的切入点、着眼点、增长点.(2)教师在这个过程中，充分听取和参与学生的小组讨论，对有困难的学生，及时指导.巩固知识1.等腰三角形顶角为70°,它的另外两个内角的度数分别为________;2.等腰三角形一个角为70°,它的另外两个内角的度数分别为_____;3.等腰三角形一个角为100°,它的另外两个内角的度数分别为_____.内化知识1.如图1，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=120°你能求出∠BAD的度数吗?知识迁移等边三角形有什么特殊的性质?简单地叙述理由.等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°.拓展延伸如图2，在△ABC中，AB=AC，点D，E在BC上，AD=AE，你能说明BD=EC?由于学生之间存在知识基础、经验和能力的差异，我为学生提供了层次分明的反馈练习.将练习从易到难，从简到繁，以适应不同阶段、不同层次的学生的需要.让学生拾阶而上，逐步掌握知识，使学困生达到简单运用水平，中等生达到综合运用水平，优等生达到创建水平.畅谈收获总结活动情况，重在肯定与鼓励.引导学生从本课学习中所得到的新知识,运用的数学思想方法,新旧知识的联系等方面进行反思,提高学生自主建构知识网络、分析解决问题的能力.帮助学生梳理知识，回顾探究过程中所用到的从特殊到一般的数学方法，启发学生更深层次的思考，为学生的下一步学习做好铺垫.反思过程不仅是学生学习过程的继续，更重要的是一种提高和发展自己的过程.基础性作业：P65 习题1、2、3、4八年级《等腰三角形》数学教案3教学目标：【知识与技能】1、理解并掌握等腰三角形的性质。
等腰三角形教案
集体讨论并互相帮助记忆重要的结论。
每个小组抽查记忆。
学生思考，看书理解，然后讨论每一步的理由。
小组讨论，并且竞争回答。
学生讨论，并且试图写出过程。
学生讨论，通过讨论，体会数学定理的使用和数学语言的组织。
学生在自己剪得的等腰三角形上画上已知条件，并且观察是否相等，然后进行相应证明的思考，并积极讨论。
情感目标： 体会数学的对称美，体验团队精神，培养合作精神。
教学中的重点、难点：
重点：1、等腰三角形对称的概念。
2、“等边对等角”的理解和使用。
3、“三线合一”的理解和使用。
难点：1、等腰三角形三线合一的具体应用。
2、等腰三角形图形组合的观察，总结和分析。
主要教学手段及相关准备：
教学手段：1、使用导学法、讨论法。
学生小组讨论后发言。
开放性问题，自由发言。
课题引入：
让学生观察两把三角尺，从三角形分类思考“两把三角尺的形状除了角度不同外还有什么区别”
在对学生思考结果的总结基础上，引入新课题。
新授：
1、等腰三角形的相关概念，腰，底边，顶角，底角。
2、指导学生做一做，要求：在事先准备的纸上，画一个腰长为a的等腰三角形，并将它剪下来，与组内其他成员的作品放在一起，并观察和回答问题。
12、完成例题：等腰△ABC中，AB＝AC，D、E是BC上的两点，若BD＝CE，那么AD和AE相等吗？为什么
13、课堂小结：通过今天的学习，你体会到什么？
14、有益的思考：通过今天的学习，你有哪些方法判断剪得的三角形是等腰三角形。
从直观图形上，回忆小学知识，体会等腰三角形。
理解等腰三角形相关概念。
等腰三角形的对称轴有几条。
冀教版数学八年级上册17.1《等腰三角形》说课稿1
冀教版数学八年级上册17.1《等腰三角形》说课稿1一. 教材分析冀教版数学八年级上册17.1《等腰三角形》是初中数学的重要内容，主要让学生了解等腰三角形的性质和判定方法。
通过本节课的学习，使学生能够熟练掌握等腰三角形的性质，并能够运用其解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备了一定的观察、分析、推理能力。
但对于等腰三角形的性质和判定方法，还需要通过本节课的学习来进一步理解和掌握。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解等腰三角形的性质，并能够运用其解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等方法，培养学生探索和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和爱国情怀。
四. 说教学重难点1.教学重点：等腰三角形的性质及其应用。
2.教学难点：等腰三角形性质的推导和证明。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、探究学习法等，引导学生主动参与，积极思考。
2.教学手段：多媒体课件、几何画板、实物模型等，辅助学生直观理解等腰三角形的性质。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习三角形的基本概念和性质，引出等腰三角形，激发学生的学习兴趣。
2.探究等腰三角形的性质：引导学生观察、操作、推理，探索等腰三角形的性质，并能够证明。
3.应用拓展：通过解决实际问题，巩固等腰三角形的性质，提高学生运用知识解决问题的能力。
4.课堂小结：总结本节课所学内容，强调等腰三角形的性质及其应用。
5.布置作业：设计具有层次性的作业，巩固所学知识，提高学生的数学素养。
七. 说板书设计板书设计如下：等腰三角形的性质1.两腰相等2.底角相等3.性质的应用八. 说教学评价1.学生学习情况的评价：通过课堂表现、作业完成情况、课后访谈等方式，了解学生的学习情况。
2.教学目标的达成情况：通过课堂练习、课后作业、考试等方式，评估学生对教学目标的掌握程度。
等腰三角形性质说课稿
等腰三角形性质说课稿等腰三角形性质说课稿1各位领导、老师：大家好！我说课的课题是《等腰三角形》，源于义务教育课程标准实验教科书七年级数学第七章，下面我将来汇报我这节课的教学设计。
一、说教材分析1、本课内容在初中数学教学中起着比较重要的作用，它是对三角形的性质的呈现。
通过等腰三角形的性质反映在一个三角形中等边对等角，等角对等边的边角关系，并且对轴对称图形性质的直观反映（三线合一）。
并且在以后直角三角形和相似三角形中等腰三角形的性质也占有一席之地。
2、教学目标：要求学生掌握等腰三角形的性质和等边三角形的每个角都相等，且每个角都为60度，使学生会用等腰三角形的性质定理进行证明或计算，逐步渗透几何证题的基本方法：分析法和综合法，培养学生的联想能力3、教学重点、难点：等腰三角形的性质定理是本课的重点等腰三角形“三线合一”性质的运用是本课的难点4、为了使学生了解这堂课，本课要求学生自制一个等腰三角形模型，教学过程采用多媒体教学。
二、说教学方法：“教必有法而教无定法”，只有方法得当，才会有效。
根据本课内容特点和初二学生思维活动的特点，我采用了教具直观教学法，联想发现教学法，设疑思考法，逐步渗透法和师生交际相结合的方法。
三、说学生学法。
“授人以鱼，不如授人以渔”，最有价值的知识是关于方法的知识，首先教师应创造一种环境，引导学生从已知的、熟悉的知识入手，让学生自己在某一种环境下不知不觉中运用旧知识的钥匙去打开新知识的大门，进入新知识的领域，从不同角度去分析、解决新问题，发掘不同层次学生的不同能力，从而达到发展学生思维能力和自学能力的目的，发掘学生的创新精神。
四、说教学程序1、等腰三角形的有关概念，轴对称图形的有关概念。
提问：等腰三角形是不是轴对称图形？什么是它的对称轴？2、教师演示（模型）等腰三角形是轴对称图形的实验，并让学生做同样的实验，引导学生观察重合部分，发现等腰三角形的一些性质。
3、新课：让学生由实验或演示指出各自的发现，并加以引导，用规范的数学语言进行逐条归纳，最后得出等腰三角形的性质定理1、2。
北师大版数学八年级下册1.1《等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质》(第4课时)说课稿
北师大版数学八年级下册 1.1《等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质》（第4课时）说课稿一. 教材分析《等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质》是人教版初中数学八年级下册的教学内容，属于几何部分。
本节课主要介绍了等边三角形的判定方法和含30°角的直角三角形的性质。
通过本节课的学习，学生能够掌握等边三角形的判定方法，理解含30°角的直角三角形的性质，并能够运用这些知识解决实际问题。
二. 学情分析在八年级下学期，学生已经学习了三角形的基本概念和性质，对三角形有一定的认识。
但是，对于等边三角形的判定和含30°角的直角三角形的性质，学生可能还没有完全理解和掌握。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主探索和发现等边三角形的判定方法和含30°角的直角三角形的性质，提高学生的几何思维能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够掌握等边三角形的判定方法，理解含30°角的直角三角形的性质，并能够运用这些知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的几何思维能力，提高学生的问题解决能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：等边三角形的判定方法，含30°角的直角三角形的性质。
2.教学难点：等边三角形的判定方法的灵活运用，含30°角的直角三角形的性质的理解和应用。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用以下教学方法和手段：1.情境创设：通过生活实例引入等边三角形的判定和含30°角的直角三角形的性质，激发学生的学习兴趣。
2.自主探索：引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主探索等边三角形的判定方法和含30°角的直角三角形的性质。
1.1 等腰三角形2 第1课时 全等三角形和等腰三角形的性质
A
已知：如图，在ΔABC中，∠B=∠C。 求证：AB=AC
证明: 作∠BAC的平分线AD 则∠1=∠2
在△BAD和△CAD中 ∠1=∠2 ∠B=∠C AD=AD （公共边）
12
B
DC
你还有其 他证法吗?
∴ △BAD ≌ △CAD （AAS）
∴ AB= AC （全等三角形的对应边相等）
等腰三角形的判定定理：
1、等腰三角形是怎样定义的？
A
有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形。
2、等腰三角形有哪些性质？
①等腰三角形是轴对称图形。
B DC
②等腰三角形的两个底角相等（简写
成“等边对等角”） 。
③等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边 上的高重合（也称为“三线合一”）.
探究新知
1.我们把等腰三角形的性质定理的条件和结论反 过来还成立吗？如果一个三角形有两个角相等，那 么这两个角所对的边也相等吗？
3、等边三角形中，高、中线、角平分线共有（ A ） A.3条 B.6条 C.9条 D.7条
课堂小结
等边三角形的性质:
名 称
图形
性质
等
A
三条边都相等
边
三个角都相等，且都为60°
三
角B
C 三线合一
形
轴对称图形，有三条对称轴
第3课时 等腰三角形的判定及反证法
北师大版 八年级下册
复习旧知
既是性质又
是判定
注意：在同 一个三角形 中应用哟！
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所 对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
A
几何语言：
∵∠B =∠C （已知）
∴ AB=AC（等角对等边）
1.1 第4课时 等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质
第4课时等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质1．学习并掌握等边三角形的判定方法，能够运用等边三角形的性质和判定解决问题；(重点、难点)2．理解并掌握含30°角直角三角形的性质，能灵活运用其解决有关问题．(难点)一、情境导入观察下面图形：师：等腰三角形中有一种特殊的三角形，你知道是什么三角形吗？生：等边三角形．师：对，等边三角形具有和谐的对称美．今天我们来学习等边三角形，引出课题．二、合作探究探究点一：等边三角形的判定【类型一】三边都相等的三角形是等边三角形已知a，b，c是△ABC的三边，且满足关系式a2＋c2＝2ab＋2bc－2b2，试说明△ABC是等边三角形．解析：把已知的关系式化为两个完全平方的和等于0的形式求解．解：移项得a2＋c2－2ab－2bc＋2b2＝0，∴a2＋b2－2ab＋c2－2bc＋b2＝0，∴(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0且b－c＝0，即a＝b且b＝c，∴a＝b＝c.故△ABC是等边三角形．方法总结：(1)几个非负数的和为零，那么每一个非负数都等于零；(2)有两边相等的三角形是等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．【类型二】三个角都是60°的三角形是等边三角形如图，在等边△ABC中，∠ABC 与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.试判定△ODE的形状，并说明你的理由．解析：根据平行线的性质及等边三角形的性质可得∠ODE＝∠OED＝60°，再根据三角形内角和定理得∠DOE＝60°，从而可得△ODE是等边三角形．解：△ODE是等边三角形，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°.∴∠DOE＝180°－∠ODE－∠OED＝180°－60°－60°＝60°.∴∠DOE＝∠ODE＝∠OED＝60°.∴△ODE是等边三角形．方法总结：证明一个三角形是等边三角形时，如果较易求出角的度数，那么就可以分别求出这个三角形的三个角都等于60°，从而判定这个三角形是等边三角形．【类型三】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE 延长线上一点，AB＝BC.试判断△ABC的形状，并证明你的结论．解析：由于EB＝ED，CE＝CD，根据等边对等角及三角形外角性质，可求得∠CBE ＝12∠ECB.再由BE⊥CE，根据三角形内角和定理，可求得∠ECB＝60°.又∵AB＝BC，从而得出△ABC是等边三角形．解：△ABC是等边三角形．理由如下：∵CE＝CD，∴∠CED＝∠D.又∵∠ECB＝∠CED＋∠D.∴∠ECB＝2∠D.∵BE＝DE，∴∠CBE＝∠D.∴∠ECB＝2∠CBE.∴∠CBE＝12∠ECB.∵BE⊥CE，∴∠CEB＝90°.又∵∠ECB＋∠CBE＋∠CEB＝180°，∴∠ECB＋12∠ECB＋90°＝180°，∴∠ECB＝60°.又∵AB＝BC，∴△ABC是等边三角形．方法总结：(1)已知一个三角形中两边相等，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另一边也与这两边相等；②证明这个三角形中有一个角等于60°.(2)已知一个三角形中有一个角等于60°，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另外两个角也等于60°；②证明这个三角形中有两边相等．探究点二：含30°角的直角三角形的性质【类型一】利用含30°角的直角三角形的性质求线段长如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是()A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.方法总结：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．【类型二】与角平分线有关的综合运用如图，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于()A．3 B．2C．1.5 D．1解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝12PC＝12×3＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，OP＝OP，∠OEP＝∠ODP，∴△OPE≌△ODP，∴PD＝PE＝1.5.故选C.方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．【类型三】利用含30°角的直角三角形解决实际问题某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知AC＝50m，AB＝40m，∠BAC＝150°，这种草皮每平方米的售价是a元，求购买这种草皮至少需要多少元？解析：作BD⊥CA交CA的延长线于点D.在Rt△ABD中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半求BD，即△ABC的高．运用三角形面积公式计算面积求解．解：如图所示，过点B作BD⊥CA交CA的延长线于点D.∵∠BAC＝150°，∴∠DAB＝30°.∵AB＝40m，∴BD＝12AB＝20m，∴S△ABC＝12×50×20＝500(m2)．∵这种草皮每平方米a元，∴一共需要500a元．方法总结：解此题的关键在于作出CA 边上的高，根据相关的性质求BD的长，正确的计算出△ABC的面积．三、板书设计1．等边三角形的判定三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都是60°的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．2．含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．本节课借助于教学活动的展开，有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣，从而引导学生通过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新知识，有助于学生思维能力的提高．不足之处是部分学生综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教学和作业中进一步的训练得以提高.。
人教版二年级上册数学第三单元第4课时《拼角》教案
人教版二年级上册数学第三单元第4课时《拼角》教案一. 教材分析《拼角》是人教版二年级上册数学第三单元的内容，主要让学生掌握用两个相同的直角三角形可以拼成一个正方形，用两个相同的等腰直角三角形可以拼成一个平行四边形，以及用三个相同的等腰直角三角形可以拼成一个长方形或正方形。
通过学习，学生能够理解平面图形的拼接，培养学生的动手操作能力和空间想象力。
二. 学情分析二年级的学生已经掌握了平面图形的认识，对简单的几何图形有了一定的了解。
但在拼接图形方面，学生的经验可能不足，需要通过实际操作来提高。
此外，学生的空间想象力各不相同，需要通过实践活动来培养。
三. 教学目标1.知识与技能：学生会用两个相同的直角三角形、等腰直角三角形拼成一个正方形、平行四边形或长方形。
2.过程与方法：学生通过动手操作，培养空间想象力，提高解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：学生在活动中体验到数学的乐趣，培养对数学的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：学生会用两个相同的直角三角形、等腰直角三角形拼成一个正方形、平行四边形或长方形。
2.难点：学生能够理解并掌握平面图形的拼接方法，培养空间想象力。
五. 教学方法1.自主探究：学生通过动手操作，自主发现拼接图形的方法。
2.合作交流：学生分组讨论，分享拼接图形的经验。
3.引导启发：教师引导学生思考，激发学生的空间想象力。
六. 教学准备1.教具：正方形、平行四边形、长方形、直角三角形、等腰直角三角形的卡片。
2.学具：每个学生准备两个相同的直角三角形、等腰直角三角形。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师出示各种形状的卡片，让学生说出它们的名称。
然后引导学生思考：这些图形能不能拼成一个新的图形呢？2. 呈现（10分钟）教师展示用两个相同的直角三角形、等腰直角三角形拼成的新图形，如正方形、平行四边形、长方形。
让学生观察并说出它们的名称。
3. 操练（10分钟）学生分组活动，每组用两个相同的直角三角形、等腰直角三角形尝试拼出新图形。
人教版八年级数学上册：133等腰三角形优秀教学案例(4课时)
（二）问题导向
1.提出引导性问题，引导学生思考等腰三角形的性质和判定方法，激发学生的思维活动。
2.引导学生通过观察、分析和归纳等腰三角形的性质，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
3.鼓励学生提出问题，引导学生通过讨论和探究解决问题，培养学生的独立思考和问题解决能力。
（二）过程与方法
1.学生通过观察和分析等腰三角形的特征，学会发现和总结等腰三角形的性质，培养自主学习和探究能力。
2.学生通过小组合作探究，学会分享和交流自己的思路和方法，培养团队协作和沟通能力。
3.学生通过解决实际问题，学会将数学知识运用到生活中，提高问题解决和应用能力。
4.学生通过多媒体教学手段，如图片、动画、实物模型等，直观地理解等腰三角形的性质和应用，提高信息技术应用能力。
4.结合学生的学习情况和表现，给予积极的反馈和鼓励，激发学生的学习动力和自信心。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示等腰三角形的图片，让学生观察和描述等腰三角形的特征。
2.向学生提出问题，如“你们在生活中曾经见过哪些形状为等腰三角形的物体？”让学生思考和回忆。
3.引导学生回顾之前学过的三角形知识，如三角形的定义、性质等，为新课的学习做好铺垫。
4.结合学生的作业表现，教师进行课堂小结，对学生的学习情况进行评价和鼓励。
五、案例亮点
1.生活实例引入：通过展示等腰三角形的图片和生活实例，让学生直观地感受到等腰三角形的存在和应用，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
2.问题导向：教师提出引导性问题，引导学生思考和探索等腰三角形的性质和判定方法，激发学生的思维活动，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
4.4探索三角形相似的条件（第4课时）黄金分割同步练习含答案
第4课时黄金分割关键问答①点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，当这三条线段之间存在什么关系时，可以称线段AB被点C黄金分割？②黄金比的值是多少？1.①已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列等式中成立的是()A．AC2＝BC·AB B．AC2＝2AB·BCC．AB2＝AC·BC D．BC2＝AC·AB2．·六盘水矩形的长与宽分别为a，b，下列数据能构成黄金矩形的是()A．a＝4，b＝5＋2 B．a＝4，b＝5－2C．a＝2，b＝5＋1 D．a＝2，b＝5－13．②在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为()A．32.36 cm B．13.6 cm C．12.36 cm D．7.64 cm命题点1利用黄金分割的结论进行计算[热度：83%]4．③如图4－4－34，已知点P是线段AB的黄金分割点，且P A＞PB，若S1表示以P A 为边的正方形的面积，S2表示长为AB，宽为PB的矩形的面积，则()图4－4－34A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．无法确定S1和S2的大小方法点拨③根据黄金分割的概念将线段比转化为面积比．5．④如图4－4－35，在▱ABCD中，点E是BC边上的黄金分割点，且BE＞CE，AE与BD相交于点F，那么BF∶DF的值为________．图4－4－35解题突破④求BF∶DF可以转化为求BE∶DA吗？如果可以，根据黄金分割点的定义先求出BE∶BC的值.6．把一根长为4 m的铁丝弯成一个矩形框，使它的宽与长的比为黄金比5－12，则这个矩形的面积为__________m2.图4－4－367．⑤·台州模拟如图4－4－36，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR.图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为5－12.若AB＝5－12，则MN＝________．方法点拨⑤黄金三角形是比较特殊的三角形，解决与黄金三角形有关的计算问题，往往需要借助黄金比及相似三角形的对应边成比例来完成．命题点2黄金分割在实际生活中的应用[热度：80%]8．·乳山期中某种乐器的弦AB长为120 cm，点A，B固定在乐器面板上，弦AB上有一个支撑点C，且C是AB的黄金分割点(AC＞BC)，则AC的长为()A．(120－305)cm B．(160－605)cmC．(605－120)cm D．(605－60)cm9．⑥大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图4－4－37，P为AB的黄金分割点(AP＞PB)，如果AB的长度为10 cm，那么PB的长度为________．图4－4－37解题突破⑥先利用黄金分割的定义计算出AP的长，然后通过AB－AP即可得到PB的长．10．⑦人体下半身的长度与身高的比例越接近0.618，越给人美感．遗憾的是，即使芭蕾舞演员也达不到如此的完美．某女士身高 1.68 m，下半身长 1.02 m，她应该选择穿________(精确到0.1 cm)的高跟鞋看起来更美．易错警示⑦注意身高包括高跟鞋的高度．命题点3有关黄金分割的证明[热度：75%]11.⑧如图4－4－38，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CE平分∠ACB交AB于点E.(1)求证：E为线段AB的黄金分割点；(2)若AB＝4，求BC的长．图4－4－38知识链接⑧顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形，底角的平分线与腰的交点就是腰的黄金分割点，并且被底角的平分线分成的两个三角形都是等腰三角形，其中的锐角三角形与原等腰三角形相似．12．⑨宽与长的比是5－12的矩形叫做黄金矩形．现将折叠黄金矩形的方法归纳如下(如图4－4－39所示)：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以点N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于点E；第四步：过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F.请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．'图4－4－39解题突破⑨对于没有出现具体数据的计算题或证明题，我们可以考虑设参数，如假设正方形的边长是2a，接下来你知道该怎么做了吗？13．⑩三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．如图4－4－37①，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝36°.(1)在图①中，用尺规作AB 的垂直平分线交AC 于点D ，并连接BD (保留作图痕迹，不写作法)．(2)△BCD 是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由． (3)设BCAC＝k ，试求k 的值．图4－4－40解题突破○10(1)可根据基本作图中线段垂直平分线的作法进行作图； (2)根据角度判断；(3)根据相似三角形的性质求解.14．⑪如图4－4－41①，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB ＝BCAC ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S ＝S 2S 1，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点(如图②)，则直线CD 是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？(2)三角形的中线是该三角形的黄金分割线吗？(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF(如图③)，则直线EF也是△ABC的黄金分割线，请你说明理由；(4)如图④，点E是▱ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是▱ABCD的黄金分割线．请你画一条▱ABCD的黄金分割线，使它不经过▱ABCD 各边的黄金分割点．图4－4－41解题突破⑪对于新定义问题，关键是理解新定义的概念，解决此题的关键是把黄金分割线与黄金分割点联系起来，把面积与边长联系起来．详解详析【关键问答】①当AC 2＝BC·AB 时，线段AB 被点C 黄金分割． ②5－12≈0.618. 1．A [解析] 根据线段黄金分割的定义，得AC 2＝BC·AB. 2．D [解析] ∵宽与长的比是5－12的矩形叫做黄金矩形，∴ba ＝5－12，∴当a ＝2，b ＝5－1时满足题意．故选D .3．C [解析] 方法1：设这本书的宽为x cm ，则有2020＋x ＝x20，解得x ≈12.36(负值已舍去)．方法2：书的宽约为20×0.618＝12.36(cm )．4．B [解析] 根据黄金分割的概念，得AP AB ＝PB AP ，则S 1S 2＝AP 2AB ·PB ＝1，即S 1＝S 2.故选B.5.5－12[解析] ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC ∥AD ，BC ＝AD ， ∴△BEF ∽△DAF ， ∴BE ∶DA ＝BF ∶DF . ∵BC ＝AD ， ∴BE ∶BC ＝BF ∶DF .∵点E 是BC 边上的黄金分割点， ∴BE ∶BC ＝5－12， ∴BF ∶DF ＝5－12. 6．(4 5－8) [解析] 设这个矩形的长为x m ，宽为y m ，则x ＋y ＝2. 由题意，得y x ＝xx ＋y ＝5－12，解得x ＝5－1，y ＝3－5，所以这个矩形的面积为(5－1)×(3－5)＝(4 5－8)m 2. 7.5－2 [解析] 设MN ＝x .由题意可知DE ＝AB ＝5－12. ∵∠EDM ＝∠ECD ＝36°，∠END ＝∠EDN ＝72°，∴DE ＝EN ，同理CD ＝CM ， ∴EM ＝5－12－x ， EC ＝EN ＋CM －MN ＝5－1－x .∵∠DEM ＝∠DEC ，∴△DEM ∽△CED ， ∴DE 2＝EM ·EC ， ∴(5－12)2＝(5－12－x )(5－1－x )， 整理，得x 2－32×(5－1)x ＋（5－1）24＝0， ∴⎣⎡⎦⎤x －34×（5－1）2＝516×(5－1)2， ∴x ＝5－2或x ＝12(5＋1)(不合题意，舍去)，∴MN ＝5－2.8．D [解析] 根据黄金分割点的概念，得AC ＝5－12AB ＝(605－60)cm.故选D. 9．(15－5 5)cm [解析] ∵P 为AB 的黄金分割点(AP ＞PB )， ∴AP ＝5－12AB ＝5－12×10＝(5 5－5)cm ， ∴PB ＝AB －AP ＝10－(5 5－5)＝(15－5 5)cm. 10．4.8 cm [解析] 设她应选择高跟鞋的高度是x cm ，则 102＋x168＋x ＝0.618， 解得x ≈4.8.经检验，x ≈4.8是原分式方程的解且符合题意， 即她应该选择穿4.8 cm 的高跟鞋看起来更美．11．[解析] (1)根据等腰三角形两底角相等求出∠ACB ＝72°，再根据角平分线的定义求出∠BCE ＝36°，从而得到∠BCE ＝∠A ，然后判定△ABC 和△CBE 相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式整理，并根据黄金分割点的定义即可得证；(2)根据等角对等边的性质可得AE ＝BC ，再根据黄金比求解即可． 解：(1)证明：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°， ∴∠ACB ＝∠B ＝12×(180°－36°)＝72°.∵CE 平分∠ACB ，∴∠BCE ＝∠ACE ＝12∠ACB ＝12×72°＝36°，∴∠BCE ＝∠A ＝∠ACE ＝36°，∴AE ＝CE ， ∴∠BEC ＝180°－∠BCE －∠B ＝72°， ∴∠BEC ＝∠B ， ∴BC ＝CE ＝AE . 又∵∠B ＝∠B ， ∴△ABC ∽△CBE ， ∴AB BC ＝BCBE， ∴BC 2＝AB ·BE ， 即AE 2＝AB ·BE ，∴E 为线段AB 的黄金分割点．(2)∵E 为AB 的黄金分割点，∴AEAB ＝5－12.又BC ＝AE ， ∴BC ＝5－12·AB ＝5－12×4＝2 5－2. 12．证明：在正方形ABCD 中，设AB ＝2a . ∵N 为BC 的中点，∴NC ＝12BC ＝a .在Rt △DNC 中，ND ＝NC 2＋CD 2＝a 2＋（2a ）2＝5a .又∵NE ＝ND ，∴CE ＝NE －NC ＝(5－1)a ， ∴CE CD ＝()5－1a2a ＝5－12， ∴矩形DCEF 为黄金矩形． 13．解：(1)如图所示．(2)△BCD 是黄金三角形．证明如下：∵点D 在AB 的垂直平分线上， ∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝36°.∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝72°， ∴∠ABD ＝∠DBC ＝36°.又∵∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝72°， ∴∠BDC ＝∠C ，∴BD ＝BC ， ∴△BCD 是黄金三角形．(3)设BC ＝x ，AC ＝y ，由(2)知，AD ＝BD ＝BC ＝x . ∵∠DBC ＝∠A ，∠C ＝∠C ， ∴△BDC ∽△ABC ， ∴BC AC ＝DC BC ，即x y ＝y －x x， 整理，得x 2＋xy －y 2＝0，解得x ＝－1±52y .∵x ，y 均为正数，∴k ＝xy ＝5－12.14．解：(1)对．理由如下： 设△ABC 的边AB 上的高为h .11 / 11 则S △ADC ＝12AD ·h ，S △BDC ＝12BD ·h ，S △ABC ＝12AB ·h ， ∴S △ADC S △ABC ＝AD AB ，S △BDC S △ADC ＝BD AD. 又∵点D 为边AB 的黄金分割点，∴AD AB ＝BD AD， ∴S △ADC S △ABC ＝S △BDC S △ADC ， ∴直线CD 是△ABC 的黄金分割线．(2)∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，∴S 1＝S 2＝12S ，即S 1S ≠S 2S 1， 故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．(3)∵DF ∥CE ，∴△DFC 和△DFE 的公共边DF 上的高也相等，∴S △DFC ＝S △DFE ，∴S △ADC ＝S △ADF ＋S △DFC ＝S △ADF ＋S △DFE ＝S △AEF ，S △BDC ＝S 四边形BEFC .又∵S △ADC S △ABC ＝S △BDC S △ADC， ∴S △AEF S △ABC ＝S 四边形BEFC S △AEF， 因此，直线EF 也是△ABC 的黄金分割线．(4)画法不唯一，现提供两种画法；画法一：如图①，取EF 的中点G ，过点G 作一条直线分别交AB ，DC 于M ，N 两点，则直线MN 就是▱ABCD 的黄金分割线；画法二：如图②，在DF 上取一点N ，连接EN ，再过点F 作FM ∥EN 交AB 于点M ，连接MN ，则直线MN 就是▱ABCD 的黄金分割线．。
第4讲 等腰三角形
第4讲 等腰三角形考点·方法·破译 1．等腰三角形及其性质有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，因此它的性质有：⑴等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）；⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即等腰三角形三线合一）2．等腰三角形的判定证明一个三角形是等腰三角形的基本方法是：⑴从定义入手，证明一个三角形有两条边相等；⑵从角入手，证明一个三角形有两个角相等，依据是等腰三角形判定定理；等角对等边．3．构造等腰三角形的常用方法⑴角平分线＋平行线＝等腰三角形 ⑵角平分线＋垂线（或高）＝等腰三角形 ⑶线段中垂线构造等腰三角形 ⑷将2倍角转化为相等角构造等腰三角形21321(4)(3)(2)(1)经典·考题·赏析【例１】 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为400，则这个等腰三角形的底角为________________.【解法指导】 若问题中涉及到三角形的高，则要分别考虑三角形的高是在三角形的外，三角形内的情况．解：如图1，当一腰上的高在三角形内时，∠ACD ＝400，∴∠A ＝500 ∴∠B ＝∠ACB ＝如图2，当一腰上的高在三角形外时，∠ACD ＝400，∠DAC ＝500∴∠DAC ＝∠B ＋∠ACB ＝2∠B ∴∠B ＝∠ACB ＝250，故填650或250.C AD BACD B图2图1【变式题组】01．（呼和浩特）在等腰⊿ABC 中，AB ＝AC ，一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）A .7B .11C .7或11D ．7或1002.（黄冈）在⊿ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为500，则∠B ＝___________度．03.（襄樊）在⊿ABC 中，AB ＝AC ＝12cm ，BC ＝6cm ,D 为BC 的中点，动点P 从B 点出发，以每秒1cm 的速度沿B →A →C 的方向运动．设运动时间为t ，那么当t ＝_________秒时，过D 、P 两点的直线将⊿ABC 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．【例２】 如图，在⊿ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，AD ＝BD ＝BC ，求∠A 的度数．【解法指导】 图中的等腰三角形多，可利用等腰三角形的性质，用方程的思想求角的度数．解：设∠A ＝x ,CABD∵BD＝AD，∴∠A＝∠ABD＝x，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝2x，∵AB＝AC，∴∠ C＝∠ABC＝2x，∵在△ABC中, ∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°∴x＋2x＋2x＝180°，x＝36°，∴∠A＝36°．【变式题组】01．如图，在⊿ABC中，AB＝AC，BD＝BC,AD＝DE＝EB，求∠A的度数．02．如图，在⊿ABC中，AB＝AC，BC＝BD＝ ED＝EA，求∠A的大小．【例３】已知坐标原点O和点A（2，－2），B是坐标轴上的一点．若⊿AOB是等腰三角形，则这样的点B一共有（）个A．4 B．5 C．6 D．8A BCDPE【解法指导】 ⊿AOB 是等腰三角形，但不能确定哪条边是等腰三角形的底，因而要分三种情况进行说明①AO ＝OB ,②OA ＝AB ,③BA ＝BO ,又∵B 是坐标轴上的点．要考虑x 轴与y 轴两种情况．解：①如图1，当OA 是底边时，B 在OA 的中垂线上，又B 在坐标轴上，因而B 是OA 中垂线与坐标轴的交点；②如图2，当OA 为腰时，若O 为顶点，则B 在以O 为圆心，OA 为半径的圆上，又B 在坐标轴上，因而B 是圆与坐标轴的交点；③如图3，当OA 为腰时，若A 为顶点，则B 在以A 为圆心，OA 为半径的圆上，又B 在坐标轴上，因而B 是圆与坐标轴的交点.故选D .【变式题组】01．(海南竞赛试题)在平面直角坐标系xOy 内，已知A （3，－3），点P 是y 轴上一点，则使⊿AOP 为等腰三角形的点P 共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个02．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(1，0),点B 的坐标是（0，），点C在坐标平面内．若以A 、B 、C 为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30度，则满足条件的点C 有_________个．图3图2图1第2题图第3题图第4题图03.（南昌）如图，已知长方形纸片ABCD ，点E 是AB 的中点，点G 是BC 上一点，∠BEG＞600，现沿直线EG 将纸片折叠，使点B 落在纸片中的点H 处，连接AH ，则与∠BEG 相等的角的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．104．（济南）如图所示，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝，点E 是折线段A －D －C 上的一个动点（点E 与点A 不重合），点P 是点A 关于BE 的对称点．在点E 运动的过程中，使△PCB 为等腰三角形的点E 的位置共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【例４】 （枣庄）两个全等的含30°，60°角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置，E ，A ，C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结ME ，MC ．试判断△EMC 的形状，并说明理由．【解法指导】 判断⊿MEC 为等腰直角三角形，M 为直角顶点，即想证∠EMC ＝900，而⊿ABD 为等腰三角形，M 是BD 的中点，若连接AM 则有∠AMD ＝900,因而只需证∠DME ＝∠AMC ,利用全等三角形即可．解：EMC △的形状是等腰直角三角形，理由如下： 连接AM ，由题意得： 90DE AC DAE BAC =+=︒，∠∠． 90DAB ∴=︒∠． 又DM MB =，1452MA DB DM MAD MAB ∴====︒，∠∠．1059M D EM A C D M A ∴==︒=︒，∠∠∠．E D M C A ∴△≌△．DME AMC EM MC ∴==，∠∠．又90DME EMA +=︒∠∠，A CBMDE(例4题90EMA AMC ∴+=︒∠∠． C M E M ∴⊥．所以ECM △的形状是等腰直角三角形． 【变式题组】01．如图，在等腰直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 的中点,以P 为直角顶点的两边分别与边AB 、AC 交于点E 、F ，当∠EPF 绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，⊿PEF 也始终是等腰三角形，请你说明理由．02．如图，在等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝900，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF 交AD 于G ． ⑴求证：AD ⊥CF ;⑵连接AF ，试判断⊿ACF 的形状，并说明理由．03．如图，⊿ABC 中，∠ACB ＝900，AC ＝BC ,CO 为中线．现将一直角三角板顶点放在点O 上并绕点O 旋转，若三角板的两直角边分别交AC 、CB 的延长线于点G 、H ．⑴试写出图中除AC ＝BC ,OA ＝OB ＝OC 外其他所有相等的线段；⑵请选一组你写出的相等线段给予证明．【例５】 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．⑴请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； ⑵如图，在ABC △中，点D E ，分别在AB AC ，上，设CD BE ，相交于点O ，若60A ∠=°，12DCB EBC A ∠=∠=∠．请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；⑶在ABC △中，如果A ∠是不等于60°的锐角，点D E ，分别在AB AC ，上，且12DCB EBC A ∠=∠=∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．【解法指导】 证明两条线段相等时，若两条线段在同一三角形中，可证明它们所对的角相等．若两条线段在不同的三角形中，则证它们所在的两个三角形全等，若三角形不全等，即可通过构造全等三角形或等腰三角形解决问题．解：⑴如：平行四边形、等腰梯形等⑵答：与∠A 相等的角是∠BOD （或∠COE ），四边形DBCE 是等对边四边形； ⑶答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE ．证法一：如图1，作CG ⊥BE 于G 点，作BF ⊥CD 交CD 延长线于∵∠DCB ＝∠EBC ＝∠A ，BC 为公共边， ∴△BCF ≌△CBG ， ∴BF ＝CG ，D图1∵∠BDF ＝∠ABE ＋∠EBC ＋∠DCB ，∠BEC ＝∠ABE ＋∠A ， ∴∠BDF ＝∠BEC ， 可证△BDF ≌△CEG ， ∴BD ＝CE∴四边形DBCE 是等边四边形．证法二：如图2，以C 为顶点作∠FCB ＝∠DBC ，CF 交BE 于F 点． ∵∠DCB ＝∠EBC ＝∠A ，BC 为公共边，∴△BDC ≌△CFB ，∴BD ＝CF ，∠BDC ＝∠CFB ， ∴∠ADC ＝∠CFE ，∵∠ADC ＝∠DCB ＋∠EBC ＋∠ABE ，∠FEC ＝∠A ＋∠ABE ， ∴∠ADC ＝∠FEC ， ∴∠FEC ＝∠CFE ， ∴CF ＝CE ，∴BD ＝CE ， ∴四边形DBCE 是等边四边形． 【变式题组】01．如图，在ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD 为∠BAC 的平分线．求证：AC ＝AB ＋BD .02．(天津初赛试题)如图，在四边形ABCD 中，∠ACB ＝∠BAD ＝1050，∠ABC ＝∠ADC ＝450，若AB ＝2，求CD 的长．DEF图203．如图，在ABC中，AB＝AC，D在AB上，F在AC延长线上，BD＝CF．求证DE＝EF.【变式题组】01．(重庆)已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A．200B．1200C．200或1200D．360002．（云南）已知等腰三角形的两边分别为6和3，则此等腰三角形周长为（）A．9 B．15 C．15 D．12或1503.（云南）如图，等腰ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则BEC的周长为（）A．13 B．14 C．15 D．1604．如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，若∠A ＝180，则∠GEF的度数是（）A．800B．900C．1000D．108005．如图，Rt ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（）A．∠ACD＝∠B B.CH＝CE＝EF C.CH＝HD D.AC＝AF06．如图，ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,那么下列结论：①BDF和CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE;③ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF.其中正确的有（）A ．①②③B ．①②③④C ．①②D ．①07.（武汉）如图，已知O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC , ∠ABC ＝∠ADC ＝700,则∠DAO ＋∠DCO 的大小是（ ）A ．700B ．1100C ．1400D ．150008．（滨州）已知等腰ABC 的周长为10，若设腰长为x ，则x 的取值范围是__________. 09．如图所示，在ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝360，BC ＝2，BD 是ABC 的角平分线，则AD ＝___________.10．(威海)如图，AB ＝AC ，BD ＝BC ,若∠A ＝400，则∠ABD 的度数是_________. 11．(乌鲁木齐) 在一次数学课上，王老师在黑板上画出图6，并写下了四个等式：①AB DC =，②BE CE =，③B C ∠=∠，④BAE CDE ∠=∠．要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出AED △是等腰三角形．请你已知：求证：AED△是等腰三角形． 证明：C12．（泰安） 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．⑴请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；⑵证明：DC BE ⊥．13.（包头）如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．⑴如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？⑵若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？图图EQ C14.（临沂）如图1，已知ABC △中，1AB BC ==，90ABC =∠，把一块含30角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上（直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF ），将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转． ⑴在图1中，DE 交AB 于M ，DF 交BC 于N ． ①证明DM DN =；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF 与ABC △的重叠部分为四边形DMBN ，请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；⑵继续旋转至如图2的位置，延长AB 交DE 于M ，延长BC 交DF 于N ，DM DN =是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；⑶继续旋转至如图3的位置，延长FD 交BC 于N ，延长ED 交AB 于M ，DM DN =是否仍然成立？请写出结论，不用证明．F1F图2E图3B培优升级·奥赛检测01．如图，∠BAC 与∠CBE 的平分线相交于点P ，BE ＝BC ,PB 与CE 交于点H ，PG ∥AD 交BC 于F ，交AB 于G ，下列结论：①GA ＝GP ;②③BP 垂直平分CE ；④FP ＝FC ;其中正确的判断有（ ）A ．只有①②B ．只有③④C ．只有①③④D ．只有①②③④02．如图，点A 是网格图形中的一个网格图形中的一个格点（小正方形的顶点），图中每个小正方形的边长为1，以A 为其中的一个顶点，面积等于2.5的格点等腰直角三角形（三角形的三个顶点都是格点）的个数是（ ）A .10个B .12个C .14个D .16个03．如图，在ABC 中，AB ＝BC ,MN ＝NA , ∠BAM ＝∠NAC ,则∠MAC ＝______. 04．如图，AA ’、BB ’分别是∠EAB 、∠DBC 的平分线，若AA ’＝BB ’＝AB .则∠BAC 的度数为______________.05．(全国联赛)在等腰Rt ABC 中，AC ＝BC ＝1，M 是BC 的中点，CE ⊥AM 于E ,交AB 于F ．则 ＝_____________06．如图，在ABC 中，AB ＝AC ,EF 为过点A 的任意一条直线，CF ⊥BC ,BE ⊥BC .求证：AE ＝AF .07．（湖州市竞赛试题）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝900，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC,交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF＝CE，求证：FK∥AB08.(四川省初二数学联赛试题)有一等腰钝角三角形纸片，若能从一个顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，求等腰三角形纸片的顶角的度数．09.如图，在ABC中，∠ABC＝460，D是边BC上一点，DC＝AB, ∠DAB＝210，求∠CAD的度数．10.（浙江省杭州市中考试题）如图，在等腰△ABC 中，CH 是底边上的高线，点P 是线段CH 上不与端点重合的任意一点，连接AP 交BC 于点E ，连接BP 交AC 于点F . (1) 证明：CBF CAE ∠=∠； (2) 证明：BF AE =；(3) 以线段BF AE ,和AB 为边构成一个新的三角形ABG （点E 与点F 重合于点G ），记△ABC 和△ABG 的面积分别为ABC S ∆和ABG S ∆，如果存在点P ，能使得ABG ABC S S ∆∆= , 求∠C 的取值范围.11．如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝900，AD ＝AE , AF ⊥BE 交BC 于F ，过F作FG ⊥CD 交BE 的延长线于G ．求证：BG ＝AF ＋FG。
三角形全等的判定第4课时用“HL”判定直角三角形全等学案
第4课时用“HL”判定直角三角形全等1．掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边、直角边”(即“HL”)．2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形全等的特殊方法判定两个直角三角形全等．阅读教材P42，完成预习内容．知识探究1．判定两直角三角形全等的“HL”这种特殊方法指的是____________．2．直角三角形全等的判定方法有________(用简写)．自学反馈1．如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF.则△ABC≌________，全等的根据是________．2．判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由．①一个锐角和这个角的对边对应相等；( )②一个锐角和这个角的邻边对应相等；( )③一个锐角和斜边对应相等；( )④两直角边对应相等；( )⑤一条直角边和斜边对应相等．( )3．下列说法正确的是( )A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．斜边相等的两个直角三角形全等C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两等腰直角三角形全等直角三角形除了一般证全等的方法，“HL”可使证明过程简化，但前提是已知两个直角三角形，即在证明格式上表明“Rt△”．活动1小组讨论例1已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC.求证：(1)AB＝DC；(2)AD∥BC.证明：(1)∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°.在Rt△ABD与Rt△CDB中，∵AD＝CB，BD＝DB，∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)．∴AB＝DC.(2)∵Rt△ABD≌Rt△CDB(已证)，∴∠ADB＝∠CBD.∴AD∥BC.善于发现隐藏条件“公共边”．例2已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD.求证：AD＝BC.证明：连接CD.∵AD⊥AC，BC⊥BD，∴∠A＝∠B＝90°.在Rt△ADC与Rt△BCD中，∵AC＝BD，DC＝CD，∴Rt△ADC≌Rt△BCD.∴AD＝BC.活动2跟踪训练1．已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC.求证：ED⊥AC.2．已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.求证：AB∥DC.3．已知：如图，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证△ACE≌△DBF，需要添加什么条件？证明全等的理由是什么？具体方法要根据条件来选择，但要做到有依有据．活动3课堂小结1．“HL”判别法是证明两个直角三角形全等的特殊方法，它只对两个直角三角形有效，不适合一般三角形，但两个直角三角形全等的判定，也可以用前面的各种方法．2．证明两个三角形全等的方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，以及用HL，注意SSA和AAA条件不能判定两个三角形全等．【预习导学】知识探究1．直角边，斜边 2.HL自学反馈1．△DFE HL 2.①AAS②AAS或ASA③AAS④SAS⑤HL 3.C【合作探究】活动2跟踪训练1．证明：先证Rt△AED≌Rt△BAC(HL)，∴∠E＝∠CAB.∵∠E＋∠EDA＝90°，∴∠CAB＋∠EDA＝90°.∴∠DFA＝90°.∴ED⊥AC. 2.证明：先证Rt△AED≌Rt△CFB，得AE＝CF.∴AF＝CE.再证Rt△ABF≌Rt△CDE，∴∠BAC＝∠DCA.∴AB∥DC. 3.需添加AC＝DB或∠1＝∠2或∠E＝∠F均可，理由依次为SAS、AAS、ASA.。
人教版八年级数学上册第11章三角形单元课时教学设计
5.三角形的面积：教师引导学生运用割补法、海伦公式等方法计算三角形的面积，并总结出三角形面积的计算公式。
（三）学生小组讨论
1.教师将学生分成若干小组，每组发放一张含有三角形的图形，要求学生观察并讨论以下问题：
人教版八年级数学上册第11章三角形单元课时教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解三角形的定义及基本性质，掌握三角形内角和为180°。
2.学会运用三角板、直尺等工具准确画出三角形，并能够识别和判定等腰三角形、等边三角形及其性质。
3.熟练掌握三角形中位线定理，并能运用该定理解决实际问题。
4.学会运用勾股定理计算直角三角形的边长，并能解决实际生活中的问题。
5.能够运用三角形的面积公式计算三角形的面积，并解决与三角形面积相关的实际问题。
（二）过程与方法
1.通过观察、操作、探索等实践活动，培养学生的观察能力、动手能力和逻辑思维能力。
2.通过小组讨论、合作交流等形式，培养学生的团队协作能力和语言表达能力。
3.引导学生运用已知的几何知识解决三角形相关问题，提高学生的知识迁移能力。
3.培养学生勇于探索、积极思考、克服困难的精神，增强学生的自信心。
4.注重培养学生的审美观念，让学生在欣赏几何图形中感受数学之美。
5.通过对三角形的学习，引导学生认识到事物之间的相互联系，学生在经过前两年的数学学习后，已经具备了一定的几何图形认知基础和逻辑思维能力。他们对三角形的概念、性质等已有初步了解，但在深入理解和应用方面仍存在困难。此外，学生在空间想象能力、问题解决策略等方面发展不均衡，个别学生可能对几何图形的学习兴趣不高。因此，在本章节的教学中，教师需要关注以下几点：
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等边三角形的判别条件 性质 等边对等角
判定的条件 等角对等边
“三线合一”即等腰三角形顶角的平分线、
〔解析〕从拼三角尺的过程 中得到启发，延长BC至D,使 CD=BC,连接AD.
∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS). ∴AB=AD(全等三角形的对应边相等).
∴△ABD是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
∴AB=BD=AD.
∴BC= BD= AB.
1
1
2
2
(教材例4)求证:如果等腰三角形的底角为15°,那么腰上的高是腰长的一半.
已知:如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠B=15°，CD是腰AB上的高.
求证CD=
1
AB.
2
证明:在△ABC中, ∵AB=AC,∠B=15°, ∴∠ACB=∠B=15°(等边对等角). ∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°.
∵CD是腰AB1 上的高,∴∠ADC=90°. ∴CD= A2C (在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，那么它所对
定理:在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
已知:如图所示,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,∠BAC=30°.
1 求证BC= AB. 2
证明:延长BC至D，使CD=BC，连接AD(如图所示).
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，∴∠ACD=90°,∠B=60°.
D.40 cm
B
解析:根据等边三角形三边相等知底边长为10 cm.由等腰三角形两腰相等知一腰长为(8010)÷2=35(cm).故选B.
3.下列三角形:①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取
一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有
的直角边等于斜边的一半).
∴CD= A1 B.
2
1.等边三角形中,两条中线所夹的钝角的度数为 A.120° B.130° C.150° D.160°
(）
检测反馈 A
2.等腰三角形的周长为80 cm，若以它的底边为边的等边三角形的周长为30 cm，则该等腰三35 cm C.30 cm
1.1--等腰三角形(第4课时)
问题思考 1.已知:∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于D， 交AC于E.
(1)找出图中的等腰三角形； (2)找出BD，CE，DE之间存在的数量关系； (3)证明以上结论.
学习新知
2.复习关于反证法的相关知识. 用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.
()
D
A.①②③
B.①②④
C.①③ D.①②③④
解析:根据等边三角形的判定方法知①②③④均正确.故选D.
4.如图所示,D,E,F分别是A等边三角形ABC各边上的点,且AD=BE=CF,则△DEF的形状是 A.等边三角形 B.腰和底边不相等的等腰三角形 C.直角三角形 D.不等边三角形
()
解析:可证△ADF≌△BED≌△CFE,得DF=DE=EF,∴△DEF是等边三角形.故选A.
谢谢观赏
底边上的中线及底边上的高线互相重合
有两个角相等
等腰三角形(含等 边三角形)
等边三角形的三个内角都相等,并且每个角 都等于60°
三个角都相等 的三角形是等 边三角形
定理 三个角都相等的三角形是等边三角形. 定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
用两个含30°角的全等的三角尺,你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?由此 你能发现什么结论?说说你的理由.