高一下学期数学月考试卷

2019-2020学年度下学期月考高一数学试卷考生注意：1. 本试卷分选择题和非选择题两部分共22题，共150分，共2页。

考试时间120分钟。

考试结束后，只交答题卡。

2. 客观题请用2B 铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色碳素笔写在答题卡上。

第Ⅰ卷(选择题，共计60分)一、选择题（总计12小题，每小题5分） 1．已知向量(,2),(2,2)a m b ==-，且a b ⊥，则||()a b a a b -⋅+|等于（ ）A ．12-B ．12C ．0D ．12．在各项都是正数的等比数列{}n a 中，若13a ，312a ，22a 成等差数列，则6745a a a a ++的值为（ ）A ．9B ．6C ．3D ．13．已知在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,60,A b ∠=︒=若此三角形有且只有一个,则a 的取值范围是（ ）A ．0a <<B ．6a =C ．a ≥6a = D ．0a <≤4．已知等差数列{}n a 与等差数列{}nb 的前n 项和分别为n S 和n T ，若3123n n S n T n -=+，则1010a b =（ ） A ．32B ．1413C ．5641D ．29235．在ABC ∆中，内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知tan 22,1tan A ca b B b==+=,则C ∠=（ ） A ．56π B ．2π C ．512π D ．6π 6．已知O 是三角形ABC 内部一点，且20OA OB OC ++=，则AOB ∆的面积与ABC ∆的面积之比为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．157．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60,3==A b c ，角A 的平分线交BC 于点D ，且7BD =，则cos ADB ∠的值为（ ）A ．217-B ．217C ．277D ．277±8．如图，某景区欲在两山顶A ，C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高()1AB km =，()3CD km =，在水平面上E 处测得山顶A 的仰角为30，山顶C 的仰角为60，150AEC ∠=，则两山顶A ，C 之间的距离为( )A ．()27kmB ．()33kmC ．()42kmD ．()35km9．已知在ABC ∆内有一点P ，满足0PA PB PC ++=，过点P 作直线l 分别交边AB 、AC 于M 、N ，若AM mAB =，()0,0AN nAC m n =>>，则mn 的最小值为（ ）A ．49B ．53C ．43D ．310．已知数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，112n n n n b a a b ++-==，n ∈+N ，则数列130n a b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前10项的和为（ ）A ．()101413-B ．()91413-C ．1043D ．94311．如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =（ ）A ．3155AB AC + B ．2155AB AC + C ．481515AB AC + D ．841515AB AC + 12．已知数列{}log a n b (0a >且)1a ≠是首项为2，公差为1的等差数列，若数列{}n a 是递增数列，且满足lg n n n a b b =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭ B ．()2,+∞ C ．()2,11,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第II 卷（非选择题 共计90分)二、填空题（总计4小题，每小题5分)13．已知向量(1,),(1,2)a m b m ==+，若a 与b 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围为_____． 14．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2a =，4B π=，tan 7C =，则b =__________．15．已知O 为ABC ∆的外心，且3A π=，cos cos 2sin sin B CAB AC mAO C B+=，则实数m =_____ 16．已知正项数列{}n a 满足122n n n a a a ++=+，且221n n S a -=，其中n S 为数列n a 的前n 项和，若实数λ使得不等式()8n n a nλ+≥恒成立，则实数λ的最大值是________.三、解答题（共70分)17．（10分）.已知[]0,απ∈，向量()sin ,cos m αα=和()cos ,cos n αα=. （Ⅰ）若m 和n 共线，求α； （Ⅱ）是否存在α，使得()m m n⊥+？若存在，求出α，若不存在，请说明理由.18．（12分）已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n ＝a n +2﹣2，n ∈N *. （1）若数列{a n }为等比数列，求数列{a n }的公比q 的值. （2）若a 2＝a 1＝1，b n ＝a n +a n +1，求数列{b n }的通项公式.19．（12分）在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c . 若22(1sin)2sin cos 222B A Aa ab -=+，12c =，ABC △的面积为36.（1）求a 的值；（2）若点,M N 分别在边AB ,BC 上，且8AM =，AN CM ⊥，求AN 的长.20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且a b +=，22sin 3sin sin C A B =.（1）求C ；（2）设()1,cos P A -，()cos ,1Q A -，且A C ≤，OP 与OQ 的夹角为θ，求cos θ的值.33cos ,sin cos ,sin ,0,,22222x x a x x b x π⎛⎫⎛⎫⎡⎤==-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦21.（12分）已知向量，且求()1a b a b⋅+及()()322-2f x a b a b λλ=⋅-+若的最小值是，求的值。

22．（12分）n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，2243n n n a a S +=+（1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意*n N ∈，n m T >恒成立，求实数m 的取值范围.2019—2020学年度下学期月考高一数学试卷答案第Ⅰ卷一、选择题二、填空题13．1(,2)(2,)3-∞---⋃ 14 15 16．9三、解答题 17.（10分）（Ⅰ）由m 和n 共线，可得2sin cos cos 0ααα-=， 即()sin cos cos 0ααα-=，所以tan 1α=或cos 0α=.因为[]0,απ∈，当tan 1α=时，4πα=；当cos 0α=时，2πα=.综上所述，4πα=或2π； ---------------5分 （Ⅱ）()()()sin ,cos sin cos ,2cos m m n ααααα+⋅+⋅=()2211sin sin cos 2cos 1cos 2sin 21cos 222ααααααα=++=-+++1133sin 2cos 22222242πααα⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭.上式的最小值为3022->，所以()0m m n ⋅+≠. 即不存在α，使得()m m n ⊥+. ----------------10分18.（12分）（1）根据题意，数列{a n }满足2S n ＝a n +2﹣2，①，则有2S n ﹣1＝a n +1﹣2，② ①﹣②可得：2a n ＝a n +2﹣a n +1，又由数列{a n }为等比数列，则有2＝q 2﹣q ， 解可得：q ＝2或﹣1，又由q ＞0，则q ＝2； --------------5分 （2）数列{a n }满足2S n ＝a n +2﹣2，当n ＝1时，有a 3＝2S 1+2＝4， -------------6分当n ≥2时，由（1）的结论，2a n ＝a n +2﹣a n +1，变形可得：2（a n +1+a n ）＝a n +2+a n +1， 即2b n ＝b n +1， ------------8分 又由b 1＝a 1+a 2＝2， b 2＝a 2+a 3＝1+4＝5.∴数列{b n }从第二项起是以5为首项，2为公比的等比数列.∴221522n n n b n -=⎧=⎨⨯≥⎩，，. --------------12分19（12分） （1）由题意知22cossin 2B a a b A =+，则1cos 2sin 2Ba ab A +⋅=+， 化简，得cos sin a B b A =，由正弦定理得sin cos sin sin A B B A = 因为sin 0A ≠，所以tan 1B =.因为()0,πB ∈，所以π4B =. 因为12c =，36ABCS=，所以1π12sin 3624a ⨯⨯=，解得a = ---------------------6分（2）由（1）知，b ==ABC 为等腰直角三角形，4A B π∴∠=∠= ,所以2C π∠=,在ACM中，CM ==则222cos 2AC CM AM ACM AC CM +-∠==⋅ 且AN CM ⊥ ,从而sin sin ANC ACM ∠=∠==，---------------12分 20（12分）（1）∵22sin 3sin sin C A B = ∴23sin sin sin 2C A B =∴由正弦定理得232c ab =∵a b +=∴22223a b ab c ++=根据余弦定理得：2222221cos 2222a b c c ab ab C ab ab ab +--====∴3C π=------------------6分（2）由（1）知3C π=,代入已知,并结合正弦定理得3sin sin 21sin sin 2A B A B ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得1sin 2A =或sin 1A =（舍去） 所以30A =︒,90B =︒∴2cos OP OQ A ⋅==而27||||11cos 4OP OQA ⋅=+=+=∴22cos cos 1cos 4A A θ===+． --------------12分 21（12分） （1）33coscos sin sin cos 22222x xa b x x x⋅=-=cos a b ⎛+=== ⎝0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 0x ∴>2cos a b x ∴+= --------------- 4分（2）()2f x a b a b λ=⋅-+cos24cos x x λ=-()222cos 12x λλ=--- ---------------6分0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 10x ≤≤∴ ①当0λ<时，当且仅当cos 0x =时，()f x 取得最小值1-，这与已知矛盾； ---------------7分②当01λ≤≤时，当且仅当cos x λ=时，()f x 取得最小值212λ--，由已知得23122λ--=-，解得12λ=；----------9分③当1λ>时，当且仅当cos 1x =时，()f x 取得最小值14λ-，由已知得3142λ-=-解得58λ=，这与1λ>相矛盾，--------------11分综上所述，12λ=为所求.------------12分 22（12分）解：（1）0n a >，2243n n n a a S +=+，2n ≥时，2111243n n n a a S ---+=+，相减可得：()2211224n n n n n a a a a a --+-+=， 化为：()()1120n n n n a a a a --+--=， ∵0n a >，120n n a a -∴--=，即12n n a a --=，又21111243,0a a a a +=+>，解得13a =.∴数列{}n a 是等差数列，首项为3，公差为2.32(1)21n a n n ∴=+-=+； --------------6分（2）111111(21)(23)22123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭，------------8分∴数列{}n b 的前n 项和11111111112355721232323n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，-----------10分 由*n N ∈得111123236n n T ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭，又对任意*n N ∈，n m T >恒成立，16m ∴≥. -----------------12分。