2012年华约自主招生数学试题

2012年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约）

数 学

注意事项：

1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、在锐角ABC ∆中，已知A B C ＞＞,则cos B 的取值范围为（ ）

(A) ⎛

⎝⎭ (B) 12⎡⎢⎣⎭ (C) ()0,1 (D) ⎫⎪⎪⎝⎭

2、红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子中，均为红棋

子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不同的排列方式共有（ ） (A) 36种 (B) 60种 (C) 90种 (D)120种 3、正四棱锥S ABCD -中，侧棱与底面所成角为α，侧面与底面所成二面角为β，侧棱SB 与底

面正方形ABCD 的对角线AC 所成角为γ，相邻两侧面所成二面角为θ， 则,,,αβγθ之间的大小关系是（ ） (A)

αβθγ＜＜＜ (B) αβγθ＜＜＜ (C) αγβθ＜＜＜ (D) βαγθ＜＜＜

4、向量a e ≠，1e =。若t R ∀∈，a te a e -≥+则（ ）

(A) a e ⊥ (B) ()a a e ⊥+ (C) ()e a e ⊥+ (D) ()()a e a e +⊥-

5、若复数

11w w -+的实部为0，Z 是复平面上对应1

1w

+的点，则点(),Z x y 的轨迹是( ) (A) 一条直线 (B) 一条线段 (C) 一个圆 (D)一段圆弧

6、椭圆长轴长为4，左顶点在圆()2

2

(4)14x y -+-=上，左准线为y 轴，则此椭圆离心率的取

值范围是（ ）

(A) 11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (B) 11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C) 11,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (D) 13,24⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

7、已知三棱锥S ABC -的底面ABC 为正三角形，点A 在侧面SBC 上的射影H 是SBC ∆的垂心，二面角H AB C --为30°，且2SA =，则此三棱锥的体积为（ ）

(A)

12 (B) 2 (C) 4 (D) 3

4

8、如图，在锐角ABC ∆中，AC BE ⊥于E ，AB CD ⊥于D,，25BC =，7=CE ，15=BD ，

CD 交于H ，连接DE ，以DE 为直径画圆，与AC 交于另一点F ，则AF 的长为（ ）

(A) 8 (B) 9 (C)10 (D) 11

9、已知数列{}n a 的通项公式为22

lg(1)3n a n n

=+

+，1,2,n =⋅⋅⋅。n S 是数列的前n 项和。则

lim n n S →∞

=（ ）

(A) 0 (B) 3lg (C) 10lg 3 (D)

3

1 10、已知610i x -≤≤(1,2,10),

i =⋅⋅⋅10

1

50i

i x

==∑，当10

21

i i x =∑取得最大值时，在1210,,x x x ⋅⋅⋅

这10

个数中等于6-的数共有（ ）

(A) 1个 (B) 2个 (C)3个 (D) 4个

二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。每小题14分，共70分 11、在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c 。已知2

2sin 1cos 22

A B

C +=+ ① 求C 的大小

② 若222

22c b a =-，求cos2cos2A B -的值

12、已知两点()()2,0,2,0A B -，动点P 在y 轴上的射影是H ，且2

2PA PB PH ⋅=

① 求动点P 的轨迹C 的方程

② 已知过点B 的直线交曲线C 于x 轴下方不同的两点,M N ，设MN 的中点为R ，过R 与

点()0,2Q -作直线RQ ，求直线RQ 斜率的取值范围。

13、系统中每个元件正常工作的概率都是(01)p p ＜＜

，各个元件正常工作的事件相互独立，如果系统中有多于一半的元件正常工作，则系统就能正常工作。系统正常工作的概率称为系统的可靠性。

（1） 某系统配置有21k -个元件，k 为正整数，求该系统正常工作概率的表达式

（2） 现为改善（1）中系统的性能，拟增加两个元件。试讨论增加两个元件后，能否提高

系统的可靠性。

14、记函数,...3,2,1,!

...!3!21)(32=+++++=n n x x x x x f n

n 证明：当n 是偶数时，方程()0n f x =没有实根；当n 是奇数时，方程()0n f x =有唯一的实根n

x ，

且n n x x <+2

15、某乒乓球培训班共有n 位学员（4≥n ），在班内双打训练赛期间，每两名学员都作为搭档恰好参加过一场双打比赛。试确定n 的所有可能值并分别给出对应的一种安排比赛的方案。

2012年华约数学参考答案

(详细解答参见另一个PDF 文件)

一、选择题

1-5 ACBCA 6-10 BDBBC

二、解答题

11解：（1）C =2/3∏；（2）cos2cos2A B -=3/4 12解：

（1）设P(x,y),则H(0，y),由4-,2x y)2,-(x ,222222

==∙+=∙x y y x PH BP AP 即）得（

（2）令CD:)0(2≠+=m my x 代入42

2=-x y ，整理得

084)1(22=---my y m

因为直线在x 轴下方交P 点轨迹于C(11,y x )，D(22,y x )两点所以上式有两个负根，由

⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧〉--=〈〈⇒-=+〉-+=∆≠-018

210140)1(3216012

212212

22m y y m m m y y m m m

根据韦达定理，得CD 中点M 的坐标为

)12,12()2,2(

222121m

m m y y x x M --=++ 代入直线MQ 的方程y+2=kx,(k 为其斜率)得

2

212212m k m m -=+-

所以，k=)1,12(4

5

)2

1

(12

2

-∈+--=++-m m m ,(1)2〈〈m . 13解答：显然n k n K n n k K p p C

P ---=--=

∑121

1

2)1(,

注意到2

1211212122-----+++=n k n k n k n k C C C C ，