北师大版必修5高中数学2.3解三角形的实际应用举例导学案(二)

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北师版数学高二北师大版必修5学案 2.3 解三角形的实际应用举例

明目标、知重点 1.能够从实际问题中抽象出数学模型，然后运用正、余弦定理及三角函数的有关知识加以解决.2.巩固深化解三角形实际问题的思维方法，养成良好的研究、探索习惯.3.进一步培养学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力．1．仰角和俯角：与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图所示)2．方位角：一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角45°，是指北偏东45°，即东北方向．3．方向角：相对于某一正方向的水平角．(如图所示)①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向． ②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似．4．坡角：坡面与水平面的夹角．(如图所示)5．坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i ＝hl＝tan α(i 为坡比，α为坡角)．[情境导学]学习数学知识的目的是为了解决现实生活中的问题，事实上现实生活中，也确有很多问题需要应用正、余弦定理来解决，今天我们就来共同探讨这方面的问题．探究点一测量距离问题例1 自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度(如图)．已知车厢的最大仰角为60°(指车厢AC 与水平线夹角)，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为1.95 m ，AB 与水平线之间的夹角为6°20′，AC 长为1.40 m ，计算BC 的长度(结果精确到0.01 m)．思考例1中涉及一个怎样的三角形？在△ABC 中已知什么，要求什么？使用什么定理来求？(写出例题的解题过程)答这个问题就是在△ABC 中，已知AB ＝1.95 m ，AC ＝1.40 m ，∠BAC ＝60°＋6°20′＝66°20′，求BC 的长．由于已知两边和它们的夹角，所以可根据余弦定理求出BC . 解如图所示，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝1.952＋1.402－2×1.95×1.40×cos 66°20′≈3.571. ∴BC ≈1.89(m)．答顶杠BC 约长1.89 m.反思与感悟解决本例题的关键是读懂题意，并能用数学中的几何图形表示实际问题的模型，本问题由于已知量与未知量都集中在一个三角形中，所以可用余弦定理直接求解．跟踪训练1 如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A 、B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522 m答案 A解析由题意知∠ABC ＝30°，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB ，∴AB ＝AC ·sin ∠ACBsin ∠ABC＝50×2212＝502(m)．探究点二测量高度问题例2 如下图，AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法．思考1 通过观察图形，你认为哪些量能够测量出？答能够测量出的分别是α、β，CD ＝a ，测角仪器的高h . 思考2 你能说出求AB 长的一个解题思路吗？答求AB 长的关键是先求AE ，在△ACE 中，如能求出C 点到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由C 点观察A 的仰角，就可以计算出AE 的长．思考3 写出例题的解题过程．解选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上．由在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是β、α，CD ＝a ，测角仪器的高是h . 那么，在△ACD 中，根据正弦定理可得AC ＝a sin βsin (α－β)，AB ＝AE ＋h ＝AC sin α＋h ＝a sin αsin βsin (α－β)＋h .反思与感悟在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解．跟踪训练2 某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000米后到达D 处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为______ m ．(精确到1 m)答案 811解析过点D 作DE ∥AC 交BC 于E ，因为∠DAC ＝20°，所以∠ADE ＝160°，于是∠ADB ＝360°－160°－65°＝135°. 又∠BAD ＝35°－20°＝15°，所以∠ABD ＝30°. 在△ABD 中，由正弦定理， AB ＝AD sin ∠ADB sin ∠ABD ＝1 0002(m)．在Rt △ABC 中，BC ＝AB sin 35°≈811(m)．答山的高度约为811 m.探究点三与方位角有关的实际问题例3 如图所示，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B ，C 分别在A 的正东方20 km 处和54 km 处，某时刻，检测点B 收到发自静止目标P 的一个声波，8s 后监测点A,20 s 后监测点C 相继收到这一信号，在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A 到P 的距离为x km ，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求静止目标P 到海防警戒线a 的距离．(结果精确到0.01 km)解 (1)依题意知P A －PB ＝1.5×8＝12(km)，PC －PB ＝1.5×20＝30(km)，因此PB ＝(x －12) km ，PC ＝(18＋x ) km ，在△P AB 中，AB ＝20 km ，cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB ＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x .同理，在△P AC 中，cos ∠P AC ＝72－x3x .由于cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ，即3x ＋325x ＝72－x3x，解得x ＝1327(km)．(2)作PD ⊥a ，垂足为D ，在Rt △PDA 中， PD ＝P A cos ∠APD ＝P A cos ∠P AB ＝x ·3x ＋325x＝3×1327＋325≈17.71(km)．答静止目标P 到海防警戒线a 的距离约为17.71 km.反思与感悟测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．跟踪训练3 如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距53(3＋1)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？解由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB 中，由正弦定理，得DB sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB ，∴DB ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB ＝5(3＋3)·sin 45°sin 105°＝5(3＋3)·sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝53(3＋1)3＋12＝103(海里)．又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)，在△DBC 中，由余弦定理，得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(海里)，∴需要的时间t ＝3030＝1(小时)．故救援船到达D 点需要1小时．1．如图，为测一树的高度，在地面上选取A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点之间的距离为60 m ，则树的高度为( )A ．(30＋303) mB ．(30＋153) mC ．(15＋303) mD ．(15＋33) m答案 A解析在△P AB 中，由正弦定理可得60sin (45°－30°)＝PB sin 30°，PB ＝60×12sin 15°＝30sin 15°，h ＝PB sin 45°＝(30＋303) (m)．2．从高出海平面h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( ) A ．2h 米 B.2h 米 C.3h 米 D ．22h 米答案 A解析如图所示， BC ＝3h ，AC ＝h ， ∴AB ＝3h 2＋h 2＝2h (米)．3．甲船在A 点发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船以每小时a 海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解如图所示．设经过t 小时两船在C 点相遇，则在△ABC 中，BC ＝at (海里)，AC ＝3at (海里)， B ＝90°＋30°＝120°，由BC sin ∠CAB ＝ACsin B得：sin ∠CAB ＝BC sin BAC＝at ·sin 120°3at ＝323＝12.∵0°<∠CAB <90°，∴∠CAB ＝30°. ∴∠DAC ＝60°－30°＝30°.所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇． 4．我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知CD ＝6 km ，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面点B 处时，测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°(如图)，求我炮兵阵地到目标的距离．解在△ACD 中，∠CAD ＝180°－∠ACD －∠ADC ＝60°，∠ACD ＝45°，根据正弦定理，有AD ＝CD sin 45°sin 60°＝23CD ，同理，在△BCD 中，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝135°，∠BCD ＝30°，根据正弦定理，有BD ＝CD sin 30°sin 135°＝22CD .在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC ＋∠BDC ＝90°，根据勾股定理，有AB ＝AD 2＋BD 2＝23＋12CD ＝426CD ＝42(km)，所以我炮兵阵地到目标的距离为42 km. [呈重点、现规律]1．解生活实际问题的一般步骤 (1)分析题意，准确理解题意．分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等． (2)根据题意画出示意图．(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答． (4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍． 2．应用举例中常见几种题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题等．一、基础过关1．海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( ) A ．10 3 n mile B.1063 n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile答案 D解析在△ABC 中，C ＝180°－60°－75°＝45°. 由正弦定理得BC sin A ＝ABsin C ，∴BC sin 60°＝10sin 45°解得BC ＝5 6 (n mile)．2．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m ，则电视塔在这次测量中的高度是( ) A ．100 2 m B ．400 m C ．200 3 m D ．500 m答案 D解析由题意画出示意图，设高AB ＝h ，在Rt △ABC 中，由已知BC ＝h ，在Rt △ABD 中，由已知BD ＝3h ，在△BCD 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos ∠BCD 得， 3h 2＝h 2＋5002＋h ·500，解之得h ＝500(m)．故选D.3．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是( ) A ．10 m B ．10 2 m C ．10 3 m D ．10 6 m答案 D解析在△BCD 中，CD ＝10 m ，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，由正弦定理，得BC sin 45°＝CD sin 30°，BC ＝CD sin 45°sin 30°＝102(m)．在Rt △ABC 中，tan 60°＝ABBC，AB ＝BC tan 60°＝106(m)． 4．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m 到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( ) A ．15 m B ．5 m C ．10 m D ．12 m答案 C解析如图，设塔高为h ，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h .在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h .在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10，由余弦定理得OD 2＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos ∠OCD ，即(3h )2＝h 2＋102－2h ×10×cos 120°，∴h 2－5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍)．即塔高为10 m.5．某货轮在A 处看灯塔B 在货轮北偏东75°，距离为12 6 n mile ；在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile.货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°，则A 处与D 处之间的距离为________ n mile ；灯塔C 与D 处之间的距离为________ n mile.答案 24 83解析在△ABD 中，由已知得∠ADB ＝60°，B ＝45°；由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB＝126×2232＝24.在△ADC 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos 30°，解得CD ＝8 3. 所以A 处与D 处之间的距离为24 n mile ，灯塔C 与D 处之间的距离为8 3 n mile. 6．如图，A 、N 两点之间的距离为________．答案 4037．要测量对岸两点A 、B 之间的距离，选取相距 3 km 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A 、B 之间的距离．解如图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝120°， ∠CAD ＝∠ADC ＝30°， ∴AC ＝CD ＝ 3 (km)．在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°. ∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22(km)．△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝(3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－23×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5， ∴AB ＝ 5 (km)．∴A 、B 之间的距离为 5 km. 二、能力提升8．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A.1762海里每小时 B ．346海里每小时 C.1722海里每小时 D ．342海里每小时答案 A解析如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MN sin 120°， ∴MN ＝68×32＝346， ∴v ＝MN 4＝1726(海里每小时)．故选A.9．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )A.1507分钟 B.157小时 C ．21.5分钟D ．2.15分钟答案 A解析设行驶x h 后甲到点C ，乙到点D ，两船相距y km ，则∠DBC ＝180°－60°＝120°.∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120°＝28x 2－20x ＋100＝28⎝⎛⎭⎫x －5142－257＋100. ∴当x ＝514小时＝1507分钟时，y 2有最小值． ∴y 最小．10．要计算西湖岸边两景点B 与C 的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A 和D 两点，现测得AD ⊥CD ，AD ＝10 km ，AB ＝14 km ，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，则两景点B 与C 的距离为________(精确到0.1 km)．参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236.答案 11.3 km解析在△ABD 中，设BD ＝x km ，则BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA ，即142＝x 2＋102－2·10x ·cos 60°，整理得，x 2－10x －96＝0，解得，x 1＝16，x 2＝－6(舍去)，故BD ＝16 km ，又∵∠BDA ＝60°，AD ⊥CD ，∴∠CDB ＝30°. 由正弦定理，得：BC sin ∠CDB ＝BD sin ∠BCD， ∴BC ＝16sin 135°·sin 30°＝82≈11.3(km)． ∴两景点B 与C 的距离约为11.3 km.11．如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，求出山高CD .解在△ABC 中，∠BCA ＝90°＋β，∠ABC ＝90°－α，∠BAC ＝α－β，∠CAD ＝β.根据正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC，即AC sin (90°－α)＝BC sin (α－β)， ∴AC ＝BC cos αsin (α－β)＝h cos αsin (α－β). 在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β＝h cos αsin βsin (α－β). 答山的高度为h cos αsin βsin (α－β). 12．在海岸A 处，发现北偏东45°的方向，距离A (3－1) n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile 的C 处的缉私船奉命以10 3 n mile /h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解如图所示，设缉私船用t h 在D 处追上走私船，则有CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2×cos 120°＝6，∴BC ＝ 6 (n mile)，且sin ∠ABC ＝AC BC ·sin ∠BAC ＝26×32＝22. ∴∠ABC ＝45°，∴BC 与正北方向垂直．∵∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理得sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t sin 120°103t＝12，∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．三、探究与拓展13．如图所示，A、B两个小岛相距21海里，B岛在A岛的正南方，现在甲船从A岛出发，以9海里的速度向B岛行驶，而乙船同时以6海里的速度离开B岛向南偏东60°方向行驶，问行驶多少时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离．解如图，行驶t h后，甲船行驶了9t海里到达C处，乙船行驶了6t海里到达D处．时，C在线段AB上，此时BC＝(21－9t)海里，当9t<21，即t<73在△BCD中，BC＝(21－9t)海里，BD＝6t海里，∠CBD＝180°－60°＝120°，由余弦定理知CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 120°＝(21－9t)2＋(6t)2－2×(21－9t)·6t·(－12)＝63t2－252t＋441＝63(t－2)2＋189.当t＝2时，CD取得最小值189＝321.时，C与B重合，当t＝73＝14(海里)>321(海里)．此时CD＝6×73时，BC＝(9t－21)(海里)，当t>73则CD2＝(9t－21)2＋(6t)2－2×(9t－21)×6t·cos 60°＝63t2－252t＋441＝63(t－2)2＋189>189.综上可知t＝2时，CD取得最小值321，∴行驶2 h后，甲、乙两船相距最近为321海里．。

2.3解三角形的实际应用举例教案(北师大版必修五)

A．c和α
B．c和b
C．c和β
D．b和α
【解析】由于不能过河测量，故c不能测出，排除A、B、C，在Rt△ACB中，a＝btanα，故较适宜的一组数据为b与α.
【答案】D
3．海上有A、B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛与B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛与C岛之间的距离为________nmile.
隔河看两目标A、B，但不能到达，在岸边选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(视A、B、C、D四点在同一平面内)．求两目标A、B之间的距离．
图2－3－1
【解】在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝，∴AD＝3.
2．测量角度问题，要准确理解方位角、方向角的概念，准确画出示意图．
图2－3－4
如图2－3－4所示，一缉私艇在A处发现在北偏东45°方向，距离12nmile的海面上有一走私船C正以10nmile/h的速度沿东偏南15°方向逃窜．缉私艇的速度为14nmile/h，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°＋α的方向去追，求追及所需的时间和α角的正弦值．
图2－3－2
【解】在△BCD中，∠CBD＝180°－75°－60°＝45°，
由正弦定理得＝，
所以BC＝＝＝s.
在Rt△ABC中，
AB＝BC·tan∠ACB＝s·tan 30°＝s.
因此塔高为s.
测量角度问题
图2－3－3
如图2－3－3所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

北师大版高中数学必修5《二章解三角形 3 解三角形的实际应用举例解三角形的实际应用举例》赛课导学案_0

正弦定理和余弦定理及其应用【2017年高考会这样考】考查利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形．【复习指导】1．强化正、余弦定理的记忆，突出一些推论和变形公式的应用．2．本节复习时，应充分利用向量方法推导正弦定理和余弦定理．3．重视三角形中的边角互化，以及解三角形与平面向量和三角函数的综合应用，能够解答一些综合问题．•基础梳理1．正弦定理：2．余弦定理：3．面积公式:让学生上黑板来书写公式。

教师讲解公式应注意的问题，并由公式得到一些结论。

一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．随堂练习（由学生上黑板做）1．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于()．A ．5 2B ．10 2 C.1063 D ．5 62．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ，则B 的值为( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝1，则A 等于( )．A ．30°B ．135°C ．60°D ．120°4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )．A ．3 3B ．2 3C ．4 3 D. 3例题讲解考向一利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A ，C 和边c .考向二利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b 2a ＋c. (1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．这道题让学生先做，注意基本方法，边化角和角化边都能做，比较那种方法更好，在把这道题进行拓展，可以考虑射影定理。

北师大版高中数学必修5《二章解三角形 3 解三角形的实际应用举例》赛课导学案_14

三角函数、平面向量的高考解答题型及求解策略（一）专题概述
高考对本部分内容的考查主要有：三角恒等变换与三角函数图象和性质结合，
解三角形与恒等变换、平面向量的综合，难度属于中低档题，但考生得分不高，其主要原因是公式不熟导致运算错误．考生在复习时，要熟练掌握三角公式，特别是二倍角的余弦公式，在此基础上掌握一些三角恒等变换．要注意公式的多样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化.
题型一.三角函数的图象和性质
例1.已知函数f (x )＝(23·cos ωx ＋sin ωx )sin ωx －sin
ω
ω>0)，且函数y ＝f (x )
图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4
.(1)求ω的值和函数f (x )的单调递增区间；
(2)求函数f (x )在区间0，π
2上的值域
[题型专练]1．设函数f (x )＝32
－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4
.(1)求ω的值；
(2)求f (x )在区间π，3π2上的最大值和最小值．
题型二.解三角形应用。

高二数学北师大版必修5教学教案2-3解三角形的实际应用举例(2)Word版含解析

《解三角形的实际应用举例》教学设计一、教材依据本节教材选自《普通高中课程标准实验教科书·数学(必修5)》(北师大版)，第58页第二章《解三角形》：第3小节《解三角形的实际应用举例》的第一课时。

二、设计思想【设计理念】理念之一是让学生体验应用正弦定理、余弦定理解决实际测量问题的历程。

首先，分析、探讨一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离如何测量，初步感受两个定理的应用；然后，分组探讨怎样测量两个不可到达的点之间的距离，体验合作、交流、成功的快乐。

理念之二是倡导学生自主探索、合作交流等学习数学的方式，培养学生分析问题、解决问题的能力以及交流合作的能力。

总之，本节课将充分体现以“学生为本”的教学观念，实现课程理念、教学方式和学生学习方式的转变。

【教材分析】“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性，也是培养学生的应用意识，提高学生分析问题、解决问题的能力非常好的载体，教学中结合具体问题，教给学生解答应用题的基本方法、步骤和建模思想。

【学情分析】学生学习《解三角形的实际应用举例》之前，已经掌握了利用正、余弦定理解三角形的方法，具备一定的分析问题的能力；但学生应用数学的意识不强，创造能力较弱，往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，因此，小组讨论时学生必须在老师的指导下进行。

根据《普通高中数学课程标准(实验)》的指导思想，针对教材内容重难点和学生实际情况的分析，本节教学应该帮助学生解决好的问题是，将距离测量问题合理、正确的转化为解三角形问题。

三、教学目标（一）课标要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

（二）三维教学目标【知识与技能】通过对实例的解决，能够运用两个定理等解决两种类型的距离测量问题：一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离；两个不可到达的点之间的距离。

【过程与方法】经历将距离测量问题转化为解三角形问题的过程，认识实际应用问题的研究方法：分析——建模——求解——检验。

北师大版数学高二-必修5教案 2.3《应用举例》

2.3《应用举例》教学设计【教学目标】1.会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；2．搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系； 3．理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；4．通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力.【导入新课】一、复习引入：1．正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === 2．余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=⇔bc a c b A 2cos 222-+=,cos 2222B ca a c b -+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=，⇔abc b a C 2cos 222-+=3．解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用.新授课阶段例1 设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离.测量者在A 的同测，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55cm ，∠BAC ＝51o ， ∠ACB ＝75o ，求A 、B 两点间的距离（精确到0.1m ）.分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形解：根据正弦定理，得答：A,B 两点间的距离为65.7米.例2 A、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法.分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C 到对岸两点的距离，再测出∠BCA 的大小，借助于余弦定理可以计算出A 、B 两点间的距离.解：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得CD=a,并且在C 、D 两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在⊿ADC 和⊿BDC 中，应用正弦定理得sin sin AB ACC B＝sin 55sin sin sin 55sin 7555sin 7565.7()sin(1805175)sin 54AC ACB ACBAB ABC ABC m ∠∠==∠∠==≈--sin()sin()sin()sin 180()a a AC γδγδβγδβγδ++==++⎡⎤-++⎣⎦sin sin sin()sin 180()a a BC γγαβγαβγ==++⎡⎤-++⎣⎦计算出AC和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离练习1 一艘船以32.2n mile / hr的速度向正北航行.在A处看灯塔S在船的北偏东20o 的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？练习2 自动卸货汽车的车厢采用液压机构.设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）.（1）什么是最大仰角？（2）例题中涉及一个怎样的三角形？在△ABC中已知什么，要求什么？222cosAB AC BC AC BCα=+-⨯11545sin2016.1sin207.787().sin45sin45,sin657.06().6.5ASB SBASABSB n mileS AB hh SB n mileh n mile∆∠︒∠=︒︒︒==≈︒︒=︒≈>∴解：在中，＝，，由正弦定理得设点到直线的距离为则此船可以继续沿正北方向航行.答：此船可以继续沿正北方向航行.根据题意得：已知△ABC 中AB ＝1.95m ，AC ＝1.40m ，夹角∠C AB ＝66°20′，求BC ．解：由余弦定理，得答：顶杆BC 约长1.89m. 解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解. 即：课堂小结实际问题抽象概括数学模型推理数学模型的解还原说明实际问题的解得到CAB 571.3 0266cos 40.195.1240.195.1 cos 2 22222='⨯⨯⨯-+=⋅⋅⋅-+= A AC AB AC AB BC 1.89(m)BC ∴≈1.解答应用题的格式；2.正弦、余弦定理的灵活运用.作业见同步练习部分拓展提升1. 某人朝正东方走x km 后，向左转1500，然后朝新方向走3km ，结果它离出发点恰好3km ，那么x 等于A.3B.32C.3或 32D.32.甲、乙两楼相距20m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为060，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为030，则甲、乙两楼的高分别是（）A.403203,m m B.103,203m m C.10(32),203m m - D.153203,23m m 3.一只汽球在2250m 的高空飞行，汽球上的工件人员测得前方一座山顶上A 点处的俯角为018，汽球向前飞行了2000m 后，又测得A 点处的俯角为082，则山的高度为（精确到1m ）（）A.1988mB.2096mC.3125mD.2451m4.已知轮船A 和轮船B 同时离开C 岛，A 向北偏东025方向，B 向西偏北020方向，若A 的航行速度为25 nmi/h ，B 的速度是A 的35，过三小时后，A 、B 的距离是 .5.货轮在海上以40km/h 的速度由B 到C 航行，航向为方位角0140NBC ∠=，A 处有灯塔，其方位角0110NBA ∠=，在C 处观测灯塔A 的方位角035MCA ∠=，由B 到C 需航行半小时，则C 到灯塔A 的距离是6.在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南2 (cos)10θθ=方向300 km的海面P处，并以20 km / h的速度向西偏北45的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？持续多长时间？7.上海浦东有两建筑物A、B，由于建筑物中间有障碍物，无法丈量出它们之间的距离，请你在浦西不过江，利用斜三角形的知识，设计一个测量建筑物A、B间距离的方案，并给出具体的计算方法.8.如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？参考答案1.C 【解析】利用余弦定理看得到.2.A3.B4.90.8 nmi5. 10(62)-km 【解析】由题意知 075BCA ∠=，利用余弦定理或解直角三角形可得.6.解：设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km) 若在时刻t 城市O 受到台风的侵袭,则6010+≤t OQ 由余弦定理知OPQ PO PQ PO PQ OQ ∠⋅-+=cos 2222由于PO=300,PQ=20t()5445cos cos =-=∠ θOPQ 故2222203009600OQ t t =+-()21060t ≤+ 即2362880t t -+≤ 解得 2412≤≤t答：12小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续12小时．7.解：在浦西选取C 、D 测得 CD=a, ∠ADC=α,∠ACD=β，∠BCD =θ，∠BDC=ϕ在△BCD 中：BC=sin sin sin sin()CD a B ϕϕθϕ⋅=+在△ACD 中： AC=sin sin sin sin()CD a A αααβ⋅=+ 在△ABC 中AB=BCA AC BC AC BC ∠⋅⋅-+cos 2222222222sin sin 2sin sin cos()sin ()sin ()sin()sin()a a a ϕαϕαθβθϕαβθϕαβ=+--++++8.解：设AOB α∠=，在△AOB 中，由余弦定理得：2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⨯⨯∠2212212cos 54cos αα=+-⨯⨯⨯=-于是，四边形OACB 的面积为S=S △AOB + S △ABC 21sin 24OA OB AB α=⋅+121sin (54cos )24αα=⨯⨯⨯+-sin 2sin()434πααα=-+=-+ 因为0απ<<，所以当32ππα-=，56πα=，即56AOB π∠=时，四边形OACB 面积最大．。

高中数学第二章《解三角形》教案北师大版必修5

北师大版高中数学必修5 第二章《解三角形》全部教案一、教学目标1、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

2、过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

3、情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

二、教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。

教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。

思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ A 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。

能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.探析新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c==, A 则sin sin sin a b c c A B C=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==C a B (图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin abAB=sin cC=A c B(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

北师大版高中数学必修5《二章解三角形 3 解三角形的实际应用举例解三角形的实际应用举例》赛课导学案_13

解三角形的应用举例一、教材分析《解三角形应用举例》是高中数学必修五第一章《解三角形》第2节的内容，是学完了正弦定理和余弦定理后对定理的应用，共两课时，本节课为第一课时。

本节课重点是创设问题情境，通过对不可到达桥头的桥长、不可到达底部的塔高的测量方法的探究，运用正余弦定理来解决解三角形相关的问题，让学生亲身经历和体验运用三角函数来解决实际问题的过程，培养学生抽象、概括、分析问题和解决问题的能力，使学生感受到“生活处处有数学”，提高应用数学的意识二、学情分析本节课的学习者特征分析主要是根据教师平时对学生的了解而做出的：⑴学生高一年级学生；⑵学生已经熟练掌握利用正、余弦定理解三角形的解法；⑶学生对生活中的数学问题兴趣浓厚，有多次小组合作解决实习作业的体验；⑷学生数学建模的能力还不强三、教学目标1、知识与技能①能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解测量的方法和意义②会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题和基本图形和基本等量关系，理解各种应用问题中的有关名词、术语（如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等）③将实际问题转化为解三角形问题。

掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形,能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。

2、过程与方法①采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架②通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用3、情感态度价值观①激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值②培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力③进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力四、教学重点1、分析测量问题的实际情景，从而找到测量距离的方法；2结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题；3、能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系；五、教学难点1、实际问题向数学问题转化思路的确定，即根据题意建立数学模型，画出示意图；2、能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件；3、灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题；六、学法与教学用具让学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形，让学生尝试绘制知识纲目图。

高中数学《解三角形的实际应用》导学案北师大版必修5

第5课时解三角形的实际应用1.掌握仰角、俯角、方向角、方位角等的含义.2.学会用正弦定理、余弦定理解决距离、高度、角度等的问题.3.学会解三角形应用题的一般步骤.中国的“海洋国土”面积约300万平方公里,海洋权益在国家利益中的地位更加凸显.近几年,我国海军先后参加了为打击海盗进行的亚丁湾护航,并开始走出近海,深入远海进行演习,实力在不断增强,为护卫我们的“蓝色国土”提供了坚实的保障.2005年7月11日,是中国伟大航海家郑和下西洋600周年纪念日.2005年4月25日,经国务院批准,将每年的7月11日确立为中国“航海日”,作为国家的重要节日固定下来,海洋强国正成为13亿华夏儿女的共同梦想.问题1:海军在海上航行时,定位船只或者自身位置的手段已经非常先进.在较早时期,人们在海上航行时,定位船只的方法通常是根据方位角、方向角和距离来进行的.那么何为方位角、方向角呢?方位角:;方向角:.此外,在测量以及确定方位时,我们能接触到的还有俯角:和仰角:,这些是测量中的常用的名词,在我们的学习中也会经常出现.问题2:正弦定理与余弦定理的常见变形有哪些?(1)a∶b∶c=;(2)R为△ABC外接圆的半径,则sin A= ,sin B= ,sin C= ;(3)余弦定理的推论可以用式子表示为cos A=,cos B= ,cos C= .问题3:在解三角形应用问题时,一般在处理问题时要分几个步骤?分如下四个步骤:(1):理解题意,分清已知与未知,画出示意图.(2):根据已知条件与求解目标,将实际问题转化为抽象的数学问题.(3):利用正弦定理、余弦定理有序地解三角形,求得数学模型的解.(4):检验上述所求的解是否具有实际意义,从而得出实际问题的解.问题4:解斜三角形应用题的步骤是怎么样的?应用正弦定理、余弦定理解三角形应用问题,一般是根据题意,从实际问题中抽象出,通过解这些三角形,从而使实际问题得到解决.解题时应认真审题,未给图形的,可以先画出示意图,要理解好应用题中有关的名词、术语,如、、、等,要注意解的实际意义以及题目中给出的精确度.1.若P在Q的北偏东44°50',则Q在P的().A.东偏北45°10'B.东偏北45°50'C.南偏西44°50'D.南偏西45°50'2.一船向正北航行,看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的航行速度是每小时().A.5海里B.5海里C.10海里D.10海里3.在直径为30 m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆形,且其轴截面顶角为120°,若要光源恰好照到整个广场,则光源的高度为m.4.在同一平面内,在A处测得B点的仰角是50°,且到A的距离为2,C点的俯角为70°,且到A的距离为3,求B、C间的距离.利用正、余弦定理求解距离问题如图所示,隔河看两目标A,B,但不能到达,在岸边选取相距千米的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内),求两目标A,B之间的距离.利用正、余弦定理求解高度问题如图,山脚下有一小塔AB,在塔底B测得山顶C的仰角为60°,在山顶C测得塔顶A的俯角为45°,已知塔高AB=20 m,求山高CD.利用正、余弦定理求解角度问题在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向,相距12 n mile 的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进,若侦察艇以每小时14 n mile的速度,沿北偏东45°+α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.某观测站C在目标A的南偏西25°方向,从A出发有一条南偏东35°走向的公路,在C 处测得与C相距31 km的公路上的B处有一人正沿此公路向A走去,走了20 km后到达D处,此时测得CD距离为21 km,求此人在D处距A的距离.如图所示,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,现测得∠BC D=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB.如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援,求cos θ.1.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α、β的关系为().A.α>βB.α=βC.α+β=90°D.α+β=180°2.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为().A.a kmB.a kmC.a kmD.2a km3.海上有A,B,C三个小岛,测得A,B两岛相距10 n mile,∠BAC=60°,∠ABC=75°,则B,C间的距离是n mile.4.如图,为测一树的高度,在地面上选取A、B两点,从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°、45°,且A、B两点之间的距离为60 m,求树的高度h.(2013年·江苏卷)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min 后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路AC长为1260 m,经测量,cos A=,cos C=.(1)求索道AB的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?考题变式(我来改编):第5课时解三角形的实际应用知识体系梳理问题1:从正北方向顺时针到目标方向线的水平角从指定方向线到目标方向线的水平角在同一铅垂面内,视线在水平线下方时与水平线所成的角在同一铅垂面内,视线在水平线上方时与水平线所成的角问题2:(1)sin A∶sin B∶sin C (2)(3)问题3:(1)分析(2)建模(3)求解(4)检验问题4:一个或几个三角形坡角仰角俯角方位角基础学习交流1.C根据P在Q的北偏东44°50',可以判断Q在P的南偏西44°50',故选C.2.C如图所示,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而CD=CA=10(海里),在Rt△ABC中,得AB=5(海里),于是这艘船的航行速度是=10(海里/小时).3.5轴截面如图,则光源高度h==5(m).4.解:根据题意得:∠BAC=120°,AB=2,AC=3,∴BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos∠BAC=4+9-2×2×3×cos 120°=19,∴BC=.重点难点探究探究一:【解析】在△ACD中,∠ADC=30°,∠ACD=120°,∴∠CAD=30°,∴AC=CD=.在△BDC中,∵∠CBD=180°-45°-(45°+30°)=60°,由正弦定理,可得BC==2sin(30°+45°)=2sin 30°cos 45°+2cos 30°sin 45°=.在△ACB中,由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠BCA,∴AB2=()2+()2-2×××cos 75°=5+-(3+)(cos 30°cos 45°-sin 30°sin 45°)=5,∴AB=.故两目标A,B间的距离为千米.【小结】(1)求解三角形中的基本元素,应由确定三角形的条件个数,组织一系列三角形求解,即“三角形链”方法.(2)本题是测量两个都不能到达的两点间的距离,它是测量学中应用非常广泛的“三角网”测量方法的原理,其中AB可视为基线.(3)计算方法:sin 75°=sin(45°+30°)=sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=.同理cos 75°=.熟记后可直接应用.探究二:【解析】如图,过点C作CE∥DB,延长BA交CE于点E,设CD=x m,则AE=(x-20)m,∵tan 60°=,∴BD===x(m).在△AEC中,x-20=x,解得x=10(3+) m.故山高CD为10(3+) m.【小结】(1)测量高度时,要准确理解仰、俯角的概念;(2)分清已知和待求,分析(画出)示意图,明确在哪个三角形内应用正、余弦定理.探究三:【解析】如图,设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇,则AC=14x,BC=10x,∠ABC=120°.根据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240x cos 120°,解得x=2.故AC=28,BC=20.根据正弦定理得=,解得sin α==.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时,角α的正弦值为.【小结】(1)测量角度,首先应明确方向角的含义.(2)在解应用题时,理清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,在解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的特点.思维拓展应用应用一:如图,∠CAD=25°+35°=60°.在△BCD中,由余弦定理,得cos B===.故sin B=.在△ABC中,由正弦定理,得AC===24.由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AC·AB cos A,即312=AB2+242-2×AB×24cos 60°,∴AB2-24AB-385=0,解得AB=35或AB=-11(舍去),∴AD=AB-BD=15(km).故此人在D处距A还有15 km.应用二:在△BCD中,∠CBD=π-α-β,由正弦定理得=,所以BC==.在Rt△ABC中,AB=BC tan∠ACB=.应用三:如图所示,在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=2800,所以BC=20.由正弦定理,得sin∠ACB=·sin∠BAC=.由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角,故cos∠ACB=.故cos θ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACB cos 30°-sin∠ACB sin 30°=×-×=.或由cos θ=sin B及正弦定理有sin B=·sin 120°=×=.基础智能检测1.B根据仰角与俯角的定义可知α=β.2.B由题意知∠ACB=120°,AC=BC=a.在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC cos 120°=2a2-2a2×(-)=3a2,∴AB= a.3.5在△ABC中,由正弦定理可得=,即BC===5.4.解:由正弦定理得:=,∴PB=,∴h=PB sin 45°=(30+30)m.全新视角拓展(1)在△ABC中,因为cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=.从而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C=×+×=.由正弦定理=,得AB=×sin C=×=1040(m).所以索道AB的长为1040 m.(2)假设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A 处130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×=200×(37t2-70t+50)=200[37×(t-)2+ ],因0≤t≤,即0≤t≤8,故当t=(min)时,甲、乙两游客距离最短.。

北师大版高中数学必修5《二章解三角形 3 解三角形的实际应用举例解三角形的实际应用举例》赛课导学案_1

复习引入正弦定理、余弦定理是两个重要的定理.在解决与三角形有关的几何计算问题中有着广泛的应用.下面举例说明.解斜三角形理论应用于实际问题应注意：1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素.2、要明确题目中一些名词、术语的意义.如视角，仰角，俯角，方位角等等.3、动手画出示意图，利用几何图形的性质，将已知和未知集中到一个三角形中解决.例题解析例1 自动卸货汽车采用液压机构.设计时需要计算油泵顶杠BC的长度（如图所示）.已知车厢的最大仰角为60°（指车厢AC与水平线夹角），油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为6°20¢，AC长为1.40m,计算BC的长度（结果精确到0. 01ｍ）.【解析】这个问题就是在如图△ABC中，已知AB＝1.95 m，AC＝1.40 m，∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′，求BC的长．解：由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝1.952＋1.402－2×1.95×1.40cos 66°20′≈3.571，所以BC≈1.89(m)．答：顶杆BC约长1.89 m.例2 如图所示，两点C，D与烟囱底部在同一水平直线上，在点C1，D1，利用高为1.5 m 的测角仪器测得烟囱的仰角分别是α＝45°和β＝60°，C，D间的距离是12 m．计算烟囱的高AB(结果精确到0.01 m)．【解析】如图所示，因为AB=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可. 例3如图是曲柄连杆机构的示意图．当曲柄CB绕点C旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动．当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处．设连杆AB长为l mm，曲柄CB长为r mm，l＞r.(1)当曲柄自CB0按顺时针方向旋转角为θ时，其中0 °≤θ＜360°，求活塞移动的距离(即连杆的端点A移动的距离A0A)；(2)当l＝340 mm，r＝85 mm，θ＝80°时，求A0A的长(结果精确到1 mm)．【解析】从实际问题中抽象出几何图形，如图所示，不难得到，活塞移动的距离为A0A＝A 0C－AC，易知A0C＝AB＋BC＝l＋r，所以，只要求出AC的长即可．在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，可以通过正弦定理或余弦定理求出AC的长．例4 如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20 km处和54 km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8 s后监测点A,20 s后监测点C相继收到这一信号．在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s >(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(结果精确到0.01 km)．【解析】(1)PA，PB，PC长度之间的关系可以通过收到信号的先后时间建立起来；(2)作P D⊥a，垂足为D，要求PD的长，只需要求出PA的长和cos∠APD，即cos∠PAB的值．由题意，PA－PB，PC－PB都是定值，因此，只需要分别在△PAB和△PAC中，求出cos∠PA B，cos∠PAC的表达式，建立方程即可．归纳1、解决答：把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想实际应用问题的关键思想方法是什么？1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关的实际问题.2.了解常用的相关测量术语.3.体会数学应用题建模的过程1、实际应用问题的关键思想方法是什么？答：把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想2、解决实际应用问题的步骤是什么？实际问题——数学问题——解三角形问题——数学问题——回归实际问题课堂训练1.我军有A、B两个小岛相距10海里，敌军在C岛，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，为提高炮弹命中率，须计算B岛和C岛间的距离，请你算算看.2.如图,一艘船以32海里/时的速度向正北航行,在A处看灯塔S在船的北偏东20°, 30分钟后航行到B处,在B处看灯塔S在船的北偏东65°方向上,求灯塔S和B处的距离.（保留到0. 1）课堂小结1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关的实际问题.2.了解常用的相关测量术语.3.体会数学应用题建模的过程课后作业课本习题1.2。

北师大版必修5高中数学2.3解三角形的实际应用举例导学案(二)

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