与两条异面直线成等角的直线条数的判定

与两条异面直线成等角的直线条数的判定

一(2)班 杨一帆

过空间一点作与已知异面直线成等角的直线有几条的问题见诸于各种材料。其考查学生的空间想象能力、化归能力、识图能力、分类讨论能力，训练学生逻辑思维的深刻性、完备性。该种题型的常见解题思路是先用异面直线所成的角的定义转化为以下问题：在空间中，过两条相交直线的交点作与已知两直线成等角的直线有几条？再讨论，画图求解。本文将该类题型归纳总结出几个结论，供同学们参考。

题目1：已知异面直线a,b 成θ角，过空间任意一点o 作直线 ，使 与a ,b 成等角φ，则这样的直线 有 条。

上述问题，运用异面直线所成角的定义，过o 作直线a '∥a,b '∥b,转化为

题目2：已知直线,o b a ='' 且'

'

,b a 成θ角，（注意θ角的范围），过o 作与'

'

,b a 成等角φ的直线 ，则这样的直线 有 条。

解：本题须分两大类讨论（∵θ∈]2

,0(π

）。

第一类：

θ∈)2

,0(π

时，若φ=,2θ

则只能作一条直线 0，满足题设。（此时 0是∠'

'ob

a 的角平分线，如图1）。

图1 图2

若0<φ<

2θ

, 则这样的直线不存在。 若2

2θπφθ-<<，则这样的直线有两条21, ，（如图2）（实际上21, 是 0绕O 在过 0且与'

'

,b a 确定的平面垂直的平面内旋转而得。）

若2

θ

πφ-=

，则这样的直线有3条21, ， 01（如图3）（此时 01为∠'

'ob a 的补角

的角平分线，21, 是 0

绕O 点在过 0且与'

',b a 确定的平面垂直的平面内旋转而得。）

若

,2

2

π

φθ

π<

<-则这样有直线有4条21, ,43, ,（如图4，此时21, 是 0绕O

点在过 0且与'

',b a 确定的平面垂直的平面内旋转而得。43, 是 01绕O 点在过 01且与

'',b a 确定的平面垂直的平面内旋转而得。）

若2

π

φ=，则这样的直线有且只有1条，即过O 垂直于'

',b a 确定的平面的直线。（如图

5）

'

b '

a

O

图3 图4 图5 第二类：2

π

θ=

时，若4

0π

φ<

<，则这样的直线不存在；若4

π

φ=

，则这样的直线有

两条（即为两个直角的角平分线，如图6）；若2

4

π

φπ

<

<，则这样的直线有4条（上种情

形的两条直线旋转而得，如图7）；若2

π

φ=，则这样的直线有且只有1条，（即过O 垂直

于'

'

,b a 确定的平面的直线。如图8）

1 2 1 2 3 4

'

a '

a '

a

'

b '

b '

b

图6 图7 图8 把以上情形总结成下表：

当然，如果直线 与异面直线a,b 所成的角不相等的情形更为复杂，有兴趣的同学自行研究。

以上是我的浅见，如有不正确的地方请批评指正。

【点评】该生初学立体几何，能完成上文实难能可贵，有很好的数学天赋。在讨论中她

忘了2

π

θ=

这一类，经过指导修改形成上文。从该生身上可以看出任何学生都有学习的潜

能，都有学好数学的能力。就看同学们是否愿意学，是否平时多思多想多总结。

指导老师 李云厅