一次函数应用题型解析

一次函数应用题型解析

一次函数应用题语言叙述较多，数据量较大，经常给同学们的审题、解题带来很多不便，造成的解题失误也较多。这里向同学们介绍几种一次函数应用题型及处理这类问题的策略，供同学们参考。

一、直译法

即将题中的关键语句“译”成代数式，然后找出函数关系、列出一次函数解析式，从而解决问题的方法。

例1、（益阳中考题）乘坐益阳市某种出租汽车.当行驶路程小于2千米时，乘车费用都是4元(即起步价4元)；当行驶路程大于或等于2千米时，超过2千米部分每千米收费1.5元.

(1)请你求出x≥2时乘车费用y(元)与行驶路程x(千米)之间的函数关系式；

(2)按常规，乘车付费时按计费器上显示的金额进行“四舍五入”后取整(如记费器上的数字显示范围大于或等于9.5而小于10.5时，应付车费10元)，小红一次乘车后付了车费8元，请你确定小红这次乘车路程x的范围.

解析

评注本题列式关键语句：当行驶路程小于2千米时，乘车费用都是4元(即起步价4元)，当行驶路程大于或等于2千米时，超过2千米部分每千米收费1.5元.由此可得出一次函数解析式.

二、表格法

列表法就是将题目中的各个量列成一个表格，从而理顺它们之间的数量关系，以便于从中找到函数关系的解题方法。

例2（黄石市中考题）某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表：

（1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W（元），求W关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；

（2）若公司要求总利润不低于17560元，说明有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来；

（3）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利a元，但让利后A型

，型产产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A B

品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？

解析

评注本题属于“计算、比较、择优”型，它运用了一次函数、方程、不等式等知识，解决了最优方案的设计问题。

例3（河北咸宁）“5·12”四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心，某市Ａ、B两个蔬菜基地得知四川C、D两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区．已知Ａ蔬菜基地有蔬菜200吨，B蔬菜基地有蔬菜300吨，现将这些蔬菜全部调往C、D两个灾民安置点．从A地运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．（1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值；

（2）设Ａ、B两个蔬菜基地的总运费为w元，写出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；

（3）经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞０），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调运方案．

解析

评注：本题是利用一次函数性质结合不等式的知识，得出最佳生产方案。

三.图示法

即用图形来表示题中的数量关系，从而观察出函数关系的解题方法。此法对于某些一次函数问题非常有效，解题过程直观明了。

例4（2008长沙）在平面直角坐标系中，一动点P（x，y）从M（1，0）出发，沿由A（-1，1），B（-1，-1），C（1，-1），D（1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动。图②是P点运动的路程s（个单位）与运动时间t（秒）之间的函数图象，图③是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分.

（图①）

（图②）

（图③）

（1）s 与t 之间的函数关系式是： ；

（2）与图③相对应的P 点的运动路径是： ；P 点出发 秒首次到达点B ；

（3）写出当3≤s ≤8时，y 与s 之间的函数关系式，并在图③中补全函数图象.

解析

评注：本题运用函数思想探究动点运动的一次函数模型，同时体现分类思想的应用. 四.实物图法

即通过实物图示来找出题目中的函数关系的解题方法。

例5.（2008广西桂林）2008年5月12日，四川汶川发生8.0级大地震，我解放军某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步行前往，下列是官兵们行进的距离Ｓ（千米）与行进时间t （小时）的函数大致图像，你认为正确的是（ ）

解析：

五、方程法

从“数”的方面看，当一次函数y kx b =+的函数值0y =时，相应的自变量的值即为方程0kx b +=的解；从“形”的方面看，函数y kx b =+与x 轴的交点的横坐标即为方程

0kx b +=的解．这一结论反映了一次函数与一次方程间的关系

例6（2008赣州）2008年春节前夕，南方地区遭遇罕见的低温雨雪冰冻天气，赣南脐橙受灾滞销．为了减少果农的损失，政府部门出台了相关补贴政策：采取每千克补贴0.2元的办法补偿果农．

·P

吨)

下图是“绿荫”果园受灾期间政府补助前、后脐橙销售总收入y （万元）与销售量x （吨）的关系图．请结合图象回答以下问题：

（1）在出台该项优惠政策前，脐橙的售价为每千克多少元？ （2）出台该项优惠政策后，“绿荫”果园将剩余脐橙按原售价打九折赶紧全部销完，加上政府补贴共收入11.7万元，求果园共销售了多少吨脐橙？

（3）①求出台该项优惠政策后y 与x 的函数关系式；②去年“绿荫”果园销售30吨，总收入为10.25万元；若按今年的销售方式，则至少要销售多少吨脐橙？总收入能达到去年水平．

解析

评注 本题通过设一次函数模型，代入点的坐标，构造方程组，求出待定的系数。体现函数与方程思想的综合考查.

例7（2008南京）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为(h )x ，两车之间的距离．．．．．．．为(km )y ，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系．

根据图象进行以下探究： 信息读取

（1）甲、乙两地之间的距离为 km ； （2）请解释图中点B 的实际意义； 图象理解

（3）求慢车和快车的速度；

（4）求线段B C 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； 问题解决

（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？ 解析

评注 刻画运动变化的规律需要用函数模型，刻画变化过程中同类量之间的大小，需要用不等式模型，刻画运动变化过程中的某一瞬间要用方程模型.

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