2.平面直角坐标系中的伸缩变换(学生版)

2 平面直角坐标系中的伸缩变换

主备： 审核： 学习目标：

1.理解平面直角坐标系中的伸缩变换；

2．了解在平面直角坐标系中伸缩变换作用下平面图形的变化情况；

3.会用坐标变换和伸缩变换解决实际问题.

学习重点：在伸缩变换作用下，图形的变化情况.

学习难点：用坐标变换和伸缩变换解决实际问题.

学习过程：

一、课前准备

阅读教材14P P -的内容，体会平面直角坐标系中伸缩变换的情况.并回顾以下问题：

1.在直角坐标系中，已知点(,)M a b ，则

①M 关于原点O 的对称点为 ； ②M 关于x 轴的对称点为 ； ③M 关于y 轴的对称点为 ； ④M 关于直线y x =的对称点为 ； ⑤M 关于直线y x =-的对称点为 ；

⑥M 关于直线y x t =+的对称点为 .

2．平移变换

①平面上任一点P 的坐标(,)x y ，按向量(,)a h k = 平移后的坐标为(,)P x y '''，则有

②曲线(,)0F x y =的图像，按(,)a h k = 平移后的曲线方程为 .

3.填空题：

（1）已知点(4,3)P -按向量(1,5)a = 平移到Q 点，则Q 的坐标为 ．

（2）函数2()23f x x =-向右平移3个单位，向下平移1个单位，得到的函数解析式是 ()f x = .

(3) 抛物线2

2y x =按向量(3,2)n =- 平移，得到的曲线的方程是 . 二、新课导学

（一）新知：

伸缩变换

①一般地，由(0)kx x k y y '=⎧>⎨'

=⎩所确定的伸缩变换，是指曲线上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的k 倍；

②由(0)x x k ky y '=⎧>⎨'

=⎩所确定的伸缩变换，是指曲线上的所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的k 倍；

上面的变换中，当1k >时表示伸长；当01k <<时，表示压缩；

③定义点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任一点，在变换(0,0)x x y y λλμμ'=⎧>>⎨'

=⎩作用下，点(,)P x y 对应到(,)P x y '''称为平面坐标系中坐标的伸缩变换．

（二）典型例题

【例1】求曲线22

4x y +=按照32x x y y '=⎧⎨'=⎩做伸缩变换后的曲线方程. 【解析】

【例2】．试述如何由1sin(2)33y x π=

+的图象得到sin y x =的图象. 【解析】方法一：1sin(2)33y x π=+ ）（纵坐标不变倍横坐标扩大为原来的3πsin 312+=−−−−−−−−−→−x y x y sin 313π=−−−−−−−−→−纵坐标不变个单位图象向右平移 x y sin 3=−−−−−−−−−→−横坐标不变倍纵坐标扩大到原来的. 方法二：

（1）先将1sin(2)33y x π=

+的图象向右平移6π个单位，得1sin23y x =的图象； （2）再将1sin23y x =上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得1sin 3y x =的图象；

（3）再将1sin 3y x =

图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到sin y x =的图象.

*【例3】已知函数

22()3sin()cos()(0)33f x x x ππωωω+-+>图象的两相邻对称轴间的距离为2π. （1）求()8

πf 的值； （2）将函数()y f x =的图象向右平移6

π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的表达式.

【解析】（1）22())cos()33

f x x x ππωω+-+

＝2122)cos()323x x ππωω⎤+-+⎥⎣⎦＝2sin()2x πω+2cos x ω=， 因为函数图象的两相邻对称轴间的距离为2π. 即半个周期为2π，所以2T ππω

==，所以2ω=. 故()2cos2f x x =， 因此()2cos 284

f ππ=. （2）将()2cos2f x x =的图象向右平移个6

π个单位后，得到2cos2()6y x π=-的图象， 再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到

()2cos2()2cos()4623x x g x ππ=-=-的图象. 动动手：将函数sin2y x =的图象向左平移4

π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 ( )

A .cos2y x =

B .22cos y x =

C .)42sin(1π

++=x y D .22sin y x =

【解析】

三、总结提升：

1．本学案总结了三种变换类型：对称变换、平移变换和伸缩变换，这三种变换都是在以前的教材或学习内容中遇到过的，通过这次的学习总结，希望起到加深理解、熟练运用的作用.

2.在解决与变换有关的问题时，特别是对称或平移的问题时，应尽可能的画出图形，以帮助我们正确的使用变换公式.

四、反馈练习：

1．下列有关坐标系的说法错误的是（ ）

A ．在直角坐标系中，直线经过伸缩变换还是直线

B ．在直角坐标系中，通过伸缩变换可把圆变成椭圆

C ．在直角坐标系中，平移不会改变图形的形状和大小

D ．在直角坐标系中，通过伸缩变换可把双曲线变成抛物线

2． 已知()sin ,()sin (0),()f x x g x x g x ωω==>的图像可以看作把()f x 的图像上各点的横坐标压缩成原来的

13

（保持纵坐标不变）而得到的，则ω为（ ） A ． 12 B ． 2 C ． 3 D ． 13 3．曲线2(1,2)y x a ==- 按向量平移得到的曲线方程为（ ）

A ． 22(1)y x +=-

B ． 22(1)y x +=+

C ． 22(1)y x -=-

D ． 22(1)y x -=+