等差数列第二课时课件-北师大版高中数学必修5

●思考题 1 已知等差数列{an}的公差是正数，且 a3·a7＝－ 12，a4＋a6＝－4，求它的通项公式．
【答案】 an＝2n－12
例 2 已知{an}是等差数列，若 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求 a2＋a8.
【思路分析】 依性质(6)若 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋ aq 解答．
又∵cos(A＋C)＝cosAcosC－sinAsinC， cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC， ∴sinAsinC＝－12[cos(A＋C)－cos(A－C)]． ∴－12[cos2π3 －cos(A－C)]＝34. ∴14＋12cos(A－C)＝34. ∴cos(A－C)＝1.
题型三 等差数列性质的应用
例 6 在△ABC 中，若 lg(sinA)，lg(sinB)，lg(sinC)成等差数 列，并且三个内角 A，B，C 也成等差数列，试判断该三角形的 形状．
【解析】 由 A，B，C 成等差数列，得 2B＝A＋C. π
又 A＋B＋C＝π，∴3B＝π，∴B＝ 3 . ∵lg(sinA)，lg(sinB)，lg(sinC)成等差数列， ∴2lg(sinB)＝lg(sinA)＋lg(sinC)， 即 sin2B＝sinAsinC. ∴sinAsinC＝34.
1．等差数列的公差与直线斜率的关系．
答：(1)一次函数 f(x)＝kx＋b(k≠0)的图像是一条直线，斜率 k ＝f（x2）x2－－fx（1 x1）(x1≠x2)．当 k＝0 时，对于常数函数 f(x)＝b，上 式仍然成立．
(2)等差数列{an}的公差本质上是相应直线的斜率，如 am，an 是 等差数列{an}的任意两项，由 an＝am＋(n－m)d，类比直线方程的斜 率公式得 d＝ann－－mam.
方法一：令 an＝bm，则 3n＋2＝4m－1，∴n＝43m－1. ∵n∈N*，且 n≤100，∴m＝3，6，9，…，75 共 25 个数， 即两数列有 25 个相同项．
方法二：第一个数列的公差为 3，第二个数列的公差为 4， 则这两个数列的共同项组成的新数列{cn}的公差为 3×4＝12.
又∵c1＝11，∴cn＝11＋(n－1)·12＝12n－1. 又∵a100＝302，b100＝399， ∴cn＝12n－1≤302，即 n≤25.25.又∵n∈N*， ∴所给两数列共有 25 个共同项．
则 a20 等于( )
A．－1
B．1
C．3
D．7
答案 B 解析 两式相减，可得 3d＝－6，d＝－2.由已知可得 3a3＝ 105，a3＝35，所以 a20＝a3＋17d＝35＋(－34)＝1.
3．(2015·威海模拟)等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18
＋a19＋a20＝78，则 a3＋a18 等于( )
2．等差数列的“子数列”的性质．
答：若数列{an}是公差为 d 的等差数列，则 (1)数列{an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为 d 的等差数 列． (2)奇数项数列{a2n－1}是公差为 2d 的等差数列； 偶数项数列{a2n}是公差为 2d 的等差数列．
(3)若数列{kn}是等差数列，则数列{akn}也是等差数列． (4)从等差数列{an}中等距离的抽取项，所得的数列仍为等差 数列，当然公差要随之发生变化．
【思路分析】 由 a9＝p，a18＝q，直接列方程组；解出两个基 本量 a1 和 d，这是常规解法，但比较麻烦．观察 a9，a18，a36 的下标， 可以联想到 a9，a18，a27，a36 成等差数列，利用等差数列的性质，必 能提高解题速度．
【解析】 方法一：d＝a1188－－a99＝q－9 p， ∴a36＝a18＋(36－18)d＝q＋18·q－9 p＝3q－2p.
（a－3d）＋（a－d）＋（a＋d）＋（a＋3d）＝26，
①
（a－d）（a＋d）＝40.
②
由①，得 a＝123.代入②，得 d＝±32.
∴四个数为 2，5，8，11 或 11，8，5，2.
●思考题 5 已知三个数成等差数列，它们的和为 9，它们 的平方和为 35，试求这三个数．
【解析】 设这三个数分别为 a－d，a，a＋d， 根据题意，得（（aa－－dd））2＋＋aa＋2＋（（a＋a＋d）d）＝2＝9，35， 解得ad＝＝3±，2. ∴这三个数为 1，3，5 或 5，3，1.
∵A－C∈(－π，π)， ∴A－C＝0，即 A＝C＝π3 ，∴A＝B＝C. 故△ABC 为等边三角形．
●思考题 6 若关于 x 的方程 x2－x＋a＝0 和 x2－x＋b＝
0(a≠b)的 4 个根可组成首项为14的等差数列，则 a＋b 的值为( )
3
11
A.8
B.24
13
31
C.24
D.72
【解析】 判断各个根对应数列的项数．因为每个方程的两 个根的和都为 1，故必有一个方程的根为41和43，不妨设方程 x2－x ＋a＝0 的根为14和34.14为等差数列的首项，43为等差数列 4 项中的 某一项，由 x2－x＋b＝0 的两根和为 1，且两根为等差数列中的 后 3 项中的两项，知只有43为第 4 项，才能满足中间两项之和为
探究 3 在方法一中为什么 an＝bm，而不是 an＝bn？这是因 为 an＝bn 的意思是数列{an}和数列{bn}中的序号及数值都分别相 等的项，这就歪曲了题意，题目只能要求数值相等即可，在方法 二中，要注意 cn 是{an}与{bn}的共同项，因此，cn≤b100，而 a100 ≤302＜b100，因此，只要，cn≤302.
●思考题 4 已知两个等差数列 4，7，10，…和 3，7，11，… 都有 200 项．求它们有多少共同项．
【答案】 50 项
题型二 等差数列中对称法设未知项
例 5 成等差数列的四个数之和为 26，第二个数和第三个数 之积为 40，求这四个数．
【解析】 设四个数分别为 a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则
于( )
A．32
B．30
C．29
D．16
【答案】 A
例 4 已知两个等差数列 5，8，11，…和 3，7，11，…都有 100 项，问它们有多少共同项？
【思路分析】 可以求出两个数列的通项公式，令两个通项 公式相等，再判断相同项的个数．
【解析】 由题意得，两个数列的通项公式分别为 an＝3n＋ 2，bn＝4n－1，
(4)a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝… (5)序号成等差数列的项仍为等差数列． (6)若 m，n，p，q∈N*，且 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq； 反之，当 d≠0 时，若 am＋an＝ap＋aq，则 m＋n＝p＋q. (7)若{an}，{bn}为等差数列，则{k·an}，{aan＋bbn}也成等差 数列．
方法二：∵a9，a27，a36 成等差数列， ∴22aa2178＝＝aa198＋＋aa237，6. ∴a36＝2a27－a18＝2(2a18中，若下标成等差，则项成等差．
●思考题 3 已知{an}是等差数列，a3＝8，a5＝14，则 a11 等
【解析】 ∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8， ∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450⇒a5＝90. ∴a2＋a8＝2a5＝180.
●思考题 2 在等差数列{an}中，a1－a4－a8－a12＋a15＝2， 则 a3＋a13＝__________．
【答案】 －4
例 3 在等差数列{an}中，a9＝p，a18＝q，求 a36.
A．16
B．18
C．20
D．22
答案 B
4 ． 等 差 数 列 {an} 中 ， a2 ＝ － 5 ， a6 ＝ a4 ＋ 6 ， 则 a1 ＝ ____________．
答案 －8
5．在等差数列{an}中，若 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求 a5 与 a2＋a8 的值．
答案 a5＝90，a2＋a8＝180
授人以渔
题型一 等差数列的性质 例 1 已知 a5＝11，a8＝5，求等差数列{an}的通项公式． 【思路分析】 可用 an＝am＋(n－m)d 解答．
【解析】 ∵a8－a5＝(8－5)d＝5－11，∴d＝－2. ∴an＝a5＋(n－5)d＝11＋(n－5)·(－2)＝21－2n.
探究 1 本题构思巧妙，灵活运用 an＝am＋(n－m)d 和它的 变形ann－－mam＝d.
2．1 等差数列(第二课时) 等差数列的性质及综合问题
要点 1 等差数列的性质 若{an}为等差数列，公差为 d，则： (1)an＝am＋(n－m)d. (2)an，an－1，an－2，…，a2，a1 仍为等差数列，其公差为－d. (3)从第二项起，每一项是它相邻两项的等差中项，也是与它 等距离的前后两项的等差中项．
1 的条件，所以四根的排列顺序为41，152，172，34，∴a＋b＝14×34＋ 152×172＝3712.
【答案】 D
课后巩固
1．等差数列{an}中，下列关系成立的是( )
A．a1＋a8＝a3＋a5
B．a2＋a7＝2a5
C．a1＋a9＝2a5
D．a2－a1＝a8－a9
答案 C
2．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，