数量方法二考试重要公式

《数量方法》 通过宝典 第一章 数据的整理和描述一、 数据的分类：按照描述的事物分类：1． 分类型数据：描述的是事物的品质特征，本质表现是文字形式 2． 数量型数据：事物的数量特征，用数据形式表示 3． 日期和时间型数据。

按照被描述的对象与时间 的关系分类：1． 截面数据：事物在某一时刻的变化情况，即横向数据2． 时间序列数据：事物在一定的时间范围内的变化情况，即纵向数据 3． 平行数据：是截面数据 与 时间序列数据的组合 二、 数据的整理 和 图表显示：1． 组距分组法：1) 将数据按上升顺序排列，找出最大值max 和 最小值min 2) 确定组数，计算组距c3) 计算每组的上、下限（分组界限）、组中值及数据落入 各组的频数v i (个数)和频率if （∑∑⨯≈mimii v y v 11＝频数的和组中值）的和（频数平均数），形成 频率分布表 4) 唱票记频数5) 算出组频率，组中值 6) 制表2． 饼形图：用来描述和表现各成分或某一成分 占全部的百分比。

注意：成分不要多于6个，多于6个一般是从中选出5个最重要的，把剩下的全部合并成为“其他”；成分份额总和必须是100％；比例必须于扇形区域的面积比例一致。

3． 条形图：用来对各项信息进行比较。

当各项信息的标识较长时，应当尽量采用条形图。

4． 柱形图：如果是时间序列数据，应该用横坐标表示时间，纵坐标表示数据大小，即应当使用柱形图，好处是 可以直观的看出事物随时间变化的情况。

5． 折线图：明显表示趋势的图示方法。

简单、容易理解，对于同一组数据具有唯一性。

6． 曲线图：许多事物不但自身逐渐变化，而且变化的速度也是逐渐变化的。

具有更加自然的特点，但是不具有唯一性。

7． 散点图：用来表现两个变量之间的相互关系，以及数据变化的趋势。

8． 茎叶图：把数据分成茎与叶 两个部分，既保留了原始数据，又直观的显示出了数据的分布。

三、 数据集中趋势的度量：1． 平均数：容易理解，易于计算；不偏不倚地 对待每一个数据；是数据集地“重心”缺点:它对极端值十分敏感。

平均数＝数据的个数全体数据的总和∑==ni x n x 1112． 中位数：将数据按从小到大顺序排列，处在中间位置的一个数或最中间的两个数的平均数。

它的优点是 它对极端值不像平均数那么敏感，因此，如果包含极端值的数据集来说，用中位数来描述集中趋势比用平均数更为恰当。

3． 众数：数据中出现次数最多的数。

缺点是 一个数据集可能没有众数，也可能众数不唯一；优点在于它反映了 数据集中最常见的数值，而且它不仅对数量型数据（数据都是数值）有意义，它对分类型数据集也有意义；并且能够告诉我们最普遍、最流行的款式、尺寸、色彩等产品特征。

4． 分组数据的平均数（加权平均）：∑∑⨯≈mimii v y v 11＝频数的和组中值）的和（频数平均数 m 为组数，v i 为第i 组频数，y i 为第i 组组中值。

四、 数据离散趋势的度量：1． 极差R ＝最大值max －最小值min2． 四分位点：第二四分位点Q 2 就是整个数据集的中位数；第一四分位点Q 1 是所有小于（或等于）Q 2的数据所组成的数据集的中位数；第三四分位点Q 3 是所有大于（或等于）Q 2的数据所组成的数据集的中位数。

四分位极差＝Q 3－Q 1，它不像极差R 那么容易受极端值的影响，但是仍然存在着没有充分地利用数据所有信息地缺点。

3． 方差：离平均数地集中位置地远近；ny n y v vy v v y v nx n x x x n iiii i ii i n i i i 222212222)(1)(1-=-=-=-=∑∑∑∑∑∑∑=σi v ：频数，iy ：组中值， ∑=iv n ：数据的个数， ∑∑=iiivy v y ：用分组数据计算的平均数。

4． 标准差：2σσ=。

变异系数：表示数据相对于其平均数的分散程度 ％100⨯=x V σ第二章随机事件及其概率一、随机试验 与 随机事件： 1． 随机试验：a) 可以在相同的条件下重复进行；b) 每次试验的可能结果 可能不止一个，但是试验的所有可能的结果 在试验之前是确切知道的； c) 试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果。

2． 样本空间Ω：a) 所有基本事件的全体所组成的集合称为样本空间，是必然时间； b) 样本空间中每一个基本事件称 为一个样本点；c) 每一个随机事件就是若干样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的子集；d) 不包含任何样本点的随机事件就是不可能事件φ。

样本空间的表示方法：①.列举法 ②.描述法：二、事件的关系和运算 1. 事件的关系：a) 包含关系：事件A 的每一个样本点 都包含在事件B 中，或者事件A 的发生 必然导致事件B 的发生，成为事件B 包含事件A ，记做A B B A ⊃⊂或者。

若A B B A ⊂⊂且则称事件A 与事件B 相等，记做A ＝B 。

b) 事件的并：事件A 和事件B 至少有一个发生的事件称为 事件A 与事件B 的并记做B A B A +或者 。

c) 事件的交：事件A 与事件B 同时发生的事件称为 事件A 与事件B 的交，记做AB B A 或者 。

d) 互斥事件：事件A 与事件B 中，若有一个发生，另一个必定不发生，则称事件A 与事件B 是互斥的，否则称这两个事件是相容的。

φ=B A 。

e) 对立事件：一个事件B 若与事件A 互斥，且它与事件A 的并是整个样本空间Ω，则称事件B 是事件A 的对立事件，或逆事件。

事件A 的对立事件是A ，Ω==A A A A ，φ。

f) 事件的差：事件A 发生，但事件B 不发生的事件，称为 事件A 与事件B 的差，记做A －B 。

2．运算律：a) 交换律：A B B A A B B A ==，b) 结合律： C AB BC A C B A C B A )()()()(==，c) 分配律： )()()()()()(C A B A C B A C A B A C B A ==， d) 对偶律：B A B A B A B A ==，三、事件的概率 与 古典概型：1. 事件A 发生的频率的稳定值 p 称为事件A 发生的概率，记做：p A P =)(，10≤≤p2. 概率的性质：a) 非负性：0)(≥A P b) 规范性：10≤≤pc) 完全可加性：∑∞=∞==11)()(i ii i A P A Pd) 0)(=φPe) 设A ，B 为两个事件，若B A ⊂，则有)()()(A P B P A B P -=-，且)()(A P B P ≥ 3. 古典概型试验与古典概率计算：a) 古典概型试验是满足以下条件地随机试验：①.它的样本空间 包含有限个样本点 ②. 每个样本点的发生 等可能的。

b) 古典概率的计算：NN A P A=)(； c) 两个基本原理：① 加法原理：假如做一件事情有两类办法，在第一类办法中有m 种不同方法，而在第二类办法中有n 种不同方法，那么完成这件事情就有m+n 种不同方法。

可以推广到有多类办法的情况； ① 乘法原理：假设做一件事情可以分成两步来做，做第一步有m 种不同方法，做第二步有n 种不同方法，那么完成这件事情有mn 种不同方法。

也可以推广到多个步骤的情形。

4. 条件概率：在事件B 发生的条件下（假定P （B ）>0），事件A 发生的概率称为事件A 在给定事件B 的条件概率，简称A 对B 的条件概率，记做：)()()|(B P AB P B A P =； 5. 概率公式：a) 互逆：对于任意的事件A ，1)()(=+A P A P ； b) 广义加法公式：对于任意的两个事件A 和B ，)()()()(AB P B P A P B A P -+=+，广义加法公式 可以推广到 任意有限个事件的并的情形，特别地：)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=++c) 减法公式： )()()(AB P A P B A P -=-——→)()()(B P A P B A P B A -=-⊃，则； d) 乘法公式： P （AB ）＝P （A ）P （B|A ），P （A ）≠0； e) 全概率公式： 设事件A 1，A 2，…, A n 两两互斥，A 1+A 2+……＋A n ＝Ω（完备事件组），且P （A i ）>0，i ＝1，2，…，n 则对于任意事件B ，有：∑==ni i i A B P A P B P 1)|()()(；f)贝叶斯公式：条件同上则对于任意事件B ，如果P （B ）>0，有：∑==ni iii i i A B P A P A B P A P B A P 1)|()()|()()|(；第三章 随机变量及其分布随机变量：取值带有随机性，但取值具有概率规律的变量 一、离散型随机变量：取值可以逐个列出1. 数学期望：1) 定义：∑=iii px Ex ，以概率为权数的 加权平均数；2) 性质：Ec = c (常数期望是本身)E （ax ） = aEx (常数因子提出来) E （ax+b ）= aEx+b (一项一项分开算)2. 方差：1) 定义：∑-=-=ii ip Ex xEx x E Dx 22)()(；2) 性质：Dc =0 （常数方差等于0）D(ax) =a 2Dx （常数因子平方提） D (ax+b) =a 2Dx3) 公式：22)()(Ex x E Dx -=（方差＝平方的期望－期望的平方）； 3. 常用随机变量： 1) 0-1分布：① 随机变量X 只能取0，1这两个值； ① X ～B （1，p ）；① Ex ＝p Dx ＝p(1-p) 2) 二项分布：a) 分布律：n k p p C k X P kn k k n ⋯⋯=-==-，，，，210)1()(； b) X ～B （n ，p ） c) Ex=npd) Dx=np(1-p)e) 适用：随机试验具有两个可能的结果A 或者A ,且P （A ）=p ，P （A ）＝1－p ， 将次贝努里试验重复n 次。

3) 泊松分布：a) 分布律：⋯⋯===-2,1,0!)(k k e k X P k ，λλ，λ>0b) X ～P （λ） c) Ex ＝λd) Dx ＝λmkmk4. 设X 是一个连续型随机变量：1) X 的均值，记做μ，就是X 的数学期望，即 μ＝EX ；2) X 的方差，记做DX 或2σ，是2)(μ-X 的数学期望，：222)(])[(μμ-=-=X E X E DX3) X 的标准差，记做σ，是X 的方差2σ的算术平方根，即2σσ=；5. 常用 连续型随机变量：6. 正态分布的密度曲线y=P(x)是一条关于直线x=μ的对称的钟形曲线，在x=μ处最高，两侧迅速下降，无限接近X 轴；σ越小大，曲线越高扁。