余数同余技巧

在公务员考试的数量关系模块中，余数相关问题是考查的传统重点，也是令很多考生犯难的一种题型。针对常见的几类题目给予分析，帮助考生轻松解决余数同余问题。

按照常考的题型，余数问题可以分为以下几类：

一、代入排除类型

【例1】(江西2009)学生在操场上列队做操，只知人数在90-110之间。如果排成3排则不多不少;排成5排则少2人;排成7排则少4人;则学生人数是多少?( )

A.102

B.98

C.104

D.108

【解析】像这样的题目直接代入选项，看看哪个符合题目所给的条件，哪个就是正确的答案，毫无疑问，选项108满足条件，选择D。

二、余数关系式和恒等式的应用

余数的关系式和恒等式比较简单，因为这一部分的知识点在小学时候就已经学过了，余数基本关系式：被除数÷除数=商…余数(0≤余数<除数)，但是在这里需要强调两点：

1、余数是有范围的(0≤余数<除数)，这需要引起大家足够的重视，因为这是某些题目的突破口。

2、由关系式转变的余数基本恒等式也需要掌握：被除数=除数×商+余数。

【例2】两个整数相除，商是5，余数是11，被除数、除数、商及余数的和是99，求被除数是多少?

A.12

B.41

C.67

D.71

【解析】余数是11，因此，根据余数的范围(0≤余数<除数)，我们能够确定除数>11。除数为整数，所以除数≥12，根据余数的基本恒等式：被除数=除数×商+余数≥12×商+余数=12×5+11=71，因此被除数最小为71，答案选择D选项。

【例3】有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，这四个自然数的和是?

A. 216

B. 108

C. 314

D. 348

【解析】利用余数基本恒等式：被除数=除数×商+余数，有A=B×5+5= (B+1)×5。由于A、B均是自然数，于是A可以被5整除，同理，A还可以被6、7整除，因此，A可以表示为5、6、7的公倍数，即210n。由于A、B、C、D的和不超过400，所以A只能等于210，从而可以求出B=41、C=34、D=29，得到A+B+C+D=314，选C。

像上面这两个题目，就是活用这两个知识点来解题的，所以在对这类问题的练习过程中，一定要牢牢地把握这两点。

三、同余问题

这类问题在考试中比较常见，主要是从除数与余数的关系入手，来求得最终答案。通过总结我们得出解决同余问题的核心口诀，如下表所示：

同余问题核心口诀“最小公倍数作周期，余同取余，和同加和，差同减差”余同取余：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，这个数是 60n+1 和同加和：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，这个数是 60n+7 差同减差：“一个数除以4余3，除以5余4，除以6余5”，这个数是 60n-1 说明：在这里，n的取值范围为整数，可以为正数也可以取负数。

【例4】一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1，请问这个数如何表示?

【解析】设这个数为A，则A除以4余1，除以5余1，除以6余1，那么A-1就可以被4、5、6整除。4、5、6的最小公倍数为60，所以A-1就可以表示为60n，因此，A=60n+1。

【例5】一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1，请问这个数如何表示?

【解析】设这个数为A，如果A除以4余3，除以5余2，除以6余1，我们知道除数与对应余数的和相同，对应的为“和同加和”，满足这三个条件的数可以表示为：A= 60n+7。

【例6】一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3，请问这个数如何表示?

【解析】除以除以4余1，除以5余2，除以6余3，我们知道除数与对应余数的差相同，对应的为“差同减差”，满足这三个条件的数可以表示为：60n-1。

根据以上三道例题的结论，我们还可以举一反三地解决其他相关问题。如：

【例7】一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有多少个?

A. 5个

B. 6个

C. 7个

D. 8个

解析：除以5余2，除以4余3，我们知道除数与对应余数的和相同，对应的为“和同加和”，满足这两个条件的数可以表示为，P=20n+7，表示除以20余7;再配上之前的条件除以9余7，对应的为“余同取余”，我们得到这个数可以表示为180n+7，由于这个数为三位数，所以n可以取1、2、3、4、5，所以共5个。

认为针对行测考试中出现的此类问题，只要大家掌握余数的基本点，包括关系式和恒等式等，牢记同余问题的解决口诀，清楚对公倍数(或最小公倍数)的求法，再遇到类似的余数同余问题，就能轻松、快速地解决掉。