余数与同余问题[1]
人教版五年级下册数学奥数试题 余数和同余 （含答案）
余数和同余一、走进来：在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事：韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立立下了卓绝的功劳。
据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后从1至5报数，最后令士兵从1至7 报数，分别记下每次最后一个士兵所报之数。
这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵。
这个故事中所说的韩信点兵的计算方法，最早提出并记叙这个数学问题的，是南北朝时期的数学著作《孙子算经》。
算经中载有此题之算法，后来的数学家把这种解法编成了如下的一首诗歌以便于记诵：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝。
七子团圆正半月，除百零五便得知。
”这道题就是利用余数的性质来求解。
这一章我们来共同探讨这样的问题。
二、一起做：【例1】2100除以一个两位数得到的余数是56，求这个两位数。
提示：如何使2100能被这个两位数整除？【例2】用一个自然数分别去除69、90、125，所得的余数都是6，求这个自然数。
提示：把“有余数”转化成“没有余数”，就能解决了。
【例3】60,90和125分别除以某个自然数时，余数相同，这个自然数最大是多少？提示：余数相同，可以通过“不同的两数相减”的方式去掉余数，进而求解。
【例4】有一个整数，用它去除91、119、155得到的三个余数之和是20，求这个数。
提示：先根据已知条件，确定这个数的大致范围。
然后通过“三个数的和减去余数的和”去掉余数，再分解质因数来求解。
【例5】一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求满足条件的最小自然数。
提示：写出除以3余2的数，从中找出除以5余3的最小自然数，再写出满足前两个条件的数，从中找出除以7余2的最小数。
【例6】求71427×1379×5781的积除以7的余数。
提示：你可以利用这三个数分别除以7的余数，去研究71427×1379×5781除以7的余数。
余数与同余问题
余数同余问题1、用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是8，余数是16，被除数、除数、商、余数这四个数的和为463，那么除数为：2、57、96、148被某自然数整除，余数相同，且不为零，那么284被这个自然数除后余：3、150、232、396被某个两位数除后都有余数，且余数都是同一个奇数，那么所得的余数是：4、有一个自然数，用它分别去除81、127、232都有余数，且3个余数的和是33，那么这个自然数是：5、一个两位数去除251，得到的余数是41，这个两位数是：6、两个小于100的不同自然数去除440，余数都是35，这两个数的差为：7、一个两位数除以8，商与余数相同，那么这样的数总和为：8、有一个除法算式，被除数、除数和商都是整数，且没有余数，被除数、除数、商相加的和是79，被除数和除数相差56，这个算式是：9、一个整数，减去它除以5后所得余数的4倍，差是234，这个自然数是：10、2010除以一个两位数ab=（），使所得余数最大。
11、1）一个两位数被它的各位数字之和去除，能得到的最大余数是：2）一个三位数被它的各位数字之和去除，能得到的最大余数是：12、在大于2010的自然数中，逐个找出“被49除后，商与余数相等的数”，这些数的和是：13、用一个自然数A去除333，商得4，用所得余数去除自然数B，所得商和余数相加恰好为A，那么B最小为：14、两个数字之和为10、8的三位数乘积是一个五位数，且这个五位数的后四位是1031，那么这两位三位数之和是：15、一个自然数除以9的余数和除以8的商的和等于13，那么这个数除以8的余数是：16、一个自然数除以7的余数和除以8的商的和等于15，则满足条件的所有自然数的和是：17、10个自然数的和为100，分别除以3，若用去尾法，10个商的和为30，若用四舍五入法，10个商的和为34，那么10个数中被3除余1的数有：18、一个三位数分别被63、95、143除之后所得的余数之和为19，那这个三位数是：19、在小于1000的正整数中，被12、15和18除得余数相同的数共有：20、若M=3x＋x3，当x取1、2、3、……、2010时，能被7整除的M共有：21、当X取1、2、3、……2010时，有（）个整数X使2x与X2被7除余数相同。
余数与同余解析
六余数和同余1.有余数的除法各部分之间的关系：被除数=除数×商＋余数被除数－余数﹦商×除法2.除法算式的特征:余数＜除数3.有关余数问题的性质：性质1：如果两个整数a,b除以同一个数m，而余数相同，那么a和b的差能被m整除。
性质2：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。
性质3：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。
解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。
1.把题目转化为算式就是：□÷7﹦□……□余数要比除数7小，商和余数相同，题中商和余数可能是0、1、2、3、4、5、6，带入原式。
根据被除数﹦商×除法＋余数，算得：0×7＋0﹦0；1×7＋1﹦8；2×7＋2﹦16；3×7＋3﹦24；4×7＋4﹦32；5×7＋5﹦40；6×7＋6﹦48。
所求被除数可能是：0、8、16、24、32、40、48。
一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是多少？有啥好方法吗？这道题可采取经典的余数处理方法------凑。
这个凑，可不是漫无目的的凑。
而是有理有据才行。
1、找一个最小的自然数，满足除以37余17，当然17即可满足。
2、很显然，这个数除以36并不余3，作适当调整。
3、为了不改变37的那个余数，每次可加上一个37.4、每加一次37，除以36的那个余数就增加1（记住，不要计算被除数是多少，而采取的是余数的性质。
被除数扩大一倍，余数也扩大一倍，被除数增加几，余数也会增加几（或者除以除数的余数））5、因为我们要求的数除以36要余3，现在只是余17，即达到36后再多出3，即余39（注意，这里用的是扩展余数），还差39-17=22.所以要增加22个37.6、结果是17+22×37即为答案。
余数和同余
余数和同余问题1、474除以一个两位数的余数是6，求符合条件的所有两位数。
想：因为被除数=商×除数＋余数，所以商×除数=被除数－余数。
因此，所求两位数与商的积是474－6=468，把468分解质因数是468=2×2×3×3×13，又因为要求的除数是两位数，只要将468的质因数进行配对试算就行。
解：468=2×2×3×3×13，2×13=26，3×13=39，2×2×3=12，2×3×3=18，2×2×13=52，2×3×13=78，2×2×3×3=36.答：符合条件的两位数有：13，26，39，12，18，52，78和36共8个。
试一试：1、1309除以一个质数，余数是21，求这个质数。
2、389除以一个两位数，余数是5，求符合条件的所有两位数。
问题2、求2006×2007除以7的余数。
解：2006÷7=286……4 ，2007÷7=286……5 ，4×5÷7=2……6.答:2006×2007除以7的余数是6。
试一试：1、求2007×2008除以13的余数。
2、求123×345＋234×456除以11的余数。
3、求2004×2005×2006除以13的余数。
问题3、一个大于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？想：因为967，1000，2001除以这个整数的余数相同，967，1000，2001这三个数两两相减的差，都是所求整数的因数。
解：1000－967=33=3×11，2001－1000=1001=7×11×13，2001－967=1034=2×11×47，这些差的公因数就是所求的整数。
余数同余问题
余数同余问题
被除数÷除数=商＋余数，通过这个关系，我们可以总结如下余数问题结论：
①余数一定要小于除数，并且余数的个数和除数的个数相同。
比如除数是8，那么余数就是0~7八个数。
②余同取余、和同加和、差同减差
余同取余：比如一个数除2余1，除3余1，除5也余1。
我们发现每个条件的余数都相同，就可以知道满足这三个条件的最小的数是2、3、5的最小公倍数加1，即31，通项公式为30n+1。
和同加和：比如一个数满足除7余4，除8余3。
我们发现每个条件中除数加上余数的和都相同，就可以知道满足这两个条件的最小的数是7、8的最小公倍数加11，即67，通项公式为56n+11。
差同减差：比如一个数满足除7余5，除8余6。
我们发现每个条件中商和余数的差都相同，就可以知道满足这两个条件的最小的数是7、8的最小公倍数减2，即54，通项公式为56n-2。
【例】一个盒子里有乒乓球100多个，如果每次取5个出来最后剩下4个，如果每次取4个最后剩3个，如果每次取3个最后剩2个，那么如果每次取12个最后剩多少个？
A. 11 B .1
C. 9 D .8
【解析】本题考查余数问题。
根据我们刚刚讲的同余定理，我们发现每次取5个最后剩下4
个，5-4=1；如果每次取4个最后剩3个，4-3=1；如果每次取3个最后剩2个，3-2=1。
明显符合差同减差，直接套用结论最小公倍数做周期，故总数为60n-1，当n=2时，满足总数为119，则每次取12个时119÷12=9...11。
因此，选择A选项。
余数性质及同余定理答案
知识框架一、带余除法的定义及性质1. 定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b工0若有a4）=q••…r，也就是a= b X q+ r,0奇v b ;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：（1）当r 0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商（2）当r 0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型：如图屈这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2. 余数的性质⑴ 被除数除数商余数；除数（被除数余数）商；商（被除数余数）除数；⑵余数小于除数.二、余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23, 16除以5的余数分别是3和1 ,所以23+16 = 39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23, 19除以5的余数分别是3和4，所以23+19 = 42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。
例如：23, 16除以5的余数分别是3和1，所以23 —16= 7除以5的余数等于2,两个余数差3- 1当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23, 14除以5的余数分别是3和4 , 23- 14= 9除以5的余数等于4,两个余数差为3 + 5-4 =43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23, 16除以5的余数分别是3和1,所以23X 16除以5的余数等于3X1= 3。
小学奥数精讲：余数与同余问题
【分析】 437 除以 7 余数为 3，即 473≡ 3（mod7） 309 除以 7 余数为 1，即 309≡ 1（mod7） 1993 除以 7 余数为 5，即 1993≡ 5（mod7） 由同余的性质（4）可知 472×309×1993≡ 3×1×5（mod7）≡ 1
2、 同余不同余的性质：
两个整数 a，b，若它们除以整数 m 所得的余数相等，则称 a，b 对于模 m 同余。一般记为 a≡ b（mod m）。
同余有以下常用的性质：
（1） 如果 a ≡ b (mod m)，则 a、b 之差（大数减小数）能被 m 整除。
（2） 传递性 如果 a ≡ b (mod m)，b ≡ c (mod m),那么 a ≡ c (mod m)；
⑦ 求除以 8 的余数：等于该数的末三位除以 8 的余数； ⑧ 求除以 9 的余数：等于该数的各位数字之和除以 9 的余数；
1
⑨ 求除以 10 的余数：等于该数的个位数；
⑩ 求除以 11 的余数：（a）等于该数的奇数位上的数字之和不偶数的数字 之和的差除以 11 的余数 （b）等于该数的末三位不末三位之前的数字组成的 数之差除以 11 的余数，如果数字仍然太大丌能直接 观察出来，就重复此过程；
小学奥数精讲：余数与同余问题
一、问题引入
我们知道，自然数（0 和所有正整数），按能否被 2 整除可以分为偶数和奇 数两类，即能被 2 整除（除以 2 余 0）的数为偶数，丌被 2 整除（除以 2 余 1） 的数为奇数，奇数和偶数各自有其特征，它们之间又有相互联系。同理，如果我 们以除以 3 的余数为标准，就可以将自然数分成三类，余 0、余 1、余 2；如果 我们以除以 4 的余数为标准，就可以将自然数分成四类，余 0、余 1、余 2、余 3；以除以 n 为标准，就可以将自然数划分为 n 类。那么除以 n 余数相同的一类 数有何共同的性质呢？除以 n 余数丌同的数之间又有何联系呢？这是本讲将要 讨论的第二首先根据上一讲的整除特征，做简单推导，即可得到下列求余方法。
《余数及同余(一)》配套练习题
答案部分 一、解答题 1、 【正确答案】： 63 【答案解析】：这个两位数肯定是 949－4＝945 的约数， 而 945＝33×5×7，它最大的两位数约数是 32×7＝ 63．
3
【答疑编号 10256047】
4、 【正确答案】： 4 【答案解析】： 2 的 n 次方的个位数字按 2，4，8，6 循环； 3 的 n 次方的个位数字按 3，9，7，1 循环； 7 的 n 次方的个位数字按 7，9，3，1 循环； 8 的 n 次方的个位数字按 8，4，2，6 循环； 而 2012 整除 4，由 6＋1＋1＋6＝14， 于是，所求末位数字为 4。
所以 5999疑编号 10256046】
3、 【正确答案】： 31 【答案解析】： 7 的 n 次方除以 4 的余数按照 3，1 循环；所以这个和除以 4 余 3； 7 的 n 次方除以 25 的余数按照 7，24，18，1 循环；所以这个和除以 25 余 6。 除以 4 余 3，除以 25 余 6 最小的数是 31。 所以算式计算结果的末两位数字是 31。
《余数及同余（一）》配套练习题 一、解答题 1、949 除以一个两位数所得的余数是 4，则这个两位数最大是多少？ 2、 5999＋ 231000的个位数字是几？它除以 7 的余数是几？ 3、算式 7＋72＋…＋ 71990 计算结果的末两位数字是多少？ 4、算式 2 ＋ 2012 3 ＋ 2012 72012＋82012 得数的末位数字是多少？ 5、
6、2001×2002×2003×…× 2011×2012 的积的末三位数是多少？ 7、用某个自然数去除 73、101、143 所得到的余数相同，那么这个数最大 是多少？
六年级带余数除法和同余问题杨阳
教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：授课T (余数的性质和同余性质) C （求余问题典型例题）T （拓展提高）类型授课日期时段教学内容一、同步知识梳理余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
知识点1：带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:知识点2：三大余数定理1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
一、专题精讲例1. 求1992×59除以7的余数。
答案解析：5注：应用同余性质（2）可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。
1992除以7余4，59除以7余3。
根据同余性质，“4×3”除以7的余数与“1992×59”除以7的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。
余数和同余
余数和同余（十八+十九）余数和同余【知识要点】1、例如：37÷5＝7……2，四者之间的数量关系：被除数=除数×商+余数2、同余的概念：两个整数，被同一个大于1的整数m除，所得余数如果相同，那么，这两个整数对于除数m来说是同余的。
例如：14和26这两个数虽然大小不同，但它们分别除以6所得的余数相同，我们把14和26叫做关于模6同余。
3、同余最基本的性质是：几个同余式（模相同）相加、减、乘、乘方仍然同余。
【典型例题】例1、两个整数相除商8，余16；并且被除数、除数、商及余数的和是463.那么被除数是多少？例2、被3除余2，被5除余3，被7除余4的最小自然数是多少？例3、五（3）班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人，问上体育课的同学最少多少名？例4、小刚在一次计算除法时，把被除数171错写成117，结果商少了3而余数恰好相同，这题中的除数是几？【精英班】例5、有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的3倍，且这个三位数除以5余4，除以11余3.这个三位数是多少？【竞赛班】例6、11+22+33+44+55+66+77+88+99除以3的余数是多少？【课后分层练习】A组：入门级1、被2、3、5除都余1，且不等于1的最小整数是多少？2、两个整数相除得商数是12，余数是26.被除数、除数、商数及余数的和等于454，除数是多少？3、有民兵在操场上列队，只知人数在90～110之间，排成三列无余，排成五列不足2人，排成七列不足4人，共有民兵多少人？4、一个整数除300、262、205，得到相同的余数，问这个整数是几？5、某个月里有三个星期日的日期为偶数，请你推算出这个月的15日式星期几？B组：进阶级1、甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
2、有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。
求这个数。
4、求478×296×351除以17的余数。
小学奥数 数论 余数问题 同余问题.题库版
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑷整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】2003年，人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
多项式的带余除法及同余问题
多项式的带余除法及同余问题一、多项式的带余除法带余除法是一种基础的多项式运算，它可以用来确定两个多项式之间的整除关系。
带余除法的核心思想是，用一个已知的多项式去除另一个多项式，然后求出余数和商。
下面我们就来介绍一下多项式的带余除法及其应用。
1.多项式的定义在代数中，多项式是由常数、变量和运算符号构成的表达式。
多项式的一般形式如下：P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + … + anxn其中，a0,a1,a2 … an是常数项，n是该多项式的最高次数。
2.多项式的带余除法设P(x)和Q(x)是两个多项式，其中Q(x)≠0，且Q(x)的最高次数不小于P(x)的最高次数。
那么，多项式P(x)除以Q(x)所得的商多项式为R(x)，余数多项式为S(x)。
带余除法的表示如下：P(x）= Q(x)× R(x) + S(x)其中，余数多项式S(x)的次数小于除式Q(x)的次数。
带余除法的流程如下：（1）将被除式P(x)和除式Q(x)按照它们的次数从高到低排列；（2）将P(x)中的最高次数项除以Q(x)中的最高次数项，得到商式的首项；（3）用得到的商式的首项乘以Q(x)，并从P(x)中减去这个积，得到一个新的多项式；（4）重复以上操作，直到得到的新多项式的次数小于除式Q(x)的次数为止，最后所得的新多项式就是余数多项式S(x)。
3.例子说明我们以P(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + x + 1和Q(x) = x^2 -x - 2为例，来说明多项式的带余除法的具体操作。
首先，将P(x)和Q(x)按照从高到低的次数排列：P(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + x + 1Q(x) = x^2 - x - 2其次，将P(x)中的最高次数项除以Q(x)中的最高次数项，得到商式的首项为：x^2接着，用得到的商式的首项乘以Q(x)，并从P(x)中减去这个积，得到一个新的多项式：P(x) - x^2 Q(x) = (x^4 + 2x^3 - 3x^2 + x + 1) - (x^2 -x - 2) x^2 = 3x^3 - 2x^2 + 3x + 1重复以上操作，将新的多项式3x^3 - 2x^2 + 3x + 1除以Q(x)，得到商式的首项为：3x然后，用得到的商式的首项乘以Q(x)，并从3x^3 - 2x^2 + 3x + 1中减去这个积，得到一个新的多项式：3x^3 - 2x^2 + 3x + 1 - 3x(x^2 - x - 2) = -5x^2 + 9x + 1 继续重复以上操作，将新的多项式-5x^2 + 9x + 1除以Q(x)，得到商式的首项为：-5最后，用得到的商式的首项乘以Q(x)，并从-5x^2 + 9x + 1中减去这个积，得到余数多项式：-5x^2 + 9x + 1 - (-5)(x^2 - x - 2) = 4x + 11因此，P(x)除以Q(x)所得的商多项式为x^2 + 3x - 5，余数多项式为4x + 11。
初中数学竞赛余数及同余
余数及同余一、带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b的商或完全商（2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商二、同余的概念两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m同余，记作a≡b（mod m）.由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.三、同余的性质1.如果a≡b（mod m），那么m|（a-b）；如果整数a和b对于模m是同余的，那么a与b的差能被m整除.2.a≡a（mod m），即任何整数都与自身同余.3.若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）.4.若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）.5.若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a－c≡b－d （mod m），a×c≡b×d （mod m）.6.若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）。
（其中n为正整数）.例1.用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数.[答疑编号5721170101]【答案】95【解答】根据被除数-余数=商×除数，可知，所求两位数一定是707-43=665的大于43的约数，所以所求的两位数是95.例2.数713、1103、830、947被一个数除所得余数相同（余数不为0），求这个除数.[答疑编号5721170102]【答案】39，13或3.【解答】1103－713=390=3×13×2×5，947－830=117=3×13×3，1103－947=156=2×13×3×2，除数为39，13或3.例3.从1、2、…100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被3整除？[答疑编号5721170103]【答案】35【解答】1、2、…100中，除以3余1的数共34个，即1、4、7、10、…、100.除以3余2的数共33个，选出的数中，如果有除以3余1的，就一定不能有除以3余2的；如果有除以3余2的，也就不能有除以3余1的。
余数及同余
余数及同余一、带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a ＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b的商或完全商（2）当时：我们称a不可以被b 整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商二、同余的概念两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m 同余，记作a≡b（mod m）.由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.1三、同余的性质1.如果a≡b（mod m），那么m|（a-b）；如果整数a和b对于模m是同余的，那么a与b的差能被m整除.2.a≡a（mod m），即任何整数都与自身同余.3.若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）.4.若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）.5.若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a－c≡b －d （mod m），a×c≡b×d （mod m）.6.若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）。
（其中n为正整数）.例1.用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数.[答疑编号5721170101]【解答】根据被除数-余数=商×除数，可知，所求两位数一定是707-43=665的大于43的约数，所以所求的两位数是95.例2.数713、1103、830、947被一个数除所得余数相同（余数不为0），求这个除数.[答疑编号5721170102]2【答案】39，13或3.【解答】1103－713=390=3×13×2×5，947－830=117=3×13×3，1103－947=156=2×13×3×2，除数为39，13或3.例3.从1、2、…100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被3整除？[答疑编号5721170103]【解答】1、2、…100中，除以3余1的数共34个，即1、4、7、10、…、100.除以3余2的数共33个，选出的数中，如果有除以3余1的，就一定不能有除以3余2的；如果有除以3余2的，也就不能有除以3余1的。
和与余数的和同余理解
和与余数的和同余理解1. 什么是同余？大家好，今天咱们来聊聊一个听起来有点儿高深的数学概念——同余。
哎，别急，听起来复杂，但其实它就像咱们平常说的“看谁能忍”，不是什么难题。
简单来说，同余就是两个数在某种情况下是“相等”的。
比如，你想象一下，有两个朋友，虽然住在不同的地方，但他们每次聚会都是一起的，时间也是一样的。
就像如果我和你都买了同样的泡面，不管我们在哪里，我们都能在同一时间吃上。
用数学的话说，就是如果你把一个数A除以某个数B，余数和另一个数C除以B的余数是一样的，那么A和C就是同余的。
是不是简单？让我们继续深入！1.1 同余的公式同余的公式看起来也许有点吓人，但其实就是个简单的表达式。
它通常写作：A ≡ B (mod M)。
这儿的“mod”就是取模的意思，简单来说，就是求余数的过程。
举个例子，假设你有17块钱，想买东西。
你如果买个8块的东西，剩下的钱就是9块；再买一个8块的，剩下的钱就是1块。
要是你再来一轮买，虽然你剩的钱不同，但如果以8块为基准，17和1在这个模下是同余的，因为它们的余数都是1。
哎呀，这就像你们的饮料，虽然大家的杯子不同，但喝到最后，大家的杯底都是湿的，哈哈！1.2 日常生活中的同余那么，咱们的日常生活中有没有同余的影子呢？当然有！想象一下，你和小伙伴一起做饭，结果不小心多做了一大锅米饭。
假设你们是四个人，那每人分到的米饭都是一样的。
但如果你把米饭的总量变了，可能每人分到的还是相同的“余数”。
这就像一场“米饭派对”，不管你加了多少米，只要参与的人数不变，大家都能平等分到同样的“份额”，这不就有点儿同余的意思吗？2. 和与余数的和接下来说说和与余数的和，这个概念更有趣了。
咱们刚才讲的同余其实在算和的时候也能找到乐趣。
比如，假设你们班里有10个人，老师发了20个苹果。
每个人分到的苹果数是2，余下的0个苹果。
再比如，如果你们班里有11个人，老师发了20个苹果，这回每个人分到的苹果数是1，余下的9个苹果。
整除问题和余数与同余问题
整除问题及余数与同余问题姓名得分一、整除问题基础训练题1、六位数26AAA1能被9整除，A是几？2、各位数字都是5，能被21整除的最小自然数是多少？3、已知3A4A7A9A5能被11整除，A是几？4、若五位数12ABC能被1125整除，则ABC只能是多少？5、已知五位数7□4□5能被75整除，且各个数位上的数字各不相同，那么方框里的数字有几种填法？6、既能被9整除，也能被25整除的最小四位数是多少？7、在自然数5537的前后各填一个数字，使重新得到的六位数是45的倍数，那么填上去的两个数字之和是几？8、有一个自然数，它是一个7、三个5、四个3、六个2的连乘积，在这个数的因数中，最大的两位数是多少？9、三个均小于20的质数，它们的和是30，它们的乘积是多少？10、在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个？11、50×49×48×…×2×1的乘积中，末尾有多少个零？12、已知自然数a有两个因数，那么4a有多少个因数？13、三个自然数的乘积是1224，其中第一个自然数与第二个自然数的和等于第三个自然数，求第三个自然数是多少？14、两个数的最大公因数是6，最小公倍数是108，两个数的和是66，这两个数各是多少？15、三个连续自然数的最小公倍数是360，这三个自然数分别是多少？16、已知三个质数的倒数和等于215／429，求它们的和。
17、有一列数1、1、2、3、5、8、13、21、34…，从第3个数开始，每个数都是它前边两个数的和，那么前100个数中，有多少个偶数？18、将分母为15的所有最简假分数按由小到大的顺序依法排列，第1998个最简假分数化成带分数，整数部分是多少？二、整除问题竞赛提高题1、三位数2ab加299得5ac,如果已知2ab能被9整除，5ab能被11整除，求a+b+c的值。
2、一个三位数能被3整除，去掉它的末位数字后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大的是多少？3、三个数的和是918，这三个数分别被3，5，11所除得的商都相同，且余数也相同，求这三个数及相同的商、余数。
五年级数学拔高之巧解余数和同余问题
第20讲巧解余数和同余问题I 余数巧点睛——方法和技巧（1）被除数=商×除数×余数。
（2）借助约数和倍数的知识。
上面两个性质是解题的关键。
巧指导——例题精讲A级冲刺名校·基础点睛一、借助“整除”来帮忙【例1】一个两位数除310的余数是37，求这样的两位数。
分析与解根据带余除法和整除意义知，这个两位数一定是310－37=273的约数。
由273=3×7×13知，273的两位数的约数有13，3×7，3×13，7×13，即13，21，39，91。
其中只有39，91除310的余数是37，故所求的两位数是39或91。
答：这样的两位数是39或91。
做一做1 237除以一个两位数所得的余数是6，问：这丙的两位数是多少？【例2】一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8。
那么，被除数、除数、商及余数却是已知的。
可从“位数”角度思考。
分析与解题目中，只有余数8是一个具体的数，被除数、除数及商都是未知数，但它们的位数却是已知的。
可从“位数”角度思考。
因为除数要大于余数，余数是8，而大于8的一位数只有9，所以除数一定是9。
第二步判断商是多少？最小的两位数是10，由于9×10＋8=98，9×11＋9=107，又由于被除数是两位数，所以被除数是98，商是10。
因此，被除数、除数、商及余数之和是98＋9＋10＋8=125做一做2 两数相除，商是498，余数是3。
那么，被除数、除数、商及余数之和最小是多少？【例3】两个数相除，商是22，余数是8，被除数、除数、商、余数之各是866。
求这两个数。
分析与解本题应根据带余除法来解。
因被除数=除数×商＋余数。
故被除数＋除数＋商＋余数=除数×商＋余数＋除数＋商＋余数 =除数×（商＋1）＋商＋余数×2 现在，商是22，余数是8，被除数＋除数＋商＋余数=866，所以，866=除数×（22＋1）＋22＋8×2于是有除数=（866－22－8×2）÷（22＋1）=36被除数=除数×商＋余数=36×22＋8=800。
余数同余问题
余数同余问题是数学运算考察的传统题型，也是难点题型。
虽然近年来考察有所减少，但对于基础知识与基本题型的掌握仍然不可轻视。
行测考试数学运算中余数问题侧重考查考生的逐步分析能力。
在解答余数问题时需要考生充分利用相关知识点排除不可能的情形，需要考生具备比较高的分析能力。
下文用真题为例，说明余数问题的解题思路。
按照常考的题型，余数问题可以分为以下几类：代入排除类型、余数关系式和恒等式的应用、同余问题、同余问题的延伸。
一、代入排除类型例1：学生在操场上列队做操，只知人数在90-110之间。
如果排成3排则不多不少;排成5排则少2人;排成7排则少4人;则学生人数是多少?( )A.102B.98C.104D.108【解析】对于余数问题我们可以优先考虑代入排除法。
直接代入选项，看看哪个符合题目所给的条件，选项108满足条件，因此选择D选项。
例2：在一个除法算式里，被除数、除数、商和余数之和是319，已知商是21，余数是6，问被除数是多少?( )A.237B.258C.279D.290【解析】对于余数问题我们可以优先考虑代入排除法。
根据题目可得被除数+除数=319-21-6=292。
直接代入选项，如代入A项，可得除数为292-237=55，利用被除数=除数乘以商再加余数，这个等式利用尾数法，来快速排除答案。
最后可得选择C选项。
二、余数关系式和恒等式的应用余数的关系式和恒等式比较简单，因为这一部分的知识点在小学时候就已经学过了，余数基本关系式：被除数÷除数=商…余数(0≤余数<除数)，但是在这里需要强调两点：1、余数是有范围的(0≤余数<除数)，这需要引起大家足够的重视，因为这是某些题目的突破口。
2、由关系式转变的余数基本恒等式也需要掌握：被除数=除数×商+余数。
例3：两个整数相除，商是5，余数是11，被除数、除数、商及余数的和是99，求被除数是多少?()A.12B.41C.67D.71【解析】余数是11，因此，根据余数的范围(0≤余数<除数)，我们能够确定除数>11。
余数与同余关系初步
余数与同余关系初步在数学中，余数和同余关系是我们经常会遇到的概念。
它们在代数、数论、离散数学等领域都有着广泛的应用。
本文将介绍余数和同余关系的基本概念、性质以及相关定理，帮助大家更好地理解和运用它们。
一、余数的定义和性质余数是我们在进行除法运算时常常会涉及到的概念。
当我们把一个整数a除以另一个整数b（b≠0）时，如果能找到另一个整数q使得a=bq+r，其中r为非负整数且r<b，那么r就是a除以b的余数。
例如，当我们把13除以4时，商是3，余数是1，因为13=4×3+1。
余数具有以下性质：1. 余数的范围始终是0到除数减1之间的非负整数。
2. 如果两个整数a和b对同一个正整数n取余所得的余数相等，即a mod n=b mod n，那么就称a与b对于模n同余。
例如，10 mod 3=1，13 mod 3=1，因此10与13对于模3同余。
二、同余关系的概念和性质在介绍同余关系之前，先来看一个例子：如果一个整数除以5的余数为2，则该整数可以表示为5k+2的形式，其中k是一个整数。
我们发现，这个整数与5k+2形式的所有整数对于模5是同余的。
这就引出了同余关系的概念。
如果两个整数a和b对于模n同余，记作a≡b (mod n)，意味着a和b除以n的余数相等。
同余关系具有以下性质：1. 自反性：a≡a (mod n)，任何整数都与自身对于模n同余。
2. 对称性：如果a≡b (mod n)，那么b≡a (mod n)，同余关系是满足对称性的。
3. 传递性：如果a≡b (mod n)，b≡c (mod n)，那么a≡c (mod n)，同余关系是满足传递性的。
同余关系与余数之间存在紧密的联系，通过对同余关系的研究，我们可以得到关于余数的一些重要结论。
三、同余关系的应用同余关系在数论、代数和密码学等领域都有广泛的应用。
下面我们简要介绍一些常见的应用：1. 整数的判断和计算：通过同余关系，我们可以轻松判断一个整数是否能被某个数整除，以及计算模运算的结果。
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余数同余问题
1、用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是8，余数是16，被除数、除数、商、余数
这四个数的和为463，那么除数为：
2、57、96、148被某自然数整除，余数相同，且不为零，那么284被这个自然数除后余：
3、150、232、396被某个两位数除后都有余数，且余数都是同一个奇数，那么所得的余数
是：
4、有一个自然数，用它分别去除81、127、232都有余数，且3个余数的和是33，那么这
个自然数是：
5、一个两位数去除251，得到的余数是41，这个两位数是：
6、两个小于100的不同自然数去除440，余数都是35，这两个数的差为：
7、一个两位数除以8，商与余数相同，那么这样的数总和为：
8、有一个除法算式，被除数、除数和商都是整数，且没有余数，被除数、除数、商相加的
和是79，被除数和除数相差56，这个算式是：
9、一个整数，减去它除以5后所得余数的4倍，差是234，这个自然数是：
10、2010除以一个两位数ab=（），使所得余数最大。
11、1）一个两位数被它的各位数字之和去除，能得到的最大余数是：
2）一个三位数被它的各位数字之和去除，能得到的最大余数是：
12、在大于2010的自然数中，逐个找出“被49除后，商与余数相等的数”，这些数的和是：
13、用一个自然数A去除333，商得4，用所得余数去除自然数B，所得商和余数相加恰好为A，那么B最小为：
14、两个数字之和为10、8的三位数乘积是一个五位数，且这个五位数的后四位是1031，那么这两位三位数之和是：
15、一个自然数除以9的余数和除以8的商的和等于13，那么这个数除以8的余数是：
16、一个自然数除以7的余数和除以8的商的和等于15，则满足条件的所有自然数的和是：
17、10个自然数的和为100，分别除以3，若用去尾法，10个商的和为30，若用四舍五入法，10个商的和为34，那么10个数中被3除余1的数有：
18、一个三位数分别被63、95、143除之后所得的余数之和为19，那这个三位数是：
19、在小于1000的正整数中，被12、15和18除得余数相同的数共有：
20、若M=3x＋x3，当x取1、2、3、……、2010时，能被7整除的M共有：
21、当X取1、2、3、……2010时，有（）个整数X使2x与X2被7除余数相同。
22、已知“2n－N”是一个9的倍数，那么N在1000以内的自然数中有（）种取值。
23、已知N是从1到100的自然数，那么
1）有（）个N的值满足N2－1能被7整除；
2）有（）个N的值满足2n－1能被7整除。
24、甲、乙、丙三数分别为526、539、705，某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数与A除丙数所得余数的比是2：3，那么A是：（）
25、用一个大于1的自然数去除963582、714所得的余数依次成等差数列，那么除数可以是：
26、有一个三位数，它除以19所得到的商与余数之和，恰好等于它除以17所得到的商与余
数的和，那么这样的三位数最大可能是：
27、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，符合此条件的最小数为：
28、一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，符合此条件的最小数为：
29、1000以内有（）个数除以8余3，除以9余4，除以12余7，其中最大的是（）
30、有些自然数，它加1后是3的倍数，它的3倍加1后是5的倍数，它的5倍加1后是7的倍数，那么这样的自然数中，最小的一个是（）
31、三个连续的两位数除以5的余数之和是7，除以7的余数之和是9，除以9的余数之和是15，则这三个数除以11的余数之和是：
32、一个自然数除以7、8、9后分别余3、5、7，而所得三个决的和是758，这个数是：
33、一个自然数除以3、6、9后所得3个余数之和是15，那么这个数除以18的余数是：
34、一个五位数，各位数字互不相同，被2、3、5、11除分别余1、2、3、7，那么这个数最小是：
35、“12345＋67890”的个位数字是（），除以7的余数是（），除以70的余数是（）
36、算式“13579×2468＋246813579”的结果除以9余（），除以11余（），除以
99的余数是（）。
37、一批货物，如果用小车运，每次运8袋余3袋，每次运6袋余1袋，每次运5袋余2袋，如果改用大卡车，每车可以运120袋，则4次运完（每次尽量装满），那么这批货物共有（）袋。
38、一个布袋中装有小球近1000个，如果每次取9个，最后剩7个，如果每次取7个，最后剩5个，每次取5个最后剩3个，每次取3个最后剩1个。
那么如果每次取13个，最后剩下（）个。
39、有四个互不相同的两位数，其中任意两数之和都是2的倍数，任意三数之和都是3的倍数，那么这四个数之和最大为（），最小为（）
40、三个连续自然数，其中最小的能被5整除，中间的能被7整除，最大的能被9整除，那么这三个自然数最小为（）
41、N是一个小于3000的四位数，将它除以11所得的余数为5，除以13所得的余数为6，除以17所得的余数为8，那么N的值是（）。
42、把一个两位数的两个数字颠倒过来得到一个新两位数，发现新两位数除以7的余数比原两位数除以7的余数大1，那这样的两位数共有（）个。
43、已知“□”代表一个正整数，并且“75+□”和“48+□”都不是120的倍数，但是这两个数的乘积能被120整除，那么“□”所代表的数字最小可能是：（）
44、20102009除以2008的余数为：
45、90029002除以2009的余数是：
46、20112011……2011除以105余（），除以99余（），除以1001余（）
2011个2011
47、一个圆圈上有200多个小孔，小明用一枚棋子像玩跳棋那样从A孔出发沿着顺时针方向跳，希望跳一圈能回到A孔；如果每隔6孔跳一步，结果能跳到C孔，如果每隔4孔跳一步，结果能跳到B孔，如果每隔2孔跳一步，结果能跳向A孔，那么这个圆圈上共有（）个孔。
48、小明的妈妈买了葡萄、苹果、雪梨和芒果的果脯各若干袋（每种至少一袋），用了340元。
葡萄、苹果、雪梨和芒果果脯每袋售价分别为14元、22元、28元、42元。
小明的妈妈至少买了（ ）袋果脯，此时苹果果脯是（ ）袋。
49、设A=1+2+3+……+2009+2010，那么A 除以7的余数是（ ），A 除以77的余数是（ ）。
50、从1写到50，组成一个多位数123456……484950，该数除以9、11、99的余数分别是（ ）、（ ）、（ ）。
51、444444的数字之和为A ，A 的数字之和为B ，B 的数字之和C ，那么C 是（ ）
52、20092009
的末两位数字是（ ）（ ） 53、算式“1×3×5×7×……×2009×2011”计算结果的末三位数字依次是（ ）（ ）（ ）。
54、三位数□37、8□4、21□，分别在百位、十位、个位被“□”盖住，现已知：
1）同一个三位数的3个数互不相同；
2）“□”盖住的数字互不相同，且不全是奇数；
3）三个三位数除以12余3个互不相同的质数，那么，这三个三位数的和为：（ ）
55、下图中的7张卡片里有3张上面的数是未知整数，这3个未知整数都是3的倍数，3张的和是180，有3个学生，每人抽2张卡片，各自的2张卡片上的灵敏的和都彼此相同，那么剩下的1张卡片上写的数是（ ）
56、圆周上有N 个点，固定其中一点写上数1，按顺时针方向隔1个点，在下一个点处写上数2，按顺时针方向隔2个点，在下一个点处写上数3， ……以此类推，多次后有些点上会被写有多个数，已知第6个点处写有26，在写有6的点上还写有62，那么N 最大为（ ）。
57、将数字1～9各用一次组成3个三位数，使得三个灵敏被9除分别余1、3、5，那么其中最大的数与最小的数相差最小为（ ）。
58、A 、B 、C 这三个人都常去电影院，A 每隔2天去一次，B 每隔6天去一次，C 每隔10天去一次，今天他们三人都去了电影院，将来会有连续4天恰好每天有一个人去，如果今天算第一天，那么最早出现具有上述性质的连续4天是第（ ）（ ）（ ）（ ）。
59、小明每隔2天上一次英语课，每隔3天上一次数字课，每隔4天上一次写作课，如果小明是在7月1日、2日、3日依次上了这3门课，那么此后他将在（ ）月（ ）日第一次同时上这3门课。
60、在算式“○+119=□，□+143=△”中，已知“□、○、△”依次能被7、9、11整除的自然数，那么△的最小值为（ ）
61、有些三位数除以2、3、4、5、6所得到的余数互不相同，那么这样的三位数最小的三个为（ ）（ ）（ ）
62、一个两位数，用它分别除以3、5、7得到三个余数、这三个余数的和是11，那么这样的两位数是（ ）
63、正整数N 满足：N/2是一个整数的平方，N/3是一个整数的立方，N/5是一个整数的5次方，那么N 的最小值是（ ）可以用次方表示
64、自然数N 满足：5n +N 是9的倍数，9n
+N 是5的倍数，那么这样的N 中最小值是（ ）。