余数与同余解析
余数及同余
余数及同余
一、带余除法的定义：
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a ＝b×q＋r,
0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：
（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b 的商或完全商
（2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商
二、同余的概念
两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个
整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.
同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m 同余，记作a≡b（mod m）.
由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整
数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一
类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.
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小升初数学余数、同余与周期知识点-
2017小升初数学余数、同余与周期知识点小升初数学是小升初综合素质评价考试的重头戏,在试卷中所占分值比重最大。
为了帮助学生们顺利备考,下面为大家分享小升初数学余数同余与周期知识点，供大家参考!余数、同余与周期一、同余的定义：①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：①自身性：a≡a(m od m);②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m);③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m);④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m);⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m);⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m);⑦同倍性：若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c);三、关于乘方的预备知识：①若A=a×b，则MA=Ma×b=(Ma)b②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md四、被3、9、11除后的余数特征：①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或(mod 3);②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);五、费尔马小定理：如果p是质数(素数)，a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。
要想学好数学，多做题目是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。
以上是为大家分享的小升初数学余数同余与周期知识点，希望能够切实的帮助到大家！。
小升初数学复习知识点：余数、同余与周期
小升初数学复习知识点：余数、同余与周期余数、同余与周期一、同余的定义：①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m 同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m 同余，记作a≡b（mod m），读作a同余于b模m。
二、同余的性质：①自身性：a≡a（mod m）；②对称性：若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）；③传递性：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡ c（mod m）；④和差性：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a-c≡b-d（mod m）；⑤相乘性：若a≡ b（mod m），c≡d（mod m），则a×c≡ b×d （mod m）；⑥乘方性：若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）；⑦同倍性：若a≡ b（mod m），整数c，则a×c≡ b×c（mod m×c）；三、关于乘方的预备知识：①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md四、被3、9、11除后的余数特征：①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n （mod 9）或（mod 3）；②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）（mod 11）；五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1（mod p）。
以上是数学网为小升初的考生们整理的小升初数学总复习知识点，希望能够关注到同学们。
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余数知识点总结
余数知识点总结一、余数的定义在进行整数除法时，如果被除数不能被除数整除，我们就会得到一个余数。
例如，当我们用10除以3时，商是3，余数是1，因为10除以3得到3余1。
一般来说，对于任意的整数a和b（b不为0），都存在唯一的整数q和r，使得a=bq+r，其中q是商，r是余数。
二、余数的性质1. 余数的范围余数r的范围是0到b-1。
这是因为如果r=b-1，那么a=bq+r=bq+(b-1)=(q+1)b-1。
所以当r大于等于b时，我们可以用b来替换掉r，而商q则加1。
所以余数r必然小于b。
2. 余数的相等性如果两个整数a和b除以同一个整数m得到相同的余数，那么它们的差也一定能被m整除，即如果a%m=b%m，则(a-b)%m=0。
3. 余数的加法性两个整数a和b的余数之和等于它们的和的余数，即(a+b)%m=(a%m+b%m)%m。
4. 余数的乘法性两个整数a和b的余数之积等于它们的积的余数，即(a*b)%m=(a%m*b%m)%m。
5. 余数的幂运算如果要计算a的n次幂的余数，我们可以先计算a%m的n次幂的余数，然后再对m取余。
即a^n%m=(a%m)^n%m。
6. 余数的倒数两个整数a和b互素，即它们的最大公约数是1，那么a在模b意义下一定有倒数。
即对于方程ax≡1 mod b，一定存在整数x满足条件。
三、余数的应用1. 余数的运算余数在算术运算中有着广泛的应用，可以用于简化复杂的运算。
例如在大数运算中，我们往往会对结果取模，以减小结果的数值大小，提高运算效率。
2. 余数的模运算模运算是指对一个数除以另一个数后得到的余数。
在计算机科学中，模运算常常被用于实现循环、加密和散列等操作。
例如在密码学中，模运算可以用于加解密算法中的步骤之一。
3. 余数的逆元余数的逆元是指在模意义下存在的一个数，使得与它相乘后得到的余数是1。
余数的逆元在密码学和数论中有着重要的应用，例如在RSA算法中，逆元的存在性是保证算法有效性的关键。
(完整版)同余问题知识点讲解
数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.【余数的加法定理】a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.【余数的乘法定理】a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
余数同余问题
余数同余问题
被除数÷除数=商＋余数，通过这个关系，我们可以总结如下余数问题结论：
①余数一定要小于除数，并且余数的个数和除数的个数相同。
比如除数是8，那么余数就是0~7八个数。
②余同取余、和同加和、差同减差
余同取余：比如一个数除2余1，除3余1，除5也余1。
我们发现每个条件的余数都相同，就可以知道满足这三个条件的最小的数是2、3、5的最小公倍数加1，即31，通项公式为30n+1。
和同加和：比如一个数满足除7余4，除8余3。
我们发现每个条件中除数加上余数的和都相同，就可以知道满足这两个条件的最小的数是7、8的最小公倍数加11，即67，通项公式为56n+11。
差同减差：比如一个数满足除7余5，除8余6。
我们发现每个条件中商和余数的差都相同，就可以知道满足这两个条件的最小的数是7、8的最小公倍数减2，即54，通项公式为56n-2。
【例】一个盒子里有乒乓球100多个，如果每次取5个出来最后剩下4个，如果每次取4个最后剩3个，如果每次取3个最后剩2个，那么如果每次取12个最后剩多少个？
A. 11 B .1
C. 9 D .8
【解析】本题考查余数问题。
根据我们刚刚讲的同余定理，我们发现每次取5个最后剩下4
个，5-4=1；如果每次取4个最后剩3个，4-3=1；如果每次取3个最后剩2个，3-2=1。
明显符合差同减差，直接套用结论最小公倍数做周期，故总数为60n-1，当n=2时，满足总数为119，则每次取12个时119÷12=9...11。
因此，选择A选项。
小学奥数精讲：带余除法(同余式和同余方程)知识点及典型例题
小学奥数精讲：带余除法（同余式和同余方程）一、基本性质的复习1、带余数除法算式：a÷b=q……r(a、b、q、r 均为整数) 从中我们应该得到：（1）b>r 除数大于余数（2）a-r=b×q 被除数减去余数则会出现整除关系，则带余数问题就可以转化为整数问题。
2、余数的性质：（1）可加性：和的余数等于余数的和。
即：两数和除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数和。
例：7÷3=2……1 5÷3=1……2，则（7+5）÷3 的余数就等于（1+2）÷3 的余数0。
（2）可减性：差的余数等于余数的差。
即：两数差除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数差。
例：17÷3=5……2 5÷3=1……2，则（17-5）÷3 的余数就等于（2-2）÷3 的余数0。
（3）可乘性：积的余数等于余数的积。
即：两数积除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数积。
例：64÷7=9……1 45÷7=6……3，则（64×45）÷3 的余数就等于（1×3）÷7 的余数3。
二、同余式在生活中，若两个自然数 a 和 b 都除以同一个除数m 时，余数相同该如何表示呢？在代数中我们称之为同余。
即：a 与b 同余于模m。
意思就是自然数a 和b 关于m 来说是余数相同的。
用同余式表达为：a≡b(modm).注：若a 与b 同余于模m，则a 与b 的差一定被m 整除。
（余数的可减性）三、例题。
例1、当2011 被正整数N 除时，余数为16，请问N 的所有可能值有多少个？例2、（1）求多位数1234567891011…20102011除以9的余数？（2）将1开始到103的连续奇数依次写成一个多位数：a=135791113…9799101103，则数a共有多少位？数a除以9 的余数为几？（3）一个多位数1234567……979899，问除以11 的余数是多少？例3、（1）用一个数除200 余5，除300 余1，除400 余10，求这个数？（2）甲、乙、丙、丁四个旅行团分别有游客69 人，85 人、93 人、97 人。
奥数五六年级知识点总结第五讲 余数与同余
第五讲余数与同余一、问题引入上一讲我们已经学习了如何判断一个数能否被另一个数整除（主要总结除数为20以内整数的情况），这一讲中我们将会在此基础上，继续探讨如果一个数不能被另一个数整除，那么余数是多少，这是本讲将要讨论的第一个问题——余数问题。
我们知道，自然数（0和所有正整数），按能否被2整除可以分为偶数和奇数两类，即能被2整除（除以2余0）的数为偶数，不被2整除（除以2余1）的数为奇数，奇数和偶数各自有其特征，它们之间又有相互联系。
同理，如果我们以除以3的余数为标准，就可以将自然数分成三类，余0、余1、余2；如果我们以除以4的余数为标准，就可以将自然数分成四类，余0、余1、余2、余3；以除以n为标准，就可以将自然数划分为n类。
那么除以n余数相同的一类数有何共同的性质呢？除以n余数不同的数之间又有何联系呢？这是本讲将要讨论的第二个问题——同余问题。
二、知识总结1、首先根据上一讲的整除特征，做简单推导，即可得到下列求余方法。
【注】下列方法大家以理解为主，不必死记。
着重掌握除以3、4、8、9、16的余数求法即可。
①求除以2的余数：奇数余1，偶数余0；②求除以3的余数：等于该数的各位数字之和除以3的余数；③求除以4的余数：等于该数末两位组成的数除以4的余数；④求除以5的余数：等于该数个位数除以5的余数；⑤求除以6的余数：该数的各个数字之和除以3得余数a，若该余数与原数同奇同偶，则原数除以6的余数为a，若该余数与原数一奇一偶，则原数除以6的余数为a+3；⑥求除以7的余数：等于该数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差除以7的余数，如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程；⑦求除以8的余数：等于该数的末三位除以8的余数；⑧求除以9的余数：等于该数的各位数字之和除以9的余数；⑨求除以10的余数：等于该数的个位数；⑩求除以11的余数：（a）等于该数的奇数位上的数字之和与偶数的数字之和的差除以11的余数（b）等于该数的末三位与末三位之前的数字组成的数之差除以11的余数，如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程；⑪求除以13的余数：等于该数的末三位与末三位之前的数字组成的数之差除以13的余数，如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程；⑫求除以16的余数：等于该数的后四位除以16的余数;⑬求除以17的余数：等于把该数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，所得到的数字除以17的余数，如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程；⑭求除以18的余数：该数的各个数字之和除以9得余数a，若该余数与原数同奇同偶，则原数除以18的余数为a，若该余数与原数一奇一偶，则原数除以18的余数为a+3；⑮求除以19的余数：等于把该数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍，所得数字除以19的余数。
第二章同余与同余式
mod13). 所以 ，结论得证。
i 0
n
同余的算术应用2 ——弃九法
*证明了“弃九法”（弃九验算法）：把一个数的各 位数字相加，直到和是一个一位数（和是9，要减去 9得0），这个数就叫做原来数的弃九数．且一个数
假设p是合数, 令 p＝ab, a≠p.
由题设条件知, p|((p-1)!+l). 又因 a|p, 则有 a|((p-1)!+1). 但由于 a≤p-1可得 a|(p-1)!, 从而 a|(((p-1)!+1)-(p-1)!), 即a|l, 因而p只有因子1和p, 即p为素数.
同余关系及其在计算机领域的应用
可见S中ห้องสมุดไป่ตู้数可分成(p-3)/2对, 每一对数a和b, 满
足 abl(mod p), 故得2·3…(p-2) (mod p), 即可得
(p-1)! -1 (mod p).
定理 (威尔逊定理) p为素数 iff (p-l)!-1(mod p).
充分性: 若(p-1)! = -l (mod p), 则 p为素数.
如果等号两边的九余数不相等，那么这个算式肯 定不正确； 如果等号两边的九余数相等，那么还不能确定算 式是否正确，因为九余数只有0，1，2，…，8九种 情况，不同的数可能有相同的九余数。所以用弃九 法检验运算的正确性，只是一种粗略的检验。
弃九法
例2 求证 1997×57≠113828. 证明 由于19971＋9＋9＋78 (mod 9) 57 5＋7 3(mod 9) 113828 l+1+3+8+2+8 5(mod 9)
余数性质及同余定理(B级)
余数性质及同余定理知识框架一、余除法的定及性1.定：一般地，若是 a 是整数， b 是整数（ b≠0） ,若有 a÷b=q⋯⋯ r ，也就是 a＝b×q＋ r ,0≤r＜ b；我称上面的除法算式一个余除法算式。
里：(1)当 r 0 ：我称 a 可以被 b 整除， q 称 a 除以 b 的商或完好商(2)当 r 0 ：我称 a 不可以被 b 整除， q 称 a 除以 b 的商或不完好商一个圆满的余除法解模型 : 如是一堆，共有 a 本，个 a 就可以理解被除数，在要求依照 b 本一捆打包，那么 b 就是除数的角色，打包后共打包了 c 捆，那么个 c 就是商，最后节余 d 本，个 d 就是余数。
个能学生清楚的理解余除法算式中 4 个量的关系。
并且可以看出余数必然要比除数小。
2.余数的性⑴ 被除数除数商余数；除数（被除数余数）商；商（被除数余数）除数；⑵ 余数小于除数．二、余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a,b 分除以 c 的余数之和，或个和除以 c 的余数。
比方： 23，16 除以 5 的余数分是 3 和 1，所以 23+16＝ 39 除以 5 的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大，所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。
比方： 23，19 除以 5 的余数分是 3 和 4，所以 23+19＝ 42 除以 5 的余数等于3+4=7 除以 5 的余数22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a,b 分除以 c 的余数之差。
比方： 23， 16 除以 5 的余数分是 3 和 1，所以 23－ 16＝7 除以 5 的余数等于2，两个余数差3－ 1＝2.当余数的差不减，上除数再减。
比方： 23，14 除以 5 的余数分是 3 和 4， 23－ 14＝ 9 除以 5 的余数等于4，两个余数差3＋ 5－4＝ 43.余数的乘法定理a 与b 的乘除以c 的余数，等于a,b 分除以 c 的余数的，也许个除以 c 所得的余数。
余数和同余
余数和同余（十八+十九）余数和同余【知识要点】1、例如：37÷5＝7……2，四者之间的数量关系：被除数=除数×商+余数2、同余的概念：两个整数，被同一个大于1的整数m除，所得余数如果相同，那么，这两个整数对于除数m来说是同余的。
例如：14和26这两个数虽然大小不同，但它们分别除以6所得的余数相同，我们把14和26叫做关于模6同余。
3、同余最基本的性质是：几个同余式（模相同）相加、减、乘、乘方仍然同余。
【典型例题】例1、两个整数相除商8，余16；并且被除数、除数、商及余数的和是463.那么被除数是多少？例2、被3除余2，被5除余3，被7除余4的最小自然数是多少？例3、五（3）班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人，问上体育课的同学最少多少名？例4、小刚在一次计算除法时，把被除数171错写成117，结果商少了3而余数恰好相同，这题中的除数是几？【精英班】例5、有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的3倍，且这个三位数除以5余4，除以11余3.这个三位数是多少？【竞赛班】例6、11+22+33+44+55+66+77+88+99除以3的余数是多少？【课后分层练习】A组：入门级1、被2、3、5除都余1，且不等于1的最小整数是多少？2、两个整数相除得商数是12，余数是26.被除数、除数、商数及余数的和等于454，除数是多少？3、有民兵在操场上列队，只知人数在90～110之间，排成三列无余，排成五列不足2人，排成七列不足4人，共有民兵多少人？4、一个整数除300、262、205，得到相同的余数，问这个整数是几？5、某个月里有三个星期日的日期为偶数，请你推算出这个月的15日式星期几？B组：进阶级1、甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
2、有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。
求这个数。
4、求478×296×351除以17的余数。
初中数学竞赛余数及同余
余数及同余一、带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b的商或完全商（2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商二、同余的概念两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m同余，记作a≡b（mod m）.由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.三、同余的性质1.如果a≡b（mod m），那么m|（a-b）；如果整数a和b对于模m是同余的，那么a与b的差能被m整除.2.a≡a（mod m），即任何整数都与自身同余.3.若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）.4.若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）.5.若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a－c≡b－d （mod m），a×c≡b×d （mod m）.6.若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）。
（其中n为正整数）.例1.用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数.[答疑编号5721170101]【答案】95【解答】根据被除数-余数=商×除数，可知，所求两位数一定是707-43=665的大于43的约数，所以所求的两位数是95.例2.数713、1103、830、947被一个数除所得余数相同（余数不为0），求这个除数.[答疑编号5721170102]【答案】39，13或3.【解答】1103－713=390=3×13×2×5，947－830=117=3×13×3，1103－947=156=2×13×3×2，除数为39，13或3.例3.从1、2、…100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被3整除？[答疑编号5721170103]【答案】35【解答】1、2、…100中，除以3余1的数共34个，即1、4、7、10、…、100.除以3余2的数共33个，选出的数中，如果有除以3余1的，就一定不能有除以3余2的；如果有除以3余2的，也就不能有除以3余1的。
和与余数的和同余理解
和与余数的和同余理解1. 什么是同余？大家好，今天咱们来聊聊一个听起来有点儿高深的数学概念——同余。
哎，别急，听起来复杂，但其实它就像咱们平常说的“看谁能忍”，不是什么难题。
简单来说，同余就是两个数在某种情况下是“相等”的。
比如，你想象一下，有两个朋友，虽然住在不同的地方，但他们每次聚会都是一起的，时间也是一样的。
就像如果我和你都买了同样的泡面，不管我们在哪里，我们都能在同一时间吃上。
用数学的话说，就是如果你把一个数A除以某个数B，余数和另一个数C除以B的余数是一样的，那么A和C就是同余的。
是不是简单？让我们继续深入！1.1 同余的公式同余的公式看起来也许有点吓人，但其实就是个简单的表达式。
它通常写作：A ≡ B (mod M)。
这儿的“mod”就是取模的意思，简单来说，就是求余数的过程。
举个例子，假设你有17块钱，想买东西。
你如果买个8块的东西，剩下的钱就是9块；再买一个8块的，剩下的钱就是1块。
要是你再来一轮买，虽然你剩的钱不同，但如果以8块为基准，17和1在这个模下是同余的，因为它们的余数都是1。
哎呀，这就像你们的饮料，虽然大家的杯子不同，但喝到最后，大家的杯底都是湿的，哈哈！1.2 日常生活中的同余那么，咱们的日常生活中有没有同余的影子呢？当然有！想象一下，你和小伙伴一起做饭，结果不小心多做了一大锅米饭。
假设你们是四个人，那每人分到的米饭都是一样的。
但如果你把米饭的总量变了，可能每人分到的还是相同的“余数”。
这就像一场“米饭派对”，不管你加了多少米，只要参与的人数不变，大家都能平等分到同样的“份额”，这不就有点儿同余的意思吗？2. 和与余数的和接下来说说和与余数的和，这个概念更有趣了。
咱们刚才讲的同余其实在算和的时候也能找到乐趣。
比如，假设你们班里有10个人，老师发了20个苹果。
每个人分到的苹果数是2，余下的0个苹果。
再比如，如果你们班里有11个人，老师发了20个苹果，这回每个人分到的苹果数是1，余下的9个苹果。
余数及同余
余数及同余一、带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b的商或完全商（2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商二、同余的概念两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m同余，记作a≡b（mod m）.由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.三、同余的性质1.如果a≡b（mod m），那么m|（a-b）；如果整数a和b对于模m是同余的，那么a与b的差能被m整除.2.a≡a（mod m），即任何整数都与自身同余.3.若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）.4.若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）.5.若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a－c≡b－d （mod m），a×c≡b×d （mod m）.6.若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）。
（其中n为正整数）.例1.用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数.[答疑编号5721170101]【答案】95【解答】根据被除数-余数=商×除数，可知，所求两位数一定是707-43=665的大于43的约数，所以所求的两位数是95.例2.数713、1103、830、947被一个数除所得余数相同（余数不为0），求这个除数.[答疑编号5721170102]【答案】39，13或3.【解答】1103－713=390=3×13×2×5，947－830=117=3×13×3，1103－947=156=2×13×3×2，除数为39，13或3.例3.从1、2、…100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被3整除？[答疑编号5721170103]【答案】35【解答】1、2、…100中，除以3余1的数共34个，即1、4、7、10、…、100.除以3余2的数共33个，选出的数中，如果有除以3余1的，就一定不能有除以3余2的；如果有除以3余2的，也就不能有除以3余1的。
初中数学教案：同余与同余方程
初中数学教案：同余与同余方程一、同余的概念及性质同余是数论中的一个重要概念，它描述了两个整数在某个特定的情况下具有相同的余数。
同余关系在数论、代数、密码学等领域中都有广泛的应用。
1. 同余的定义同余是指两个整数 a 和 b 在除以一个正整数 m 时得到相同的余数。
用符号表示为a ≡ b (mod m)，读作“a 同余于 b 模m”。
2. 同余的性质（1）传递性：如果a ≡ b (mod m) 且b ≡ c (mod m)，那么a ≡ c (mod m)。
（2）反身性：对于任意整数 a，有a ≡ a (mod m)。
（3）对称性：如果a ≡ b (mod m)，那么b ≡ a (mod m)。
二、同余方程的求解方法同余方程是一种特殊的方程，它的未知数是整数，要求解方程时需要找到满足同余关系的整数解。
1. 一元一次同余方程一元一次同余方程形如ax ≡ b (mod m)，其中 a、b 和 m 是已知的整数，要求解x。
方程的解可以用以下步骤求得：（1）对 m 进行质因数分解，得到 m 的素因数分解形式；（2）利用扩展欧几里得算法求出 ax + my = d 的整数解；（3）如果方程有解，则解为x ≡ b/d (mod m)，其中 d 是 ax + my = d 的最大公约数。
2. 一元二次同余方程一元二次同余方程形如ax^2 + bx + c ≡ 0 (mod m)，其中 a、b、c 和 m 是已知的整数，要求解 x。
对于一元二次同余方程，我们可以先尝试利用二次剩余判别法判断方程是否有解，然后再利用求根公式求解方程。
三、同余的应用同余在数论、代数和密码学等领域中具有重要的应用价值，下面介绍其中两个应用案例。
1. 时钟问题时钟问题是同余理论的一个典型应用案例。
以 12 小时制为例，假设现在是凌晨 12 点，需要求 n 小时后的时间。
根据同余关系，我们可以得到表达式n ≡ x (mod 12)，其中 x 为 n 对 12 取模的余数。
[数量关系]剩余定理问题和余数类问题的解法
![[数量关系]剩余定理问题和余数类问题的解法](https://img.taocdn.com/s3/m/05ad0b78d15abe23482f4dcb.png)
[数量关系]剩余定理问题和余数类问题的解法特殊的剩余定理：核心基础公式：被除数=除数*商+余数同余问题核心口诀：“余同取余。
和同加和，差同减差，公倍数作周期”①余同：例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，则取1，公倍数作周期，则表示为：60N+1②和同：例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，则取7，公倍数做周期：则表示为60N+7③差同：例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，则取3，公倍数做周期：则表示为60N-3例题1：有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余数是几？A、4B、5C、6D、7（当然可以用特殊值法）因为3+2=4+1=5所以取12+5=1717/12=1 余5剩余定理的一般情况：一个数，除以7余3，除以8余6，除以5余2，求满足这些条件的所有三位数。
卡卡西解析：--------------------------------一个数除以7余3，可以把这个数字表示为7a+3，同理有5b+2 8d+67a+3=5b+27a+1=5ba=2 b=3 最小公倍数3535c+17=8d+632c+8+3c+3=8d（因为32C+8 肯定是8的倍数，所以不予再考虑）3c+3=8dC=735*7+17=262 262+280N一个整数除300、262、205，得到相同的余数，问这个整数是几？分析：根据同余的性质：此三数种任何两数的差都应是除数的倍数，即除数应是此三数中任两数的差的公约数。
----------------------------------解：300-262=38262-205=57（28，57）=1912 ＋22 ＋32 ＋……＋20012＋20022除以7的余数是_____。
-----------------------方法一：根据公式：1^2+2^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6方法二：÷7＝0…1，÷7＝0…4，÷7＝1…2，÷7＝2…2，÷7＝3…4，÷7＝5…1，÷7＝7（余数为0），，÷7与÷7余数相同，同样地，÷7与÷7余数相同，…….所以，每7个连续自然数的平方之和除以7的余数为1＋4＋2＋2＋4＋1除以7的余数，而（1＋4＋2＋2＋4＋1）÷7＝2（余数为0），而2002÷7＝286，所以原式能被7整除，即除以7的余数为0今天星期一，1998的1986次方天后星期几？----------------------------------1998的1986次=（265*7+3）1986次=3的1986次3^0 整除7的余数是 13^1 整除7的余数是 33^2 整除7的余数是 23^3 整除7的余数是 63^4 整除7的余数是 43^5 整除7的余数是 53^6 整除7的余数是 1由此可见，6次一循环所以：3的1986（1986/6=331，余数为0）次除7的余数为3^0/7=11+1=2。
余数与同余关系初步
余数与同余关系初步在数学中，余数和同余关系是我们经常会遇到的概念。
它们在代数、数论、离散数学等领域都有着广泛的应用。
本文将介绍余数和同余关系的基本概念、性质以及相关定理，帮助大家更好地理解和运用它们。
一、余数的定义和性质余数是我们在进行除法运算时常常会涉及到的概念。
当我们把一个整数a除以另一个整数b（b≠0）时，如果能找到另一个整数q使得a=bq+r，其中r为非负整数且r<b，那么r就是a除以b的余数。
例如，当我们把13除以4时，商是3，余数是1，因为13=4×3+1。
余数具有以下性质：1. 余数的范围始终是0到除数减1之间的非负整数。
2. 如果两个整数a和b对同一个正整数n取余所得的余数相等，即a mod n=b mod n，那么就称a与b对于模n同余。
例如，10 mod 3=1，13 mod 3=1，因此10与13对于模3同余。
二、同余关系的概念和性质在介绍同余关系之前，先来看一个例子：如果一个整数除以5的余数为2，则该整数可以表示为5k+2的形式，其中k是一个整数。
我们发现，这个整数与5k+2形式的所有整数对于模5是同余的。
这就引出了同余关系的概念。
如果两个整数a和b对于模n同余，记作a≡b (mod n)，意味着a和b除以n的余数相等。
同余关系具有以下性质：1. 自反性：a≡a (mod n)，任何整数都与自身对于模n同余。
2. 对称性：如果a≡b (mod n)，那么b≡a (mod n)，同余关系是满足对称性的。
3. 传递性：如果a≡b (mod n)，b≡c (mod n)，那么a≡c (mod n)，同余关系是满足传递性的。
同余关系与余数之间存在紧密的联系，通过对同余关系的研究，我们可以得到关于余数的一些重要结论。
三、同余关系的应用同余关系在数论、代数和密码学等领域都有广泛的应用。
下面我们简要介绍一些常见的应用：1. 整数的判断和计算：通过同余关系，我们可以轻松判断一个整数是否能被某个数整除，以及计算模运算的结果。
小升初数学知识点余数、同余与周期
小升初数学知识点余数、同余与周期【一】同余的定义：
①假设两个整数a、b除以m的余数相同，那么称a、b对于模m同余。
②三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。
【二】同余的性质：
①自身性：a≡a(mod m)；
②对称性：假设a≡b(mod m)，那么b≡a(mod m)；
③传递性：假设a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，那么a≡ c(mod m)；
④和差性：假设a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么
a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；
⑤相乘性：假设a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a×c≡ b×d(mod m)；
⑥乘方性：假设a≡b(mod m)，那么an≡bn(mod m)；
⑦同倍性：假设a≡ b(mod m)，整数c，那么a×c≡ b×c(mod m×c)；
【三】关于乘方的预备知识：
①假设A=a×b，那么MA=Ma×b=(Ma)b
②假设B=c+d那么MB=Mc+d=Mc×Md
【四】被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，那么
M≡n(mod 9)或(mod 3)；
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，那么M≡Y-X或
M≡11-(X-Y)(mod 11)；
【五】费尔马小定理：
如果p是质数(素数)，a是自然数，且a不能被p整除，那么ap-1≡1(mod p)。
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六余数和同余1.有余数的除法各部分之间的关系：被除数=除数×商＋余数被除数－余数﹦商×除法2.除法算式的特征:余数＜除数3.有关余数问题的性质：性质1：如果两个整数a,b除以同一个数m，而余数相同，那么a和b的差能被m整除。
性质2：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。
性质3：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。
解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。
1.把题目转化为算式就是：□÷7﹦□……□余数要比除数7小，商和余数相同，题中商和余数可能是0、1、2、3、4、5、6，带入原式。
根据被除数﹦商×除法＋余数，算得：0×7＋0﹦0；1×7＋1﹦8；2×7＋2﹦16；3×7＋3﹦24；4×7＋4﹦32；5×7＋5﹦40；6×7＋6﹦48。
所求被除数可能是：0、8、16、24、32、40、48。
一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是多少？有啥好方法吗？这道题可采取经典的余数处理方法------凑。
这个凑，可不是漫无目的的凑。
而是有理有据才行。
1、找一个最小的自然数，满足除以37余17，当然17即可满足。
2、很显然，这个数除以36并不余3，作适当调整。
3、为了不改变37的那个余数，每次可加上一个37.4、每加一次37，除以36的那个余数就增加1（记住，不要计算被除数是多少，而采取的是余数的性质。
被除数扩大一倍，余数也扩大一倍，被除数增加几，余数也会增加几（或者除以除数的余数））5、因为我们要求的数除以36要余3，现在只是余17，即达到36后再多出3，即余39（注意，这里用的是扩展余数），还差39-17=22.所以要增加22个37.6、结果是17+22×37即为答案。
在作除法运算时，我们有这样的经验：(1)一些不同的数除以一个相同的数可能会得到相同的余数.如，除以5余3的数有5×1+3=8，5×2+3=13，5×3+3=18，5×4+3=23，(2)一个相同的数除以一些不同的数，可能会有相同的余数.如，389分别除以5、7和11会得到相同的余数4.389÷5=77......余4，389÷7=55......余4，389÷11=55 (4)由此，我们可以来讨论下面的两个问题.某数被5除余4，被7除也余4，被11除还余4.要求某数和某数最小是多少?读者一定会想到有：5×7×11+4=389，5×7×11×2+4=774，5×7×11×3+4=1159，答案有无数多个，但最小的只能是389.于是，我们也可以提这样的问题：某数被5除余2，被7除余4，被11除余8.问某数是多少和某数最小是多少?读者一定会想到是5×7×11×1-3=382，5×7×11×2-3=767，5×7×11×3-3=1152，答案有无数多个，但最小只能是382.【规律】某数分别除以a、b、c、……，都得到相同的余数k.求某数最小是多少?答案是[a，b，c，……]+k.某数分别除以a、b、c、……，得到相应的余数A、B、C、……，并且这些余数跟相应的除数都相差同样多(设为k)，即a-A=b-B=c-C=……=k.求某数最小是多少?答案是[a，b，c，……]-k.例2：小张在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商比原来多3，但余数恰巧相同。
那么该题的余数是多少？问题1、474除以一个两位数的余数是6，求符合条件的所有两位数。
想：因为被除数=商×除数＋余数，所以商×除数=被除数－余数。
因此，所求两位数与商的积是474－6=468，把468分解质因数是468=2×2×3×3×13，又因为要求的除数是两位数，只要将468的质因数进行配对试算就行。
解：468=2×2×3×3×13，2×13=26，3×13=39，2×2×3=12，2×3×3=18，2×2×13=52，2×3×13=78，2×2×3×3=36.答：符合条件的两位数有：13，26，39，12，18，52，78和36共8个。
试一试：1、1309除以一个质数，余数是21，求这个质数。
2、389除以一个两位数，余数是5，求符合条件的所有两位数。
问题3、一个大于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？想：因为967，1000，2001除以这个整数的余数相同，967，1000，2001这三个数两两相减的差，都是所求整数的因数。
解：1000－967=33=3×11，2001－1000=1001=7×11×13，2001－967=1034=2×11×47，这些差的公因数就是所求的整数。
答：这个整数是11。
试一试：1、有一个大于1的整数，用它除1000，1975，2001都得到相同的余数，这个整数是多少？2、1989，901和306被同一个自然数除，得到相同的余数，求这个自然数。
问题4、两个自然数相除，商15，余3。
已知被除数、除数、商、余数的和是853，求被除数和除数。
想：因为853是被除数、除数、商和余数相加的和，从853里减去余数3，减去商15的差，就是被除数、除数的和；又因为被除数=除数×商＋余数即被除数=除数×15＋3，再从850里减去余数3，就是除数的（15＋1）倍。
解：853－3×2－15=832，832÷（15＋1）=52，52×15＋3=783.答：被除数是783，除数是52。
试一试：1、两数相除，商16，余数是4，已知被除数、除数、商和余数的和是313，求除数和被除数。
2、两数相除，商40余7，已知被除数、除数、余数和商的和是710，求被除数。
问题5、求111……11被13除的余数。
2007个1解析：用2007个1所组成的2007位整数去除以13，再求出余数，显然太麻烦。
我们可以先写出若干1所组成的数来除以13，容易发现111111是13的倍数，即每6个1所组成的六位数是13的倍数，再看2007个1组成的数中有多少个6个1组成的六位数，最后看还余下多少个1来确定余数。
由于2007÷6=334……3，即111……11可按6个1一节分成334节余3个1，2007个1而111÷13=8……7，所以所求的余数为7。
试一试：1、777……7除以13，余数是几？商的各位数字之和是多少？100个72、333……3除以7，余数是几？2007个3问题6、（1）一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，适合这些条件的最小的数是几？（2）有一个数，除以3余1，除以4余2，问这个数除以12余数是几？解析：我们可以用枚举来解答。
（1）除以3余2的数有：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29……除以5余3的数有：3，8，13，18，23，28，33，38……除以7余2的数有：2，9，16，23，30，37，44……从上面所列的数可知，第一个公有的数是23，所以适合这些条件的最小数是23.（2）除以3余1的数有：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31……它们除以12的余数是：1，4，7，10，1，4，7，10，1，4，7……除以4余2的数有：2，6，10，14，18，22，26，30，34……它们除以12的余数是：2，6，10，2，6，10，2，6，10……上面两行只有数10是共同的。
所以符合条件的数是10.试一试：1、一个数除以5余1，除以6余3，除以7余6，这个数最小是多少？2、一个数除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？综合练习1、570被一个两位数除，余数是15，这个两位数是多少？2、一个非零自然数除以11所得的商和余数（余数不为0）相等，写出所有符合条件的数。
3、求2001×2002×2003除以9的余数。
4、求2002×2002－2001除以7的余数。
5、两个数相除，商8余16，已知被除数、除数、商和余数的和为265，求除数和被除数。
6、有一个数除以3余数是1，除以4余数是3，这个数除以12，余数是几？7、一个数除以17的余数是5，被除数扩大2倍，余数是多少？8、333……33除以13的余数是几？2007个39、一个大于1的整数，它除324，919，2007所得的余数相同。
求这个整数。
10、如果一个一百零一位数：33……3N55……5，这个数是7的倍数，那么N是多少？ 50个3 50个511、有一个数用它去除100，余数是1，用它去除50，余数是6，求这个数。
12、有一个整数，用它去除45，53，143得到的3个余数的和是20，这个数是多少？13、苹果362个，梨234个，等分给若干个小朋友，最后多了5个苹果和3个梨，每人分到的苹果和梨的总数不超过30个，那么小朋友有多少人？在整数除法运算中，除了“能整除”的情形外，更多的是“不能整除”情形，如95÷3，48÷5……，不能整除就产生了非零余数问题。
95÷3=31......2，，48÷5=9 (3)它们的另一种表示法为：95=3×31+2，48=5×9+3一般地，a是整数，b是自然数，那么一定有两个整数q和r，使得a=b×q+r（0≤r<b)。
当r=0时，a能被b整除；当r≠0时，r叫做a除以b的余数，q叫做a除以b的不完全商，a、b仍分别叫做被除数和除数。
式子a=b×q+r叫做带余数除法，也就是：a÷b= q……r。
用同一个自然数去除两个或更多整数，余数可能不同，也可能相同。
如，53÷6=8 (5)82÷6=13 (4)94÷6=15 (4)其中，82，94被6除的余数相同，是同余除法。
例2：求2001的2003次方除以13的余数。
根据性质4来解决。
2001除以13的余数等于12，12除以13的余数也是12，可以说2001的2003次方与12的2003次方对于除数13同余。