第三章、地基应力的计算
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工程地质与地基基础_03土中应力和沉降详解
第三章 地基应力和沉降
主要内容
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 土中自重应力 基底压力 地基附加应力 土的压缩性 地基最终沉降量
1/32
§3.1
土中自重应力
自重应力：由于土体本身自重引起的应力
确定土体初始 应力状态
土体在自重作用下，在漫长的地质历史时期，已经压 缩稳定，因此，土的自重应力不再引起土的变形。但对 于新沉积土层或近期人工充填土应考虑自重应力引起的 变形。
二、偏心荷载作用下的基底压力
F+G
e e b l pmax pmin
作用于基础底面 形心上的力矩 M=(F+G)∙e
pmax pmin
F G M A W
基础底面的抵 抗矩；矩形截 面W=bl2/6
pmax pmin
F G 6e 1 bl l
9/32
讨论：
pmax pmin
x
附加应力系数
P K 2 z
z
z
1885年法国学者布 辛涅斯克解
3Pz3 3P 3 z cos q 5 2 2R 2R
15/32
附加应力分布规律 距离地面越深，附加应力的分布范围越广 在集中力作用线上的附加应力最大，向两侧逐渐减 小 同一竖向线上的附加应力随深度而变化 在集中力作用线上，当z＝0时，σz→∞，随着深 度增加，σz逐渐减小 竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四周无限 传播，在传播过程中，应力强度不断降低（应力扩 散）
n z /b m l /b
矩形基础角点 下的竖向附加 应力系数
b为基础短边
19/32
角点法计算地基附加应力Ⅰ
p III II
o
III
主要内容
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 土中自重应力 基底压力 地基附加应力 土的压缩性 地基最终沉降量
1/32
§3.1
土中自重应力
自重应力：由于土体本身自重引起的应力
确定土体初始 应力状态
土体在自重作用下，在漫长的地质历史时期，已经压 缩稳定，因此，土的自重应力不再引起土的变形。但对 于新沉积土层或近期人工充填土应考虑自重应力引起的 变形。
二、偏心荷载作用下的基底压力
F+G
e e b l pmax pmin
作用于基础底面 形心上的力矩 M=(F+G)∙e
pmax pmin
F G M A W
基础底面的抵 抗矩；矩形截 面W=bl2/6
pmax pmin
F G 6e 1 bl l
9/32
讨论：
pmax pmin
x
附加应力系数
P K 2 z
z
z
1885年法国学者布 辛涅斯克解
3Pz3 3P 3 z cos q 5 2 2R 2R
15/32
附加应力分布规律 距离地面越深，附加应力的分布范围越广 在集中力作用线上的附加应力最大，向两侧逐渐减 小 同一竖向线上的附加应力随深度而变化 在集中力作用线上，当z＝0时，σz→∞，随着深 度增加，σz逐渐减小 竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四周无限 传播，在传播过程中，应力强度不断降低（应力扩 散）
n z /b m l /b
矩形基础角点 下的竖向附加 应力系数
b为基础短边
19/32
角点法计算地基附加应力Ⅰ
p III II
o
III
地基中的应力计算详解
γw h 2
γh1+γ'h 2
静水条件下各应力的分布
§3.3 有效应力原理
2.毛细水上升时土中有效自重应力的变化 毛细水上升区由于表面张力的作用使孔隙水压力为
负值，u=－γwhc，使有效应力增加。 在地下水位以下，由于水对土粒的浮力作用，使有
效应力减小。
毛细水上升时土中总应力、孔隙水压力及有效应力计算
有效应力原理示意图
§3.3 有效应力原理
根据平衡条件：
σA=σsＡs+ uwAw+ uaAa 对于饱和土体：Aa＝０ 则 σA=σsＡs+ uwAw 式中，σ－作用于截面上的总 应力。
变换得：σ=σsＡs／A + uw(A –As)／A
或
σ=σsＡs／A + uw(１
–As／Ａ)
又已知σsＡs／A为σ'，As／Ａ 很小，可忽略。
(ａ) 材料力学
(ｂ) 土力学
§3.2 地基中的自重应力
3.2.1 竖向自重应力
①均质土层：设地基中某单元
体离地面的距离h，则单元体
上竖向自重应力为：
h
cz h
式中 γ—土的天然重度，kN/m3 h—计算应力点3.2 地基中的自重应力
②成层土层：自重应力是由多层土
天然地面
γ1
γ1h1
γ
2
γ1h1+ γ2 h 2
γ3sat
γ1h1+γ2h2+γ3' h3
§3.2 地基中的自重应力
计算时应注意： 地下水位以上用天然容重；当地下水位以下为砂土
时，土中水为自由水，计算时用浮重度γ’，对粘性土： 当水下为坚硬粘土时（不透水层，即液性指数IL<0，即 w <wp），在饱和坚硬粘土中只含有结合水，计算时采 用饱和重度γsat，若粘性土液性指数IL>1时，为流动状 态，考虑水浮力作用，用γ’。
地基应力计算
根据标准贯入试验锤击数测定各类砂的地基承载力（公斤/平方厘米），一般为：①当击数大于30时，密实的砾砂、粗砂、中砂（孔隙比均小于）为4公斤/平方厘米；②当击数小于或等于30而大于15时，中密的砾砂、粗砂、中砂（孔隙比均大于而小于）为3公斤/平方厘米，细砂、粉砂（孔隙比均大于而小于）为—2公斤/平方厘米；③当击数小于或等于15而大于或等于10时，稍密的砾砂、粗砂、中砂（孔隙比均大于而小于）为2，细砂、粉砂（孔隙比均大于而小于）为1—。
对于老和一般粘性土的容许承载力，当锤击数分别为3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23时，则其相应的容许承载力分别为、、、、、、、、、、公斤/平方厘米。
第三章地基应力计算第一节概述建（构）筑物的建造使地基土中原有的应力状态发生了变化，如同其它材料一样，地基土受力后也要产生应力和变形。
在地基土层上建造建（构）筑物，基础将建（构）筑物的荷载传递给地基，使地基中原有的应力状态发生变化，从而引起地基变形，其垂向变形即为沉降。
如果地基应力变化引起的变形量在建（构）筑物容许范围以内，则不致对建（构）筑物的使用和安全造成危害；但是，当外荷载在地基土中引起过大的应力时，过大的地基变形会使建（构）筑物产生过量的沉降，影响建（构）筑物的正常使用，甚至可以使土体发生整体破坏而失去稳定。
因此，研究地基土中应力的分布规律是研究地基和土工建（构）筑物变形和稳定问题的理论依据，它是地基基础设计中的一个十分重要的问题。
地基中的应力按其产生的原因不同，可分为自重应力和附加应力。
二者合起来构成土体中的总应力。
由土的自重在地基内所产生的应力称为自重应力；由建筑物的荷载或其它外荷载(如车辆、堆放在地面的材料重量等)在地基内所产生的应力称为附加应力。
因地震而引起的惯性力也属于外荷载的范围。
对于形成年代比较久远的土，在自重应力的长期作用下，其变形已经稳定，因此，除了新填土外，一般来说，土的自重不再会引起地基土的变形。
土力学与地基基础-(第三章-土的自重应力计算)
3.2 土的自重应力计算
在荷载作用之前，地基中存在初始应力场。初始应力场常与土体自重、 地基土地质历史以及地下水位有关。在工程应用上，计算初始应力场时常 假设天然地基为水平、均质、各向同性的半无限空间，土层界面为水平面。 于是在任意竖直面和水平面上均无剪应力存在。 假设前提： 假设土（岩）体为均匀连续介质，并为半无限空间弹性体。 地面
应力泡
一、竖向集中力下的地基附加应力
二、矩形和圆形荷载下的地基附加应力
z
F
d
z
3z3
2
p(x, y)dd F ((x )2 ( y )2 z 2 )5/ 2
二、均布矩形荷载下的地基附加应力
1、均布矩形荷载
二、矩形和圆形荷载下的地基附加应力
1、均布矩形荷载
p c ——均布矩形荷载角点下的竖向附加应力
/
2
p0
[1
(r02
z3 z
2
)3
/
2
p 0 [1
(
p0[1 (
1
1
z
] r p0
z3 R5
1
R (r 2 z2 )2 整理得：
z
3P
2 z2
1
1
r z
5
2 2
则：
z
P z2
z
tzyபைடு நூலகம்
tzx txz
tyz
y
tyx
txy
x
M点处的微单元体
令α为附加应力系数,计算时查表
3
2
1
1 r z
2
5
2
一、竖向集中力下的地基附加应力 2、多个竖向集中力下的地基附加应 力
一、竖向集中力下的地基附加应力
土力学与地基基础(土中的应力计算)
此时基底平均压力按下式计算： 此时基底平均压力按下式计算：
矩形基础：A=b× 矩形基础：A=b×L
d1 + d2 Gk =A
Gk = γ G Ad
γG=20kN/m3
2、偏心荷载下的基底压力 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 设计时， 设计时，通常基底长边方向取与偏心 方向一致， 方向一致，最大压力值与最小压力值 按材料力学短柱偏心受压公式计算： 按材料力学短柱偏心受压公式计算：
p0 = pk − σ c
四、地基附加应力
地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。 地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。
（一）竖向集中应力作用下的地基附加应力
1、布辛奈斯克解 、
3p z3 3 1 p σz = = 2π ( r 2 + z 2 )5 / 2 2π ( r / z )2 + 1 5 / 2 z 2
第三章 地基土中的应力计算
一、概述 地基土中的应力： 地基土中的应力： 1、自重应力 2、附加应力
建筑物修建以前， 建筑物修建以前，地基中由于土 体本身的有效重量所产生的应力。 体本身的有效重量所产生的应力。 建筑物修建以后，建筑物重量等 建筑物修建以后， 外荷载在地基中引起的应力， 外荷载在地基中引起的应力，所 谓的“附加” 谓的“附加”是指在原来自重应 力基础上增加的压力。 力基础上增加的压力。
γ
γ′
均质地 基
γ1(γ
1
< γ2 )
γ2 γ′ 2
成层地基
（二）水平向自重应力
σ cx = σ cy = K 0σ cz
式中： 土的侧压力系数或静止土压力系数， 式中：K0——土的侧压力系数或静止土压力系数，经验值可查课本 土的侧压力系数或静止土压力系数 表3.1
矩形基础：A=b× 矩形基础：A=b×L
d1 + d2 Gk =A
Gk = γ G Ad
γG=20kN/m3
2、偏心荷载下的基底压力 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 设计时， 设计时，通常基底长边方向取与偏心 方向一致， 方向一致，最大压力值与最小压力值 按材料力学短柱偏心受压公式计算： 按材料力学短柱偏心受压公式计算：
p0 = pk − σ c
四、地基附加应力
地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。 地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。
（一）竖向集中应力作用下的地基附加应力
1、布辛奈斯克解 、
3p z3 3 1 p σz = = 2π ( r 2 + z 2 )5 / 2 2π ( r / z )2 + 1 5 / 2 z 2
第三章 地基土中的应力计算
一、概述 地基土中的应力： 地基土中的应力： 1、自重应力 2、附加应力
建筑物修建以前， 建筑物修建以前，地基中由于土 体本身的有效重量所产生的应力。 体本身的有效重量所产生的应力。 建筑物修建以后，建筑物重量等 建筑物修建以后， 外荷载在地基中引起的应力， 外荷载在地基中引起的应力，所 谓的“附加” 谓的“附加”是指在原来自重应 力基础上增加的压力。 力基础上增加的压力。
γ
γ′
均质地 基
γ1(γ
1
< γ2 )
γ2 γ′ 2
成层地基
（二）水平向自重应力
σ cx = σ cy = K 0σ cz
式中： 土的侧压力系数或静止土压力系数， 式中：K0——土的侧压力系数或静止土压力系数，经验值可查课本 土的侧压力系数或静止土压力系数 表3.1
土力学第三章
向下渗流
z z u H w h
存在向下渗流，有效自重应力增大γw⊿h
A点的有效自重应力：
3.4 基底压力计算
上部结构
建筑物设计
基础 地基
上部结构的自重及各 种荷载都是通过基础 传到地基中的。
基础结构的外荷载 基底反力 基底压力 基底附加压力 地基附加应力 地基沉降变形 基底压力：基础底面传递 给地基表面的压力，也称 基底接触压力。 暂不考虑上部结构的影响， 使问题得以简化； 用荷载代替上部结构。
Aw 1 A
PSi
PaVi
有效应力σ′
'u
3.2 有效应力原理
2. 有效应力原理
'u
σ：作用在饱和土中任意面上的总应力 σ′：作用在同一平面土骨架上的有效应力 u：作用于同一平面上孔隙水压力 土的变形和强度变化只取 决于有效应力的变化
3.2 有效应力原理
①变形的原因 颗粒间克服摩擦相对滑移、滚动—与 σ’ 有关； 接触点处应力过大而破碎—与 σ’ 有关。
②强度的成因 凝聚力和摩擦—与σ’ 有关 ③孔隙水压力的作用 对土颗粒间摩擦、土粒的破碎没有贡献， 并且水不能承受剪应力，因而孔隙水压力 对土的强度没有直接的影响； 它在各个方向相等，只能使土颗粒本身 受到等向压力，由于颗粒本身压缩模量很 大，故土粒本身压缩变形极小。因而孔隙 水压力对变形也没有直接的影响，土体不 会因为受到水压力的作用而变得密实。
pmax
min
y
P 6e 1 A b
3.5.2 基础底面接触压力
2、偏心荷载作用——单向偏心荷载 P b e x y
p max
pmax
min
第三章地基中的应力
非均质和各向异性地基中的附加应力
(a) 刚性下卧层（上软下硬）（出现应力集中） (b) 软弱下卧层（上硬下软）（产生应力扩散）
图 双层地基中的竖直应力σz
O
h1=2.5m
1
1 18.23 KN / m3
1
h2=2.0m
2
2 18.62 KN / m3
2
' 3 9.8KN / m3
h3=1.5m
3
3
' 4 9.4 KN / m3
h4=2.0m
4
4
Z
土的自重应力
1-1面 cz1 γ 1h1 18.23 2.5＝45.58kpa
O
2-2面
h1=2.5m
1
r1=18.23KN/m 3
1
σ cz2 σ cz1 γ 2h 2
45.58 18.62 2 82.82kpa
3-3面
σ cz3 σ cz2 γ h 3
' 3
h2=2.0m
2
r2=18.62KN/m 3
2 '=9.80KN/m 3 r1 3 3 '=9.40KN/m 3 r1 4 4
土的自重应力
地下水位以下的土：
地面
z
cz
'z
cz z
'
式中： ' 为土的有效重度，kN/m3;z为土柱的高度，即计算应力 点以上土层的厚度，m。
土的自重应力
地下水位以下，用有效重度；不同土层的重量可以叠加
h3 cz 1h1 2 h2 3
地面
1
研究土体中的应力是研究地基变形与地基失稳 的基础。 支承建筑物荷载的土层称为地基 与建筑物基础底面直接接触的土层称为持力层 将持力层下面的土层称为下卧层
地基基础地基中的应力计算
2.2 基底压力
基底压力：作用于基础底面传至地基的 单位面积压力。也称接触应力。
地基反力：基底应力的反力，即地基对 基础的作用力。
影响基底压力分布及大小的主要因素：基础 形状、平面尺寸、刚度、埋深、基础上作用 荷载的大小及性质、地基土的性质等。
基底压力的计算公式
中心荷载作用： p F G
A
单向偏心荷载作用：
pmax
m in
F G bl
1
6e l
式中： G G A d A b l
几点说明
重度取值：一般取20kN/m3。地下水位以下取 有效重度。 条形基础：沿长度取1m计算。 基底压力分 l 6
式中：
时：
pmax
2F G
3ab
a l e 2
基底附加压力计算
基底附加压力：导致地基中产生附 加应力的那部分压力。
p0 p 0 d
式中： 0 —天然土层的加权平均重度；地下水位
以下部分取有效重度。
d—从天然地面算起的基础埋深。
例题：
某基础l=2m,b=1.6m， 其上作用荷载如图所 示。M′＝82kN·m， P=350kN，Q=60kN, 试计算基底压力（绘 出分布图）、基底附 加压力。
几点说明：
计算假定：地基为半无限弹性体。
重度取值：地下水位以上取天然重度；地下水位以下 取有效重度；毛细饱和带土取饱和重度。
不透水层面及层面以下按上覆土层水土 总重计算。
一般自重应力引起的变形已稳定；但对近期沉积或堆 积土层应考虑在自重作用下的变形。
地下水位升降可导致应力状态变化。
例题：
有一多层地基地质剖面如图所示。试计算并 绘制自重应力沿深度的分布图。
空间问题的附加应力计算：
土力学-第三章地基中的应力计算1
σ z : τ zy : τ zx = z : y : x
P σz = k ⋅ 2 z
3 1 3 1 k= = 2 5/ 2 2π [1 + (r / z) ] 2π [1 + tg2β ]5/ 2
查表3 查表3－1
集中力作用下的 应力分布系数
z
σ x τxy τxz σ ij = τyx σ y τyz τzx τzy σ z
∞ ∞ ∞ ∞
σ y σ z τ yx 学关于力的方向的规定
τzx
材料力学
σz +
正应力
剪应力 顺时针为正 逆时针为负
-
τzx
土力学
σz +
τxz
2. 竖直集中力作用下的附加应力计算 根据布辛涅斯克解
3 P 3P z3 2 cos β = σz = 2 2 πR 2π R5
3P yz2 τzy = 2π R5 3P xz2 τzx = 2π R5
R 2 = r 2 + z 2 = x2 + y 2 + z 2
3P z3 3 1 P σz = = 5 2π R 2π [1 + (r / z)2 ]5/ 2 z2
γ
γ′
均质地基
γ1 (γ
1
< γ2 )
γ2 γ′ 2
成层地基
算例分析
某地基的地 质剖面如图 所示，求各 层土界面上 竖向的自重应 力，并画出分 布图。
答案： 根据土层和地下水位将上述地质剖面分为4层 根据土层和地下水位将上述地质剖面分为 层
γ ′ = γ sat − γ w σ 0z = 0 σ 1 z = γ 1 h1 = 17.5kPa
γ xy = γ yz = γ zx = 0
第3章土中的应力计算汇总
第3章⼟中的应⼒计算汇总第三章地基中的应⼒计算§3-1 概述⼀、⼟体应⼒计算的⽬的：1、⽤于计算⼟体的变形，如建筑物的沉降；2、⽤于验算⼟体的稳定，如边坡的稳定性。
⼆、相关的概念1、⽀撑建筑物荷载的⼟层称为地基。
2、建筑物的下部通常要埋在地下⼀定的厚度，使之坐落在较好的地层上。
由天然⼟层直接⽀撑建筑物的称为天然地基3、软弱地基其承载⼒和变形不能满⾜设计要求，经加固后⽀撑建筑物的称为⼈⼯地基。
4、⽽与地基相接触的建筑物底部称为基础。
5、与建筑物基础底⾯直接接触的⼟层称为持⼒层。
6、将持⼒层下⾯的⼟层称为下卧层。
7、分类：（1）⼟体的应⼒按引起的原因分为⾃重应⼒和附加应⼒；⾃重应⼒——在未建造基础前，由⼟体⾃⾝的有效重量所产⽣的应⼒。
附加应⼒——由于建筑物荷载在地基内部引起的引⼒。
由外荷（静的或动的）引起的⼟中应⼒。
（2）按⼟体中⼟⾻架和⼟中孔隙（⽔、⽓）的应⼒承担作⽤原理或应⼒传递⽅式可分为有效应⼒和孔隙应（压）⼒。
有效应⼒——由⼟⾻架传递（或承担）的应⼒。
孔隙应⼒——由⼟中孔隙流体⽔和⽓体传递（或承担）的应⼒。
孔隙应⼒分为：静孔隙应⼒和超静孔隙应⼒。
对于饱和⼟体由于孔隙应⼒是通过⼟中孔隙⽔来传递的，因⽽它不会使⼟体产⽣变形，⼟体的强度也不会改变。
由于⼟层有其特殊的性质，作为地基的⼟层在上部荷载作⽤下将产⽣应⼒和变形。
从⽽给建筑物带来⼀系列⼯程问题，最主要的是地基的稳定问题和变形问题。
如果地基内部产⽣的应⼒在途的强度所允许的范围内时，⼟体是稳定的；反之，如果地基内部某⼀区域中的应⼒超过了⼟的强度，那么，哪⾥的⼟体将发⽣破坏，并可能会引起整个地基产⽣滑动⽽失去稳定，从⽽导致建筑物倾倒。
如果地基⼟的变形量超过了允许值，即使⼟体尚未破坏，也会造成建筑物毁坏或失去使⽤价值。
因此，为保证建筑物的安全和正常使⽤，设计时必须对地基进⾏强度和稳定性分析并计算基础的沉降量。
为此，就要研究在各种荷载作⽤下地基内部的应⼒分布规律。
土力学-第三章-地基中的应力状态、有效应力原理1 张丙印
智者乐水 仁者乐山
应力状态及应力应变关系
有效应力原理 自重应力 基底压力计算 附加应力
修建筑物以前，地基中由 土体重量所产生的应力
建筑物重量等外荷载在地 基中引起的应力增量
土体中的应力计算
3
第三章：本章概要
智者乐水 仁者乐山
3-1（假定水位骤降后，黏土和粉质黏土
层中孔隙水压力近似为0）
3-2 3-3 3-4
智者乐水 仁者乐山
z zx xz x
εy γ yx γ yz
地基中的应力状态（2）
9
§3.1 地基中的应力状态
智者乐水 仁者乐山
二维应力状态（平面应变状态）
应变条件 εy
γ yx γ yz
εx
εij
0
0
γ
xz
0
0
γ
xz
0
εz
应力条件
εy
σy E
ν E
σx σz
独立变量 εx εy ; εz
σc 0
σ ij
0
σc
0 0
试 样
y
x
σx σy σc
0
εx 0 0
0
εij
0
εx
0
σz
0 0 εz
地基中的应力状态（1） 8
§3.1 地基中的应力状态
二维应力状态（平面应变状态）
o
y
z
x
y
z zx xy
yz
x
垂直于y轴断面的几何形状与应力状态相同 沿y方向有足够长度，l/b≧10 在x, z平面内可以变形，但在y方向没有变形
13
§3.1 应力状态及应力应变关系
智者乐水 仁者乐山
3地基中的应力计算
第三章 地基中的应力计算土中的应力按引起的原因可分为:(1)由土本身有效自重在地基内部引起的自重应力;(2)由外荷(静荷载或动荷载) 在地基内部引起的附加应力。
应力计算方法：1.假设地基土为连续、均匀、各向同性、半无限的线弹性体;2.弹性理论。
第一节 土中自重应力研究目的：确定土体的初始应力状态研究方法：土体简化为连续体，应用连续体力学 (例如弹性力学)方法来研究土中应力的分布。
假设天然土体是一个半无限体，地面以下土质均匀，天然重度为γ (kN/m3)，则在天然地面下任意深度z (m)处的竖向自重应力σcz (kPa)，可取作用于该深度水平面上任一单位面积上土柱的重量γz ⨯ l 计算，即： σcz= γzσcz 沿水平面均匀分布，且与z 成正比，即随深度按直线规律分布地基中除有作用于水平面上的竖向自重应力外，在竖直面上还作用有水平向的侧向自重应力。
由于地基中的自重应力状态属于侧限应力状态,故εx=εy=0，且σcx = σcy ，根据广义虎克定理，侧向自重应力σcx 和σcy 应与σcz 成正比，而剪应力均为零，即σcx = σcy = K0σczτxy=τyz=τzx ＝０式中 K0 ―比例系数，称为土的侧压力系数或静止土压力系数。
它是侧限条件下土中水平向有效应力与竖直向有效应力之比。
(1) 土中任意截面都包括有骨架和孔隙的面积，所以在地基应力计算时考虑的是土中单z σsz = γz 天然地面σcy zσcx天然地面σcz位面积上的平均应力。
(2) 假设天然土体是一个半无限体，地基中的自重应力状态属于侧限应力状态，地基土在自重作用下只能产生竖向变形，而不能有侧向变形和剪切变形。
地基中任意竖直面和水平面上均无剪应力存在。
(3) 土中竖向和侧向的自重应力一般均指有效自重应力。
为了简便起见，把常用的竖向有效自重应力σcz ，简称为自重应力，并改用符号σc 表示。
成层地基土中自重应力因各层土具有不同的重度。
土力学-第三章-有效应力原理2、地基自重应力计算1 张丙印
接触点
饱和土有效应力原理
2
§3.2 有效应力原理
智者乐水 仁者乐山
饱和土体内任一平面上受到的总应力可分为两部
分σ和u，并且： σ σ'u
土的变形与强度都只取决于有效应力
一般地， σ σ u
τσyxx
τ xy σy
τ xz τ yz
σx τ yx
τ xy σy
τ τ
xz yz
u
均与有关
是土体强度的成因：土 的凝聚力和粒间摩擦力
均与有关
有效应力原理的讨论
5
§3.2 有效应力原理
孔隙水压 力的作用
有效应力 的作用
简单实例
智者乐水 仁者乐山
讨论： 海底与土粒间的接触压力 哪一种情况下大？
1m σz=u=0.01MPa
104m
σz=u=100MPa
有效应力原理的讨论
6
§3.2 有效应力原理
12
§3.3 地基的自重应力计算 – 基本方法
竖直向总应力：等于单位面积上土 柱和水柱的总重量
σsz γi Hi
i取值：• 非饱和土用天然容重
• 饱和土用饱和容重sat • 纯水部分用水的容重w
智者乐水 仁者乐山
地面
1 H1
2 H2 地下水 z
3 H3 sy
sz sx
孔隙水压力：根据实际地下水条件，区分静水条件和 稳定渗流条件等情况进行计算
2. (1 n) n u
反映颗粒本身应力的大 小，两种情况计算得到 的有效应力相差巨大
课堂讨论：有效应力原理的不同形式
10
第三章：土体中的应力计算
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6 §3.7
饱和土有效应力原理
2
§3.2 有效应力原理
智者乐水 仁者乐山
饱和土体内任一平面上受到的总应力可分为两部
分σ和u，并且： σ σ'u
土的变形与强度都只取决于有效应力
一般地， σ σ u
τσyxx
τ xy σy
τ xz τ yz
σx τ yx
τ xy σy
τ τ
xz yz
u
均与有关
是土体强度的成因：土 的凝聚力和粒间摩擦力
均与有关
有效应力原理的讨论
5
§3.2 有效应力原理
孔隙水压 力的作用
有效应力 的作用
简单实例
智者乐水 仁者乐山
讨论： 海底与土粒间的接触压力 哪一种情况下大？
1m σz=u=0.01MPa
104m
σz=u=100MPa
有效应力原理的讨论
6
§3.2 有效应力原理
12
§3.3 地基的自重应力计算 – 基本方法
竖直向总应力：等于单位面积上土 柱和水柱的总重量
σsz γi Hi
i取值：• 非饱和土用天然容重
• 饱和土用饱和容重sat • 纯水部分用水的容重w
智者乐水 仁者乐山
地面
1 H1
2 H2 地下水 z
3 H3 sy
sz sx
孔隙水压力：根据实际地下水条件，区分静水条件和 稳定渗流条件等情况进行计算
2. (1 n) n u
反映颗粒本身应力的大 小，两种情况计算得到 的有效应力相差巨大
课堂讨论：有效应力原理的不同形式
10
第三章：土体中的应力计算
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6 §3.7
土力学地基中的应力计算
p
arctan
1
2(x / b) 2(z / b)
arctan 1 2(x / b) 2(z / b)
4 z [4( x )2 4( z )2 1]
bb
b
[4( x )2 4( z )2 1]2 16( z )2
b b
b
b
b
13
•带状三角形荷载
b
p
x
z
Mx
(x, z)
z
查表3－3
e 基底压力呈三角形分布
e 基底局部出现拉应力
基底与地基脱开
对于矩形底面，＝ b
6
37
(1) 矩形底面单轴偏心荷载作用时(e)
由竖向、弯矩平衡方程
P
b 2
(
p1
p2 ) a
M
b 2 ( p1
p2
)
a
(
b 2
b) 3
p1 p2
PM AW
P (1 A
e)
P 1 A
6e b
e a
b
P M Pe
z
p
{x b
(arctan
x z
/ /
b b
arctan
x
/b 1) z/b
z b
(x
/
b
x/b 1)2
1 (z
/
b)2
}
k(x b
,
z b
)
p
•带状梯形荷载
14
5、矩形均布面积荷载作用下附加应力旳计算
1）角点下旳垂直附加应力
dP pdxdy
d z
3dP 2
z3 R5
3p 2
z3 R5
dxdy
第3章 土体中的应力计算
Chapter
3
土体中的应力计算
概
述
研究土中的应力和分布规律是研究地基和土工建筑物变形
和稳定问题的依据
自重应力 附加应力 惯性力 渗透力
: 由土体自身重量所产生的应力 ：由外荷载引起的土中应力
1 地基中的几种应力状态 a、三维（空间）应力状态
xy xy xz ij yz yy yz zx zy zz
zz (OXAY ) zz (OYBZ) zz (OZCT) zz (OTDX )
A
Y O
B
Z
Point of interest
zo ( KsI KsII KsIII KsIV ) p
（b）O 在荷载面外部
O D C X D Z O
(q)
C
(q)
影响因素 （1） 分布荷载p(x,y)的分布规律及其大小 （2） 分布荷载作用面积 A 的几何形状及大小
（3） 应力计算点的坐标值
z p0
3.3.2.1 空间问题的附加应力计算 （一） 矩形面积竖直均布荷载 1. 角点下应力
B
dP dA
x
p
x L y x
R z
R
z
集中荷载 dP = dxdyp0, M点处 dz 为
基压缩变形的主要原因。因为一般基础都埋臵于地面下一定深度，因此在计
算由建筑物造成的基底附加压力时，应扣除基底标高处土中原有的自重应力
p0 p cd p 0 d
cd
cd
p
cd
p0
3.3 地基中的附加应力
附加应力：指建筑物荷重在土体中引起的附加于原有应力之上 的应力。
3
土体中的应力计算
概
述
研究土中的应力和分布规律是研究地基和土工建筑物变形
和稳定问题的依据
自重应力 附加应力 惯性力 渗透力
: 由土体自身重量所产生的应力 ：由外荷载引起的土中应力
1 地基中的几种应力状态 a、三维（空间）应力状态
xy xy xz ij yz yy yz zx zy zz
zz (OXAY ) zz (OYBZ) zz (OZCT) zz (OTDX )
A
Y O
B
Z
Point of interest
zo ( KsI KsII KsIII KsIV ) p
（b）O 在荷载面外部
O D C X D Z O
(q)
C
(q)
影响因素 （1） 分布荷载p(x,y)的分布规律及其大小 （2） 分布荷载作用面积 A 的几何形状及大小
（3） 应力计算点的坐标值
z p0
3.3.2.1 空间问题的附加应力计算 （一） 矩形面积竖直均布荷载 1. 角点下应力
B
dP dA
x
p
x L y x
R z
R
z
集中荷载 dP = dxdyp0, M点处 dz 为
基压缩变形的主要原因。因为一般基础都埋臵于地面下一定深度，因此在计
算由建筑物造成的基底附加压力时，应扣除基底标高处土中原有的自重应力
p0 p cd p 0 d
cd
cd
p
cd
p0
3.3 地基中的附加应力
附加应力：指建筑物荷重在土体中引起的附加于原有应力之上 的应力。
地基中的应力计算
pmax
min
P A
1
6e B
pmin
P A
1
6e B
pmax
min
P A
1
6e B
矩形面积单向偏心荷载
高耸结构物下可 能的的基底压力
P
P
P
土不能承受拉力
B
B
e
e
x
Lx
L
y
y
pmax
pmin 0 pmax
pmin 0
e<B/6: 梯形
e=B/6: 三角形
B
压力调整
Ke
基底
x
L
水平地基半无限空间体；
半无限弹性地基内的自重应
力只与Z有关；
土质点或土单元不可能有侧
向位移侧限应变条件；
y
任何竖直面都是对称面
▪应变条件
y x 0; xy yz zx 0
o x
A
B
z
sA sB
(4)侧限应力状态—— 一维问题
▪应变条件
y x 0;
xy yz zx 0
K
P z2
查表3－1
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算
P
－布辛内斯克课题
P z K z2
o αr
y
x
x
M’
R βz
3
1
y
K 2 [1 (r / z)2]5 / 2
0.5
M
z
特点
0.4
1.σz与α无关，应力呈轴对称分布
0.3
2.σz:τzy:τzx= z:y:x, 合力过原点，与R同向
K
0.2
基底压力：基础底面传递 给地基表面的压力，也称 基底接触压力。
第三章-土体中的应力计算
3P z 3 z 5 2 R
式中
P z K 2 z
为竖向集中力作用竖向附加应力系 数（查表）。
§3 土体中的应力计算
P z K 2 z
特点
§3.3 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
3 1 K 2 [1 (r / z )2 ]5 / 2
3.P作用线上，r=0, K=3/(2π）,z=0, σz→∞，z→∞，σz=0 4.在某一水平面上z=const，r=0, K最大，r↑，K减小，σz减小 5.在某一圆柱面上r=const，z=0, σz=0，z↑，σz先增加后减小
6.σz 等值线－应力泡
P
P
球根 应力 球根
0.1P
0.05P
0.02P 0.01P
cy
假设土体为均匀连续介质，并为半无限空 间体，在距地表深度z处，土体的自重应力 为：
cz = z
自重产生的水平应力将在土压力计算部分 介绍。
若地基由多层土所组成
c 1h1 2 h2 ...... n hn h
i 1
n
i i
c 1h1 2 h2 ...... n hn h
七. 条形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
任意点下的附加应力—F氏解的应用
p
z K s zp x K s xp xz K s xz p
y
B
x
z
x
z
M
x z s s Ks , K , K F ( B , x , z ) F ( , ) F( m , n ) z x xz B B
土力学与地基基础——第3章 地基土中的应力计算
编辑ppt
三、水平向自重应力 土的水平向自重应力cx和cy可按下式计算：
cxcyK0cz
天然地面
土的侧压力系数/ 静止土压力系数
cz cx
广义虎克定律推导出
理论关系为
K0
1
。
值K可0 以在实验室测定。
cy
编辑ppt
z
四、例题分析
【例】一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示，试计
算并绘制自重应力σcz沿深度的分布图
土中应力
自重应力
附加应力
编辑ppt
建筑物修建以前，地 基中由土体本身重量 所产生的应力
建筑物重量等外荷载 在地基中引起的应力 增量
土中应力计算的目的：
第一节 概述
土中应力过大时，会使土体因强度不够发生破坏， 甚至使土体发生滑动失去稳定。
土中应力的增加会引起土体变形，使建筑物发生沉 降，倾斜以及水平位移。
布。根据平衡条件求得重分布后的基底最大压应力。
pmax
pmin pmax
pmin=0
e<l/6
e=l/6
pmax
e>l/6
pmin<0 基底压力重分编布辑pppt max
2(F G) pmax 3( l e)b pmin=0
基底压力重分布
l
l/2-e e>l/6
偏心荷载作用线
应与基底压力的
b
编辑ppt
法国数学家布辛内斯克（J. Boussinesq）1885年推出了该
问题的理论解，包括六个应力分量和三个方向位移的表达
式
教材P48页
其中，竖向应力z：
z3 2 PR z3 52 3 [1(r1 /z)2]5/2zP 2z P 2
三、水平向自重应力 土的水平向自重应力cx和cy可按下式计算：
cxcyK0cz
天然地面
土的侧压力系数/ 静止土压力系数
cz cx
广义虎克定律推导出
理论关系为
K0
1
。
值K可0 以在实验室测定。
cy
编辑ppt
z
四、例题分析
【例】一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示，试计
算并绘制自重应力σcz沿深度的分布图
土中应力
自重应力
附加应力
编辑ppt
建筑物修建以前，地 基中由土体本身重量 所产生的应力
建筑物重量等外荷载 在地基中引起的应力 增量
土中应力计算的目的：
第一节 概述
土中应力过大时，会使土体因强度不够发生破坏， 甚至使土体发生滑动失去稳定。
土中应力的增加会引起土体变形，使建筑物发生沉 降，倾斜以及水平位移。
布。根据平衡条件求得重分布后的基底最大压应力。
pmax
pmin pmax
pmin=0
e<l/6
e=l/6
pmax
e>l/6
pmin<0 基底压力重分编布辑pppt max
2(F G) pmax 3( l e)b pmin=0
基底压力重分布
l
l/2-e e>l/6
偏心荷载作用线
应与基底压力的
b
编辑ppt
法国数学家布辛内斯克（J. Boussinesq）1885年推出了该
问题的理论解，包括六个应力分量和三个方向位移的表达
式
教材P48页
其中，竖向应力z：
z3 2 PR z3 52 3 [1(r1 /z)2]5/2zP 2z P 2
地基应力计算
根据标准贯入试验锤击数测定各类砂的地基承载力（公斤/平方厘米），一般为：①当击数大于30时，密实的砾砂、粗砂、中砂（孔隙比均小于0.60）为4公斤/平方厘米；②当击数小于或等于30而大于15时，中密的砾砂、粗砂、中砂（孔隙比均大于0.60而小于0.75）为3公斤/平方厘米，细砂、粉砂（孔隙比均大于0.70而小于0.85）为1.5—2公斤/平方厘米；③当击数小于或等于15而大于或等于10时，稍密的砾砂、粗砂、中砂（孔隙比均大于0.75而小于0.85）为2，细砂、粉砂（孔隙比均大于0.85而小于0.95）为1—1.5。
对于老和一般粘性土的容许承载力，当锤击数分别为3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23时，则其相应的容许承载力分别为1.2、1.6、2.0、2.4、2.8、3.2、3.6、4.2、5.0、5.8、6.6公斤/平方厘米。
第三章地基应力计算第一节概述建（构）筑物的建造使地基土中原有的应力状态发生了变化，如同其它材料一样，地基土受力后也要产生应力和变形。
在地基土层上建造建（构）筑物，基础将建（构）筑物的荷载传递给地基，使地基中原有的应力状态发生变化，从而引起地基变形，其垂向变形即为沉降。
如果地基应力变化引起的变形量在建（构）筑物容许范围以内，则不致对建（构）筑物的使用和安全造成危害；但是，当外荷载在地基土中引起过大的应力时，过大的地基变形会使建（构）筑物产生过量的沉降，影响建（构）筑物的正常使用，甚至可以使土体发生整体破坏而失去稳定。
因此，研究地基土中应力的分布规律是研究地基和土工建（构）筑物变形和稳定问题的理论依据，它是地基基础设计中的一个十分重要的问题。
地基中的应力按其产生的原因不同，可分为自重应力和附加应力。
二者合起来构成土体中的总应力。
由土的自重在地基内所产生的应力称为自重应力；由建筑物的荷载或其它外荷载(如车辆、堆放在地面的材料重量等)在地基内所产生的应力称为附加应力。
土力学-第三章-地基自重应力计算1、基底压力计算、地基附加应力计算 张丙印
竖直集中力－布辛内斯克课题
法国数学家布辛内斯克（J. Boussinesq）1885年
推出了该问题的理论解，包括六个应力分量和三
个方向位移的表达式
其中，竖向应力z：
教材P98~99页
σz
P π
z R
π [ (r / z) ]/
P z
K
P Z2
集中力作用下的 应力分布系数 查图3－23
集中荷载的附加应力
19
§3.5 附加应力计算– 集中荷载
竖直集中力－布辛内斯克课题
智者乐水 仁者乐山
σz
π [ (r / z) ]/
P z
K
P Z2
垂直应力分布规律
σz与α无关，呈轴对称分布 P
P作用线上 在某一水平面上 在r﹥0的竖直线上
z等值线-应力泡
集中荷载的附加应力
20
基底压力是地基和 基础在上部荷载作 用下相互作用的结 果，受荷载条件、 基础条件和地基条 件的影响
暂不考虑上部结构的影 响，用荷载代替上部结 构，使问题得以简化
智者乐水 仁者乐山
•大小
荷载条件： •方向
•分布
基础条件:
• 刚度 • 形状 • 大小 • 埋深
• 土类
地基条件： • 密度
• 土层结构等
简化计算方法： 假定基底压力按直线分布的材料力学方法
基底压力的简化计算
10
§3.4 基底压力计算 – 计算方法
竖直中心
竖直偏心
矩
P
形
l
b
pP A
P
x y
o
l
b
p( x, y) P M x y M y x
A Ix
Iy
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一、基底压力的简化计算 (一)中心荷载下的基底压力 中心荷载下的基础，其所受荷载的合力通过基底形 心。基底压力假定为均匀分布(图2—5)，此时基底平均 压力设计值按下式计算： p F G A
G G Ad
(二)偏心荷载下的基底压力 对于单向偏心荷载下的矩形基础如图2· 6所示。设计 时，通常基底长边方向取与偏心方向一致，此时两短边边 缘最大压力设计值与最小压力设计值按材料力学短柱偏心 受压公式计算：
Байду номын сангаас
z
3p z 3 1 p z 5/ 2 5/ 2 2 2 2 2 2 r z 2 r / z 1 z
3
令
3 1 K 5/ 2 2 2 r / z 1
则上式改写为:
p z K 2 z
K-集中力作用下得地基竖向附加应力系数,简称集中 应力系数,按r/z值由表2-1查用。 若干个竖向集中力 P (1,2,n) 作用在地基 i 表面上，按叠加原理则地面下深度处某点的附加应力应为 各集中力单独作用时在点所引起的附加应力之和
z ( Kc1 Kc 2 Kc3 Kc 4 ) p0
[例题2-3] 以角点法计算例图2-3所示矩形基础甲的基底 中心点垂线下不同深度处 的地基附加应力的分布，并考 虑两相邻基础乙的影响(两相邻柱距为6m，荷载同基础 甲)。 [解] (1)计算基础甲的基底平均附加压力标准值如下： 基础及其上回填土得总重 G G Ad 20 5 4 1.5 600kN F G 1940 600 基底平均附加压力设计值 p 127kPa
p0 p 0 p 0d
有了基底附加压力，即可把它作为作用在弹性半 空间表面上的局部荷载，由此根据弹性力学求算地基 中的附加应力。
1、柱下独立方形基础长4m，宽2m，基础埋
深1.5m，土的重度r=16KN/m3，作用于底面 的上部竖向外荷载标准值为F=640KN,基础和 填土的自重可按rg=20KN/m3,计算 （1）地下水埋藏很深时的基底压力值 （2）地下水位位于基底以上1m时基底压力 值 （3）基底附加应力
pi 1 z Ki 2 2 z z i 1
n
K P
i 1 i i
n
角点应力系数，可按m及n值由表2—2查得。
K C为均布矩形荷载角点下的竖向附加应力系数，简称
对于均布矩形荷载附加应力计算点不位于角点下的 情况，就可利用式(2—20)以角点 法求得。图2—12中列 出计算点不位于矩形荷载面角点下的四种情况(在图中0点 以下任意 深度z处)。计算时，通过0点把荷载面分成若 干个矩形面积，这样,0点就必然是划分出的各个矩形的公 共角点，然后再按式(2-20)计算每个矩形角点下同一深度 z处的附加应力，并求其代数和。四种情况的算式分别如 下
第三章 地基应力的计算
土体作为建筑物的地基，承受着上部结构传
来的全部荷载，引起地基变形，从而产生沉 降，同时土中的应力过大会导致土体的强度 破坏，失去稳定性，。因此在研究土的变形、 强度及稳定性时，必须先了解土中应力的分 布规律。
概
述
研究地基的应力和 变形，必须从土的应力 与应变的基本关系出发 来研究。当应力很小时， 土的应力· 应变关系曲 线就不是一根直线(图 2—1)，亦即土的变形 具有明显的非线性特征。
(a)o点在荷载面边缘
z ( Kc1 Kc 2 ) p0
式中 K c1和K c 2 ，分别表示相应于面积I和Ⅱ的角点应 力系数。必须指出，查表2-2时所取用边长 l 应为任一矩形 荷载面的长度，而 b 为宽度，以下各种情况相同不再赘述。 (b)o点在荷载面内
z ( Kc1 Kc 2 Kc3 Kc 4 ) p0
(c)o点在荷载面边缘外侧 此时荷载面abcd可看成是由I(ofbg)与Ⅱ(ofah)之差和 Ⅲ(oecg)与Ⅳ(oedh)之差合成的，所以
z ( Kc1 Kc 2 Kc3 Kc 4 ) p0
(d)o点在荷载面角点外侧 把荷载面看成由I(ohce)、Ⅳ(ogaf)两个面积中扣除 Ⅱ(ohbf)和Ⅲ(ogde)而成的，所以
力系数Kc1。σz的计算列于例表2－3－1根据计算资料绘
出σz分布图，见例图2－3
例题：有一矩形局部面积荷载，平面尺寸为 6m*4m,，单位面上压力p=300kpa，计算在 矩形的中心处，地面下4m处的应力。
习题3-2
F G Mx M y lb Wx Wy
二、基底附加压力 建筑物建造前，土中早巳存在着自重应力。如 果基础砌置在天然地面上，那么全部基底压力就是新增 加于地基表面的基底附加压力。一般天然土层在自重作 用下的变形早巳结束，因此只有基底附加压力才能引起 地基的附加应力和变形。 实际上，一般浅基础总是埋置在天然地面下一 定深度处，该处原有的自重应力由于开挖基坑而卸除。 因此，由建筑物建造后的基底压力中扣除基底标高处原 有的土中自重应力后，才是基底平面处新增加于地基的 基底附加压力，基底平均附加压力值按下式计算(图2— 8)：
建筑物作用于地基上的荷载，总是分布在一定面积上 的局部荷载，因此理论上的集中力实际是没有的。但是， 根据弹性力学的叠加原理利用布辛奈斯克解答，可以通过 积分或等代荷载法求得各种局部荷载下地基中的附加应力。 (二)等代荷载法 · 如果地基中某点M与局部荷载的距离比荷载面尺寸大 很多时，就可以用一个集中力代替局部荷载，然后直接应 用式(2—12c)计算该点的 。
2、已知矩形基础的尺寸为b=4m，l=6m，承
受轴向荷载（包括基础自重）F=4800kN，弯 矩M=5760kNm，求基础底面的接触压力。
课本例题3-4
作业
1、某地基第一层为耕植土，r=17.0kN/m3，
厚度为0.6m,第二层为粉质粘土， r=18.6kN/m3,rsat=19.7kN/m3,厚度为2m,地下 水位在地面以下1.1m。求土的自重应力 2、宽度为 3m 的条形基础，偏心距 e＝0.7m， 作用在基础底面中心的竖向荷载 N＝ 1000kN/m ，基底最大压 应力为 3、某独立住基底尺寸b*l=2.5*2.5，柱轴向力 准永久组合值F=1250kN，基础自重和覆土标 准值G=250kN。基础埋深d=2m， r=19.5kN/m3，求基底附加压力。
p max p min
F G M = lb W
pmax pmin
F G 6e 1 lb l
pmax
2( F G ) 3bk
矩形基础在双向偏心荷载作用下，如基底最小压 力 pmin 0，则矩形基底边缘四个角点处的压力
pmax pmin
p1 p2
F G Mx M y lb Wx Wy
3—1
土中自重应力
在计算土中自重应力时，假设天然地面是一个 无限大的水平面，因而在任意竖直面和 水平面上 均无剪应力存在。可取作用于该水平面上任一单位 面积的土柱体自重计算(图2—2)，即：
cz z
地基中除有作用于水平面上的竖向自重应力外， 在竖直面上还作用有水平向的侧向自 重应力。由 于沿任一水平面上均匀地无限分布，所以地基土在 自重作用下只能产生竖 向变形，而不能有侧向变 形和剪切形。
kN/m3，饱和 重度γsat＝20 kN/m3，地下水位距地表 2m， 地表下深度为 4m处的竖向自重应力为：
书上例题3-1
3-2 基底压力(接触应力)
建筑物荷载通过基础传递给地基，在基础底面 与地基之间便产生了接触应力。它既是基础作用于 地基的基底压力，同时又是地基反用于基础的基底 反力。 对于具有一定刚度以及尺寸较小的柱下单独基 础和墙下条形基础等，其基底压力可近似地按直线 分布的图形计算，即按下述材料力学公式进行简化 计算。
3—3
地基附加应力
地基附加应力是指建筑物荷重在土体中 引起的附加于原有应力之上的应力。其计算 方法一般假定地基土是各向同性的、均质的 线性变形体，而且在深度和水平方向上都是 无限延伸的，即把地基看成是均质的线性变 形半空间，这样就可以直接采用弹性力学中 关于弹性半空间的理论解答。 计算地基附加应力时，都把基底压力看 成是柔性荷载，而不考虑基础刚度的影响。
A 5 4
基底处的土中自重压力标准值 c 0d 181.5 27kPa p0 p c 127 27 100kPa 基底平均压力设计值
(2)计算基础甲中心点o下由本基础荷载引起的,基底中心 点o可看成是四个相等小矩形荷载Ⅰ（oabc）的公共角 点其长宽比l/b＝2.5/2=1.25，取深度z=0、1、2、3、4、 5、6、7、8、10m各计算点，相应的z/b=0、0.5、1、1.5、 2、2.5、3、3.5、4、5,利用表2－2即可查得地基附加应
cx cy K0 cz
xy yx zx 0
必须指出，只有通过土粒接触点传递的粒间应力，才 能使土粒彼此挤紧，从而引起土体的变形，而且粒间应力 又是影响土体强度的—个重要因素，所以粒间应力又称为 有效应力。因此，土中自重应力可定义为土自身有效重力 在土体中引起的应力。土中竖向和侧向的自重应力一般均 指有效自重应力。
地基土往往是成层的，成层土自重应力的计算公式：
c i hi
i 1
n
自然界中的天然土层，一般形成至今已有很长的地 质年代，它在自重作用下的变形早巳稳定。但对于近期 沉积或堆积的土层，应考虑它在自应力作用下的变形。 此外，地下水位的升降会引起土中自重应力的变化(图 2—4)。
某砂土地基，天然重度γ＝18