变量与函数第二课时 (2)
《变量与函数》第2课时 教学设计
《变量与函数》教学设计第2课时进一步研究运动变化过程中变量之间的对应关系，在观察具体问题中变量之间对应关系的基础上，抽象出函数的概念．1．进一步体会运动变化过程中的数量变化；2．从典型实例中抽象概括出函数的概念，了解函数的概念．概括并理解函数概念中的对应关系．多媒体：PPT课件、电子白板.一、观察思考，分析变化问题1 下面变化过程中，是否包含两个变量？同一问题中的变量之间有什么联系？（1）汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为t h，行驶的路程为s km；（2）每张电影票的售价为10 元，设某场电影售出 x张票，票房收入为y 元；（3）圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，圆的半径为 r ，面积为 S ；（4）用10 m 长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长为 x，它的邻边长为 y．[活动说明与建议]说明：本问题主要是给出具体事例让学生认识并抽象得到函数的概◆教材分析◆教学目标◆教学重难点◆◆课前准备◆◆教学过程念，函数概念的抽象应循序渐进，首先让学生知道这些事例是一个变换的过程，其次这些变换过程中都含有两个变量，这两个变量之间存在着某种联系，最后由教师引导通过具体的数据，发现当给定一个变量的值时，有唯一的另一个变量的值与之对应，这种对应关系每个问题都不同.建议：在教师的引导下，充分的让学生通过实例感知函数，感知这种对应关系.【归纳】上面每个问题中的两个变量相互联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一的值与之对应.二、观察思考，再次概括问题2：一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量之间存在上面那样的关系.（1）下面是中国代表团在第23 届至30 届夏季奥运会上获得的金牌数统计表，届数和金牌数可以分别记作 x 和 y，对于表中每一个确定的届数 x，都对应着一个确定的金牌数y 吗？（2）如图是北京某天的气温变化图，你能根据图象说出某一时刻的气温吗？问题3：综合以上这些现象，你能再次归纳出上面所有事例的变量之间关系的共同特点吗？函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数．如果当 x =a 时，对应的 y =b，那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值．三、初步应用，巩固知识：练习1 下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？请说明理由．（1）向一水池每分钟注水0.1 m3，注水量 y（单位：m3）随注水时间 x（单位：min）的变化而变化；（2）改变正方形的边长 x，正方形的面积 S 随之变化；（3）秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均占有耕地面积 y （单位：m2）随这个村人数 n 的变化而变化；（4）P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为 x，它的坐标记为 y，y 随 x 的变化而变化．练习2 下面的我国人口数统计表中，人口数y 是年份x 的函数吗？为什么？练习3 下图是一只蚂蚁在竖直的墙面上的爬行图，请问：蚂蚁离地高度 h 是离起点的水平距离 t 的函数吗？为什么？【追问】蚂蚁离起点的水平距离 t 是离地高度 h 的函数吗？为什么？练习4 你能举出一个函数的实例吗？四、课堂小结：。
八年级下数学教案-变量与函数(2)
八年级下数学教案-变量与函数(2) 一、课程目标通过本课程的学习，学生将会达到以下的学习目标：1.掌握变量用字母表示的方法；2.熟练掌握变量在代数式中的应用；3.熟练掌握常量与变量的区别；4.掌握函数的概念以及函数表达式的表示方法；5.掌握函数与变量的关系；二、教学重点和难点重点1.变量表示方法；2.变量在代数式中的应用；3.函数定义与函数表达式。
难点1.理解函数的概念；2.理解函数与变量的关系；3.掌握函数表达式的表示方法。
三、教学步骤1. 导入新知识1.引入变量概念并让学生用字母表示变量；2.让学生举一些例子来解释变量；3.引入常量的概念并让学生解释常量和变量的区别；4.引入函数概念并解释函数的定义。
2. 理解变量在代数式中的应用1.让学生用字母表示式子中的变量；2.让学生举例出一个代数式然后带入数值计算。
3. 函数的定义与表示方法1.解释函数的定义；2.引入函数表达式的表示方法。
4. 函数与变量的关系1.让学生理解函数和变量的关系；2.解释函数表达式中的变量；3.让学生用变量来表示函数表达式。
5. 练习1.带入实际问题，让学生解决问题并运用所学知识。
四、教学方法1.课堂讲授；2.学生练习；3.互动式教学。
五、学习评估1.教师布置作业，让学生运用所学知识解决实际问题；2.在课堂上让学生表现所学知识；3.监测学生在学习过程中的表现。
六、教学资源1.课件PPT；2.试卷模板；3.教学实例。
以上是本节课程的完整教案，希望能够给各位教师在日常教学中提供一些参考。
加强教育良好的教学教案，提高教学效果，使学生受益。
数学：14.1《变量与函数》(第2课时)课件(人教新课标八年级上)
是的，你终将在孤独中写作，然后获得灵魂的自由。
站在街上叫一声“霞”，回头看的女人能有好几个，李巧霞就是这样一个普通的女人，衣着平常，其貌不扬。说她普通，知情的人一定会觉得有失公允，那是你没有看到她每天都干了多少活儿。
每天夜里三点半，李巧霞准时起床，日复一日，年复一年，风雨无阻。天宝路与劳动路交叉口东北角那个“老刘胡辣汤”是她家的，主要经营早餐，肉、素胡辣汤、豆腐脑、包子、稀饭、油馍、茶 鸡蛋等等，应有尽有。根本不用闹钟，到点儿自然醒，定闹钟怕惊扰了屋里的其他人，她摸索着爬起来，简单洗漱后拎着需要带的东西就出发了，不管头上有没有星星和月亮，身后有没有影子（小胡同 里没有路灯），都要硬着头皮往前走，好在去门店的路并不远，紧张害怕也就七分钟的时间。在天亮之前，她要点好一坛豆腐脑，烧好两锅胡辣汤（一肉一素），一桶小米粥，一桶八宝粥，一桶豆浆， 发好一盆蒸包子的面，和好一盆烙油饼的面，等一切安排就绪，雇用的钟点工到位，顾客将至，她才给男人打电话“过来盛汤收钱吧”。员工们无不感叹，好汉无好妻，懒汉娶花枝，老刘这福气谁敢比？ 老婆带着手艺嫁给他，还这样老妈似地宠着他。老刘并不老，四十出头，长相也不着急，只是人们习惯这样叫他。
14.1(2)变量与函数(共2课时)
14.1.1(2)变量与函数学习目标：1、通过探索具体问题中的数量关系和变化规律来了解常量、变量的意义；2、学会用含一个变量的代数式表示另一个变量；3、结合实例，理解函数的概念以及自变量的意义；在理解掌握函数概念的基础上，确定函数关系式；4、会根据函数解析式和实际意义确定自变量的取值范围。
学习重点：了解常量与变量的意义；理解函数概念和自变量的意义；确定函数关系式。
学习难点：函数概念的理解；函数关系式的确定学习过程：一、自学解决问题问题一：一辆汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时．２．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．３．试用含t的式子表示s．__s=_________________t的取值范围是这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化过程．二、深入探究，得出结论（一）问题探究：问题二：每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，午场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元．•怎样用含x的式子表示y ?１．请同学们根据题意填写下表：2．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．３．试用含x的式子表示y．__y=_________________x的取值范围是这个问题反映了票房收入_________随售票张数_________的变化过程．问题三：在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10cm•，•每1kg•重物使弹簧伸长0．5cm，设重物质量为mkg，受力后的弹簧长度为L cm,怎样用含m的式子表示L？2．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．３．试用含m的式子表示L．__L=_________________m的取值范围是这个问题反映了_________随_________的变化过程．问题四：圆的面积和它的半径之间的关系是什么？要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？30 cm2呢?怎样用含有圆面积Ｓ的式子表示圆半径r？关系式：________２．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．３．试用含s的式子表示r．__r=_________________s的取值范围是这个问题反映了___ _ 随_ __的变化过程．问题五：用10m长的绳子围成矩形，试改变矩形的长度，观察矩形的面积怎样变化．记录不同的矩形的长度值，计算相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律。
数学：14.1《变量与函数》(第2课时)课件(人教新课标八年级上)
?刚到大院时，我便被这里的风景吸引了。院里南北两排新落成的平房，当时正值初春，站在院子的高处，往北望去，是相连的一座座飘着炊烟的村庄，连绵起伏的人间烟火；而南面，是一望无际 的海边湿地，极目远眺，可以看见远方海岸线旁郁郁葱葱的树林。
这个季节里，湿地上满眼是去年长成的半人高的芦苇和一人多高的蒲草。地面上有刚冒头的绿色苇子嫩芽在生机盎然、跃跃欲试地生长。嫩绿和枯黄那样对立又和谐地相依着。我在这美里惊叹又着 迷着。心想哪天非要在这湿地里跑到累趴下为止。
午夜的宅男福利 回望蚕的一生，共五次蜕皮，而每一次蜕皮，都是一次新生。
五次新生，五次生命的华丽转身，唱响五次新生的生命ห้องสมุดไป่ตู้歌，最后结成茧，变成蛹，化为蛾。
生被分配到了一个海边小镇的财政所。小镇是由相邻两个乡新合并成立，乡政府大院也是新建成的，位置取中，座落在原来两个乡镇交界处的一片滩涂里。作为职能部门，我们是第 一批入驻新政府大院的人。
人教版八年级数学上册变量与函数第二课时课件
函数解析式为 V=10-0.05T
你答对了吗
三、研学教材
3、梯形的上底长2，高3，下底长大于上 底长但不超过5.写出梯形面积关于的函数 解析式及自变量的取值范围. 解：函数解析式为S=
即s=3+1.5x 自变量x的取值范围 2＜x≤5
四、归纳小结
1、一般地，在一个变化过程中，如果 有 两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值 ， y都有唯__一__确__定__的__值_ 与其对应，那么我们就说 x是自变量 ，y是x的函数。
三、研学教材
1、在y=3x+1中，如果 x 是自变量， y 是x 的函数. 2、下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自 变量的函数？试写出函数的解析式. （1）改变正方形的边长x，正方形 的面积s随之改变。 解：边长x是自变量 ，面积S是x的函数
函数解析式为 s=x2
三、研学教材
（2）每分向一水池注水0.1m3，注水量y（单 位：m3）随注水时间x（单位：min）的变化 而变化。解：时间x是自变量, 水量y是x的函数
三、研学教材
知识点二自变量和函数的概念
1、一般地，在一个变化过程中，如果有 两个变量x和y，并且对于x的每一个确定 的值，y都有 唯一 确定的值与其对应，
那么我们就说 x 是自变量,__y__是 x 的
函数.
如果当x＝a时，y＝b，那么b叫做当自变量 的值为a时的 函数值 .
三、研学教材
2、在计算器中操作y=2x+5后填表：
变量与函数第二课时
一、学习目标
1、理解函数的概念，能准确识别 出函数关系中的自变量和函数；
2、确定函数中自变量的取值 范围，注意问题的实际意义.
19.1.1 变量与函数(第2课时)教学反思.1.1(2)函数的概念教学反思
19.1.1 变量与函数（第2课时）教学反思1、数学概念的教学一般要经历：概念的引入、概念的形成、概念的定义、概念的应用和巩固．整个概念的生成过程都必须在知觉水平上进行分析、辨认，根据事物的外部特征进行概括．2、在学生对概念认识的起始阶段，给学生提供的问题情境应该以正例为主，数量要恰当，难度要适宜，不然就会影响概念的形成．在对概念的应用、巩固中，可以通过适当的反例让学生辨析概念，达到对概念内涵和外延的掌握．3、教学过程要以学生熟悉的生活实际问题为主线，引领学生通过问题，抽象、概括数学结论，要充分体现学生在学习过程中的主体性，增强学生学习数学的积极性、主动性，培养学生喜欢数学，爱学数学.4、在对问题情境的筛选、设计上，要紧扣课题，凸显课堂教学质量和教学效果，主要要考虑以下几点：（1）、有启发性，有助于创造生动愉悦的情境，产生学习的内驱力，形成理想的教学氛围，激发学生逐步进入思维的高潮，为后阶段的能力拓展创造条件；（2）、呈阶梯式，用已知为新知作辅垫，使学生的认知沿教师设置好的阶梯拾级而上，在符合学生的认知心理的前提下，能有效地引导学生的思维向纵深发展；（3）、要多角度，概念的引入和形成，要从“特殊”到“一般”，应用概念要从“一般”到“特殊”，强化概念又要从“特殊”到“一般”，通过多加反复，促使学生对概念的理解更加严密，强化教学效果；（4）、要立足生活，密切数学与生活的联系，增加数学概念教与学的实用性、生动性，使学生真切认识到数学来源于生活，又能服务于生活，感觉到数学的美无处不在. （5）、要重成效，在数学概念学习、运用的过程中，让学生觉得自己所学的数学知识学有所用，学有所值的同时，也要感觉到：要解决现实问题，运用已有的知识是远远不够的，激发学习潜能，提高课堂教学的成效.5、学生的课堂学习既包括学也包括练，课堂练习一方面能使学生将刚刚理解的知识加以应用，在应用中加深对所学知识的理解；另一方面能及时暴露学生对新知识理解和应用中的不足。
人教版数学八年级下册19.1.1变量与函数第二课时教学课件PPT文档共33页
31、园日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
46、我们若已接受最坏的，就再没ห้องสมุดไป่ตู้什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
八年级数学下册19.1.1变量与函数第2课时函数教案人教版.doc
第2课时函数理解函数的概念，准确写出函数的关系式．重点函数的概念，函数解析式的求法．难点函数概念的理解．一、创设情境，引入新课师：上一节课中的每个问题都涉及两个变量，这两个变量之间有什么联系呢？当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否也随之确定呢？这将是我们这节课要研究的内容．二、讲授新课师：观察问题(1)中的表格，时间t和路程s是两个变量，但当t取定一个值时，s也随之确定一个值.t/时 1 2 3 4 5s/千米60 120 180 240 300生：是的，当t时，s＝300.师：问题(2)也是一样的，当早场x＝150时，收入y＝1500；当午场x＝205时，y＝2050；当晚场x＝310时，y＝3100.也就是说售票张数x与票房收入y是两个变量，但当x取定一个值时，票房收入y也就确定一个值．师：问题(3)中，当圆的半径r＝10 cm时，S＝100πcm2，当r＝20 cm时，S＝400πcm2等，也就是说…生：也就是说当圆的半径r取定一个值时，面积S也随之确定，并且S＝πr2.师：问题(4)中，当长为4 m时，面积为4 m2；当长为3 m时，面积S为6 m2；当长x 为2.5 m时，面积S为6.25 m2，也就是说…生：也就是说当长x取定一个值时，面积S也就随之确定一个值．师：当长取定为x m时，面积S等于多少呢？生：S＝x·(5－x)＝5x－x2.师：像这样，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数．前面的几个问题中，哪个是自变量，哪个是函数呢？它们之间的关系如何用式子表示？生1：问题(1)中，时间t是自变量，路程s是t的函数，s＝60t.生2：问题(2)中，售票数量x是自变量，收入y是x的函数，y＝10x.生3：问题(3)中，圆的半径r是自变量，面积S是r的函数，S＝πr2.生4：问题(4)中，长方形的长x是自变量，面积S是x的函数，S＝x(5－x)．师：其实，现实生活中某些函数关系是用图表的形式给出的，比如说：心脏部位的生物电流，y是x的函数吗？生：y是x的函数，因为在心电图里，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值和它对应．师：很好！再比如说下面是我国的人口统计表，人口数量y是年份x的函数吗？中国人口数统计表年份人口数/亿1984 10.341989 11.061994 11.761999 12.522010 13.71教师总结：(再一次叙述函数的定义)像这样，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，我们就说x 是自变量，y 是x 的函数．如果当x ＝a 时，y ＝b ，那么b 叫做当自变量x ＝a 时的函数值，例如在问题(1)中当t ＝1时的函数值s ＝60，当t ＝2时的函数值s ＝120.在人口统计表中当x ＝1999时，函数值y ＝12.52亿．【例】教材第73页例1师：关于自变量的取值范围我们再来看两个题目．求下列函数中自变量x 的取值范围：y ＝2x 2－5；y ＝1x ＋4； y ＝x ＋3.生1：对于y ＝2x 2－5，x 没有任何限制，x 可取任意实数．生2：对于y ＝1x ＋4，(x ＋4)必须不等于0式子才有意义，因此x≠－4. 生3：对于y ＝x ＋3，由于二次根式的被开方数大于等于0，因此x≥－3.三、巩固练习下列问题中，哪些是自变量？哪些是自变量的函数？写出用自变量表示函数的式子．1．改变正方形的边长x ，正方形的面积S 随之改变．【答案】S ＝x 2，x 是自变量，S 是因变量．2．秀水村的耕地面积为106 m 2，这个村人均占有耕地面积y 随这个村人数n 的变化而变化．【答案】y ＝106n，n 是自变量，y 是因变量．四、课堂小结本节课我们通过对问题的思考、讨论，认识了自变量、函数及函数值的概念，并通过两个活动，加深了对函数意义的理解，学会了确定函数关系式以及求自变量取值范围的方法，从而提高了运用函数知识解决实际问题的能力．本节课引入新课所设计的一些问题都来自于学生生活，函数的概念也是在教师引导下学生自主发现的，这样做能充分调动学生学习的积极性，同时能让学生更加热爱生活，增强学生利用所学知识解决实际问题的意识。
变量与函数(第2课时)课件人教版数学八年级下册
确定函数解析式的步骤
(1)找：认真审题，根据题意找出各个量之间的数
量关系；
(2)写：根据数量关系写出含有两个变量的等式；
(3)变：将等式变形为用含自变量的式子表示因变
量的形式.
例 汽车油箱中有汽油 50 L. 如果不再加油，那么油箱中的
油量 y (单位：L)随行驶路程 x(单位：km)的增加而减少，耗
行驶的路程为 s.
（2）正方形的边长 x，周长为 y.
解：（1）s = 80t
（2）y = 4x
根据以上式子你能总结出函数解析式的定义吗？
合作探究
1.函数解析式
新知 函数解析式与函数值
用关于自变量的数学式子表示函数与自变
量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函
数的解析式.
通常函数解析式等号右边的代数式中的变量是自变量，
(1)写出表示 y 与 x 的函数关系的式子；
解: (1)行驶路程 x 是自变量，油箱中的油量 y 是 x 的函数，
它们的关系为 y= 50-0.1x.
例 汽车油箱中有汽油 50 L. 如果不再加油，那么油箱中的
油量 y (单位：L)随行驶路程 x(单位：km)的增加而减少，耗
油量为 0.1 L/km.
s = 60 t
（2）多边形的边数为 n，内角和度数为 y.
思考：（1）中， t 取 -2 时有实际意义吗？
（2）中， n 取 2 时有实际意义吗？
y =180〫(n-围
应该怎样规定呢？
合作探究
新知 函数自变量的取值范围
函数自变量的取值范围
使函数关系式有意义的自变量取
化后的等式x=2y-6，则表示x是y的函数.
数学八年级下册变量与函数第二课时——函数课件ppt
初步应用，巩固知识。
1.下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？请说明理由。 （1）每分向一水池注水0.1m3，注水量y(单位：m3)随注水时间 x(单位：min)的变化而变化。 （2）改变正方形的边长x，正方形的面积S随之改变。 （3）秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均占有耕地面 积y(单 位：m2)随这个村人数n的变化而变化。 （4）P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为x，它对应的实 数为y，y随x的变化而变化。
有两个变量，分别是y和x，x取定 一个值时，y都有唯一确定的值 与之对应。
（3）你见过水中涟漪 吗，如图，圆形水波慢 慢地扩大.在这一过程 中，当圆的半径 r 分 别为10cm，20cm，30cm 时，圆的面积 S 分别 为多少？
1.圆的面积公式：__S_=_π_r_²_。 当r=10cm时，S=___1_0_0_π__c_m_2__； 当r=20cm时，S=___4_0_0_π__c_m_2__； 当r=30cm时，S=___9_0_0_π__c_m_2__. 2.在以上这个过程中， 变化的量是：_______S_和__r____________；不 变化的量是：_____π______. 这个问题反映了圆的面积__S__随圆的半径___r_ 的变化过程. 3.在这个变化过程中有几个变量？分别是什么？ 那么这两个变量到底存在怎样的相互关系呢？
结合今天的学习，你能举出一个函 数的事例吗？
知识拓展 函数一语，起用于公元1692 年，最早见自 德国数学家莱布尼兹的著作. 他是德国最重要的 自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲 学家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿同为微 积分的创建人他博览群书，涉猎百科，对丰富人 类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。
综合以上对六个变化过程的研究分析，你能 归纳出上面所有变化过程（事例）中变量之间关 系的共同特征吗？
变量与函数第2课时
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师生稍显拘谨，课堂气氛略显沉闷。
教师教态较自然，但尽量保持亲切，以缩短与学生之间的距离。
这节课运用了创设情景法、讲述法、小组讨论法等，方法相对多样，而且能交叉进行。
基本能以学生为主体，调动学生积极思考、发言，充分体现了新课程的理念。
整体而言，这节课过程较紧凑，环环相扣，逐渐达到高潮。
具体来看，在导入时，用谈话法激发学生兴趣和思考，引入新课程的学习。
然后步步引导，分层导入相应知识点。
教学用语较准确简练，语调有起伏感，语速适中能有效的把握教学节奏。
新的课程标准强调的是三维目标，强调知识、能力、情感三者的并重。
知识目标不是唯一的，但也不能过于弱化。
本节课重难点内容突出，感觉整堂课内容充实。
这节课让我意识到老师要想上好一节课，需要花很多时间和精力去研究教材，设计出适合学生且得到学生喜欢的活动去完成教学任务。
课上我虽然在努力地通过一个个活动来调动学生的积极性，可学生似乎并不买帐。
我想这并不是学生的错。
我们老师上课既要备教材也要去备学生，要去想象如何应对各种各样的学生。
金无足赤、人无完人，以上仅是我个人一点粗浅的观点，不足之处还望批评指正！。
数学：14.1《变量与函数》(第2课时)课件(人教新课标八年级上)
八年级数学下册171变量与函数第2课时教案华东师大版
第二课时变量与函数教学目标：1、知识与技能：使学生进一步理解函数的定义，熟练地列出实际问题的函数关系式，理解自变量取值范围的含义，能求函数关系式中自变量的取值范围。
2、过程与方法：会由自变量的值求函数值。
3、情感态度与价值观：经历从具体实例中抽象出函数的过程，发展抽象思维的能力，感悟运动变化的观点。
教学重、难点：1、重点：在具体情景中分清哪个是变量，哪个是自变量，谁是谁的函数。
2、难点：会由自变量的值求出函数的值。
教学过程一、复习1．填写如右图(一)所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向加数用y表示，试写出y关于x的函数关系式。
2．如图(二)，请写出等腰三角形的顶角y与底角x之间的函数关系式．3．如图(三)，等腰直角三角形ABC边长与正方形MNPQ的边长均为l0cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合。
试写出重叠部分面积y与长度x之间的函数关系式．二、求函数自变量的取值范围1．实际问题中的自变量取值范围问题1：在上面的联系中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗?如果有．各是什么样的限制?问题2：某剧场共有30排座位，第l排有18个座位，后面每排比前一排多1个座位，写出每排的座位数与这排的排数的函数关系式，自变量的取值有什么限制。
从右边的分析可以看出，第n排的排数座位数座位 l 18一方面可以用18＋(n－1)表 2 18＋13 18＋2示，另一方面可以用m表示，所以……m＝18＋(n－1) n 18＋(n－1)n的取值怎么限制呢?显然这个n也应该取正整数，所以n取1≤n≤30的整数或0<n<31的整数。
请同学们试着写出上面第2、3两个问题中自变量的取值范围。
2．用数学式子表示的函数的自变量取值范围例1．求下列函数中自变量x的取值范围(1)y=3x－l (2)y＝2x2＋7 (3)y=1x＋2(4)y=x－2分析：用数学表示的函数，一般来说，自变量的取值范围是使式子有意义的值，对于上述的第(1)(2)两题，x取任意实数，这两个式子都有意义，而对于第(3)题，(x＋2)必须不等于0式子才有意义，对于第(4)题，(x－2)必须是非负数式子才有意义．3．函数值例2．在上面的练习(3)中，当MA＝1cm时，重叠部分的面积是多少?请同学们求一求在例1中当x=5时各个函数的函数值．三、课堂练习课本第28页练习的第1、2、3题四、小结五、作业课本第29页的第3、4、5、6题．六、教后反思：通过本节课的学习，一方面，我们进一步认识了如何列函数关系式，对于几何问题中列函数关系式比较困难，有的题目的自变量的取值范围也很难确定，只有通过一定量的练习才能做到熟练地解决这个问题；另一方面，对于用数学式子表示的函数关系式的自变量的取值范围，考虑两个方面，其一是分母不能等于0，其二是开偶次方的被开方数是非负数．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．若关于x 的方程223ax a x =-的解为1x =，则a 等于（ ） A ．12- B ．2 C ．12 D ．-2【答案】A【分析】根据方程的解的定义，把x=1代入原方程，原方程左右两边相等，从而原方程转化为含a 的新方程，解此新方程可以求得a 的值．【详解】把x=1代入方程223ax a x =-得： 22=13a a -， 解得：a=12-； 经检验a=12-是原方程的解； 故选A.【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于把x 代入解析式掌握运算法则.2．如果分式13a a b-+的值为零，那么a b ，应满足的条件是（ ） A ．1a =，3b ≠-B ．1a =，3b ≠C ．1a ≠，3b ≠-D ．1a ≠，3b = 【答案】A【分析】根据分子等于零，且分母不等于零列式求解即可．【详解】由题意得a-1=0且1a+b ≠0，解得a=1，b ≠-1．故选A ．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可．3．如果关于x 的方程1033m x x x --=--无解，则m 的值是（ ） A ．2B ．0C ．1D ．–2【答案】A【分析】先求得分式方程的增根为x=3，再将原方程化为整式方程，然后把方程的增根x=3代入即可求得m 的值.【详解】解：方程去分母得：m+1﹣x=0，解得x=m+1，当分式方程分母为0，即x=3时，方程无解，则m+1=3，解得m=2.故选A.【点睛】本题主要考查分式方程无解的条件：（1）去分母后所得整式方程无解；（2）解去分母后的整式方程得到的解使原方程的分母等于0.4．下列因式分解正确的是( )A ．256(5)6m m m m -+=-+B ．2241(21)m m -=-C ．2244(2)m m m +-=+D ．241(21)(21)m m m -=+- 【答案】D【分析】因式分解：把一个整式化为几个因式的积的形式．从而可以得到答案．【详解】A 没有把256m m -+化为因式积的形式，所以A 错误，B 从左往右的变形不是恒等变形，因式分解是恒等变形，所以B 错误，C 变形也不是恒等变形所以错误，D 化为几个因式的积的形式，是因式分解，所以D 正确．故选D ．【点睛】本题考查的是多项式的因式分解，掌握因式分解的定义是解题关键．5．如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，16BC =，F 是DE 上一点，连接AF 、CF ，4DE DF =，若90AFC ∠=︒，则AC 的长度为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14【分析】根据三角形中位线定理得到DE=8，由4DE DF =，可求EF=6，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到AC 的长度.【详解】解：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，16BC =， ∴1116822DE BC ==⨯=， ∵4DE DF =，∴1824DF =⨯=， ∴EF=6，∵90AFC ∠=︒，EF 是△ACF 的中线，∴22612AC EF ==⨯=；故选：B.【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题，正确求出EF 的长度是关键.6．如图，在四边形ABCD 中，点P 是边CD 上的动点，点Q 是边BC 上的定点，连接AP PQ ，，E F ，分别是AP PQ ，的中点，连接EF .点P 在由C 到D 运动过程中，线段EF 的长度（ ）A ．保持不变B ．逐渐变小C ．先变大，再变小D ．逐渐变大【答案】A 【分析】连接AQ ，则可知EF 为△PAQ 的中位线，可知EF ＝12AQ ，可知EF 不变． 【详解】如图，连接AQ ，∵E 、F 分别为PA 、PQ 的中点，∴EF 为△PAQ 的中位线，∴EF ＝12AQ ， ∵Q 为定点，∴AQ 的长不变，∴EF 的长不变，【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 7．下列运算错误的是（ ）A 235=B 236=C 623=D ．2(2)2= 【答案】A【分析】根据同类二次根式的合并，二次根式的乘除法则，分别进行各选项的判断即可．【详解】解：A 23不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项正确；B 236，计算正确，故本选项错误；C 623D 、（2）2=2，计算正确，故本选项错误；故选A ．【点睛】本题考查了二次根式的加减及乘除运算，解答本题的关键是掌握二次根式的加减及乘除法则． 8．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）A ．108°B ．90°C ．72°D ．60° 【答案】C【分析】首先设此多边形为n 边形，根据题意得：180（n-2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【详解】解：设此多边形为n 边形，根据题意得：180（n-2）=540，解得：n=5， ∴这个正多边形的每一个外角等于：3605︒=72°． 故选C ．【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°，外角和等于360°．9．到三角形三边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）A ．三条中线的交点B ．三条高的交点C ．三条边的垂直平分线的交点D ．三条角平分线的交点【答案】D【分析】直接利用三角形的内心性质进行判断．【详解】到三角形三边的距离都相等的点是这个三角形的内心，即三个内角平分线的交点．故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 10．若分式211x x -+＝0，则x 的值是（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．﹣2【答案】C【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，且分母不为零，进而得出答案．【详解】解：由题意得：x 2﹣1＝1且x+1≠1，解得：x ＝1，故选：C ．【点睛】此题考查分式的值为零的问题，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为1；（2）分母不为1．这两个条件缺一不可．二、填空题11．分解因式：2312x -=____________．【答案】()()322x x +-【分析】先提取公因式，再用公式法完成因式分解.【详解】原式()()23(4)322x x x =-=+- 【点睛】第一步，提取公因式；第二步，公式法；第三步，十字相乘法；三项以上的多项式的因式分解一般是分组分解.12．如图，ABC ∆和EBD ∆都是等腰三角形，且100ABC EBD ∠=∠=︒，当点D 在AC 边上时，BAE ∠=_________________度．【答案】1【分析】先根据“SAS ”证明△ABE ≌△CBD ，从而∠BAE=∠C ．再根据等腰三角形的两底角相等求出∠C 的度数，然后即可求出∠BAE 的度数．【详解】∵ABC ∆和EBD ∆都是等腰三角形，∴AB=BC ，BE=BD ，∵100ABC EBD ∠=∠=︒，∴∠ABE=∠CBD ，在△ABE 和△CBD 中，∵AB=BC ，∠ABE=∠CBD ，BE=BD ，∴△ABE ≌△CBD ，∴∠BAE=∠C ．∵AB=BC ，∠ABC=100°，∴∠C=(180°-100°) ÷2=1°,∴∠BAE=1°．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 1312=______． 【答案】3【分析】按照二次根式的性质化简二次根式即可． 12=43=23． 故答案为：3【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟悉相关性质是解题的关键．14．纳米是一种长度单位，1纳米=-910米，已知某种植物花粉的直径约为46 000纳米，用科学记数法表示表示该种花粉的直径为____________米．【答案】4.6×10-1【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：46000纳米×10-9=4.6×10-1米．故答案为：4.6×10-1．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．15．世界科技不断发展，人们制造出的晶体管长度越来越短，某公司研发出长度只有0.000000006米的晶体管，该数用科学记数法表示为_____米．【答案】9610⨯﹣【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a ⨯﹣，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：90.000000006610⨯﹣＝．故答案为：9610⨯﹣【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a ⨯﹣，其中110a ≤＜，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．16．已知点()A m 1,3-与点()B 2,n 1+关于x 轴对称，则m =________，n =________．【答案】3 -1【分析】根据“关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程求解即可．【详解】∵点A （m-1，3）与点B （2，n+1）关于x 轴对称，∴m-1=2，n+1=-3，解得m=3，n=-1．故答案为3，-1．【点睛】本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．17．如图在ABC ∆中，13,10,AB AC BC AD ===是ABC ∆的中线，F 是AD 上的动点，E 是边AC 上动点，则CF EF +的最小值为______________．【答案】12013【分析】作E 关于AD 的对称点M ，连接CM 交AD 于F ，连接EF ，过C 作CN ⊥AB 于N ，根据等腰三角形“三线合一”得出BD 的长和AD ⊥BC ，再利用勾股定理求出AD ，利用“等面积法”结合垂线段最短进一步求出最小值即可.【详解】如图，作E 关于AD 的对称点M ，连接CM 交AD 于F ，连接EF ，过C 作CN ⊥AB 于N ，∵AB=AC=13，BC=10，AD 是△ABC 的中线，∴BD=DC=5，AD ⊥BC ，AD 平分∠BAC ，∴M 在AB 上，在Rt △ABD 中，由勾股定理可得：AD=22 13512-=，∴1122ABC S BC AD AB CN ∆=⨯=⨯， ∴120AB 13BC AD CN ⨯==， ∵E 关于AD 的对称点M ，∴EF=FM ，∴CF+EF=CF+FM=CM ，根据垂线段最短可得：CM≥CN ，即：CF+EF≥12013，∴CF+EF 的最小值为：12013， 故答案为：12013. 【点睛】 本题主要考查了几何图形中最短路线问题，关键是熟练运用轴对称性质找出相应的线段进行求解.三、解答题18．已知：y-2与x 成正比例，且x=2时，y=4.（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）若点M （m ，3）在这个函数的图象上，求点M 的坐标．【答案】（1）y=x+2；（2）M （1，3）．【分析】（1）根据正比例函数的定义设y-2=kx （k ≠0），然后把x 、y 的值代入求出k 的值，再整理即可得解；（2）将点M （m ，3）的坐标代入函数解析式得到关于m 的方程即可求解．【详解】解：（1）设y-2=kx （k ≠0），把x=2，y=4代入求得k=1，∴函数解析式是y=x+2；（2）∵点M （m ，3）在这个函数图象上，∴m+2=3，解得：m=1，∴点M 的坐标为（1，3）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，注意利用正比例函数的定义设出函数关系式．19．如图, 在ΔABC 与ΔDCB 中, AC 与BD 交于点E ，且,∠A=∠D, AB=DC ．求证：ΔABE ≌ΔDCE【答案】见解析【分析】利用“角角边”证明△ABE 和△DCE 全等即可；【详解】证明：在△ABE 和△DCE 中，∠AEB=∠DEC （对顶角相等）A D AEB DEC AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DCE(AAS)；【点睛】此题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理得出∠AEB=∠DEC.20．如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠，D 是BC 的中点，DE AB ⊥，DF AC ⊥，E ，F 是垂足，现给出以下四个结论：①DEFDFE ∠=∠；②AE AF =；③AD 垂直平分EF ；④BDE CDF ∠=∠．其中正确结论的个数是_____．【答案】1【分析】根据 等腰三角形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定与性质对各个选项进行分析判断即可．【详解】∵B C ∠=∠，∴AB=AC ，∵D 是BC 的中点，∴．AD 平分∠BAC ，∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴DE=DF∴DEF DFE ∠=∠，故①正确；∵DE AB ⊥，DF AC ⊥∴∠DEA=∠DFA=90°∵DE=DFDA=AD∴△ADE ≌△ADF(HL)∴AE=AF ，故②正确，∵ED=FD∴AD 垂直平分EF ，故③正确，∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴∠DEB=∠DFC=90°又∵∠B=∠C ，且∠B+∠DEB+∠EDB=180°， ∠C+∠DFC+∠FDC=180°，∴∠BDE=180°-∠B+∠DEB ，∠FDC=180°-∠C-∠DFC ，∴BDE CDF ∠=∠，故④正确．故答案为：1．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质及角平分线性质的综合运．21． “低碳环保，绿色出行”的概念得到广大群众的接受，越来越多的人喜欢选择骑自行车作为出行工具.小军和爸爸同时骑车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m 米/分的速度到达图书馆.小军始终以同一速度骑行，两人骑行的路程为y （米）与时间x （分钟）的关系如图．请结合图象，解答下列问题：（1）填空：a =______；b =______；m =______．（2）求线段BC 所在直线的解析式．（3）若小军的速度是120米/分，求小军第二次与爸爸相遇时距图书馆的距离．【答案】（1）10,15,200；（2）2001500y x =-；（3） 距图书馆的距离为750米【分析】（1）根据爸爸的速度和行驶的路程可求出a 的值，然后用a+5即可得到b 的值，利用路程除以时间即可得出m 的值；（2）用待定系数法即可求线段BC 所在直线的解析式；（3）由题意得出直线OD 的解析式，与直线BC 的解析式联立求出交点坐标，再用总路程减去交点纵坐标即可得出答案.【详解】（1）150010150a == （分钟） 510515b a =+=+= （分钟）3000150020022.515m -==-米/分 故答案为：10,15,200；（2）设线段BC 所在直线的解析式为y kx b =+因为点(15,1500),(22.5,3000)B C 在直线BC 上，代入得15150022.53000k b k b +=⎧⎨+=⎩解 得 2001500k b =⎧⎨=-⎩线段BC 所在直线的解析式为2001500y x =-（3）因为小军的速度是120米/分，所以直线OD 的解析式为120y x =令2001500120x x -=，解得754x =所以距图书馆的距离为753000120=7504-⨯ （米） 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，能够从图象中获取有效信息是解题的关键．22．已知ABC ∆的三边长a 、b 、c 满足4422222220a b a b a c b c ++--=，试判定ABC ∆的形状.【答案】ABC ∆是直角三角形．【分析】原等式的左边利用分组分解法分解因式即得a 、b 、c 满足的关系式，然后利用勾股定理的逆定理进行判断即可．【详解】解：∵4422222220a b a b a c b c ++--=，∴()()2222220a b c a b +-+=，∴()()222220a b a b c ++-=，∵a 、b 、c 是△ABC 的三边，∴220a b +>，∴2220a b c +-=，即222+=a b c ，∴∠C=90°，ABC ∆是直角三角形．【点睛】本题考查了多项式的因式分解和勾股定理的逆定理，属于常考题型，熟练掌握分解因式的方法和勾股定理的逆定理是解题关键．23．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC 的顶点A ，B 的坐标分别为()2,4，()1,2-．（1）请在图中画出平面直角坐标系；（2）请画出ABC ∆关于x 轴对称的A B C '''∆；（3）线段BC '的长为_______．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（313【分析】（1）利用点B、C的坐标画出直角坐标系；（2）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A′、B′、C′的坐标，然后描点即可得到△A′B′C′（3）根据勾股定理即可求出线段BC'的长．【详解】（1）如图所示，（2）如图，△A′B′C′为所作；（3）BC'=22+32=13故答案为：13．【点睛】本题考查了作图−轴对称变换：在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．24．图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长均为1．（1）在图①中，以格点为端点，画线段MN37（2）在图②中，以格点为顶点，画正方形ABCD，使它的面积为2．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1223761=+6和1的直角三角形即.（210的正方形即可.【详解】解：（1）如图，线段MN 即为所求．（2）如图，正方形ABCD 即为所求．【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题. 25．为庆祝2015年元且的到来，学校决定举行“庆元旦迎新年”文艺演出，根据演出需要，用700元购进甲、乙两种花束共260朵，其中甲种花束比乙种花束少用100元，已知甲种花束单价比乙种花束单价高20%，乙种花束的单价是多少元?甲、乙两种花束各购买了多少？【答案】乙种花束的单价是2.5元，甲、乙两种花束分别购买100个、160个【分析】设乙种花束的单价是x 元，则甲种花束的单价为（1+20%）x 元，根据用700元购进甲、乙两种花束共260朵，列方程求解．【详解】解：设乙种花束的单价是x 元，则甲种花束的单价为()120%x +元，又根据甲种花束比乙种花束少用100元可知，甲种花束花了300元，乙种花束花了400元， 由题意得，300400260(120%)x x+=+， 解得： 2.5x =，经检验： 2.5x =是原分式方程的解．∴()120%3x +=． ∴买甲花束为：3003=100（个），乙种花束为4001602.5=（个）． 答：乙种花束的单价是2.5元，甲、乙两种花束各购买了100个、160个．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．某商场对上周末某品牌运动服的销售情况进行了统计，如下表所示：经理决定本周进货时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（）A．平均数B．中位数C．众数D．平均数与中位数【答案】C【分析】商场经理最值得关注的应该是爱买哪种颜色运动装的人数最多，即众数．【详解】由于销售最多的颜色为红色，且远远多于其他颜色，所以选择多进红色运动装的主要根据是：众数．故选：C．【点睛】本题主要考查了统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．2．化简21211a aa a----的结果为（）A．11aa+-B．a﹣1 C．a D．1【答案】B【解析】分析：根据同分母分式加减法的运算法则进行计算即可求出答案．详解：原式=21211a aa a-+--，=2 (1)1aa--，=a﹣1故选B．点睛：本题考查同分母分式加减法的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．3．在12，0，32-这四个数中，为无理数的是（）A．12B．0 C．3-D．2-【答案】C【解析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）选出答案即可．，【详解】解：无理数是3故选：C．【点睛】本题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意：无理数包括三方面的数：①含π的，②一些有规律的数，③开方开不尽的根式．4．如图（1）所示在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)，把拿下的部分剪拼成一个矩形如图（2）所示，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是()A．a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)B．(a+b)2=a2+2ab+b2C．(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2D．(a+2b)(a﹣b)=a2+ab﹣2b2【答案】A【分析】由题意可知左图中阴影部分的面积= a2﹣b2，右图中矩形面积=（a+b）（a-b），根据二者相等，即可解答．【详解】解：由题可得：a2﹣b2=(a﹣b)(a+b)．故选：A．【点睛】本题主要考查平方差公式的几何背景，解题的关键是运用阴影部分的面积相等得出关系式．5．如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确的（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：正方形的对角线的长是，所以正方形内部的每一个点，到正方形的顶点的距离都有小于14.14，故答案选A.考点：正方形的性质，勾股定理.6．已知图中的两个三角形全等，则α∠的度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质中对应角相等，可得此组对应角为线段a 和c 的夹角，由此可知α∠=50°即可．【详解】∵两个三角形全等，∴∠α=50°．故选D ．【点睛】此题考查全等三角形的性质，学生不仅需要掌握全等三角形的性质，而且要准确识别图形，确定出对应角是解题的关键．7．代数式229++x kxy y 是关于x ，y 的一个完全平方式，则k 的值是（ ）A ．6B ．6-C ．6±D ．3± 【答案】C【分析】根据完全平方公式的a 、b 求出中间项即可．【详解】()222293x kxy y x kxy y =++++,根据a 、b 可以得出:k=±2×3=±1．故选C ．【点睛】本题考查完全平方公式的计算,关键在于熟练掌握完全平方公式．8．下列代数运算正确的是（ ）A ．()235x x =B ．()2222x x =C ．325x x x ⋅=D ．【答案】C【解析】试题分析：根据同底幂的乘法，幂的乘方和积运算的乘方法则以及完全平方公式逐一计算作出判断：A ．()233265x x x x ⨯==≠，选项错误；B ．()222242x x x =≠，选项错误；C ．32325x x x x +⋅== ，选项正确；D ．()2221211x x x x +=++≠+，选项错误.故选C.考点：1.同底幂的乘法；2.幂的乘方和积运算的乘方；3.完全平方公式.9．下列多项式能分解因式的是（ ）A ．21x +B ．22x y y ++C ．2x y -D ．243x x -+【答案】D【解析】由题意根据分解因式时，有公因式的，先提公因式，再考虑运用何种公式法来分解进行分析判断即可．【详解】解：A. 21x +，不能分解因式，故A 错误；B. 22x y y ++，不能分解因式，故B 错误；C. 2x y -，不能分解因式，故C 错误；D. 243x x -+=（x-3）（x-1），故D 正确；故选：D.【点睛】本题考查因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式．10．在平面直角坐标系中，点P 52）关于原点对称的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】作出点P 关于原点对称的点的坐标，然后判断所在的象限．【详解】∵P （﹣5，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（5，2）∴点P （﹣5，﹣2）关于原点对称的点在第一象限．故选：A ．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的问题，掌握关于原点对称的点的性质、象限的性质以及判断方法是解题的关键．二、填空题11．如图所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，G 是AD 上一点，且AG DG =，连接BG 并延长BG 交AC 于E ，又过C 作AD 的垂线交AD 于H ，交AB 为F ，则下列说法：①D 是BC 的中点；②BE AC ⊥；③2CDA ∠>∠；④AFC ∆为等腰三角形；⑤连接DF ，若6CF =，8AD =，则四边形ACDF 的面积为24；其中正确的是______（填序号）．【答案】③④⑤【分析】根据等腰三角形的定义、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断，对角线垂直的四边形的面积=对角线乘积的一半；分别对选项进行判断，即可得到答案.【详解】解：∵AD 是BAC ∠的平分线，假设①D 是BC 的中点成立，则AB=AC ，即△ABC 是等腰三角形；显然△ABC 不一定是等腰三角形，故①错误；根据题目的条件，不能证明BE AC ⊥，故②错误；∵∠ADC=∠1+∠ABD ，∠1=∠2，∴∠ADC ＞∠2，故③正确；∵∠1=∠2，AH=AH ，∠AHF=∠AHC=90°，∴△AHF ≌△AHC （ASA ），∴AF=AC ，故④正确；∵AD ⊥CF ，∴S 四边形ACDF =12×AD×CF=12×6×8=1．故⑤正确； ∴正确的有：③④⑤；故答案为：③④⑤.【点睛】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，对角线垂直的四边形的面积，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．12．如图，在ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线．若3AE =，ABD △的周长为13，则ABC 的周长为______．【答案】19.【分析】由线段的垂直平分线的性质可得2,AC AE AD DC ==，从而可得答案．【详解】解： DE 是AC 的垂直平分线．3AE =，26,,AC AE AD DC ∴===13,AB BD AD ++=ABC ∴的周长AB BC AC AB BD AD AC =++=+++13619.=+=故答案为：19.【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．13．在平面直角坐标系中点P （－2，3）关于x 轴的对称点在第_______象限【答案】三【分析】先根据关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得对称点的坐标，再根据坐标符号判断所在象限即可．【详解】解：点P （-2，3）关于x 轴的对称点为（-2，-3），（-2，-3）在第三象限．故答案为：三【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号，以及关于x 轴的对称点横坐标相同，纵坐标互为相反数．14．用4块完全相同的长方形拼成正方形(如图)，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可得到1个关于a b 、的等式为________.【答案】（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2＝4ab【分析】根据长方形面积公式列①式，根据面积差列②式，得出结论．【详解】S 阴影＝4S 长方形＝4ab ①，S 阴影＝S 大正方形﹣S 空白小正方形＝（a+b ）2﹣（b ﹣a ）2②，由①②得：（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2＝4ab ．故答案为（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2＝4ab ．【点睛】本题考查了完全平方公式几何意义的理解，此题有机地把代数与几何图形联系在一起，利用几何图形的面积公式直接得出或由其图形的和或差得出．1532x x +-有意义的x 的取值范围是_______． 【答案】2x >【分析】根据二次根式有意义以及分式有意义得条件进一步求解即可.【详解】由题意得：30x +≥，20x -≥及20x -≠，∴2x ≥且2x ≠，即2x >，故答案为：2x >.【点睛】本题主要考查了分式与二次根式有意义的情况，熟练掌握相关概念是解题关键.16．一次函数y=kx －3的图象经过点（-1，3），则k=______．【答案】-6【详解】解：把点()1,3-代入 3.y kx =-得，33,k --=解得 6.k。
变量与函数第二课时
观察思考 再次概括
综合以上这些现象，你能再次归纳出上面所有事例 的变量之间关系的共同特点吗？
这两个变化都满足y随x的变化而变化，且当x取定一个值 时，y都有唯一确定的值与其对应.
观察思考 再次概括
函数的定义： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值 与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数．
观察思考 分析变化
问题1 下面变化过程中的变量之间有什么联系？ （2）每张电影票的售价为10 元，设某场电影售出 x 张票，票房收入为 y 元； （3）圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，圆的半 径为 r ，面积为 S ； （4）用10 m 长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长 为 x，它的邻边长为 y．
观察思考 再次概括
问题3 下面是中国代表团在第23 届至30 届夏季奥 运会上获得的金牌数统计表，届数和金牌数可以分别记 作 x 和 y，对于表中每一个确定的届数 x，都对应着一个 确定的金牌数 y 吗？
观察思考 再次概括
问题：分别指出思考（1）~（2）中所涉及的两个变量，在这两个变量中，是哪 一个量随哪一个量的变化而变化？两个变量之间的对应关系是否与上面4个思考 中对应关系的共同特征一致？
课后作业
作业：教科书第81页习题19.1第1～4题； 举出一个函数的实例．
（2）改变正方形的边长 x，正方形的面积 S 随之变化； （3）秀水村的耕地面积是106 m2，这个村人均占有耕 地面积 y （单位：m2）随这个村人数 n 的变化而变化； （4）P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为 x， 它的坐标记为 y，y 随 x 的变化而变化．
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19.1.1变量与函数（第二课时）
教学内容
19.1.1变量与函数(第二课时) 教材p72-74. 教学目标
知识与技能：
1．经过回顾思考认识变量中的自变量与函数． 2．进一步理解掌握确定函数关系式． 3．会确定自变量取值范围．
过程与方法：
1．经历回顾思考过程、提高归纳总结概括能力．
2．通过从图或表格中寻找两个变量间的关系，提高识图及读表能力，体会函数的不同表达方式．
情感、态度与价值观：
1．积极参与活动、提高学习兴趣．
2．形成合作交流意识及独立思考的习惯． 教学重点
1．进一步掌握确定函数关系的方法． 2．确定自变量的取值范围． 教学难点
认识函数、领会函数的意义 教学方法
回顾思考─探索交流─归纳总结 教学准备 Ppt 教学过程
（一）．创设情境
我们先来回顾一下上节课所学习的内容。
1. 复习巩固 什么叫做常量？什么叫做变量？
2．小试身手 请说出下列关系式中的常量与变量。
y=2x s=(n-2) ×180
（二）．导入新课
一、探索研究
１、小明到商店买练习簿，每本单价2元，总金额y （元）
与购买的总数x （本）的关系式，可以表示为 y=2x r c π2=2180x
y -=
请同学们根据题意填写下表
２、圆的周长C 与半径r 的关系式________________
请同学们根据题意填写下表
3、n 边形的内角和S 与边数n 的关系式____ s=(n-2) ×180 ___;
请同学们根据题意填写下表
4、
等腰三角形
的顶角为x 度，那么底角y 的度数用含x 的式子表示为 ______________.
请同学们根据题意填写下表
问题：以上1—4题中是否各有两个变量？同一个问题中的变量之间有什么联系？ 学生思考后，回答自己的发现。
发现：
• 1 每个变化的过程中都存在着（两个）变量.
• 2 两个变量互相联系，当其中一个变量每取一个值时，另一个变量就会有（唯一确定的值与其对
应）
知识归纳：
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量， （假定为x 和y ），对于x 的每一个确定的值，y 都有
唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量, （y 是因变量）, y 是x 的函数．
解释函数的特征： (1)两个变量；
(2)两个变量之间有一种对应关系：
即：当x 每取一个值时，y 都有唯一确定的值与
x 对应. r
c π2=2
180x y -=
例如：对于函数y = 2 x ,当x=3时,y都有唯一的值y=6与x=3对应，
因此，我们把6叫做当自变量的值为3时的函数值．
一般地，如果当x=a时,y=b,则b叫做当自变量为a时的函数值。
知识穿插：
函数一语，起用于公元1692 年，最早见自德国数学家莱布尼兹的著作。
他是德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的创建人。
他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。
二、自我挑战
判断下列问题中的变量y是不是x的函数？
（1）在y = 2x 中的y与x；
（2）在y = x 2 中的y与x；
（3）在y2 = x 中的y与x；
(4).在下面的我国人口统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y，对于表中每一个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y吗？
(5)如图，是体检时的心电图，其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏某部位的生物电流，它们是两个变量，其中y是x的函数吗？
从上面的学习中可知许多问题中的变量之间都存在函数关系．
活动一：在计算器上按照下面的程序进行操作．
下表中的x与y是输入的5个数与相应的计算结果：
教师活动：
引导学生正确操作、分析思考、寻求理由证据，确定按键及函数关系式．
学生活动：
在教师引导下，1．经历操作、填表、分析、推理、确认等一系列过程，更加深刻理解函数意义．2．通过观察、讨论、分析、猜想、验证、确立等一系列过程，进一步掌握建立函数关系式的办法．活动结论：
1．从计算结果完全可以看出，每输入一个x的值，操作后都有一个唯一的y值与其对应，所以在这两个变量中，x是自变量、y是x的函数．
这两个键，且每个x•的值都有唯一一个y值与2．从表中两行数据中不难看出第三、四按键是1
其对应，所以在这两个变量中，x是自变量，y是x的函数．关系式是：y=2x+5
[师]通过以上活动，我们对函数意义认识更深刻了，并完善掌握了函数关系式确定的方法．为了进一步学好函数，我们再来完成一个问题．
[活动二]
活动内容设计：
例1 一辆汽车油箱现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（L）随行驶里程x（km）的增加而减少，平均耗油量为0．1L/km．
1．写出表示y与x的函数关系式．
2．指出自变量x的取值范围．
3．汽车行驶200km时，油桶中还有多少汽油？
设计意图：
通过这一活动，再次加深对函数意义理解，熟练掌握函数关系式确立的办法．学会确定自变量的取值范围，并能通过关系式解决一些简单问题．
教师活动：
注意学生在活动中对函数意义的认识水平，引导其总结归纳自变量取值范围的方法．
学生活动：
通过活动，感知体会函数意义，学会确立函数关系式及自变量取值范围，并能掌握其一般方法．活动过程及结果：
1．行驶里程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数．
行驶里程x时耗油为：0.1x
所以函数关系式为：y=50-0.1x
2．仅从式子y=50-0.1x 上看，x 可以取任意实数，但是考虑到x •代表的实际意义是行驶里程，所以不能取负数，并且行驶中耗油量为0.1x ，它不能超过油箱中现有汽油50L ，即0.1x≤50，x≤500． 因此自变量x 的取值范围是： 0≤x≤500
3．汽车行驶200km 时，油箱中的汽油量是函数y=50-0．1x 在x ＝200时的函数值，将x=200代入y=50-0．1x 得： y=50-0.1×200=30
汽车行驶200km 时，油箱中还有30升汽油．
[师]通过这个活动，我们在巩固函数意义理解认识及确立函数关系式基础上，又学会了如何确定自变量取值范围和求函数值的方法．知道了自变量取值范围的确定，不仅要考虑函数关系式的意义，而且还要注意问题的实际意义．
例2 求出下列函数中自变量的取值范围
(1) y=2x
（三）、当堂检测
1.写出下列各问题中的关系式，并指出其中的自变量与函数。
（1）正方形的面积S 随边长 x 的变化
（2）秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均耕地面积y 随着人数x 的变化而变化
2.下列各曲线中不表示 y 是 x 的函数的是( ) 省略
（2） 1
-=
n m 2
3
+=
x y （4）
1
1+-=k k
h (3)长方形的周长是18 ,它的长是m ，宽是n ； 3.下列关系中，y 不是x 函数的是（ ）
2
.x y A =
2
.x y B =x y C =.x
y D =.（3）
4. 等腰三角形ABC的周长为10, 底边BC长为y , 腰AB长为x ,
求:
(1) y 关于x 的函数解析式;
(2) 腰长AB=3时,底边的长；
(3) 自变量的取值范围。
（四）、课堂小结
通过这节课的学习，你有什么收获？
1.函数的概念
2.自变量的取值范围。