从商域的教学浅谈近世代数中的构造思想方法

从商域的教学浅谈近世代数中的构造思想方法
【摘要】本文从商域的教学谈谈近世代数中的构造思想方法，及如何锻炼学生的创造性思维。

【关键词】构造思想方法；近世代数；商域；教学
构造思想方法是指：根据待解决的问题，设计出一个与研究问题相关的辅助模型或结构，然后通过对这些模型或结构的研究，得到原问题的解决方法。

数学构造思想方法是一种基本而又重要的思想方法，许多著名的数学家如欧拉、拉格朗日、康托，伽罗华等人，都曾用构造思想方法成功地解决过数学中的难题。

构造思想方法目前在数学的诸多学科特别是在初等数学和高等数学解题中得到广泛的应用，也在数学教学理论中得到广泛和深入的研究。

近世代数（又称抽象代数）是一门研究群、环、域等代数系统的性质和结构的学科，它所用的方法是抽象的、公理化的方法，它的特点是概念多、定理多，论证严密，逻辑性强。

它内容与其它数学学科有着很大的差别，学过近世代数的学生往往存在诸多困惑。

尽管近世代数有着特殊性，但数学中许多常用的思想方法在这门课程中同样得到了体现，了解这些思想方法在近世代数中的应用，将有助于这门课程的学习。

构造思想方法是近世代数中用得较多的数学思想方法，而且在近世代数中有着与其它课程不一样的体现，本文主要从商域这个内容谈谈构造思想方法在近世代数中的体现。

1 关于商域在教材中的地位和作用
以张禾瑞《近世代数》为例，商域这一内容是编排在第三章环论的最后一节，这一节内容主要是讲述怎样由一个没有零因子的交换环R来得到一个域Q——商域的方法，这一过程是构造一个域Q来包含所给定的环R，具体的过程是仿照由整数环构造有理数域的方法进行的。

这一构造过程需要用到前面所学的从基本概念到环论的多方面知识，所以这一节内容不仅达到对前面知识的复习效果，而且能够强化对前面知识的运用。

此外，由于这样构造域的过程是由仿照整数环构造有理数域的方法得来的，所以这个内容不仅让学生更深刻理解整数环与有理数域之间的结构关系，而且可以锻炼学生的创造性思维和激发学生创新的欲望。

2 商域中的构造思想
下面简要叙述和分析商域的构造过程的几个步骤，以体现构造思想方法在其中的运用。

商域的构造过程体现了近世代数中的多种构造方法，主要体现在定理1的证明中。

定理1[1] 每一个没有零因子的交换环R都是一个域Q的子环。

2.1 构造符号和集合
定理1证明的过程是要构造一个域Q来包含所给定的环R。

要得到一个域，首先要有一个能构成与的集合，所以第一步是要构造出一个集合，这样的集合所包含的元素当然也要构造出来，比较自然的想法是这样的元素的构造应与所给定的环R相关。

所以第一步先构造这样的符号和集合：
A={■|a，b∈R，b≠0}
这里的■只是符号，而没有任何意义，并不是一般的分数，在这个证明过程中把它看成一个抽象的符号，有助于锻炼我们的抽象思维能力。

2.2 构造等价关系
集合A={■|a，b∈R，b≠0}中元素的形式跟一般分数形式是一样的，因为我们构造商域的过程是得益于整数环构造有理数域的方法的。

从整数环得到有理数域的过程，我们规定
～：■～■？圳ab′=a′b
容易证明这样的规定是一个等价关系。

利用这个等价关系，可得到集合A 的等价类的集合：
Q0={[■]|■∈A}
2.3 构造代数运算
上面所得的集合Q0与有理数集很相似，但结构是否相似呢？有理数集中有加法、乘法运算且是一个域，而Q0目前只是一个集合，还没有任何代数结构，所以首先要在Q0中定义两个代数运算，分别称为加法和乘法：
[■]+[■]=[■]
[■][■]=[■]
上面定义的两个法则是非常自然的，即与我们普通的分数的加法和乘法相类似。

但这样的法则均是代数运算仍需要证明，这是因为定义涉及的对象是等价类，而等价类的代表元一般不唯一，所以必须要证明这两个法则与代表元选取无关，且要说明运算的结构仍是Q0中的元素。

2.4 构造同构
在Q0中定义加法和乘法之后，就可以考虑Q0对这两个运算能构成什么样
的代数结构了。

按照加群、环、域的定义，可以验证Q0对这样的加法和乘法是一个域。

但域Q0是否我们要找的域呢，即是否满足定理1的域呢？答案是否定的，因为Q0的元素和R的元素完全不一样，R不可能包含在Q0中。

那么，由环R和域Q0能否得到一个包含R的域呢？我们自然会想到挖补定理，由挖补定理，只须在Q0中找到一个子环R0，使得R？艿R0，这样就可以用环R来代替Q0的子环R0，得到一个包含R的域Q。

实际上，可以在Q0中找到这样的子环R0={[■]|a∈R，其中q是R的一个固定的元。

定义？覫：a→[■]，则可证明？覫是R与R0之间的同构映射，即R？艿R0。

因此由挖补定理，Q=（Q0＼R0）∪R就是一个包含R的域。

2.5 构造反例
上面所构造出的Q的结构似乎很复杂，其实不然。

定理2[1] Q={■|a，b∈R，b≠0}，这里■=ab-1=b-1a。

由定理2，Q中元素的形式与有理数的形式是一样的，这里的R就好像整数环而Q就好像有理数域一样，由整数环构造有理数域的方法推广而得到的这样一般的域Q的结构刚好跟有理数域的结构一样，这样的推广构造非常成功。

这样由R所得的域Q也有一个特殊的名称——商域，又叫分式域。

定义[1] 一个域叫做一个环R的商域，假如Q包含R，并且Q={■|a，b∈R，b≠0}。

例1 有理数域是整数环的商域，有理数域是偶数环的商域。

因为：每个有理数都形如■（a，b是整数），也都形如■（a，b是偶数）。

为了更清楚地说明商域的定义，举如下反例。

例 2 实数域不是整数环的商域。

因为：实数域中的无理数不能写成■（a，b是整数）的形式。

3 构造思想方法与创造性思维的培养
近世代数课程中存在诸多构造思想方法的体现，如存在性的构造、反例的构造等，商域这一节是构造思想方法用用得比较多的一节，从中可以看到构造思想方法在近世代数中的重要作用。

构造思想方法的本身就包含着创新的性质，认真体会构造的方式、构造的特点，对学好近世代数和培养创造性思维有着很大的帮助。

从商域的教学得出用构造思想方法锻炼创新性思维应注意以下几个方面。

3.1 加强基础知识的学习，打牢创新的基石
无论在哪个学科，创新都是建立在牢固的基础知识之上。

在商域这个内容里面，我们发现要得到商域的构造，需要用到前面所需的代数运算、等价关系、分类、同构映射、群、环、域、挖补定理等诸多的知识，如果没有牢固的知识基础，就做不到对知识的熟练运用。

近世代数是一门符号、概念、定理非常多且极为抽象的学科，要打牢近世代数基础，首先要理解概念，如映射、代数运算、等价关系和等价类、同态等近世代数中最基本的概念及群、环、域等代数系统的定义；其次，通过学习各代数系统的性质，掌握它们的结构，掌握它们的联系和区别，并在其中锻炼抽象的思维能力。

3.2 以“旧”引“新”，激发学生兴趣和创新欲望
新知识是由旧知识发展得来，几乎每个学科都遵循这样的发展原则。

数学的很多结论是数学家们在总结旧知识的基础上，经过推广创新得来。

对旧知识的深刻理解是创新的基础和源泉动力。

在教学中“旧”引“新”，让学生觉得新知识来得并不突然，便能够激起学生的联想和创新欲望。

例如，理解了整数环和有理数域的关系，学生对构造一个域来包含一个无零因子的交换环就会得到很大启发，心里自然有强烈的创造兴趣和冲动。

3.3 从简单开始锻炼创造性思维
创新是在旧知识基础上的一个创造性活动，其过程要比学习旧知识困难得多，所以创新的过程应遵循循序渐进、先简后难的原则。

先从较简单的创新开始做，让学生掌握一些较简单的创新的思想方法，尝尝创新的甜头，建立起创新的信心和勇气。

例如商域的构造是一种推广过程，是比较简单的创新，它的每一步构造都来自于整数环构造有理数域的思想，每一步都显得比较自然，学生较易于接受，会觉得创新不是很困难。

再例如整环里的因子分解，这一内容是在一般的整环里面建立因子分解理论，而我们熟悉的因子分解理论是整数环中的因子分解理论，很自然地我们会先熟悉整数环中的因子分解理论的建立过程，再把这样的过程试着推广到整环上，而要完成这样的推广，首先得建立相关概念，如整除、素元等概念。

在学习已推广的整除、素元等概念时，学生会觉得这样的概念跟整数中的概念非常相似，会觉得创新原来也可以这么简单。

3.4 用严密的论证保证创新的正确性
辩论家们在提出每一个观点的时候，都会找若干理由来“自圆其说”。

科学理论的发展也是一样，新的理论的建立必须有严密的论证作支撑。

而近世代数是论证严密、逻辑性强的一门学科，其新知识的建立也要做严密的证明。

这是培养学
生创新素质的一个非常重要的方面。

例如商域的构造过程中的每一步虽然得益于整数环构造有理数域的方法，但这样每一步构造的合理性仍需要严格的证明，而不是照抄旧知识的结论就可以了的。

教师在教学中对每一步构造的证明会加深学生对近世代数的论证严密这一特点的进一步认识，且对其创新思维产生重要的影响。

【参考文献】
[1]张禾瑞.近世代数基础[M].北京：高等教育出版社，1978.
[2]唐高华，主编.近世代数[M].北京：清华大学出版社，2008.
[3]刘良华.试论数学构造思想方法及其在教学中的作用[J].咸宁学院学报，2005，25（3）：12-14.
[4]钱珮玲.数学思想方法与中学数学[M].北京：北京师范大学出版社，2008.。