工程力学第6节 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件

小结
三、圆轴扭转时的刚度条件
扭转的刚度条件就是限定单位长度扭转角 的 最大值不得超过规定的允许值 [ ]，即
max [ ]
等截面圆轴的单位长度扭转角
d Tmax [ ] dx GI P
刚度条件
工程上[ ]的单位通常用度/米（/m），由于1弧度 =180/ ，故上述刚度条件又可写成
PA M A 9550 n 1910N m
同理
M B 955 N m，M C 637 N m， M D 318 N m
2）绘制扭矩图 用截面法求
1-1 截面的扭矩
1
2
3
1
2
3
TBA M B 955N m
2-2 截面的扭矩
B
955Nm
A C D
TAC M B M A
（1）实心轴和空心轴传递功率相等，受相同 解： 的外力偶矩，横截面上的扭矩因此也相等。
根据扭转时的强度条件
P T M e 9550 1186 N m n
max
d1
3
求得实心轴的直径
Tmax 16T [ ] 3 WP d1
3
16T [ ]
161186 m 58.6 mm 6 3010
横截面上周边各点处，所以其强度条件为 变截面圆轴扭转 时的强度条件
T max ( ) max [ ] WP
扭转强度条件可以用来解决三类问题： 强度校核
设计截面尺寸
确定许用载荷
例7-5 如图，实心轴和空心轴通过牙嵌离合器联接 在一起，已知空心轴内、外径比值 α d 2 /D2 = 0.7，轴 的转速 n 1450 r/min，传递的功率 P 180 kW，材料 的扭转许用应力 [ ] 30MPa。试设计： （1）实心轴的直径 d1 ，空心轴内径 d 2、外径 D2 。 （2）空心轴和实心轴的面积之比。
一、扭转极限应力
扭 转 试 验 机
（a）塑性材料断口
45o
（b）脆性材料断口 扭转破坏试验
试验结论 对于受扭圆轴，塑性材料失效的标志是屈服，试 件表面会出现滑移线，试件屈服时横截面上的最 大切应力即为材料的扭转屈服应力，用 s 表示； 脆性材料失效的标志是断裂，试件断裂时横截面 上的最大切应力即为材料的扭转强度极限，用 b 表示。 扭转屈服应力 s 和扭转强度极限 b又统称为材料 的扭转极限应力，用 u表示。
318Nm 955Nm
955 1910 955 N m 3-3 截面的扭矩 TCD M D 318 N m
绘出的扭矩图如图所示， 显然BA和AC段扭矩最大。故
Tmax 955 N m
3）按强度条件确定轴径
Tmax 16Tmax max [ ] 3 WP D 3 16 Tmax 3 16 955 D m 47.6 mm 6 [ ] 4510
在最大切应力相同的情况下，空心轴所用 的材料是实心轴的 61.1%，自重也减轻了 38.9%。其 原因是：圆轴扭转时，横截面上应力呈线性分布，越 接近截面中心，应力越小，此处的材料就没有充分发 挥作用。做成空心轴，使得截面中心处的材料安置到 轴的外缘，材料得到了充分利用，而且也减轻了构件 的自重。但空心轴的制造要困难些，故应综合考虑。
对于空心轴，由扭转时的强度条件
Tmax 16 T max [ ] 3 4 WP D2 (1 )
Tmax 16 T max [ ] 3 4 WP D2 (1 )
D2
3
16T 4 [ ](1 ) 161186 m 64.2 mm 6 4 3010 (1 0.7 )
2 2 2 2
3
（2）空心轴和实心轴的面积之比
2 2 A2 D d 64 . 2 45 . 0 0.611 2 2 A1 d1 58.6
（2）空心轴和实心轴的面积之比
A2 D d 64.2 45.0 0.611 2 2 A1 d1 58.6
2 2 2 2 2 2
4）按刚度条件确定轴径
Tmax 180 32Tmax 180 max [ ] 4 GIp GD
4
32Tmax 180 4 32 9Leabharlann Baidu5180 D m 54.3 mm 2 9 2 G [ ] 8010 0.8
若使轴同时满足强度和刚度条件，应取 D 54.3 mm
刚度条件
Tmax 180 [ ] GI P
0
说明 单位长度许用扭转角[ ]的通常取值如下： 精密机器、仪器的轴：[ ] =（0.25～0.50） /m
一般传动轴：[ ] = /m （0.5～1.0）
精度要求不高的传动轴：[ ] =（2.0～4.0） /m
例7-6 传动轴n=600r/min，已知主动轮A输入的功率 PA=120kW；从动轮B、C、D输出的功率分别为PB=60 kW，PC=40kW，PD=20kW。轴材料的剪切弹性模量 G=80GPa，许用切应力[ ]=45MPa，单位长度的许用 扭转角[ ] = 0.8 /m，试按强度条件及刚度条件确定此 轴直径。 解：1）计算外力偶矩
二、圆轴扭转时的强度条件
材料的扭转 许用应力 圆轴扭转时的 强度条件
[ ]
u
n
max [ ]
max 应发生在最大扭矩 Tmax 的横截 等截面圆轴： 面上周边各点处，所以其强度条件为
等截面圆轴扭转 时的强度条件
max
Tmax [ ] WP
T ) max 的 阶梯轴等变截面圆轴： max 应发生在 ( WP