单个正态总体参数的假设检验
单正态总体的参数假设检验
单正态总体的参数假设检验一、引言在统计学中，参数假设检验是一种常用的统计推断方法，用于对总体参数的假设进行验证。
在本文中，我们将讨论单正态总体的参数假设检验方法。
单正态总体是指样本来自一个服从正态分布的总体。
二、参数假设检验的基本步骤参数假设检验的基本步骤包括以下几个方面：1. 提出假设：在进行参数假设检验时，首先需要提出原假设和备择假设。
原假设（H0）是对总体参数的一个特定取值或一组取值的陈述，备择假设（H1）是对原假设的补充或对立假设。
2. 选择检验统计量：检验统计量是一个用于判断是否拒绝原假设的量。
在单正态总体的参数假设检验中，常用的检验统计量有样本均值、样本比例等。
3. 确定显著性水平：显著性水平是在进行假设检验时所允许的犯第一类错误的概率。
通常情况下，显著性水平取0.05或0.01。
4. 计算检验统计量的观察值：根据样本数据，计算检验统计量的观察值。
5. 确定拒绝域：拒绝域是一组检验统计量的取值，如果观察到的检验统计量的取值落在这个区域内，则拒绝原假设。
6. 做出决策：根据观察到的检验统计量的取值和拒绝域的关系，做出接受或拒绝原假设的决策。
三、单正态总体均值的参数假设检验在单正态总体均值的参数假设检验中，常用的检验方法有Z检验和t检验。
1. Z检验：当总体的标准差已知时，可以使用Z检验。
Z检验的检验统计量为样本均值与总体均值之差除以标准差的样本标准差。
根据中心极限定理，当样本容量较大时，检验统计量近似服从标准正态分布。
2. t检验：当总体的标准差未知时，使用t检验。
t检验的检验统计量为样本均值与总体均值之差除以标准误差的样本标准差。
根据学生t分布的性质，当样本容量较小时，检验统计量服从t分布。
四、实例分析为了更好地理解单正态总体的参数假设检验方法，我们以某电商平台的订单发货时间为例进行分析。
假设我们关注的是该电商平台订单的平均发货时间。
我们提出如下的原假设和备择假设：原假设（H0）：订单的平均发货时间为3天。
概率论与数理统计72正态总体的均值和方差的假设检验
（ = 0.05）?
解 以X表示物品在处理前的含脂率,Y表示物品在
处理后的含脂率,且 X ~ N ( μ1,σ12 ),Y ~ N ( μ2,σ22 )
样本(Y1,Y2, ,Yn2 )来自总体Y .
1. 已知方差时两个正态总体均值的检验
σ12,σ22为已知, μ1, μ2未知的检验（U检验法）
1 假设 H0 : 1 2 , H1 : 1 2;
2 取检验统计量为
U (X Y)/
σ12 σ22 n1 n2
~ N (0,1)
(当H0成立时)
3 取显著性水平为 α. P{ U u/2 } ,
~
t(n1 n2
2),
(当H0成立时)
其中 Sw2
( n1
1)S1*n21 (n2 1)S2*n22 n1 n2 2
.
3° 给定显著水平 ( 0< < 1)
P{ | T | t /2(n1 n2 2) } ，
查表可得 tα / 2(n1 n2 2). 拒绝域：
W1 {( x1, x2,, xn1; y1, y2,, yn2 ) :| t | t/2(n1 n2 2)}
X
~
N
(
1
,
2 1
),Y
~
N
(
2
,
2 2
),
为了考察温度对材料断裂强力的影响，在70 C与80 C
下，分别重复作了8次试验，得数据如下：
选择统计量
U X 800 9 40
当H0成立时,U~N(0,1).对于 = 0.05,由正态分布函
单个正态总体的假设检验
第二节 单个正态总体的假设检验1.单个正态总体数学期望的假设检验（1） σ2已知关于μ的假设检验（Z 检验法(Z -test)） 设总体X ~N （μ，σ2），方差σ2已知，检验假设H 0：μ=μ0；H 1：μ≠μ(μ0为已知常数）由X ~N （μ，nσ）X N （0，1），我们选取ZX （8.2）作为此假设检验的统计量，显然当假设H 0为真（即μ=μ0正确）时，Z ~N （0，1），所以对于给定的显著性水平α，可求z α/2使P {｜Z ｜＞z α/2}=α，见图8-1，即P {Z ＜-z α/2}+P {Z ＞z α/2}=α.从而有P {Z ＞z α/2}=α/2， P {Z ≤z α/2}=1-α/2.图8-1利用概率1-α/2，反查标准正态分布函数表，得双侧α分位点（即临界值）z α/2. 另一方面，利用样本观察值x 1，x 2，…，x n 计算统计量Z 的观察值z 0x （8.3）如果：（a ）｜z 0｜＞z α/2，则在显著性水平α下，拒绝原假设H 0（接受备择假设H 1），所以｜z 0｜＞z α/2便是H0的拒绝域.（b ） ｜z 0｜≤z α/2，则在显著性水平α下，接受原假设H 0，认为H 0正确.这里我们是利用H0为真时服从N （0，1）分布的统计量Z 来确定拒绝域的，这种检验法称为Z 检验法（或称U 检验法）.例8.1中所用的方法就是Z 检验法.为了熟悉这类假设检验的具体作法，现在我们再举一例.例8.2 根据长期经验和资料的分析，某砖厂生产的砖的“抗断强度”X 服从正态分布，方差σ2=1.21.从该厂产品中随机抽取6块，测得抗断强度如下（单位：kg ²cm -2）： 32.56 29.66 31.64 30.00 31.87 31.03检验这批砖的平均抗断强度为32.50kg ²cm -2是否成立（取α=0.05，并假设砖的抗断强度的方差不会有什么变化）？解 ① 提出假设H 0：μ=μ0=32.50；H 1：μ≠μ0. ② 选取统计量Z =X ，若H 0为真，则Z ~N （0，1）.③ 对给定的显著性水平α=0.05，求z α/2使P {｜Z ｜＞z α/2}=α，这里z σ/2=z 0.025=1.96.④ 计算统计量Z 的观察值：｜z 0｜ ≈3.05.⑤ 判断：由于｜z 0｜=3.05＞z 0.025=1.96，所以在显著性水平α=0.05下否定H 0，即不能认为这批产品的平均抗断强度是32.50 kg ²cm -2.把上面的检验过程加以概括，得到了关于方差已知的正态总体期望值μ的检验步骤： （a ） 提出待检验的假设H 0：μ=μ0；H 1：μ≠μ0. （b ） 构造统计量Z ，并计算其观察值z 0：ZX ，z 0x .（c ） 对给定的显著性水平α，根据P {｜Z ｜＞z α/2}=α，P {Z ＞z α/2}=α/2，P {Z ≤z α/2}=1-α/2 查标准正态分布表，得双侧α分位点z α/2. （d ） 作出判断：根据H 0的拒绝域 若｜z 0｜＞z α/2，则拒绝H 0，接受H 1； 若｜z 0｜≤z α/2，则接受H 0.（2） 方差σ2未知，检验μ（t 检验法(t -test)） 设总体X ~N （μ，σ2），方差σ2未知，检验H 0：μ=μ0；H 1：μ≠μ0.由于σ2X 便不是统计量，这时我们自然想到用σ2的无偏估计量——样本方差S 2代替σ2，由于X t （n -1），故选取样本的函数tX （8.4）图8-2作为统计量，当H 0为真（μ=μ0）时t ~t （n -1），对给定的检验显著性水平α，由 P {｜t ｜＞t α/2（n -1）}=α，P {t ＞t α/2（n -1）}=α/2，见图8-2，直接查t 分布表，得t 分布分位点t α/2（n -1）.利用样本观察值，计算统计量t 的观察值t 0x 因而原假设H0的拒绝域为｜t 0｜＞t α/2（n -1）. （8.5）所以，若｜t 0｜＞t α/2（n -1），则拒绝H 0，接受H 1；若｜t 0｜≤t α/2（n -1），则接受原假设H 0.上述利用t 统计量得出的检验法称为t 检验法.在实际中，正态总体的方差常为未知，所以我们常用t 检验法来检验关于正态总体均值的问题.例8.3 用某仪器间接测量温度，重复5次，所得的数据是1250°,1265°，1245°，1260°，1275°，而用别的精确办法测得温度为1277°(可看作温度的真值），试问此仪器间接测量有无系统偏差？这里假设测量值X 服从N （μ，σ2）分布.解 问题是要检验H 0：μ=μ0=1277；H 1：μ≠μ0.由于σ2未知（即仪器的精度不知道），我们选取统计量tX .当H 0为真时，t ~t （n -1），t 的观察值为｜t 0｜185.399-==＞3. 对于给定的检验水平α=0.05，由P {｜t ｜＞t α/2（n -1）}=α，P {t ＞t α/2（n -1）}=α/2， P {t ＞t 0.025(4)}=0.025，查t 分布表得双侧α分位点t α/2（n -1）=t 0.025(4)=2.776.因为｜t 0｜＞3＞t 0.025(4)=2.776，故应拒绝H 0，认为该仪器间接测量有系统偏差.（3） 双边检验与单边检验上面讨论的假设检验中，H 0为μ=μ0，而备择假设H 1：μ≠μ0意思是μ可能大于μ0，也可能小于μ0，称为双边备择假设，而称形如H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0的假设检验为双边检验.有时我们只关心总体均值是否增大，例如，试验新工艺以提高材料的强度，这时所考虑的总体的均值应该越大越好，如果我们能判断在新工艺下总体均值较以往正常生产的大，则可考虑采用新工艺.此时，我们需要检验假设H 0：μ=μ0；H 1：μ＞μ0. （8.6）（我们在这里作了不言而喻的假定，即新工艺不可能比旧的更差），形如（8.6）的假设检验，称为右边检验，类似地，有时我们需要检验假设H 0：μ=μ0；H 1：μ＜μ0. （8.7）形如（8.7）的假设检验，称为左边检验，右边检验与左边检验统称为单边检验.下面来讨论单边检验的拒绝域.设总体X ~N （μ，σ2），σ2为已知，x 1，x 2，…，x n 是来自X 的样本观察值.给定显著性水平α，我们先求检验问题H 0：μ=μ0；H 1：μ＞μ0.的拒绝域.取检验统计量ZX ，当H 0为真时，Z 不应太大，而在H 1为真时，由于X 是μ的无偏估计，当μ偏大时，X 也偏大，从而Z 往往偏大，因此拒绝域的形式为ZX ≥k ，k 待定.因为当H 0X ~N （0，1），由P {拒绝H 0｜H 0为真}=PX k ⎫≥⎬⎭=α得k =z α，故拒绝域为ZX ≥z α. （8.8）类似地，左边检验问题H 0：μ=μ0；H 1：μ＜μ0.的拒绝域为ZX ≤-z α. 8.9）例8.4 从甲地发送一个信号到乙地，设发送的信号值为μ，由于信号传送时有噪声迭加到信号上，这个噪声是随机的，它服从正态分布N （0，22），从而乙地接到的信号值是一个服从正态分布N （μ，22）的随机变量.设甲地发送某信号5次，乙地收到的信号值为： 8.4 10.5 9.1 9.6 9.9由以往经验，信号值为8，于是乙方猜测甲地发送的信号值为8，能否接受这种猜测？取α=0.05.解 按题意需检验假设H 0：μ=8；H 1：μ＞8. 这是右边检验问题，其拒绝域如（8.8）式所示， 即 Z =X ≥z 0.05=1.645.而现在z 0=1.68＞1.645，所以拒绝H 0，认为发出的信号值μ＞8.2.单个正态总体方差的假设检验（2χ检验法(2χ-test)） （1） 双边检验设总体X ~N （μ，σ2），μ未知，检验假设H 0：σ2=σ02；H 1：σ2≠σ2.其中σ02为已知常数.由于样本方差S 2是σ2的无偏估计，当H 0为真时，比值22S σ一般来说应在1附近摆动，而不应过分大于1或过分小于1，由第六章知当H 0为真时2χ=22(1)n S σ-~2χ（n -1）. （8.10）所以对于给定的显著性水平α有（图8-3）图8-3P {21/2αχ-（n -1）≤2χ≤2/2αχ（n -1）}=1-α. （8.11）对于给定的α，查2χ分布表可求得2χ分布分位点21/2αχ-（n -1）与2/2αχ（n -1）.由（8.11）知，H 0的接受域是21/2αχ- (n -1)≤2χ≤2/2αχ (n -1)； (8.12)H 0的拒绝域为2χ＜21/2αχ-（n -1）或2χ＞2/2αχ（n -1）. （8.13）这种用服从2χ分布的统计量对个单正态总体方差进行假设检验的方法，称为2χ检验法. 例8.5 某厂生产的某种型号的电池，其寿命长期以来服从方差σ2=5000（小时2）的正态分布，现有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命的波动性有所改变，现随机抽取26只电池，测得其寿命的样本方差s 2=9200（小时2）.问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往有显著的变化（取α=0.02)?解 本题要求在α=0.02下检验假设H 0：σ2=5000；H 1：σ2≠5000.现在n =26，2/2αχ（n -1）=20.01(25)χ=44.314， 21/2αχ- (n -1)= 20.99(25)χ=11.524,σ02=5000.由（8.13）拒绝域为22(1)n s σ-＞44.314或22(1)n s σ-＜11.524由观察值s 2=9200得220(1)n s σ-=46＞44.314,所以拒绝H 0，认为这批电池寿命的波动性较以往有显著的变化.（2） 单边检验（右检验或左检验）设总体X ~N （μ，σ2），μ未知，检验假设H 0：σ2≤σ02；H 1：σ2＞σ02.（右检验）由于X ~N （μ，σ2），故随机变量*2χ=22(1)n S σ-~2χ（n -1）.当H 0为真时，统计量2χ=220(1)n S σ-≤*2χ.对于显著性水平α，有P {*2χ＞2αχ（n -1）}=α图8-4（图8-4）.于是有P {2χ＞2αχ（n -1）}≤P {*2χ＞2αχ（n -1）}=α.可见，当α很小时，{2χ＞2αχ（n -1）}是小概率事件，在一次的抽样中认为不可能发生，所以H 0的拒绝域是：2χ=220(1)n S σ-＞2αχ（n -1）（右检验）. （8.14）类似地，可得左检验假设H 0：σ2≥σ02，H 1：σ2＜σ02的拒绝域为2χ＜21αχ-（n -1）（左检验）. (8.15) 例8.6 今进行某项工艺革新，从革新后的产品中抽取25个零件，测量其直径，计算得样本方差为s 2=0.00066，已知革新前零件直径的方差σ2=0.0012，设零件直径服从正态分布，问革新后生产的零件直径的方差是否显著减小？（α=0.05)解 (1） 提出假设H 0：σ2≥σ02=0.0012；H 1：σ2<σ02.(2) 选取统计量2χ=220(1)n S σ-.*2χ=22(1)n S σ-~2χ（n -1），且当H 0为真时，*2χ≤2χ(3） 对于显著性水平α=0.05，查2χ分布表得21αχ-（n -1）=20.95(24)χ=13.848，当H 0为真时，P {2χ<21αχ- (n -1)}≤P 2212(1)(1)n S n αχσ-⎧⎫-<-⎨⎬⎩⎭=α. 故拒绝域为2χ<21αχ- (n -1)=13.848.(4) 根据样本观察值计算2χ的观察值2χ=220(1)240.000660.0012n s σ-⨯==13.2.(5) 作判断：由于2χ=13.2＜21αχ- (n -1)=13.848，即2χ落入拒绝域中，所以拒绝H 0：σ2≥σ02，即认为革新后生产的零件直径的方差小于革新前生产的零件直径的方差.最后我们指出，以上讨论的是在均值未知的情况下，对方差的假设检验，这种情况在实际问题中较多.至于均值已知的情况下，对方差的假设检验，其方法类似，只是所选的统计量为2χ=2120()nii Xμσ=-∑.当σ2=σ2为真时，2χ~2χ（n ）.关于单个正态总体的假设检验可列表8-2.总黄酮生物总黄酮是指黄酮类化合物，是一大类天然产物，广泛存在于植物界，是许多中草药的有效成分。
正态总体参数的假设检验
578, 572, 570, 568, 572, 570, 570, 572, 596, 584 试判断新生产的铜丝的折断力有无提高(取α=0.05)?
解
H0 : 0 570 H1 : 0
用U检验法,这时拒绝条件为U u , 计算知 X 575.2,
U X 0 575.2 570 2.05 u u0.05 1.645
N (0,1) U u
| T | t / 2 T t T t
2法
2
2 0
2
2
2 0
2
2 0
2 0
2
(n 1)S 2
2 0
2
2 0
2
2 0
0
2
2 1
/
2
或
提出检验假设 H0 : p p 0 0.17 H1 : p 0
用大样本U 检验法,这时拒绝条件为|U| u / 2 将 n 400, x 56 / 400 0.14, p(1 p) 0.17(1 0.17) 0.376代入,得
| u |
U法
( 2已知)
0
0 0
0
T法
( 2未知)
0
0
假设H1
0 0 0
0 0 0
检验统计量
U X 0 / n
T X 0
S/ n
抽样分布 拒绝条件 A (P( A) )
9.2 正态总体参数的假设检验
一、一个正态总体参数的假设检验 二、非正态总体均值的假设检验 三、两个正态总体参数的假设检验 四、两个非正态总体均值的假设检验
正态总体均值和方差的假设检验
给定检验水平，查t(n-1)表得, t1-/2(n-1),使
得,
P{| T | t (n 1)}
即得,
1 2
P{|
x s
0
|
t 1
(n 1)}
n
2
拒绝域： 即
算出|Ｔ|与 t1比较，若 2 否则，接受H 0.
T ， t1拒 绝 ， H 0 2
例３ 在某砖厂生产的一批砖中,随机地抽取6块进 行抗断强度试验,测得结果(单位:kg/cm2)如下: 32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03, 设砖的抗断强度服从正态分布．问这批砖的 平均抗断强度是否为32.50 (kg/cm2)？(=0.05)。
2 0
,
H1
:
2
2 0
给定检验水平 ，查 2 n 1 分布表得
2 (n 1),
使得 P 2 2 (n 1)
根据样本值计算统计量的值.
如果 2 2 (n 1)
则拒绝 H 0 , 接受 H1.
第一类错误
弃真错误
第二类错误
取伪错误
假设检验的两类错误
所作判断 真实情况
H0 为真 H0 为假
接受 H0
拒绝 H0
正确
第二类错误 (取伪)
第一类错误 (弃真)
正确
犯第一类错误的概率通常记为 犯第二类错误的概率通常记为
P
否定H0
H
为真
0
P第一类错误
P
不否定H0
H
为假
0
P第二类错误
若 T t，1拒绝 ，H接0 受
H1
T t1 ，接受 H，0 拒绝 H。1
３，４形式的检验成为右边检验．
单个正态总体均值的假设检验
使 P t t 2 5
(4) 将样本值代入算出统计量 t 的实测值, 没有落入 | t |=2.997<4.0322 拒绝域 故不能拒绝H0 .
这并不意味着H0一定对，只是差异还不够显
著, 不足以否定H0 .
练习 生产葡萄糖的重量X ~ N 5， 2 , 观察 25个样本 的重量,得X 5.5, S 1, 问生产机器是否正常? 取 0.05
2. 从某批矿砂中，抽取10样本，检验这批砂矿的含 铁量是否为3%？ 双侧检验
H 0 : 0 3%, H1 : 3%
3.某学校学生英语平均分65分, பைடு நூலகம்抽取某个班的平均 分，看该成绩是否显著高于全校整体水平？ 单侧检验
H 0 : 0 65, H1 : 65
解 提出假设 H 0 : 5 H1 : 5 X 5 确定统计量 T ~ t 24 S 25 确定临界值 t 2 24 t0.025 24 2.0639 得否定域W : T 2.0639
由样本值计算T 2.5 t0.025 24
=0.01下, 新生产织物比过去的织物强力是否有提高
? 解 提出假设, H 0 : 21 H1 : 21
X 21 取统计量 U ~ N (0,1) n
否定域为W : U u0.01 =2.33
单侧检验
{U > u0.01}是 小概率事件
解 提出假设, H 0 : 21 H1 : 21
假设强力指标服从假设强力指标服从n2且??12公斤问在显著性水平??001下新生产织物比过去的织物强力是否有提高新生产织物比过去的织物强力是否有提高
正态总体均值的假设检验
假设检验
正态总体均值的假设检验
1.1 单个正态总体均值的假设检验
3．大样本单个正态总体均值的检验
设总体为 X ，它的分布是任意的，方差 2 未知， X1 ，X2 ， ，Xn 为 来自总体 X 的样本，H0 ： 0（ 0 已知）．当样本容量 n 很大（ n 30 ）
时，无论总体是否服从正态分布，统计量 t X 0 都近似服从正态分 S/ n
解 依题意，建立假设 由于 2 未知，故选取统计量
H0 ： 0 72，H1 ： 72 ． t X 0 ， S/ n
已知 0.05 ，故此检验问题的拒绝域为
W t | | t |
x 0
s/ n
t
/
2
(n
1)
．
又知 n 26，x 74.2，s 6.2，查表得 t /2 (25) t0.025 (25) 2.06 ，则有 | t | x 0 74.2 72 1.81 2.06 ， s/ n 6.2/ 26
解 依题意，建立假设 由于 2 未知，取检验统计量
H0 ： 0.8，H1 ： 0.8 ．
t X 0 ~ t(n 1) ， S/ n
已知 0.05 ，故此检验问题的拒绝域为
W t | t x 0 s/ n
t (n 1) ．
又知 n 16 ，x 0.92，s 0.32 ，查表得 t0.05 (16 1) t0.05 (15) 1.75，则有 t x 0 0.92 0.8 1.50 1.75 ， s/ n 0.32/ 16
假设检验 H0 ： 0 ，H1 ： 0 的拒绝域为 W {t | t t (n 1)}．
（7-8） （7-9）
假设检验
正态总体均值的假设检验
1.1 单个正态总体均值的假设检验
单个正态总体均值假设检验(标准差已知,Z检验)
X
n
z 2
0
X
n
z
2
16
7
步骤1：提出检验假设
H0 : 1550, H1 : 1550
步骤2：确定检验规则
检验统计量为 Z X 1550. 取显著水平 0.05, n
由备择假设的形式知，这是左边检验，因此检验 规则为：当Z z z0.05 1.645时，拒绝H0.
8
步骤3:计算检验统计量的值
2
双边假设问题
H0 : 0, H1 : 0,
其中0是已知的常数.
2
拒绝域
接受域
2
检验统计量为 Z X 0
z 2
z 2
n
检验拒绝域W | Z |
X 0 n
z/2 .
3
P_值的计算
对给定的样本观察值x1,, xn,记检验统计量Z的取值
9
利用P_值进行假设检验
步骤3’:计算P_值
P_ P( X 1550 1530 1550 1550) n 120 225
P(Z 2.5) 0.006
步骤4’:根据显著水平作出判断
P_ 0.006 0.05,
同样做出拒绝原假设H0 : 1550的判断.
将样本均值x 1530, 120, n 225,
代入检验统计量，计算得
Z X 1550 1530 1550 2.5 1.645.
n 120 225
步骤4：根据实际情况作出判断
因此，根据检验规则，做出拒绝原假设H0的判断. 即认为A高校学生的生活水平低于B高校.
单个正态总体参数的假设检验
单个正态总体参数的假设检验1.提出假设：首先，我们需要提出关于总体参数的假设。
在单个正态总体参数的情况下，我们通常对总体的均值（μ）或标准差（σ）进行假设。
2.确定显著性水平：显著性水平（α）是一个事先设定的临界值。
根据显著性水平，我们可以决定接受还是拒绝原假设。
3.构建统计量：接下来，我们需要构建一个适当的统计量来判断总体参数的假设。
在单个正态总体参数的情况下，通常使用t统计量或z统计量。
4.计算统计量的值：根据样本数据，计算所选统计量的值。
如果使用t统计量，则需要计算样本均值和标准差；如果使用z统计量，则只需计算样本均值。
5.确定拒绝域：拒绝域是根据显著性水平和统计量的分布确定的。
根据统计量的值和拒绝域的临界值，我们可以决定是否拒绝原假设。
6.做出决策：根据统计量的值和拒绝域，我们可以做出决策：接受原假设或拒绝原假设。
下面以一个具体的例子来说明单个正态总体参数的假设检验。
假设我们要检验一些公司员工的平均工资是否等于5000元。
我们从公司中随机抽取了50个员工的工资数据，假设工资数据服从正态分布。
现在我们要进行假设检验。
1.假设提出：原假设（H0）：员工的平均工资等于5000元；备择假设（H1）：员工的平均工资不等于5000元。
2.显著性水平：我们设定显著性水平为0.053.构建统计量：由于样本量较大（n=50），我们可以使用z统计量。
z统计量的计算方法为（样本均值-总体均值）/（总体标准差/根号n）。
4.计算统计量的值：假设我们计算出样本均值为4950元，总体标准差为100元。
5.确定拒绝域：由于显著性水平为0.05，我们需要找出z值对应的临界值。
在标准正态分布表中查找z=1.96对应的值，并根据原假设的双侧检验找出拒绝域的范围。
6.做出决策：根据统计量的值和拒绝域的范围，我们可以判断是否拒绝原假设。
如果统计量的值落在拒绝域之外，我们将拒绝原假设，即认为员工的平均工资不等于5000元。
单个正态总体参数的假设检验
单个正态总体参数的假设检验一、假设检验的基本概念假设检验是统计推断的一种方法，其基本思想是通过抽样来对总体参数进行推断，并判断总体参数是否满足其中一种假设。
在进行假设检验时，我们首先提出一个原假设（H0），这是一个既定的假设，表示总体参数满足其中一种特定的值或不满足其中一种特定的关系。
同时，我们还提出一个备择假设（H1），表示总体参数不满足原假设。
通过对样本数据的统计推断，我们可以对原假设进行拒绝或不拒绝的判断。
二、假设检验的步骤假设检验一般包括以下步骤：1.提出假设：根据问题的需求和背景条件，提出原假设和备择假设。
2.确定显著性水平：显著性水平（α）是指当原假设成立时，我们愿意犯第一类错误的概率。
一般情况下，我们常使用0.05作为显著性水平。
3.选择检验统计量：根据所需检验的问题，选择适当的检验统计量。
在单个正态总体参数的假设检验中，常用的检验统计量有Z检验和t检验。
4.计算检验统计量的观察值：根据样本数据计算出检验统计量的观察值。
5.根据显著性水平查找拒绝域：根据显著性水平和检验统计量的分布，查找拒绝域的临界值。
6.判断并作出结论：如果检验统计量的观察值落在拒绝域内，则拒绝原假设，否则不拒绝原假设。
三、应用领域1.药物临床试验：在新药物的临床试验中，可以通过对患者进行抽样，检验患者服用药物前后的药效差异是否显著，以判断药物的疗效。
2.市场调研：在市场调研中，可以通过对一定数量的顾客进行问卷调查，检验顾客对其中一种产品的满意度是否显著不同，以了解产品在市场中的竞争力。
3.品质控制：在生产过程中，可以通过抽样检验产品的质量是否符合设定的标准。
例如，食品加工厂可以通过抽样检验产品的营养成分是否达到设定的要求。
4.经济学研究：在经济学研究中，可以通过对一定数量的经济指标进行抽样，检验指标的差异是否显著，以判断宏观经济政策的有效性。
总结：单个正态总体参数的假设检验是统计学中一种重要的方法，通过对样本数据的统计推断，判断总体参数是否满足其中一种假设。
单个正态总体参数假设检验
n
~ N (0,1)
(3)对于给定的显著水平，查正态分布双侧临界值 表，得到临界值 u / 2 ； (4)统计判断： u u / 2 , 拒绝H ，接受H ； 0 1
u u / 2，拒绝H1，接受H0。
双侧检验 （显著性水平与拒绝域 ）
假设H0成立 抽样分布
拒绝域
医药数理统计方法
小概率事件还是会发生的
医药数理统计方法
２.两类错误及记号
(1)当原假设H0为真, 观察值却落入拒绝域, 而作出
了拒绝H0的判断, 称做第一类错误, 又叫弃真错 误。犯第一类错误的概率是显著性水平 。 (2)当原假设H0不真, 而观察值却落入接受域, 而作
出了接受H0的判断, 称做第二类错误, 又叫取伪
拒绝域
/2
1-
接受域
/2
临界值
临界值
样本统计量
医药数理统计方法
例6-2.某药厂正常情况下生产的某药膏含甘草酸量 X~N（4.45，0.1082）.现随机抽查了5支药膏,其含 甘草酸量分别为： 4.40 4.25 4.21 4.33 4.46 若方差不变，问此时药膏的平均含甘草酸量 是否 有显著变化？（=0.05） 分析： 0 4.45, n 5, 0.108
X 64
解: 1.建立假设: H0 : 0 60 H1 : 0 60 2. 计算统计量：
u X 0
n
64 60 4 30
5.48
医药数理统计方法
3. 根据显著水平=0.01，查正态分布临界值表； 查附表４得： u0.01 2.33 4.做出统计判断
(1) X ~ N ( , / n)
2
5.4,5.5一个正态总体参数的假设检验
提出待检验假设
H 0 : µ = 23. 取α = 0.05
X − 23 X −µ 如果 H 0成立 U0 = 2 ~ N (0,1) U= ~ N (0,1) 2 6 6 X − 23 P > uα = α 2 2 6
X = 20.5, U 0 = 3.06 > 1.96 X − 23 P > 1.96 = 0.05 2 不能接受 " µ = 23" 这一假设 6
判 等 "EX = 23"成 与 ? 断 式 立 否
例 2, 用传统工艺加工的红果 罐头 , 每瓶平均维生素 C 的含量为 19毫克 , 现改进加工工艺，抽查 16 瓶罐头，测得 VC 含量为 现改进加工工艺， 瓶罐头， 23； .5； ； ； ； .5； ； ； ； .5； .8； ； .5； ； ； .(毫克 ) 20 21 22 20 22 19 20 23 20 18 20 19 22 18 23 若假定新工艺的方差 (1)σ 2 = 4为已知 ; ( 2 )σ 2 未知 , 问新工艺下 VC 的含量是否比旧工艺下 含量高 ?
2. H 0 : µ ≤ µ 0
解 .待检验的假设是 H 0 : µ ≤ 19. 设 α = 0 .05 , σ 2 = 4
分析
U= X −µ
σ
~ N(0,1)
U0 =
X − 19
σ
. U 0的分布不能确定
当H 0 成立时
n
U ≥ U0
P {U 0 > uα } ≤ P{U > uα }
X − 19 > uα ≤ α 则P σ n
α
第二类错误 当原假设 H0 不成立时，而样本值却落入了接受域，从而 不成立时，而样本值却落入了接受域， 的结论。也就是说， 作出接受 H0的结论。也就是说，把不符合 H0 的总体当 成符合 H0 的总体加以接受 . “纳伪”的错 纳伪” 误
第二节 正态总体参数的检验
2
9
二、两个正态总体参数的假设检验
2 设 有 两 个 相 互 独 立 的 正 态 总 体 X ~ N ( µ1，σ 1 ) ,
Y ~ N ( µ 2，σ ) , 分别抽取独立的样本 ( X1 , X2 ,⋯, Xn1 ) 和
2
µ 第六章证明, X = ( (− , ) 第六章证明,若 χ 2 ~ Nn−1σS 证明 (2) 检验统计量 2
2 2 H 下 O χ1−α / 2(n−1) 2 0 )， 2 则
x
( n − 1) S
~ χ (n −1) ,
(4) 由样本值算得
χ的值； 的值；
2
则拒绝H 否则 不能 若 χ 2 < λ1 或 χ 2 > λ2 ，则拒绝 0 ； 否则, 拒绝H 拒绝 0 .
− tα / 2 ( n − 1) O
tα / 2 (n − 1)
x
~
(4) 由样本值算得 t 的值； 的值； 则拒绝H 如果 | t |> tα 2 (n − 1) ,则拒绝 0 ； 否则, 不能拒绝H 否则 不能拒绝 0 .
5
两家生产同一类产品， 例2 两家生产同一类产品，其质量指标假定都服从正 态分布，标准规格为均值等于120.现从甲厂抽出5 120.现从甲厂抽出 态分布，标准规格为均值等于120.现从甲厂抽出5件 产品,测得其指标值为119,120,119.2,119.7,119.6; 产品,测得其指标值为119,120,119.2,119.7,119.6; 从乙厂也抽出5件产品,测得其指标值为110.5,106.3, 从乙厂也抽出5件产品,测得其指标值为110.5,106.3, 122.2,113.8,117.2。 122.2,113.8,117.2。试判断这两家厂的产品是否符 合标准. 合标准. (α = 0.05 )
单个正态总体参数的假设检验
576.2 576 x 576 0.079 其中 | U | 8 / 10 8/ n
查表 z / 2 z0.025 1.96 0.079 故未落在拒绝域之内,故接受H0 ,即可以认为 576.
综合⑴与⑵,该生跳远成绩水平与鉴定成绩无显著差异.
X -0 取统计量 t ~ t (n 1) S/ n
x -0 拒绝域为 | t | t / 2 (n 1) s/ n 计算 | t | 2.6
| t | 2.6 t0.025 (35) 2.0301
故落在拒绝域之内，拒绝H0 ，接受H1 即不能认为全体考生的平均成绩为70分。 ⑵ μ的置信水平为0.95的置信区间为
2 2 2 双边假设检验 H 0 : 2 0 , H1 : 0
拒绝域为
(n 1) s 2
2 0
12 / 2 (n 1) 或 f y
2 2
(n 1) s 2
2 0
2 / 2 ( n 1)
2 12 / 2 (n 1) / 2 ( n 1)
观测5台压缩机的冷却用水的升高温的平均值为 x 5.34,
样本方差为 s 2 0.631. ⑴ 在显著水平α=0.05下是否可以
认为冷却用水升高温度的平均值不多于5°？(2)求σ2的
置信水平为0.95的置信区间。
解: ⑴ 先提出假设 H 0 : 0 5, H1 : 0
H1 : 0 ，拒绝域为
| x -0 | | u | z / 2 / n
2. σ2未知，检验μ （t 检验法）
n 1 2 可用样本方差 S 2 ( X X ) 代替σ2 k n 1 k 1
正态总体中参数的假设检验
正态总体中参数的假设检验正态总体参数的假设检验是统计推断中的一种方法，用于判断总体参数是否符合我们的假设。
下面将详细介绍正态总体参数的假设检验原理和步骤。
一、假设检验原理正态总体参数的假设检验是通过收集样本数据，计算样本统计量来推断总体参数的方法，其中包括均值和标准差。
在进行正态总体参数的假设检验时，我们首先假设总体参数的值，并设立一个零假设和一个备择假设。
其中零假设（H0）是我们希望证伪的假设，备择假设（H1）是我们希望证明的假设。
然后，我们根据样本数据计算得到样本统计量，比如样本均值和样本标准差，并将其与假设中的总体参数进行比较。
通过计算假设检验统计量的值，我们可以判断是否拒绝零假设，即总体参数是否符合我们的假设。
二、假设检验步骤1.确定假设：我们首先需要确定我们要研究的总体参数是均值还是标准差，并设立零假设和备择假设。
通常情况下，零假设是总体参数等于一些特定值，备择假设可以是总体参数大于、小于或者不等于该特定值。
2.收集样本数据：我们需要从总体中取得一个样本，并记录相应的观测值。
3.计算样本统计量：根据样本数据，我们可以计算得到样本均值和样本标准差。
4.计算假设检验统计量：根据样本数据和零假设中的总体参数值，我们可以计算得到假设检验统计量的值，该值用于判断是否拒绝零假设。
5.设定显著性水平：我们需要设定一个显著性水平，通常为0.05或0.01、显著性水平表示拒绝零假设的程度，如果得到的结果小于显著性水平，则可以拒绝零假设。
6.判断拒绝或接受零假设：根据计算得到的假设检验统计量的值与临界值进行比较，如果假设检验统计量的值小于临界值，则拒绝零假设；如果假设检验统计量的值大于等于临界值，则接受零假设。
7.得出结论：根据拒绝或接受零假设的结果，我们可以得出总体参数是否符合我们的假设。
三、举例说明假设我们要研究厂生产的产品的重量是否符合标准，假设标准重量为500克。
我们收集了一个包含30个产品的样本，并计算得到样本的平均重量为495克，标准差为10克。
正态下单个总体的假设检验例题
正态下单个总体的假设检验例题假设有一个总体，其数据符合正态分布。
现在我们想要检验这个总体的均值是否等于某个特定值。
假设总体的均值为μ，我们要检验的假设为:H0: μ = μ0 （均值等于μ0）Ha: μ≠μ0 （均值不等于μ0）我们可以使用 t 检验来检验这个假设。
t 检验的步骤如下:1. 收集样本数据，并计算样本均值 X 和样本标准差 S。
2. 计算 t 统计量:t = (X - μ0) / (S / √n)其中，n 是样本容量。
3. 根据自由度（df = n-1）和显著性水平，查找 t 分布表得到临界值 t*。
4. 判断 t 统计量是否在临界值范围内。
如果 t 统计量小于 t*（或大于-t*），则接受 H0 假设，表示数据支持总体均值等于μ0。
如果 t 统计量大于 t*（或小于-t*），则拒绝 H0 假设，表示数据不支持总体均值等于μ0。
例如，我们想要检验一个总体样本的均值是否等于60。
我们从这个总体中随机抽取了10个样本，得到样本均值为65，样本标准差为5。
我们假设显著性水平为0.05。
步骤如下:1. 收集样本数据，并计算样本均值 X 和样本标准差 S。
X = 65， S = 52. 计算 t 统计量:t = (X - μ0) / (S / √n)t = (65 - 60) / (5 / √10) = 4.473. 查找 t 分布表得到临界值 t*。
df = n-1 = 10-1 = 9，根据显著性水平0.05和自由度9，在t 分布表中查找得到：t* = ±2.2624. 判断 t 统计量是否在临界值范围内。
t = 4.47 > 2.262，因此拒绝 H0 假设，表示数据不支持总体均值等于60。
因此，我们可以得出结论，总体均值不等于60。
正态下单个总体的假设检验例题
正态下单个总体的假设检验例题假设某个服装店声称其销售的T恤衫平均尺码为M码，现在我们有一份包含了100件T恤衫的销售数据样本，如何进行假设检验来验证该店是否真的平均销售M码的T恤衫呢？1. 假设检验的原假设和备选假设：原假设 H0：该店销售的T恤衫平均尺码为M码。
备选假设 H1：该店销售的T恤衫平均尺码不为M码。
2. 设定显著性水平：在一般情况下，我们会选择显著性水平为0.05，即5%的置信水平。
3. 计算样本统计量：可以计算样本的平均值、标准差、样本数量等统计量。
在这个例子中，我们计算出T恤衫的平均尺码为M码的样本平均值为M'码，标准差为S码，样本数量为n=100。
4. 计算假设检验的统计量：在正态分布下，可以使用t检验或z检验进行假设检验。
因为样本数量n>30，我们可以使用z检验。
具体地，我们可以计算出一个z 统计量，如下所示：z = (M'码 - M码) / (S码 / √n)其中，M'码是样本平均值，M码是假设的总体平均值，S码是样本标准差，n是样本数量。
这个z统计量的意义在于，如果T恤衫的平均尺码是M码，那么我们期望在这个样本中随机抽取一个样本时，其平均尺码与M码相差多少个标准差。
如果计算的z统计量小于2，那么我们就可以接受原假设，即该店销售的T恤衫平均尺码为M码。
5. 计算P值并作出结论：在正态分布下，可以使用标准正态分布表查找z统计量对应的P 值。
在这个例子中，假设计算出的z统计量为1.5，那么查表可以得到P值为0.0668。
因为P值大于设定的显著性水平0.05，所以不能拒绝原假设，即该店销售的T恤衫平均尺码为M码。
6. 结论的解释：根据上述计算，我们不能拒绝该店销售的T恤衫平均尺码为M码的原假设。
这并不意味着我们可以确定该店销售的T恤衫尺码都是M 码，而只是在样本数据的基础上，我们无法拒绝这个假设。
需要注意的是，样本数量较小或者样本数据不具有代表性时，假设检验的结果可能会失效。
单正态总体的参数假设检验
单正态总体的参数假设检验在统计学中，假设检验是一种用于判断总体参数是否符合某种特定假设的方法。
而单正态总体的参数假设检验则是指对一个正态分布总体的参数进行假设检验。
单正态总体的参数假设检验通常涉及两个假设：原假设（H0）和备择假设（H1）。
原假设是我们想要进行检验的假设，而备择假设则是与原假设相反的假设。
在单正态总体的参数假设检验中，我们通常关注的参数有均值（μ）和标准差（σ）。
下面将分别介绍如何进行均值和标准差的参数假设检验。
1. 均值参数假设检验对于均值参数的假设检验，常用的方法有Z检验和T检验。
Z检验适用于总体的标准差已知的情况，而T检验适用于总体的标准差未知的情况。
假设我们要对一个正态分布总体的均值进行假设检验，原假设为均值等于某个特定值（H0: μ = μ0），备择假设为均值不等于特定值（H1: μ ≠ μ0）。
我们需要计算样本的均值（X̄）和标准差（S），然后根据样本量（n）和总体标准差（σ）的已知情况选择对应的检验方法。
如果总体标准差已知，可以使用Z检验。
计算Z统计量的公式为：Z = (X̄ - μ0) / (σ / √n)然后，根据显著性水平（α）选择临界值，比较计算得到的Z统计量与临界值的大小，以判断是否拒绝原假设。
如果Z统计量的绝对值大于临界值，则拒绝原假设；否则，接受原假设。
如果总体标准差未知，可以使用T检验。
计算T统计量的公式为：T = (X̄ - μ0) / (S / √n)同样地，根据显著性水平（α）选择临界值，比较计算得到的T统计量与临界值的大小，以判断是否拒绝原假设。
2. 标准差参数假设检验对于标准差参数的假设检验，常用的方法有卡方检验和F检验。
卡方检验适用于单个总体标准差的假设检验，而F检验适用于两个总体标准差的假设检验。
假设我们要对一个正态分布总体的标准差进行假设检验，原假设为标准差等于某个特定值（H0: σ = σ0），备择假设为标准差不等于特定值（H1: σ ≠ σ0）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
16.3 单个正态总体参数的假设检验
设,,,12n X X X 是来自正态总体()2,N μσ的样本，考虑如下三种关于μ的检
验问题 (1) 00:H μμ≤ vs 10:H μμ> 单侧检验 (2) 00:H μμ≥ vs 10:H μμ< 单侧检验 (3) 00:
H μμ= vs 10:H μμ≠ 双侧检验
********************************************************** (1) 00:
H μμ≤ vs 10:H μμ> 单侧检验
(3) 00:H μμ= vs 10:H μμ≠ 双侧检验
********************************************************** 下面给出σ已知时，上述三种检验情况的具体实现。
σ已知时的，对于单侧检验问题(1) 00:H μμ≤ vs 10:H μμ>，
2
~,
X N n σμ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，故选用服从标准正态分布的检验统计量X u =， 通常称此检验为u 检验。
拒绝域选为()()⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≥σμ-==c x n u x x W n
01:,, ，c 为临界值,简记为{}c u ≥。
若显著性水平要求为α，则可确定α-=1u c 。
同理对 问题(2)，00:
H μμ≥ vs 10:H μμ<，水平为α的检验的拒绝域为
()()⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤σμ-==αu x n u x x W n 01:,, 。
问题(3)，00:
H μμ= vs 10:H μμ≠，水平为α的检验的拒绝域为
()()⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩
⎪
⎨⎧≤σμ-=
=α2-101u x n u x x W n :,, 。
********************************************************** 例16.3.1 设某工厂生产一种产品，其质量指标服从正态分布()2
2,μN
，μ为
平均质量指标，其值越大则质量越好，10=μ是达到优级的标准。
进货商店从一批产品抽取样本,,
,12n X X X ，16=n ，取显著性水平为050.=α，如何检
验这一批产品是否达到优秀。
分析： 根据工厂产品社会声誉可能的不同，分以下两种情况讨论。
情形一，按照过去长时间的记录，商店的检验人员相信该厂的产品质量很好。
情形二，按照过去长时间的记录，该厂的产品质量一直不够好。
情形一求解，按照过去长时间的记录，商店的检验人员相信该厂的产品质量很好。
0:
10H μ≥ vs 1:10H μ<
当10μ=时，样本均值~,2
2
1016X N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()~,100112
X N -。
此时的拒绝域为...005101101645918122x W u x ⎧⎫-⎪⎪⎧⎫=≤=≤-⋅=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭。
当样本均值的观测值.918x >时，就接受产品为优级。
情形二求解，按照过去长时间的记录，该厂的产品质量一直不够好。
这时，商店就可能坚持以0μ≤μ作为原假设，
0:
10H μ< vs 1:10H μ≥
此时的拒绝域为
..1005101101645122x W u x -⎧⎫-⎪⎪⎧
⎫=≥=≥+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭
，
当样本均值的观测值..110164510822
x ≥+=时，接受产品为优级。
这个例子反映了假设检验“保护零假设”的特性。
情形一的做法对接受产品为优级有利；情形二的做法则对接受产品为优级比较苛刻，要求有强有力的证据证明产品质量优秀，才能接受产品为优级。
假设检验中，都是以常识性的、经验性的假设作为原假设，也就是以通常认为正常的情况作为原假设，除非数据表明特别的异常，才拒绝原假设。
**********************************************************
σ未知时，正态总体()2,N μσ关于μ的假设检验，可利用服从1-n 自由度
的t
分布统计量)0X t S
μ-=
进行检验，通常称为t 检验。
三种关于μ的检验问题的显著性水平为α的拒绝域分别为
(1) (
))()011,,:1n x W x x t t n s αμ-⎧⎫-⎪⎪==≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭
(2) ()()()⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤μ-=
=α101n t s x n t x x W n :,, (3) ()()()⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩
⎪
⎨⎧-≤μ-=
=α12-101n t s x n t x x W n :,, 。
********************************************************** 假设检验与置信区间存在密切的关联。
(1) 00:
H μμ≤ vs 10:H μμ> 接受域为1α-置信水平的上侧置
信限的置信区间， (2) 00:
H μμ≥ vs 10:H μμ< 接受域为1α-置信水平的下侧置
信限的置信区间， (3) 00:H μμ= vs 10:H μμ≠ 接受域为1α-置信水平的双边置
信区间。
**********************************************************。