第13章 动应力.
《材料力学 第2版》_顾晓勤第13章第5节 残余应力的概念
第 5 节 残余应力的概念
对于拉压超静定杆系， 若在某些杆件发生塑性变 形后卸载，也将引起残余 应力。
例如对图所示桁架，如 在 3 杆已发生塑性变形， 而 1、2 杆仍然是弹性变形 的情况下卸载，则 3 杆的 塑性变形阻碍 1、2 杆恢复 原长度，这将引起残余应 力。
第十三章 杆件的塑性变形
设矩形截面梁为理想弹塑性材料，在弯矩最大的截
面上已有部分面积变为塑性区，如图所示。把卸载过 程设想为在梁上作用一个逐渐增加的弯矩，其方向与 加载时弯矩的方向相反，当这一弯矩在数值上等于原 来的弯矩时，载荷即已完全解除。
将加载和卸载两种应力叠加，得卸载后余留的应 力如图 d)所示，这就是残余应力。
第 5 节 残余应力的概念
第十三章 杆件的塑性变形
对具有残余应力的梁，如再作用一个与第一次加载 方向相同的弯矩，则应力--应变关系沿图b)中的直线
d d 变化。新增应力沿梁截面高度也是线性分布的。
就最外层纤维而言，直到新增应力与残余应力叠加的 结பைடு நூலகம்等于 时，才再次出现塑性变形。可见，只要第
二次加载与第一次加载的方向相同，则因第一次加载 出现的残余应力，提高了第二次加载的弹性范围。
初应力：凡是没有外部作用，物体内部保持自相平 衡的应力，称为物体的固有应力，或称为初应力。 残余应力是一种固有应力。
残余应力的危害：如会引起机械零件翘曲或扭曲变 形，甚至开裂，经淬火或磨削后表面会出现裂纹。 零件的残余应力大部分可通过适当的热处理消除。
第 5 节 残余应力的概念
第十三章 杆件的塑性变形
第 5 节 残余应力的概念
第十三章 杆件的塑性变形
残余应力：当承载构件某些局部的应力超过屈服极 限时，这些部位将出现塑性变形，但构件的其他部 分还是弹性变形。这时如果将所承受的载荷全部卸 去，已经发生塑性变形的部分不能恢复其原来的尺 寸，同时阻碍弹性部分变形的恢复，从而引起内部 相互作用的应力，这种应力称为残余应力。
《工程力学》实验应力分析
r 1 2 3 4 2(1 )M
上下表面
M
r 2(1 )
E M
E r 2(1 )
R3 R4
R2 t2
R1
B
R1
R2
A
C
R4
R3
D
21
13.3 测量电桥的接法及其应用
例2 通过应变测量(1)求偏心载荷F;(2) 求e.试确定
布片、接桥方案。截面bh
y
e
y
解：(1)测F
z x
F Fe F 分析：
Me
Me
25
13.4 二向应力状态下主应力方向已知时的应力测定
1
3
B
R1
R2
A
C
R4
R3
D
解: 应力分析
1 3
沿与轴线成450方向为主方向,
故沿主应力方向布片.
采用全桥接法.
r 1 2 3 4 41
1
r
4
26
13.4 二向应力状态下主应力方向已知时的应力测定
1
3
B
R1
R2
A
C
R4
工程力学
第13章 实 验 应 力 分 析
1
第13章 实验应力分析
§13.1 概述 §13.2 电测应力分析的基本原理 §13.3 测量电桥的接法及应用 §13.4 二向应力状态下主应力已知时
的应力测定 §13.5 二向应力状态下主应力未知时
的应力测定
2
13.1 概 述
一. 为什么要进行实验应力分析
例1 已知E， , 测定max, 试确定布片、接桥方案。
M
R1
M
解：第一方案，
R2
第十三章动载荷
1 M st max = FN st × 4 qst × 6 2 = 6qst = 6 × 165.62 = 993.7 N m 2
σ st max =
M st max 993.7 N m = = 61.7 MPa Wz 16.1×106 m 3
d(l d ) = ε d ( x)dx =
于是, 于是,杆的总伸长量为
σ d ( x)
E
2
dx
l d = ∫ d (l d ) = ∫
0
l
l
γω 2
2 Eg
0
(l x )dx =
2
γω 2 l 3
3Eg
材料力学
中南大学土木建筑学院
20
§13.3 杆件受冲击时的应力和变形
一,冲击现象
下落重物冲击梁
Vεd = V +T
材料力学
1 应变能 Vε d = F d d 2 1 Fd d = W d + T 2
中南大学土木建筑学院 23
线弹性 范围内
F d d σd = = = Kd W st σst
冲击动荷系数
F = KdW, d = Kd st d
2 d
1 F d = Wd +T d 2
2T =0 K 2Kd Wst
Fd = KdW, d = Kd st
v
W
线弹性 范围内 水平冲击 动荷系数
冲击点
v2 Kd = gst
冲击点作用大小等于W st ——冲击点作用大小等于 的水平 冲击点作用大小等于 静载荷时引起该点的静变形. 静载荷时引起该点的静变形.
材料力学 中南大学土木建筑学院 27
第十三章 宏观内应力的测定
得出宏观应力测定的基本公式
根据弹性力学理论，主应力和主应变之间的 关系通过广义虎克定律描述：
1 [ 1 ( 2 3)] E 1 2 [ 2 ( 1 3)] E 1 3 [ 3 ( 1 2)] E 在主应力坐标系中，任一方向的正应力（或正应变）与主应力（或 主应变）之间的关系为：
1） 单轴应力状态
假如，右图试样截面积为A，在轴向施加 拉力F，其长度将由受力前的L0变为Lf,所 产生的应变εZ为：
Z (L f L0 ) / L0
根据虎克定律，其弹性应力σz为：
Z E Z
拉伸过程中，试样直径由拉伸前的D0变为拉伸后 的Df, 径向应变εX和εY为：
X Y ( D f D 0 ) / D 0
此时，试样各晶粒中与轴向平行晶面的面间 距d也相应变小，如右图示。因此，可用晶 面间距的相对变化表示径向应变：
X Y (d d 0) / d 0 d / d
对各向同性材料，εX、εY和εZ之间满足：
X Y E Z
于是有：
Z
E d d
对布拉格方程微分，可得
应力常数 实际应用中，只要测定上式的M值，即可求得 构件表面的宏观残余应力。
3 实际测量方法
4 X-射线宏观应力测定中的一些问题
1）衍射峰位的确定
宏观内应力测定的衍射参数是衍射峰的位移。存在内应力样品 的衍射峰一般比较漫散，不易测准其峰位。因此，精确测定峰位十 分重要。
2）弹性常数的引用
理论上讲，每个晶粒是各向异性的，采用各向同性的弹性常 数E和υ会引入误差。
分类：(按其平衡的范围)
材料力学(金忠谋)第六版答案第14章
材料力学(金忠谋)第六版答案第14章第十三章 动载荷13－1 铸铁杆AB 长m l 8.1=，以等角速度绕垂直轴O －O 旋转如图示。
已知铸铁的比重3/74m kN =γ，许用拉应力[]MPa 40=σ，材料的弹性模量E ＝160 Gpa 。
试求此杆的极限转速，并计算此杆在转速m r n /100=时的绝对伸长。
解： （1） 极限转速m rn s s l g l g A A Ndl gA dr r qd r Nd x r gAdr ma r qd x r a jx dl n n 1092260137.114175.130799.010*******.92)2(][2][)2(21][)2(21)()()()()(235222222222====⨯⨯⨯⨯⨯=≤≤≤======⎰πωωγσωσωγσσωγωγω（2） 当n ＝1000m rcm m Eg l r EA r Nd l s n l 0252.01052.28.91016039.072.104107423)2(2)(2172.1046010002602492233220=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===∆=⨯==-⎰ωππω（2）吊索： MPa A P d d 55.2105276.14max=⨯==-σ13－3 轴上装一钢质圆盘，盘上有一圆孔。
若轴与盘以s140=ω的匀角速度旋转，论求轴内由这一圆孔引起的最大正应力。
解：23max max 22225.1212.021*********.01060041411060064003.03.047800640404.0mMN W M mN L P N Na gA ma P s m r a z d d d d n n d n =⨯⨯==⋅=⨯⋅===⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅===⨯==πσπδγω13－4 飞轮轮缘的平均直径D ＝1.2m ，材料比重3/72m kN =γ，弹性模量GPa E 200=，轮缘与轮幅装配时的过盈量mmD2.0=∆，若不计轮相的影响，求飞轮允许的最大转速。
3-1-1 应力状态分析
设ABC为主平面，在主平面上有τ=0 由于τ2= S2-σ2 即可得S=σ 所以Sx=Sl=σl Sy=σm Sz=σn 因此有： (σx-σ)l+τyxm+τzxn =0
τxyl+(σy-σ)m+τzyn =0 τxzl+τyzm+(σz-σ)n=0 而：l2+m2+n2=1 此为隐含条件 所以有：
第13章 应力分析stress analysis
本章内容：应用塑性力学分析金属在外力作用下的变形行为 本章重点：点的应力状态分析
应力stress：单位面积上的内力。
材料力学方法：切面法，将物体切开, 利用内力外力平衡条件求切面上 的应力分布。
：把物体切成无数个微六面体（或其他形状），称微元体或单元体，根据 单元体静力平衡条件写出平衡微分方程，再考虑其他条件求解。
13．1 应力状态分析
目标：任意一点的应力状态stress state —— 整个变形体的应 力状态
13．1．1 应力分析截面法
外力outside forces—— 产生内力 应力：正应力（stress）σ，切应力（shear stress）τ 要点：截开物体后，内力变外力。 13．1．1．1 单向拉伸uniaxial tensile应力分析
13．1．4．2 主轴坐标系
若以主应力（σ1 σ2 σ3方向即主轴方向）作坐标系，则坐标轴 为1，2，ห้องสมุดไป่ตู้方向轴。
此时， 在此坐标系下的任意斜面（l, m, n）上有：
S1=σ1l S2=σ2m S3=σ3n 以及：S2=σ12 l2+ σ22 m2 +σ32n2
σ=σ1 l2+ σ2 m2 +σ3n2 τ2= S2-σ2 而且：J1=σ1 + σ2 +σ3 J2=-(σ1σ2 + σ2σ3 +σ3σ1) J3=σ1σ2σ3 又由于：l2+m2+n2=1 所以有： 此方程为一椭球面方程，称应力椭球面。 其中S1 S2 S3分别表示全应力S在1，2，3轴向上的投影。
第13章应力状态分析2007新
x x E
y
z
x
y x E
z x
E
E
A
切应变
G
z
x
x
x
x
G
13- 17
对于各向同性材料，当变形很小且在线弹性范围内， 线应变只与正应力有关；而切应变只与切应力有关。
在最普遍情况下，描述一点处的应力状态需要9个应力 分量，但根据剪应力互等定理，只有6个独立分量。
55.3MPa
13- 12
2° 求主平面和主应力
2 x 2 50 tg 2 0 1.429 x y 70
max
3= -96MPa 27.5
0 27.5
1
0 117.5
2
min
1= 26MPa
x y 2 max x y 2 ( ) x min 2 2
y
x
n
F
0 S x (S cos ) cos x (S cos ) sin y (S sin ) sin y (S sin ) cos 0 x y x y cos 2 x sin 2 由x=y，则 2 2
第13章 应力状态分析
§13–1 应力状态概述
§13–2
§13–3
二向应力状态分析—解析法
复杂应力状态分析
§13–4
§13–5
广义虎克定律
应力分析讨论课—如何取微体 (单元体)
13- 1
§13-1
应力状态概述
A
1
一、点的应力状态 通过同一点所取截面方向不 F 同，应力的大小也不同。 某点不同方位截面的应力 称为该点的应力状态。
第13章 动应力
e
C
T1
D
B
FS
P1
(1
a g
)
60.4kN
FS
P1
FS+P2
T
C
B
P1 P1 a g
T1 J 0e
1 2
P2 g
D 2
2
2a D
0.612kN•m
T2
FS
D 2
36.24kN•m
a
M
1 4
(
FS
P2
)l
16.1kN•
m
r3
M 2 T 2 [ ] d 160mm
W
§13-3 强迫振动时的应力计算
2
(2
R
l
)l
55.8MPa
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
例13-2 图示卷扬机起吊重物P1=40kN以等加速度a=5m/s2上升，鼓轮 重P2=4kN，直径D=1.2m，安装在轴中点C；轴长l=1m，材料许用应
力[ ]=100MPa，试按最大切应力准则设计轴的直径。
A
T T1 T2 36.85kN•m A
.y.
Fcsinwt
§13-3 强迫振动时的应力计算
2．系统参数
1)固有频率w0：w0
g
st
Kg P
2)阻尼系数n：n
gc 2P
3．振动体的微分方程
y..
2n
y.
w
2 0
y
FPc gsinwt
4．小阻尼情况下(n< w0)，方程通解为
y Ae nt sin(
w
2 0
n2
t
)
Bsin(w
t
动载荷（DOC）
12动载荷12.1 概 述本章讨论动载荷下应力、应变的计算，只要应力不超过比例极限，胡克定律仍适用于动载荷下应力、应变的计算，弹性模量也与静载下的数值相同。
本章讨论下述3类问题：(1) 构件有加速度时的应力计算； (2) 冲击； (3) 振动。
至于载荷按周期变化的情况，将于第13章中讨论。
12.2 动静法的应用达朗伯原理指出，对作加速运动的质点系，如假想地在每一质点上加上惯性力，则质点系上的原力系与惯性力系组成平衡力系。
这样，就可把动力学问题在形式上作为静力学问题来处理，这就是动静法。
于是，以前关于应力和变形的计算方法，也可直接用于增加了惯性力的杆件。
例如，图a 1.12表示以匀加速度a 向上提升的杆件。
若杆横截面面积为A ，单位体积的重量为γ，则杆件每单位长度的重量为γA ，相应的惯性力为ag A γ，且方向向下。
将惯性力加于杆件上，于是作用于杆件的重力、惯性力和吊升力R 组成平衡力系(图12.1b)。
杆件成为在横向力作用下的弯曲问题。
均布载荷的集度是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=g a A a g A A q 1γγγ杆件中央横截面上的弯矩为l b l g a A l b l R M ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4121212122γ相应的应力(一般称为动应力)为l b l g a W A W M ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==412d γσ (a)图12.1 以匀加速度向上提升的杆件(a)匀加速度上升的梁；(b)分布力剪图当加速度a 等于零时，由上式求得杆件在静载下的应力为lb l W A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42st γσ 故动应力d σ可以表为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=g a 1st d σσ (b)括号中的因子可称为动荷系数，并记为g aK +=1d (c) 于是(b)式写成st d d σσK = (d)这表明动应力等于静应力乘以动荷系数。
强度条件可以写成[]σσσ≤=st d d K (e) 由于在动荷系数d K 中已经包含了动载荷的影响，所以[]σ即为静载许用应力。
第13章动应力
有
FP y
F
st
y
C t
y
PP
Fc y
g
y cy
y
B
P
st
故有 令
P g
y cy P
st
y
Fc sin
t
n cg 2P
，0
g
st
得到
y
2ny
2 0
y
Fc g P
sin
t
§13.3 强迫振动时的动应力计算
一、振动时的运动微分方程及其解
y
2ny
2 0
y
Fc g P
sin
t
在小阻尼(n 0)情况下，上述微分方程的解为：
最小变形位置
A
t
B
C P Fc
最大变形位置 l 静平衡位置
A
F
st
y
C t
y
PP
Fc y
B
g
y cy
y
§13.3 强迫振动时的动应力计算
一、振动时的运动微分方程及其解
电动机沿铅垂方向的运动微分方程(由动静法)：
P g
y
cy
F
P
Fc
sin
t
0
A
利用
st
y
Fl 3 48 EI z
st
Pl 3 48 EI z
一、匀加速直线运动构件的动应力计算
取研究体
动荷轴力：
FNd
P Ax
P Ax
a g
1
a g
(P
Ax)
静荷轴力： FNst P Ax
动荷系数：
kd
FNd FNst
1
机械设计基础(第13章)
25
Ｖ带型号:
(1) 分类 普通Ｖ带：Y、Z、A、B、C、D、E 窄Ｖ带 ： SPZ、SPA、SPB、SPC
(2) 当带弯曲时→中性层带长不变→节面 带楔角φ变化(减小) →带轮轮槽角φ 0＜40°
26
表13-1 普通V带的截面尺寸（GB11544-89）
型号 ZA B C D E F
b
顶宽b
10 13 17 22 32 38 50
bd
节宽 bd
8.5 11 14 19 27 32 42
高度 h
6 8 10.5 13.5 19 23.5 30
楔角φ
40 ˚
φ
每米质量q（kq/m） 0.06 0.01 0.17 0.30 0.62 0.90 1.52
在V带轮上，与所配用V带的节面宽度相对 应的带轮直径称为基准直径d。
1 F2 n1
F2 n2 2
Ff
F1 工作状态 F1
9
2. 紧松边力的大小
分析: 设带在工作前后带的总长不变，
∵紧边由Ｆ0 →Ｆ1→拉力增加，带增长 松边由Ｆ0 →Ｆ2→拉力减少，带缩短
∵总长不变→∴带增长量＝带缩短量 ∴F1－F0＝F0－F2 ; F1＋F2＝２F0 (13-4)
3.摩擦力的方向:
→Kα↓
当L＞特定条件→绕转次数N↓→传动功率↑→ＫL ＞1
当L＜特定条件→绕转次数N↑→传动功率↓→ＫL ＜ 1
当ｉ4.＞单1根→Ｖd2↑带→功σb率2 ↓增→量承△载P力0 ↑→表传（动1功3-率4）↑P.204 → △P0 ＞0
单根Ｖ带的许用功率[Ｐ0]
[P0]= (P0+△P0) KαKL (13-14)
但vmin≥5 m/S (P=Fv/1000)
材料力学第十三章
A 2L
CL
P=4KN
B
y1
L=1m y2
D
8、各构件均为圆截面，直径d＝20毫米，材料弹性模
量E＝200GPa，L＝1米，第一特征柔度λp= 100，第 二特征柔度λs=57，经验公式σcr＝304－1.12λ，稳定安 全系数nw=3，许用应力 [σ]=140MPa，求此结构的许 可载荷[P]。
C
P
L
B
A
D
L
L
L EL
9、横梁为刚性杆，1、2杆件的材料相同均为A3钢，比例极 限σP＝200MPａ，屈服极限为σs=240Mpa，强度极限为σb＝ 400MPａ。 1杆的直径为ｄ１＝10毫米，杆长L1＝1米。2杆 的直径为ｄ２＝20毫米，杆长为L2＝1米。1杆与横梁的夹角 为30度，2杆与横梁的夹角为60度。两杆的强度与稳定安全 系数均为2.0。求结构的许可载荷[P]＝？
材料和直径均相同问题压杆的临界应力总图弹性失稳弹塑性稳定问题强度失效细长杆细长杆中长杆中长杆粗短粗短杆杆临界应力总图150030sin30cos1计算工作压力mm161081610732crcr26118ab杆满足稳定性要求3选用公式计算临界应力4计算安全系数5结论kn11822两根直径均为两根直径均为dd的压杆杆材料都是材料都是qq235235钢钢但二者长度和约束条件但二者长度和约束条件各不相同各不相同
A
B
L
L
C
3、钢制矩形截面杆的长度为L＝1.732米，横截面为 60×100，P＝100KN，许用应力为[σ]＝30MPａ， 弹性模量E＝200GPａ，比例极限σP＝80MPａ， 屈服极限σS＝160MPａ，稳定安全系数ｎw＝2， ａ＝304MPａ，ｂ＝1.12MPａ。构件安全吗？
工程力学第13章应力状态分析和强度理论
max
m in
x
y
2
(
x
2
y
)2
2 xy
——主应力的大小
3)、 切应力 的极值及所在截面
由
x
y
2
sin 2
xy cos 2 ,
令 d
0
d 1
tan
21
x 2 xy
y
(1 ; 1 1 900 )
——最大切应力 所在的位置
z
x
y y
x
z x
2
I 3 1
(1)求平行于σ1的方向面的应力σα 、 τα ,其上之应力与σ1 无关.
1
3
II 2
(2)求平行于σ2的方向面的应力σα、 τα ,其上之应力与σ2 无关.
2
III 1 3
2
(3)求平行于σ3的方向面的应力σα 、 τα ,其上之应力与σ3 无关.
例2、槽形刚体内放置一边长为a = 10 cm 正方形钢块，试求钢 块的三个主应力。F = 8 kN，E = 200 GPa, μ = 0.3。
Fy
解：1) 研究对象ຫໍສະໝຸດ 正方形钢块y F 80 MPa, A
x
?,
z 0.
x 0, y ?, z ? .
y
x b
a
c x x
y
b x
x
a y
c
y t
n 单元体各面面积
x bc : dA
ab: dAcos ac : dAsin
设：斜截面面积为ｄA，由分离体平衡得：
机械设计基础第13章
普通V带的型号和根数的确定
（1）确定计算功率
• （2） 确定V带的型号和根数
• 1）确定V带的型号。
• 2)V带根数按下式计算：
• 13.3.3
普通V带的设计步骤
• 例13—2
设计一通风机用的v带传动。选用异步电动机驱动，
已知电动机转速n1 =1460r/min，通风机转速n2 =640r/min，通风
摩擦型带传动的特点
•
（1） 优点
•
1)传动带具有弹性和挠性，可吸收振动和缓和冲击，传动平稳，噪声小。
•
2)当传动过载时，带与带轮之间将发生打滑而不致损坏其他零件，具有过载保护作用。
•
3)带传动结构简单，制造、安装及维护均较为方便，成本较低。
• 4)适合于主、从动轴间中心距较大的传动。
•
（2）缺点
•
1)由于有弹性滑动，所以不能保证准确的传动比，传动效率低。
• 2)需要张紧装置，初拉力较大，增大了轴和轴承的受力。
•
3)外形尺寸大，带的寿命较短，不宜用于易燃易爆场合。
• 13.2 带传动的受力分析和运动特性
• 13.2.1
•
带传动的受力分析
（1）带传递的有效拉力和功率
• （2）挠性体摩擦的基本公式
• （3）带传动计算的基本公式
• 13.2
• （3）悬垂拉力
•
悬垂拉力可利用求悬索拉力的方法近似求得
• = K qga N
• Q = (1.2~1. 3)
N
• 13.8 滚子链传动的失效分析和设计计算
• 13.8.1
•
滚子链传动的失效形式
（1）链板疲劳破坏
• 链传动时，由于链条在松边和紧边所受的拉力不同，故链条工作在交变拉
工程力学 第13章 杆件的位移分析与刚度设计
n 梁的弹性曲线与梁的挠度和转角
梁在弯矩（My 或 Mz ）的作用下发生弯曲变形，为叙述简便起见，以下讨论只有一个方 向的弯矩作用的情形，并略去下标，只用 M 表示弯矩，所得到的结果适用于 My 或 Mz 单独 作用的情形。 图 13－3a 所示的梁的变形，若在弹性范围内加载，梁的曲线在梁弯曲后变成一连续光 滑曲线，如图 13－3b 所示。这一连续光滑曲线称为弹性曲线 （elastic curve） ，或挠度曲线 （deflection curve） ，简称弹性线 或挠曲线 。 梁在弯曲变形后，其横截面的位移包括三部分：
图 13－4 梁的位移与约束的关系
在图 13－3b 所示 Oxw 坐标系中，挠度与转角存在下列关系：
dw = tanθ dx
dw =θ dx
(13－9)
在小变形条件下，挠曲线较为平坦，即θ很小，因而上式中 tanθ≈θ。于是有 (13－10)
上述二式中 w＝ w（x） ，称为挠度方程 （deflection equation） 。 应用式（13－2）或式（13－3）以及曲线的曲率公式：
习 题
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第 13 章 弹性杆件位移分析与刚度设计
§ １３—１ 变形与位移的相依关系
１３－１－１ 应力分析中得到的结论－杆件微段变形
对于细长杆件，六个内力分量 FN x、FQ y、FQz、M x、My 、Mz 中，剪力 FQ y 和 FQz 对变形 的影响很小，因而，剪力引起的变形，工程中一般不予考虑。 根据第 8 章和第 9 章的分析，得到 FN x、My、Mz 和 Mx 引起的杆件微段变形分别由下列 各式确定：
Δl＝∫
n
l
0
FNx F l dx = Nx EA EA
工程力学(天津大学)第13章答案
习 题 解 答13−1 木制构件中的单元体应力状态如图所示，其中所示的角度为木纹方向与铅垂线的夹角。
试求：（l ）平行于木纹方向的切应力； （2）垂直于木纹方向的正应力。
解： 由图a 可知MPa0MPa,6.1,MPa 2.0=-=-=x y x τσσ（1）平行于木纹方向的切应力：则由公式可直接得到该斜截面上的应力MPa1.0)]15(2sin[26.12MPa 97.1)]15(2cos[26.1226.121515=-⨯+-=-=-⨯+-+--=--τσ （2）垂直于木纹方向的正应力MPa1.0)752sin(26.12MPa 527.1]752cos[26.1226.127575-=⨯+-=-=⨯+-+--=τσ 由图b 可知MPa 25.1,0,0-===x y x τσσ（1）平行于木纹方向的切应力：则由公式可直接得到该斜截面上的应力MPa08.1)]15(2cos[25.12cos MPa625.0)15(2sin 25.12sin 1515-=-⨯⨯-==-=-⨯=-=--αττατσx x（2）垂直于木纹方向的正应力MPa08.1)752cos(25.12cos MPa625.0)752sin(25.12sin 7575=⨯⨯-===⨯⨯=-=αττατσx x13−2 已知应力状态如图一所示（应力单位为MPa ），试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力解：（a ）已知 MPa 20MPa,10,0MPa 3-===x y x τσσ则由公式可直接得到该斜截面上的应力MPa 习题13−1图(a)(b)MPa10)42cos(20)42sin(210302cos 2sin 2MPa40)42sin(20)42cos(21030210302sin 2cos 22=⨯⨯-⨯⨯-=+-==⨯⨯+⨯⨯-++=--++=ππατασστππατασσσσσααx y x x yx yx（b ）已知 MPa20MPa,10,0MPa 3===x y x τσσ则：MPa21.21)5.222cos(20)5.222sin(210302cos 2sin 2MPa93.12)5.222sin(20)5.222cos(21030210302sin 2cos 22=⨯⨯+⨯⨯-=+-==⨯⨯-⨯⨯-++=--++=ατασστατασσσσσααx y x x yx y x （c ）已知60MPa15MPa,20,MPa 10-====ατσσx y x则：60(2cos[15)]60(2sin[220102cos 2sin 2MPa49.30)]60(2sin[15)]60(2cos[22010220102sin 2cos 22-⨯⨯+-⨯⨯-=+-==-⨯⨯--⨯⨯-++=--++=ατασστατασσσσσααx yx x yx yx13−3 已知应力状态如图所示（应力单位为MPa ），试用图解法（应力圆）计算图中指定截面的正应力与切应力。
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§13-2
2．计算公式
考虑惯性力时构件的动应力计算
1)动荷系数： kd 1 a kd ——动荷系数，动应力与静应力的比值。 g
d kd st 2)动应力计算：
d kd st [ ] [ ]——静载许用应力 3)强度条件：
4)动变形： d kd st
三、匀角速旋转构件的动应力
§13-3
强迫振动时的应力计算
1)通解第一项随时间的增加而减小——衰减振动 2) c
4) FNd在x=R处最大： FNdmax
g Aw 2
2g
( 2 R l )l
g Aw 2
2g
[( R l ) 2 x 2 ]
FNdmax gw 2 5) 叶根部的动应力： d ( 2 R l )l 55.8MPa A1 g
§13-2
考虑惯性力时构件的动应力计算
例13-2 图示卷扬机起吊重物P1=40kN以等加速度a=5m/s2上升，鼓轮 重P2=4kN，直径D=1.2m，安装在轴中点C；轴长l=1m，材料许用应 力[ ]=100MPa，试按最大切应力准则设计轴的直径。 T1 J 0e e 2 P 1 D 2a 2 T1 C 2 g2 D D 0.612kN m A B T2 FS D 2 a FS P1 (1 ) 60.4kN FS 36.24kN m g P1 T T1 T2 a 36.85kN m FS+P2 P1 T P1 A B a C g
第十三章
• §13-1 概 述
动应力
• §13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
• §13-3 强迫振动时的应力计算
• §13-4 冲击应力及变形的计算
• §13-5 考虑受冲杆件质量时应力和变形的计算*
• 小 结
§13-1 一、动载荷
概
述
载荷从零缓慢增加到终值，可不考虑加载过 1．静载荷： 程中的加速度。 构件速度在短时间内发生急剧变化，产生明 2．动载荷： 显的加速度。 3．动(荷)应力： 由动载荷在构件中产生的应力，当动应 力不超过比例极限时，弹性模量不变， 胡克定律仍适用。
ds p i
D dj O
j
v Dw / 2 ——圆环切向速度
qd∝v2(w 2)，与横截面面积无关，所以，对于转 2．讨论： 动构件，要降低动应力，必须控制其转速，而不 是加大截面面积。
§13-2 四、例题
考虑惯性力时构件的动应力计算
例13-1 汽轮机叶轮以n=3000r/min匀速转动，叶轮外缘半径R=103.4cm， 叶片长l=3.4cm，截面积A=1.79cm2，叶根截面积A1=A/2，叶片材料的容 重g=7.75×10-2N/cm3，求叶片根部的应力。 qd 解：1)dx微段惯性力 FNd gAdx 2 dFd (w x ) l g 2)单位长度惯性力为 dFd gAw 2 qd x dx g R 3)x截面处的轴向力为 Rl dx x FNd x qd dx
§13-3
2．系统参数 1)固有频率w0： w0
强迫振动时的应力计算
Kg gc 2)阻尼系数n： n P 2P
st
g
3．振动体的微分方程 Fc g .. . 2 y 2 n y w 0 y sinwt P 4．小阻尼情况下(n< w0)，方程通解为
2 y Ae nt sin( w 0 n 2 t ) Bsin(w t e ) Fc g 1 B 2 2 2 P w 0 1 w /w 0 4 n/w 0 2 w /w 0 2 e arctan 2 nw 2 w0 w 2
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二、三类动荷问题
1．匀加速直线运动或匀角速转动； 2．强迫振动； 3．冲击。
§13-2 一、动静法
考虑惯性力时构件的动应力计算
1．惯性力： | Fi | ma ——方向与加速度方向相反 2．将惯性力加到物体上等效成平衡无加速度受载情况； 3．动静法(惯性力法)： 将运动物体等效转变为静止或匀速直线运动情况， 从而将动力学问题转化为静力学问题的方法。
.
.. Py g. cy Fcsinwt
静平衡位置 l
最大位移位置
1．用动静法列平衡方程 . . P .y c y K ( st y ) P Fc sinwt 0 g Fc g P K st . . gc . Kg y sinwt y y P P P
y .. y
二、匀加速直线运动构件的动应力
1．引例
§13-2
考虑惯性力时构件的动应力计算
m
m x
a
P
起重机以加速度a提升重物，绳索横截面 面积为A，材料容重为g ，计算绳索横截 面上的应力 Fx 0 : FNd Axg FNd Axg a P Pa0 g g a) F ( Ax g P )( 1 Nd Agx g x Agx FNd Axg P a) a ( 1 g d A A g Axg P st A P a k k 1 Pa d d st d g g
2 2 M T 1 [ ] d 160mm M ( FS P2 ) l 16.1kN m r3 W 4
§13-3
强迫振动时的应力计算
一、单自由度弹性体强迫振动引例
构件由外界干扰力引起的振动 强迫振动：
最小位移位置 A
wt
C
Fc
B B B
st
st
y
K(st+y) P y
直径为 D的薄圆环，厚度为 t(t<<D) ， 宽为 b( 垂 1．引例： 直于纸面)，环以匀角速度w 绕O点转动，试求 圆环中的动应力。
§13-2
w
t
考虑惯性力时构件的动应力计算
1)ds段惯性力为 g D 2 ( FNd )ds ( b ds t )( w ) g 2 2)沿环壁单位面积惯性力pi ( FNd )ds tgD 2 pi w bds 2g 3)圆环的环向应力qd为 pi D g D 2 2 g v 2 qd w 2t 4g g