大一上学期高数期末考试题

咼数期末考试(A )

一、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)

x

6.若

F(x) 0 (2t x

)f(t)dt ,其中f (x )在区间上(1,1)

_阶可导且 f(x) 0 ，则().

(A) 函数F (x )必在x 0处取得极大值； (B) 函数F(x)必在x 0处取得极小值；

(C) 函数F (x)在x 0处没有极值，但点(0,F (0))为曲线y F(x)的拐点；

三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分) 9. 设函数y y (x )由方程e x y

sin(xy) 1确定，求y(x)以及y (°)

1 x 7

,

求 —dx.

10.

x(1 x )

1.

已知£osx 是f(x)的一个原函数

x r r cosx

则 f(x) d x

x

2. lim n —(cos 2

— n n cos 2 乙 L

n

2

n

cos ——

n

2 .

x arcs in x ,—Idx —丄丿1 x 2 2 .

单项选择题(本大题有4小题，每小题4分, 设(x) -—x , (x) 3 3Vx ，则当 x 1时( 1 x

(A ) (x)

与(x)

是同阶无穷小，但不是等价无穷小； 是等价无穷小；

(C ) (X )是比

无穷小.

5 设 f (x)

'(A ) f (0)

3. _ 、

4. cos 2

(x)高阶的无穷小; x( X (B)

sin x ),贝V 在 x f (0)1( C ) (D ) 共16分) (B ) (x)与(x)

(X )是比(X )高阶的 0处有( f (°)0

(D )

).

f (x)

不可导.

7.

8.

设f (X)是连续函数，且

1

f (X) x 2 0 f (t)dt ,则 f (x)(

2

X

2

X

2

(A ) 2

(B ) 2 (C ) x 1

(D ) x 2.

(D)函数F (x)在x 0处没有极值，点(0,F (0))也不是曲线y F(x)的拐点

四、解答题(本大题10分)

14. 已知上半平面内一曲线 y y(x) (x 0)，过点(01)，且曲线上任一点 M(X 0,y 0)处切线斜

率数值上等于此曲线与 x 轴、y 轴、直线x X 。所围成 面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分)

15. 过坐标原点作曲线y ln x 的切线，该切线与曲线y ln x 及x 轴围

成平面图形D.

(1)求D 的面积A ； (2)求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)

16. 设函数f(x )在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q [0，1]，

q

1

f (x) d x q f (x)dx

f ( x) d x 0 f (x)cos x dx 0

17. 设函数f(x)在0，上连续，且0

证明：在0

，内至少存在两个不同的点1

，2

，使

f( 1) f ( 2)

0.

(提

x

F(x) f(x)dx

示：设

解答

一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C

、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)

9.解：方程两边求导

x y

e (1 y) cos(xy)(xy y) 0

11.

12.

13.

设 f (x)

xe

2"

x ， 设函数f

(x )连续, g (x )并讨论g (x )在x

g(x)

0 x 1

1 f (xt)dt

3 f(x)dx .

求微分方程xy 2 y

，且x

0处的连续性.

xlnx 满足

y (1)

lim

0 空A x

，A 为常数.求

1

9的解.

5.

1 ,COSX\2

.6.2(C OS")

c .7. 三、解答题(本大题有5小题，每小题

2. 8. 3 8分，共40分)

y x

9

y(x )

e x y ycos(xy) e x y

x cos(xy) 0 y(0) 10.解： u 7 x 6

7x dx 原式 1 (1 u). du 7 u(1 u)

1 7仲

|u| 2ln |u 1 , |x 7 ,2,-

ln I ln |1

1|) du 7 x 7 x 0, y 1 0 3 11.解: 3 f(x)dx 0

3

xd( xe x

dx x 2 dx

12.解: x

xe

0 1 (x 1)2dx

0 0

3

- cos 2 d (令 x

2

1 sin )

-2e 3

4 由 f (°)

g(0)

x

xt

g(x )

f (xt )dt

(u)du

(x

0)

g(x)

g(0)

x

xf (x) f (u)du

_______ 0

2 x

x

f(u)du

0 (x 0)

lim

x

f(x) 2x xf(x)

100 g (x)

x m

lim x 0

x

f (u)du 0 __________ ~2 x

A

2 , g (x)在 x

处连续。

dy 13.解:dx

2 -y x

-dx x

In

y e 'xln

3

1

y(1)

-,C

9

-dx

e x In xdx Cx 2

'xln 3 四、解答题（本大题10分）

C)