大一上学期高数期末考试题
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咼数期末考试(A )
一、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)
x
6.若
F(x) 0 (2t x
)f(t)dt ,其中f (x )在区间上(1,1)
_阶可导且 f(x) 0 ,则().
(A) 函数F (x )必在x 0处取得极大值; (B) 函数F(x)必在x 0处取得极小值;
(C) 函数F (x)在x 0处没有极值,但点(0,F (0))为曲线y F(x)的拐点;
三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 设函数y y (x )由方程e x y
sin(xy) 1确定,求y(x)以及y (°)
1 x 7
,
求 —dx.
10.
x(1 x )
1.
已知£osx 是f(x)的一个原函数
x r r cosx
则 f(x) d x
x
2. lim n —(cos 2
— n n cos 2 乙 L
n
2
n
cos ——
n
2 .
x arcs in x ,—Idx —丄丿1 x 2 2 .
单项选择题(本大题有4小题,每小题4分, 设(x) -—x , (x) 3 3Vx ,则当 x 1时( 1 x
(A ) (x)
与(x)
是同阶无穷小,但不是等价无穷小; 是等价无穷小;
(C ) (X )是比
无穷小.
5 设 f (x)
'(A ) f (0)
3. _ 、
4. cos 2
(x)高阶的无穷小; x( X (B)
sin x ),贝V 在 x f (0)1( C ) (D ) 共16分) (B ) (x)与(x)
(X )是比(X )高阶的 0处有( f (°)0
(D )
).
f (x)
不可导.
7.
8.
设f (X)是连续函数,且
1
f (X) x 2 0 f (t)dt ,则 f (x)(
2
X
2
X
2
(A ) 2
(B ) 2 (C ) x 1
(D ) x 2.
(D)函数F (x)在x 0处没有极值,点(0,F (0))也不是曲线y F(x)的拐点
四、解答题(本大题10分)
14. 已知上半平面内一曲线 y y(x) (x 0),过点(01),且曲线上任一点 M(X 0,y 0)处切线斜
率数值上等于此曲线与 x 轴、y 轴、直线x X 。所围成 面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分)
15. 过坐标原点作曲线y ln x 的切线,该切线与曲线y ln x 及x 轴围
成平面图形D.
(1)求D 的面积A ; (2)求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)
16. 设函数f(x )在0,1上连续且单调递减,证明对任意的q [0,1],
q
1
f (x) d x q f (x)dx
f ( x) d x 0 f (x)cos x dx 0
17. 设函数f(x)在0,上连续,且0
证明:在0
,内至少存在两个不同的点1
,2
,使
f( 1) f ( 2)
0.
(提
x
F(x) f(x)dx
示:设
解答
一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C
、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)
9.解:方程两边求导
x y
e (1 y) cos(xy)(xy y) 0
11.
12.
13.
设 f (x)
xe
2"
x , 设函数f
(x )连续, g (x )并讨论g (x )在x
g(x)
0 x 1
1 f (xt)dt
3 f(x)dx .
求微分方程xy 2 y
,且x
0处的连续性.
xlnx 满足
y (1)
lim
0 空A x
,A 为常数.求
1
9的解.
5.
1 ,COSX\2
.6.2(C OS")
c .7. 三、解答题(本大题有5小题,每小题
2. 8. 3 8分,共40分)
y x
9
y(x )
e x y ycos(xy) e x y
x cos(xy) 0 y(0) 10.解: u 7 x 6
7x dx 原式 1 (1 u). du 7 u(1 u)
1 7仲
|u| 2ln |u 1 , |x 7 ,2,-
ln I ln |1
1|) du 7 x 7 x 0, y 1 0 3 11.解: 3 f(x)dx 0
3
xd( xe x
dx x 2 dx
12.解: x
xe
0 1 (x 1)2dx
0 0
3
- cos 2 d (令 x
2
1 sin )
-2e 3
4 由 f (°)
g(0)
x
xt
g(x )
f (xt )dt
(u)du
(x
0)
g(x)
g(0)
x
xf (x) f (u)du
_______ 0
2 x
x
f(u)du
0 (x 0)
lim
x
f(x) 2x xf(x)
100 g (x)
x m
lim x 0
x
f (u)du 0 __________ ~2 x
A
2 , g (x)在 x
处连续。
dy 13.解:dx
2 -y x
-dx x
In
y e 'xln
3
1
y(1)
-,C
9
-dx
e x In xdx Cx 2
'xln 3 四、解答题(本大题10分)
C)