分数的混合运算知识点及典型题

2018苏教版六上
分数混合运算知识点及典型题
一、分数的计算： 1. 分数的加减法
同分母分数相加减：分母相同，分母不变，只把分子相加减，结果注意化简成最简分数。

异分母分数相加减：分母不同，先通分（计算两个分母的最小公倍数），转化为同分母分数，再分子相加减，最后化简成最简分数。

分数加减混合运算：按从左往右顺序计算，有括号先算括号里面的。

2. 分数的乘法：
（1）分数乘整数时，用分数的分子和整数相乘的积做分子，分母不变。

（能约分要在计算中先约分，整数与分母约）
（2）分数乘分数,用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母,能约分的要约成最简分数。

（能约分的要先约分，再计算。

)。

用于快速比较大小的结论：
（1）一个数与比1小的数相乘，积小于原数； （2）一个数与1相乘，积等于原数
（3）一个数与比1大的数相乘，积大于原数。

3. 分数除法法则：
甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。

【最后化简成最简分数】 用于快速比较大小的结论：
（1）当除数小于1，商大于被除数； （2）当除数等于1，商等于被除数； （3）当除数大于1，商小于被除数。

4.分数混合运算与整数混合运算的顺序一样：
先算乘除，后算加减，有括号的，先算括号里的，同一级运算，应从左到右依次计算。

5.整数的运算律在分数中同样适用：
加法的交换律：a b b a +=+ 加法的结合律：()()a b c a b c ++=++ 乘法的交换律：a b b a ⨯=⨯ 乘法的结合律：()()a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯ 乘法的分配律：()a b c a c b c +⨯=⨯+⨯
减法的性质：a-b-c=a-(b+c) 除法的性质：a ÷b ÷c=a ÷(b ×c)
6.在分数连乘中，可以同时进行约分（所有的分子可以和所有的分母约分）。

7.分数乘除法混合运算，先将里面的除法改成乘法（除号改成乘号，除号后面的数改成它的倒数），再进行约分、计算。

8.加、减、乘、除混合运算，先算乘、除，再算加、减；有括号先计算括号里的。

二、 分数应用题 1、 遇到分数应用题，当分数后面没有单位时，可以按一下思路进行： （1） 弄清分数在题目中的意义：
A 是（占）
B 的m n 几分之几。

A 比B 多m n 。

A 比B 少m
n。

（2） 找出单位“1”的量： 上面的“是”、“占”、“比”后面的量就是单位“1”的量。

（3） 画出线段图： （4） 找出相等关系：“比、占、是、相当于”即“=” 。

“的”即“×”。

“比多（比少）”即“×”。

如：
例 甲是乙的51 → 甲=乙×51
甲比乙多51 →甲比乙多的部分=乙× 51 且甲=乙+乙×51，或甲=乙×（1+51
）
甲比乙少51 →甲比乙少的部分=乙× 51 且甲=乙－乙×51，或甲=乙×（1－5
1
）
（5） 弄清甲和乙，谁是已知的，谁是未知的，用乘法还是除法。

上面关系式中，单位“1”（乙）要是已知的，求甲，直接用乘法； 甲要是已知的，求单位“1”（乙），用除法或用方程方法解。

三、分数应用题的分类
1.已知单位“1”和对应的分率，求对应的量。

（1）求A 千克的m n 是多少千克？单位“1”A ×m n
（分率）=是多少千克（分率对应的量）。

（2）求比A 千克多m n ，多多少千克？单位“1”A ×m n
（分率）=多的千克数（分率对应的量）。

（3）求比A 千克多m n 是多少千克？单位“1”A ×（1 + m
n
）（分率）=是多少千克（分率对应的比较量）。

（4）求比A 千克少m n ,少多少千克？单位“1”A ×m
n
（分率）=少的千克数（分率对应的比较量）。

（5）求比A 少m n 是多少千克？单位“1”A ×（1 - m n
）（分率）=是多少千克（分率对应的比较量）。

2、求一个数是另一个数的几分之几（所求的分率）。

这类问题特点是已知两个数量，比较它们之间的倍数关系，解这类应用题用除法。

基本的数量关系是：比较量÷标准量=分率。

（1）求a 是b 的几分之几: a ÷b=分率（几分之几）。

（2）求a 比b 多几分之几：相差量÷单位“1”的量=分率（多几分之几）,即(a －b)÷b 。

（3）求c 比d 少几分之几：相差量÷单位“1”的量=分率（少几分之几）,即（d －c ）÷d 3、已知一个数的几分之几是多少，求这个数。

这类问题特点是已知一个数的几分之几是多少的数量，求单位“1”的量，解这类应用题用除法。

基本的数量关系是：分率对应的量÷分率=标准量。

（1）已知一个数的m
n
是多少，求这个数:
是多少（分率对应的量）÷m
n
（分率）=单位“1”的量。

（2）已知一个数比另一个数多m n
多多少，求这个数：
多多少（分率对应的量）÷m
n
（分率）=单位“1”的量。

（3）已知一个数比另一个数多m
n
是多少，求这个数：
是多少（分率对应的量）÷（1 + m
n
）（分率）=单位“1”的量。

（4）已知一个数比另一个数少m
n
少多少，求这个数： 少多少（分率对应的量）÷
m
n
（分率）=单位“1”的量。

（6） 已知一个数比另一个数少m n
是多少，求这个数：
是多少（分率对应的量）÷（1 –m
n
）（分率）=单位“1”的量。

四、分数应用题的基本训练 1、正确审题能力训练
正确审题是正确解题的前提。

这里所说的审题能力，首先是根据题中的分率句，能准确分清比较量和标准量（看分率是谁的几分之几，谁就是单位“1”量），且判断单位“1”量已知（用乘法）或单位“1”未知（用除法或列方程），为确定解题方法奠定基础；其次会把“比”字句转化成“是”字句；第三是能将省略式的分率句换说成比较详细的句子的能力。

2、画线段图的训练
线段图有直观、形象等特点。

按题中的数量比例，恰当选用实线或虚线把已知条件和问题表示出来，数形结合，有利于确定解题思路。

（1）如果是2个量之间的关系，画2条线段：一般地，单位“1”的量画在上面，另一个量画在下面。

（2）如果是整体与部分的关系，画1条线段。

3、量、率对应关系训练
量、率对应关系的训练是解较复杂分数应用题的重要环节。

通过训练，能根据应用题的已知条件发挥联想，找出各种量、率间接对应关系，为正确解题铺平道路。

如：一批货物，第一次运走总数的15 ，第二次运走总数的1
4 ，还剩下143吨。

量、率对应关系
有：
货物的总重量1” 第一次运走的重量 1
5
第二次运走的重量
两次工运走的重量 + 1
4
第一次比第二次少运的重量
— 1
5
第一次运走后剩下的重量—1
5
143吨— 1
5 — 1
4
4、 转化分率训练
在解较复杂的分数应用题时，常需要将间接分率转化为直接运用于解题的分率。

（1）已修总长的58 ，则未修是总长的1 — 58 = 3
8 ；
（2）甲班人数是乙班的89 ，则乙班人数是甲班的9
8 ；
（3）今年比去年增产15 ，则今年产量是去年的1 + 15 = 11
5
；
（4）第一次运走总数的14 ，第二次运走剩下的15 ，则第二次运走的是总数的 [(1 — 14 ) × 15 ] = 3
20 等。

5、 由分率句到数量关系式训练
“分率句 数量关系式”的训练，是确保正确列式解题的训练。

如：由“男生比女生少1
4
”可列数量关系式：
女生人数 ×（1 — 14 ）= 男生人数； 女生人数×1
4 = 男生比女生少的人数；
男生人数 ÷（1 — 14 ）= 女生人数； 男生比女生少的人数÷1
4 =女生人数。

二、典型题
（一典型题：
1.计算，能简算的要简算。

2112732⨯÷ 56213256⨯-÷ 5
324592181⨯+÷ 2
1
1575427⨯÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-
241
652143÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ 3335216()5449557÷⨯-⨯+÷ 34 ×56 ÷56 ×34
（97+9997）÷97 91514151191÷+⨯ 25－25×199198 199
198×198
54314385⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛÷＋ 6
583431÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛－－ 371
71146⨯÷－－
88×（44183+） 85389247+÷+ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+7553712－ 9412191⨯⨯⎪⎭
⎫
⎝⎛－
2.解方程
4110385=-χχ 5
11
3254=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯χ 116111052=÷⨯χ 3114175=⨯⨯χ
（二）解决问题
1.国家一级保护动物野生丹顶鹤，2001年全世界约有2000只，我国占其中的1
4 ，其它国家约
有多少只？
2.小亮储蓄箱中有18元，小华储蓄的钱是小亮的56 ，小新储蓄的钱是小华的2
3 。

小新储蓄多
少钱？
3.一种服装原价105元，现在降价2
7
，现在售价多少元？
4. 一个儿童体内所含水分有28千克，占体重的4
5。

这个儿童的体重有多少千克？
5. 一条裤子的价格是75元，是一件上衣的2
3。

一件上衣多少元？
6.一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了全程的14 ，第二小时行了全程的5
18 ，两小时行了
114千米。

两地之间的公路长多少千米？
7.光明小学航模小组是生物小组的45 ，生物小组的人数是美术小组的1
3 。

航模小组有8人，美
术小组有多少人？
8.商店运来一些水果，运来苹果20筐，梨的筐数是苹果的34 ，同时又是橘子的3
5 。

运来橘子
多少筐？
9.学校食堂九月份用煤气640立方分米，十月份计划用煤气是九月份的
9
10
，而十月份实际用煤气比原计划节约1
12。

十月份比原计划节约用煤气多少立方分米？
10.师徒二人计划加工320个零件，结果师傅完成了计划的43，徒弟完成了计划的5
3。

他俩超额完成了多少个零件？
11.校运动会上参加田径赛的同学有144名，期中有85的同学参加田赛，有3
2
的同学参加径赛。

田赛和径赛都参加的同学有多少名？
12.小红、小军和小明参加智力竞赛，一共答对24题，小红答对的题数是另外两人的3
1
，小明答
对的题数是另外两人的2
1。

小红和小明共答对几题？
2018苏教版六上分数应用题
——题组对比练习
1.（1）人的心脏跳动的次数随着年龄而变化。

青少年每分钟约跳75次，婴儿每分钟心跳的次
数比青少年多4
5。

婴儿每分钟心跳比青少年多多少次？
（2）.人的心脏跳动的次数随着年龄而变化。

青少年每分钟约跳75次，婴儿每分钟心跳的次
数比青少年多4
5。

婴儿每分钟心跳多少次？
2.（1）学校有20个足球，篮球比足球多1
4
，篮球有多少个？
（2）学校有20个足球，篮球比足球少1
5
，篮球比足球少多少个？
（3）学校有20个足球，篮球比足球少1
5
，篮球有多少个？
（4）学校有20个足球，足球比篮球多1
4
，篮球有多少个？
（5）学校有20个足球，足球比篮球少1
5
，篮球有多少个？
3.（1）学校的果园里有梨树15棵，苹果树20棵。

梨树的棵数是苹果树的几分之几？
（2）学校的果园里有梨树15棵，苹果树20棵。

苹果树的棵数是梨树的几倍？
（3）学校的果园里有梨树15棵，苹果树20棵。

苹果树的棵数比梨树多几分之几？
（4）学校的果园里有梨树15棵，苹果树20棵。

梨树的棵数比苹果树少几分之几？
4. （1）一种服装原价105元，现在降价2
7
，现在售价多少元？
（2）一种服装原价105元，现在涨价2
7
，涨了多少元？现在售价多少元？
（3）一种服装，降价2
7
后售价是105，原价是多少元？
（4）一种服装，涨价2
7
后售价是105，原价是多少元？
（5）相同的衣服A 、B 两店原价都是480元/件，
A 店先提价41，再降价41销售；
B 店先降41，又涨41
；根据所给信息，你有什么想法？
5.（1）比27 千克多15 是（ ）千克，比27 千克多1
5 千克是（ ）千克
（2）比27 千克少15 是（ ）千克，比27 千克少1
5 千克是（ ）千克
（3）27 千克的15 是（ ）千克；27 千克是（ ）千克的1
5
（4）27 千克比（ ）多15 ；27 千克比（ ）多1
5
千克
6. （1）一桶水，用去它的3
4 ，正好是15千克。

这桶水重多少千克？
（2）一桶水，用去它的3
4
，还剩是15千克。

这桶水重多少千克？
7. （1）某工程队修筑一条公路。

第一周修了这段公路的14 ，第二周修筑了这段公路的2
7
，第
二周比第一周多修了2千米。

这段公路全长多少千米？
（2）某工程队修筑一条公路。

第一天修了38米，第二天了42米。

第一天比第二天少修的
是这条公路全长的1
28。

这条公路全长多少米？
8.（1）若a 比b 多1
5
，则b 比a 少（ ）【填分数】
（2）水结成冰，体积增加
121
，冰化成水，体积减少（ ）【填分数】 9.（1）一位同学在计算()3x 52－时，错当成3x 5
2
－，这样计算出来的结果与正确的结果相差（ ）
（2）明明在计算3×－＋□⎪⎭⎫ ⎝⎛514
1
时，把括号弄丢了，计算结果比正确结果小了31，请问□
里的数应该是（ ）。