函数图像变换公式大全(可编辑修改word版)

蕾博士函数图像变换公式大全

一、点的变换.设 P (x 0 , y 0 ) ，则它

（1） 关于 x 轴对称的点为(x 0 ,- y 0 ) ；

（2） 关于 y 轴对称的点为(-x 0 , y 0 ) ；

（3） 关于原点对称的点为(-x 0 ,- y 0 ) ；

（4） 关于直线 y = x 对称的点为( y 0 , x 0 ) ；

（5） 关于直线 y = -x 对称的点为(- y 0 ,-x 0 ) ；

（6） 关于直线 y = b 对称的点为(x 0 ,2b - y 0 ) ；

（7） 关于直线 x = a 对称的点为(2a - x 0 , y 0 ) ；

（8） 关于直线 y = x + a 对称的点为( y 0 - a , x 0 + a ) ;

（9） 关于直线 y = -x + a 对称的点为(- y 0 + a , a - x 0 ) ;

（10） 关于点(a , b ) 对称的点为(2a - x 0 ,2b - y 0 ) ；

（11）

按向量(a , b ) 平移得到的点为(x 0 + a , y 0 + b ) .

二、曲线的变换.曲线 F (x , y ) = 0 按下列变换后所得的方程：

(1) 按向量(a , b ) 平移，得到 F (x - a , y - b ) = 0 ；

(2) 关于 x 轴对称，得到 F (x ,- y ) = 0 ；

(3) 关于 y 轴对称，得到 F (-x , y ) = 0 ；

(4) 关于原点对称，得到 F (-x ,- y ) = 0 ；

(5) 关于直线 x = a 对称，得到 F (2a - x , y ) = 0 ；

(6) 关于直线 y = b 对称，得到 F (x ,2b - y ) = 0 ；

(7) 关于点(a , b ) 对称，得到 F (2a - x ,2b - y ) = 0 ；

(8) 关于直线 y = x 对称，得到 F ( y , x ) = 0 ；

(9) 关于直线 y = x + a 对称，得到 F ( y - a , x + a ) = 0 ；

(10) 关于直线 y = -x + a 对称，得到 F (-x + a , a - y ) = 0 ； (11) 纵坐标不变横坐标变为原来的a 倍，得到方程 F ( x

, y ) = 0 ；

a

(12) 横坐标不变纵坐标变为原来的b 倍，得到方程 F (x , y

) = 0

b

三、两个函数的图象对称性

1:左右平移: y = f (x ± a ) （ a > 0 ）的图像可由 y = f (x ) 的图像向左（+）或向右

（—）平移a 个单位而得到； y = f (mx ± a ) （ m > 0, a > 0 ）的图像可由 y = f (mx ) 的图像向左（+）或向右（—）平移 a

个单位而得到;

m

2. 上下平移： y = f (x ) ± b （b > 0）的图像可由 y = f (x ) 的图像向上（+）或向下

（—）平移b 个单位而得到；

3. y = f (-x ) 的图像与 y = f (x ) 的图像关于 y 轴对称；换句话说： y = f (x ) 与

y = g (x ) 若满足 f (x ) = g (-x ) ，即它们关于 x = 0 对称。

4. y = - f (x ) 的图像与 y = f (x ) 的图像关于 x 轴对称；换句话说： y = f (x ) 与

y = g (x ) 若满足 f (x ) = -g (x ) ，即它们关于 y = 0 对称。

5. y = - f (-x ) 的图像与 y = f (x ) 的图像关于原点对称；

6. y =| f (x ) |的图像可如此得到： y = f (x ) 的图像在 x 轴下方的部分以 x 轴为对

称轴翻折到 x 轴的上方，其余不变；

7. y = f (| x |) 的图像：保留 y = f (x ) 的图像在 y 轴右侧的部分，并沿 y 轴翻折到

y 轴左边部分代替原 y 轴左边部分； 8. y = f (x + a ) 与 y =

f (b - x ) 关于直线 x = b - a

对称(在函数 y = f (a + x ) 上任取一 2

点(x , y ) ，则 y = f (a + x ) ，点(x , y ) 关于直线 x = b - a

对称点（ b - a - x ，y 1）。

1

1

1

1

1 1

2

1

由于 f [b - (b - a - x 1 )] = f [b - b + a + x 1 ] = f (a + x 1 ) = y 1 ,故点（ b - a - x 1 ，y 1）在函数

y = f (b - x ) 上。由点(x 1, y 1) 是函数 y = f (a + x ) 图象上任一点因此 y = f (a + x ) 与

y = f (b - x ) 关于直线 x = b - a 对称。)；换句话说, y = 2

f (a - x ) 与 y = f (x - b ) 关于

直线x =a +b

对称; 换句话说,

2

y =f (-x) 与y = f (x -b) 关于直线x =

b

对称.

2

9.y = f (x) 与y = 2a -f (x) 关于直线y =a 对称。换种说法：y = f (x) 与y =g(x) 若满足f (x) +g(x) = 2a ，即它们关于y =a 对称；

10.1

.

y =f (x)与y = 2b -f (2a -x) 关于点(a, b) 对称。换种说法：y = f (x) 与

y =g(x) 若满足f (x) +g(2a -x) = 2b ，即它们关于点(a, b) 对称。

特别提醒

①函数y = f (x) 与函数y =f (-x) 的图象关于直线x = 0 (即y 轴)对称.

a +b

②函数y = f (mx -a) 与函数y =f (b -mx) 的图象关于直线x = 对称.

2m

特殊地:y =f (x -a) 与函数y = f (a -x) 的图象关于直线x =a 对称

③函数y

=

f (x) 的图象关于直线x =a 对称的解析式为y = f (2a -x)

④函数y =f (x) 的图象关于点(a, 0) 对称的解析式为y =-f (2a -x)

⑤函数y

=

f (x) 与a -x = f (a -y) 的图像关于直线x +y =a 成轴对称。

11.伸缩变换: y =Af (x)( A > 0) 的图像，可将y =

不变，纵坐标变为原来的 A 倍而得到；

f (x) 的图像上每一个点的横坐标

12.y =f (kx)(k > 0) 的图像，可将y =

1 f (x) 的图像上每一个点的纵坐标不变，横

坐标变为原来的倍而得到；

k

13.y = f -1(x) 与y = f (x) 关于直线y =x 对称；

14.1

4

.

y =-f -1(-x) 的图像与y = f (x) 的图像关于直线y =-x 对称；

15.函数y = f (a +mx) 的图像与y = f (b -mx) 的图象关于直线x =b -a

对称。2m

四.单个函数的图象