函数图像变换公式大全(可编辑修改word版)
函数图像的几何变换
函数图像的几何变换一．1.考查函数图像是近年来高考的一个热点。
题型有二：一是给函数解析式，指出函数图像，多以选择题的形式出现；二是由函数，画出函数图像或者示意图，利用形数结合法解题，其中常用到几种常见函数的图像变化。
2. 高中常见的函数几何图象变换有4种：平移、对称、局部翻折、伸缩变换等。
平常做题时，尽量根据函数性质和几何变换，画出函数图像，以便数形结合、直观明了。
二.4种函数图像变换（一）平移变换1.上下平移，上加下减y=f(x)————y=f(x)+bb为正时，上移b个单位；b为负时，下移b的绝对值个单位。
2. 左右平移，左加右减y=f(x)—————y=f(x+a)a大于0时左移；a小于0时，右移a的绝对值个单位。
（二）对称变换：1. 关于x轴对称，由点（x,y)和点（x,-y)关于x轴对称得到。
y=f(x)——————y=-f(x)2. 关于y轴对称。
由点（x,y)和点（-x,y)关于y轴对称，而得到下列函数图像关于y轴对称。
y=f(x)——————y=f(-x)3. 关于原点对称由点(x,y)和点(-x,-y)关于坐标原点对称而得到。
y=f(x)———————y=-f(-x)4. 关于直线y=x对称点(x,y)和点(y,x)关于直线y=x对称，得到原函数和反函数的图像也关于上述直线对称。
（三）局部对称翻折1. 留右，右翻左。
自变量取绝对值型。
因自变量取绝对值是偶函数，x大于等于0时，x的绝对值等于x，所以保留y轴的右边图像不变，再将y轴右边的图像对称地翻到y轴左边。
y=f(x)——————y=f(|x|)2. 留上，下翻上型函数值外面取绝对值型，因为当函数值为正时，函数值不变，故留上；当函数值为负时，负数的绝对值是其相反数，故x轴下方的图像要翻到x轴上方。
y=f(x)——————y=|f(x)|（四）伸缩变换1. 函数值外面乘一个正常数A，纵向伸缩，横坐标不变，各点纵坐标变A倍。
y=f(x)——————y=Af(x)2. 纵不变，横变B分之一倍函数中的自变量x乘一个正常数B型。
函数图像变换与旋转
函数图像变换与旋转一.平移变换：1.y=f（x）→y=f(x±a)(a>0) 原图像横向平移a个单位（左+右-）2.y=f（x）→y=f(x)±b(b>0) 原图像纵向平移b个单位（上+下-）3.若将函数y=f（x）的图像右移a，上移b个单位，得到函数y=f（x-a）+b二．对称变换：1.y=f（x）→y=f(-x) 原图像与新图像关于y轴对称；对比：若f=（-x）=f（x）则函数自身的图像关于y轴对称；2.y=f（x）→y=-f(x) 原图像与新图像关于x轴对称；3.y=f（x）→y=-f(-x) 原图像与新图像关于原点对称；对比：若f（-x）=-f（x）则函数自身的图像关于原点对称；4.y=f（x）→y=f-1（x）原图像与新图像关于直线y=x对称；5.y=f（x）→y=f-1（-x）原图像与新图像关于直线y=-x对称；6.y=f（x）→y=f（2a-x）原图像与新图像关于直线x=a对称；7.y=f（x）→y=2b-f（x）原图像与新图像关于直线y=b对称；8.y=f（x）→y=2b-f（2a-x）原图像与新图像关于点（a，b）对称；三．翻折变换：1. y=f（x）→y=f(|x|)的图像在y轴右侧（x>0）的部分与y=f（x）的图像相同，在y 轴的左侧部分与其右侧部分关于y轴对称；2.y=f（x）→y=|f(x)|的图像在x轴上方部分与y=f（x）的图像相同，其他部分图像为y=f（x）图像下方部分关于x轴的对称图像；3. y=f（x）→y=f(|x+a|)变换步骤：法1:先平移|a|个单位（左+右-）保留直线x=a右边图像，后去掉直线x=a左边图像并作关于直线x=a对称图像y=f（x）→y=f(x+a)→y=f(|x+a|)法2:先保留y轴右边图像，去掉y轴左边图像，并作关于y轴对称图像，后平移|a|个单位（左+右-）y=f（x）→y=f(|x|)→y=f(|x+a|)四．伸缩变换：1.y=f（x）→y=af(x)（a>0）原图像上所有点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不变；2.y=f（x）→y=f(ax)（a>0）原图像上所有的横坐标变为原来的，纵坐标不变；五．对称性：1.函数自身对称性之轴对称：（1）.若f（x）=f（2a-x）（或f（a+x）=f（a-x）或f（-x）=f（2a+x））则函数自身关于直线x=a对称；（2）.若y=f（x）的图像关于直线对称等价于f（a+mx）=f（b-mx）等价于 f（a+b-mx）=f（mx）；2.函数自身对称性之中心对称：（1）.若f（mx+a）=-f（b-mx），则函数自身关于点（，0）对称；（2）.若f（mx+a）+f（b-mx）=c，则函数自身关于点（，）对称；（3）.若f(a+x)+f(a-x)=2b（或f（x）+f(2a-x)=2b或f（-x）+f(2a+x)=2b 则函数自身关于点（a,b）对称；3.不同函数之间的对称性：（1）.函数y=f（a+x），y=f（b-x）的图像关于直线对称；推论：函数y=f(a+x)与f(a-x)的图像关于直线x=0对称；函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a对称；函数y=f(-x)与y=f(2a+x)的图像关于直线x=-a对称；特例：函数y=f（a+x），y=f（a-x）的图像关于直线x=0对称；（2）.函数y=f（a+x），y=-f（b-x）的图像关于点（，0）对称；特例：函数y=f（a+x）与y=-f（a-x）关于原点中心对称4.抽象函数的对称性：（1）.性质一：若函数y=f(x)关于直线x=a轴对称，则以下三个时式子成立切等价： f(a+x)=f(a-x); f(2a-x)=f(x); f(2a+x)=f(-x)；（2）.性质二：若函数y=f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：f(a+x)=-f(a-x); f(2a-x)=-f(x); f(2a+x)=-f(-x);易知，y=f（x）为偶（或奇）函数分别为性质一（或二）当a=0时的特例；六．周期性；1.f（x+a）=f（x）周期：|a|2.f（x+a）=-f（x）周期：2|a|3.f（x+a）=（或周期：2|a|4.f（x+a）=f（x-a）周期：2|a|5.f（x+a）=-f（x-a）周期：4|a|6.f（x+a）=（或）周期：4|a|7.f(x+2a)=f(x+a)-f(x) 周期：6|a|8.若p>0,f(px)=f(px-) 周期：七．对称性与周期性：1.若y=f（x）的图像关于直线x=a，x=b对称（a不等于b），则f（x）是周期函数，且周期T=2|a-b|；特例：若y=f（x）是偶函数且其图像关于直线x=a对称，则周期T=2|a|；2.若y=f（x）关于点（a，0），（b，0）对称，则f（x）是周期函数，且周期T=2|a-b|；3.若y=f（x）的图像关于直线x=a，对称中心（b，0）对称（a不等于b）则f（x）为周期函数，且周期T=4|a-b|；特例；若y=f（x）是奇函数且其图像关于直线x=a对称，则周期T=4|a|；综上：若函数的图像同时具备两种对称性，两条对称轴或两个对称中心，或一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数。
函数图像变换(整理)
函数的图象变换函数图象的基本变换：(1)平移；(2)对称；(3)伸缩。
由函数y = f (x)可得到如下函数的图象1． 平移：(1)y = f (x + m) (m>0)：把函数y =f (x)的图象向左平移m 的单位（如m<0则向右平移-m 个单位）。
(2)y = f (x) + m (m>0)：把函数y =f (x)的图象向上平移m 的单位（如m<0则向下平移-m 个单位）。
2． 对称：✧ 关于直线对称(Ⅰ) (1)函数y = f (-x)与y = f (x)的图象关于y 轴对称。
(2)函数y = -f (x)与y = f (x)的图象关于x 轴对称。
(3)函数y = f (2a -x)与y = f (x)的图象关于直线x = a 对称。
(4)函数y = 2b -f (x)与y = f (x)的图象关于直线y = b 对称。
(5)函数)x (f y 1-=与y = f (x)的图象关于直线y = x 对称。
(6)函数)x (f y 1--=-与y = f (x)的图象关于直线y = -x 对称。
(Ⅱ)(7)函数y = f (|x|)的图象则是将y = f (x)的y 轴右侧的图象保留，并将y =f (x)右侧的图象沿y 轴翻折至左侧。
（留正去负，正左翻（关于y 轴对称））；(8)函数y = |f (x)|的图象则是将y = f (x)在x 轴上侧的图象保留，并将y = f (x)在x 轴下侧的图象沿x 轴翻折至上侧。
(留正去负，负上翻；)一般地：函数y = f (a+mx)与y = f (b -mx)的图象关于直线m2a b x -=对称。
✧ 关于点对称(1) 函数y = - f (-x)与y = f (x)的图象关于原点对称。
(2) 函数y = 2b -f (2a -x)与y = f (x)的图象关于点(a,b)对称。
3． 伸缩(1) 函数y = f (mx) (m>0)的图象可将y = f (x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的m 1倍得到。
函数图象的四大变换
y y
x
x
x
x
A
B
C
D
解析：由f(x)g(x)是偶函数否定A、D， 当x→±∞时，f(x)g(x) →－∞，故选C.
2、画函数图象，由图象求解析式
例2 已知函数y=f (x)是在R上以2为周期的奇函数，在区 间［0,1）上的图象如下图所示，并已知该区间上图象是 一个二次函数的图象的一部分，点(1,1)是其顶点.试作出 y=f (x)在区间［－2,2］上的图象，并求该区间上的解析式.
. .
-1
-1
-1
.
1
2
.
X
-2
. . . . .
1 -1 1 -1
2
2
X
C
D
分析：根据y=F(x)= xf `(x)的图象，得F(1)＝ f `(1)＝0， F（－1）＝ － f `(－ 1)＝0， ∴ f `(1)＝ f `(－ 1)＝0， ∴ x＝1和x= － 1是f (x)的极值点.故选C. Y 提问：本例除了从图形获取有效信息： 2 .1 f `(1)＝ f `(－ 1)＝0之外， .-2 -1. .1 还能获取什么有效信息？ -1. ［注：如1＜x<2时，xf `(x)＞0，∴ f `(x) ＞0，
（1）f(x-1)=(x-1)2 （2）f(x+1)=(x+1)2 （3）f(x)+1=x2+1 （4）f(x) -1=x2-1
y=f(x+1) 1 -1 O y=f(x)-1-1 1 y=f(x-1)
x
函数图象的平移变换：
左右平移 （a>0） 上下平移 (a>0)
y=f(x) y=f(x) y=f(x) y=f(x)
函数图像的变换法则
（ 0,1 ）和（ 0,1 ） （ 2,0 ）和（ 2， 2 ）
三﹑对称变换
y
(-x,y) .
(-x,-y) .
(y,x) . .(x,y)
x
.(x,-y)
函数图象对称变换的规律:
1. y f ( x) y f ( x)
关于x轴对称
2. y f ( x) y f ( x)
函数图象变换的应用:
①作图﹑② 识图﹑ ③用图
(2)方程 f(x)－a＝x 的根的个数等价于 y＝f(x)与 y＝x－a 的交点的个数，所以可以借助图像进行分析．
规范解答 解
2 x－2 －1， x∈－∞，1]∪[3，＋∞ f(x)＝ 2 －x－2 ＋1， x∈1，3
作出图像如图所示．
[2 分]
(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)， 递减区间为(－∞，1]，[2,3]． [4 分] (2)原方程变形为 |x2－4x＋3|＝x＋a， 于是，设 y＝x＋a，在同一坐标系下再作出 y＝x＋a 的图 像．如图． 则当直线 y＝x＋a 过点(1,0)时，a＝－1； [6 分]
a a
1 x
a
a ax a a a
x
ax a ax
1 y 1
a a a
x
a
x
x
a a
f (1 x)
所以，函数y=f(x)的图象关于点（1/2,1/2）对称
（2）由对称性知f(1-x)+f(x)=1,所以 f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)=3。
对称变换是指两个函数图象之间的对称关系,而”满足 f(x)= f(2a-x)或f(a+x)= f(a-x)有y=f(x)关于直线x=a对称”是 指一个函数自身的性质属性,两者不可混为一谈.
函数的图像及其变换(完整版)
函数的图像及其变换(完整版)
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晴。
函数图象变换
y = 2|x|
0
x
例5.
先作出函数 y = 2|x| 的图象， 解： 2 x ••• x 0) x ( 2 •• x 0) ( | x| y 2 x 1 x 2 ( x 0) ( ) ( x 0) 2 又 y = 2|x| 是偶函数，
（1，-1）
x
例3.已知函数y=|2x-2| （1）作出函数的图象； （2）指出函数 的单调区间； （3）指出x取何值时，函数有最值。
y
y=2x
y=|2x-2|
y=2x-2
1
O
y=|2x-2|
1
23xFra bibliotek-1例3.已知函数y=|2x-2| （1）作出函数的图象； （2）指出函数 的单调区间； （3）指出x取何值时，函数有最值。
f(-x)的解析式及其定义域并分别作出它们的图象。
y
y=f(x) y=f(-x)
y
y=f(x)
y
y=f(x)
o
1
x
o
1
x
o
y=-f(-x)
1
x
y=-f(x)
对 称 变 换
图象关于 x轴对称
图象关于
图象关于
原点对称
y轴对称
例7.指数函数 y = 2x 的图象与函数 y = 2-x ，y=-2x ，y = -2-x 的图象的关系：
针 对 自 变 量 针 对 因 变 量
沿y轴向上平移k个单位 y y-k ( k > 0 )
沿y轴向下平移k个单位
(2)翻折变换：分为左折与上折
y=f(x)
去掉y轴左边图象，保留y轴右边 图象，再作其关于y轴对称图象
函数图像变换知识点总结
函数图像变换知识点总结一、基本概念1. 函数图像的平移函数图像的平移是指将原函数图像沿横轴或纵轴方向平移一定的距离。
平移的方向和距离可以是正数也可以是负数。
- 沿横轴方向平移：对于函数y=f(x)，如果在横轴方向上平移了a个单位，新函数表示为y=f(x-a)。
- 沿纵轴方向平移：对于函数y=f(x)，如果在纵轴方向上平移了b个单位，新函数表示为y=f(x)+b。
2. 函数图像的伸缩函数图像的伸缩是指将原函数图像沿横轴或纵轴方向进行拉伸或压缩。
伸缩的方向和比例可以是正数也可以是负数。
- 沿横轴方向伸缩：对于函数y=f(x)，如果在横轴方向上进行了伸缩，新函数表示为y=f(kx)。
- 沿纵轴方向伸缩：对于函数y=f(x)，如果在纵轴方向上进行了伸缩，新函数表示为y=kf(x)。
3. 函数图像的翻转函数图像的翻转是指对原函数图像进行镜像操作，可以分为关于横轴翻转和关于纵轴翻转两种情况。
- 关于横轴翻转：对于函数y=f(x)，进行横轴翻转后，新函数表示为y=-f(x)。
- 关于纵轴翻转：对于函数y=f(x)，进行纵轴翻转后，新函数表示为y=f(-x)。
二、函数图像变换的特点1. 平移：平移不改变函数的基本形状，只是改变了函数的位置；2. 伸缩：伸缩可以改变函数的斜率和幅度，但不改变函数的形状；3. 翻转：翻转改变了函数的整体形状，使得原函数变为其镜像；4. 组合变换：可以将多种变换进行组合，得到更复杂的函数图像变换。
三、函数图像变换的应用函数图像变换不仅仅是数学中的一种抽象概念，还可以应用到具体的问题中，如物理、经济等领域。
1. 物理问题：在物理学中，函数图像变换可以用来描述物体的运动、变形等。
例如，对于速度-时间图像，进行平移可表示物体的起始位置不同；进行伸缩则可以描述加速度的变化；进行翻转可以描述反向运动等情况。
2. 经济问题：在经济学中，函数图像变换可以用来描述经济模型的变化。
例如，对于需求-价格图像，进行平移可以表示需求量或价格的变化；进行伸缩可以描述需求的弹性；进行翻转可以描述替代品或补充品的关系等情况。
函数图像的变换Microsoft Word 文档
函数图像的变换的基本方
法
1、平移变换：
（1）将函数y=f(x)的图象向左平移a个单位得
函数y=f(x+a)的图象；（2）将函数y=f(x)的图象向右平移a个单位得
函数y=f(x－a)的图象；（3）将函数y=f(x)的图象向上平移b个单位得
函数y=f(x)+b的图象；（4）将函数y=f(x)的图象向下平移b个单位得
函数y=f(x)－b的图象；简记为“左加（+）右减（－），上加（+）下减（－）”
2、对称变换
（1）函数y=f(x)与函数y=f(－x)的图象关于
x=0直线即y轴对称；（2）函数y=f(x)与函数y=－f(x)的图象关于直
线Y=0即X轴对称；（3）函数y=f(x)与函数y=－f(－x)的图象关于
原点对称；
3、翻折变换
（1）函数y=︱f(x)︱的图象可以将函数y=f(x)
的图象位于X轴下方的
部分沿X轴翻折到X轴
上方，去掉原X轴下方
部分，并保留y=f(x)上
方部分的图象即可得
到；
（2）函数y=f(︱x︱)的图象可以将函数y=f(x)
的图象Y轴右边的部分
翻折到Y轴左边替代原
来Y轴左边部分并保留
y=f(x)在Y轴右边部分
图象即可得到；。
函数的图像及其变换
的图像可由y＝f(x)的图像向上平移b个单位 而得到．总之， 对于平移变换，记忆口诀为：左加右减，上加下减．
(2)对称变换 y＝f(－x)与y＝f(x)的图像关于 y轴 y＝－f(x)与y＝f(x)的图像关于 x轴 对称； 对称； 对称；
y＝－f(－x)与y＝f(x)的图像关于 原点
y＝|f(x)|的图像可将y＝f(x)的图像在x轴下方的部分
AD，当点C落在X轴上时，h′＝CF，显然AD＝CF，即 当“中心点”M位于最高处时，“最高点”与X轴的距离 相等，选项B不符，故选A.
【答案】 A
·高中总复习（第1轮）·理科数学 ·全国版
立足教育 开创未来
► 探究点3 判断、证明函数的单调性 题型三：函数图象的应用及对称问题 3. 已知f(x)=| x2 -4x+3|. (1)求f(x)的单调区间; (2)求m的取值范围， 使方程f(x)=mx有4个不同实根.
方法二 y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像分别由y＝f(x) 与y＝f(－x)的图像同时向右平移一个单位而得，又y＝f(x) 与y＝f(－x)的图像关于y轴对称． ∴y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于直线x＝1对 称．
【答案】 (1)g(x)＝－ln(x－1) (2)D
变式
(1)已知函数 f(2x＋1)是奇函数， 则函数 y＝f(2x) )
【解析】 如图所示，不妨设正三角形ABC的边长 为a，记“中心点”M与X轴的距离为h，记“最高点”与 X轴的距离为h′.由图可知，当三段弧的中点落在X轴上 时，h最小，此时h＝MD；当点A、B、C落在X轴上时， h最大，h＝MC，故“中心点”M的位置先低后高，呈周 期性变化，排除选项C与D.当点D落在X轴上时，h′＝
常用函数图像Word版
函数图形基本初等函数幂函数（1)幂函数（2)幂函数（3)指数函数（1）指数函数（2）指数函数（3）对数函数（1）三角函数（3）对数函数（2）三角函数（4）三角函数（5）三角函数（1）三角函数（2）反三角函数（1）反三角函数（2）反三角函数（3）反三角函数（4）反三角函数（5）反三角函数（6）反三角函数（7）反三角函数（8）双曲函数（1）双曲函数（2）双曲函数（3）双曲函数（4）双曲函数（5）双曲函数（6）双曲函数（7）反双曲函数（1）反双曲函数（2）反双曲函数（3）反双曲函数（4）反双曲函数（5）反双曲函数（6）y=sin(1/x) (1)y=sin(1/x) (2)y=sin(1/x) (3) y=sin(1/x) (4)y = [1/x](1) y = [1/x](2)y=21/xy=21/x(2)y=xsin(1/x)y=arctan(1/x) y=e1/xy=sinx (x->∞)绝对值函数 y = |x|符号函数 y = sgnx取整函数 y= [x]极限的几何解释(1)极限的几何解释 (2)极限的几何解释 (3)极限的性质 (1) (局部保号性)极限的性质 (2) (局部保号性)极限的性质 (3) (不等式性质)极限的性质 (4) (局部有界性)极限的性质 (5) (局部有界性)两个重要极限y=sinx/x (1)y=sinx/x (2)limsinx/x的一般形式y=(1+1/x)^x (1)y=(1+1/x)^x (2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(1) lim(1+1/x)^x 的一般形式(2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(3)e的值(1)等价无穷小 (x->0)sinx 等价于xarcsinx 等价于xtanx 等价于xarctanx 等价于x1-cosx 等价于x^2/2sinx 等价于x数列的极限的几何解释海涅定理渐近线水平渐近线铅直渐近线y=(x+1)/(x-1)y=sinx/x (x->∞)夹逼定理(1)夹逼定理(2)数列的夹逼性 (1)数列的夹逼性(2)pi 是派的意思(如果你没有切换到公式版本) ^是次方的意思,$是公式的标记符,切换到公式版(安装mathplayer)就看不到$了友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。
函数的图像及变换(完整版)
函数的图像及变换一、函数图像的变换对称变换(||)翻折翻折变换|()|翻折左右平移平移变换上下平移横坐标不变，纵坐标伸缩伸缩变换纵坐标不变，横坐标伸缩y f x y f x ⎧⎪⎧=⎪⎨⎪=⎩⎪⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩关于x 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于y 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于原点对称：(,)(,)x y x y →-- 关于y x =对称：(,)(,)x y y x →关于y x =-对称：(,)(,)x y y x →-- 关于直线x a =对称：(,)(2,)x y a x y →-（轴对称） 关于y x b =+对称：(,)(,)x y y b x b →-+ 关于y x b =-+对称：(,)(,)x y b y x b →--+ 关于点(,)P a b 对称：(,)(2,2)x y a x b y →--（点对称）例1：已知2()2f x x x =-，且()g x 与()f x 关于点(1,2)对称，求()g x 的解析式.（相关点法）例2：已知函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，且当(0,)x ∈+∞时，有1()f x x=，则当 (,2)x ∈-∞-时，()f x 的解析式是（ ）.A. 1x -B. 12x +C.12x -+D. 12x-例3：下列函数中，同时满足两个条件“①x R ∀∈，()()01212f x f x ππ++-=；②当6π-<x 3π<时，'()0f x >”的一个函数是（ ） A.()sin(2)6f x x π=+B. ()cos(2)3f x x π=+C. ()sin(2)6f x x π=-D. ()cos(2)6f x x π=-①关于形如()y f x =的图像画法：当0x ≥时，()y f x =；当0x ≤时，()y f x =-()y f x =为偶函数，关于y 轴对称，即把0x ≥时()y f x =的图像画出，然后0x ≤时的图像与 0x ≥的图像关于y 轴对称即可得到所求图像.②关于形如()y f x =的图像画法当()0f x ≥时，()y f x =；当()0f x ≤时，()y f x =-先画出()y f x =的全部图像，然后把()y f x =的图像x 轴下方全部关于x 轴翻折上去，原x 轴上方的图像保持不变，x 轴下方的图像去掉不要即可得到所求图像.例3：画出下列函数的图像.（1）12log y x = （2）228y x x =--例4:设函数2()45f x x x =--.（1）在区间[2,6]-上，画出函数()f x 的图像；（2）设集合{}()5A x f x =≥，(,2][0,4][6,)B =-∞-+∞.试判断集合A B 、之间的关系，并给出证明；（3）当2k >时，求证：在区间[1,5]-上，3y kx k =+的图像位于函数()f x 图像的上方.①左右平移把函数()y f x =的全部图像沿x 轴方向向左（0a >）或向右（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图像②上下平移把函数()y f x =的全部图像沿y 轴方向向上（0a >）或向下（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图像例4：将函数lg(32)1y x =-+按向量(2,3)a =-平移后得到新的图象解析式为 例5:把一个函数的图象按向量(,2)8a π=-平移后得到的图象的解析式为sin(2)24y x π=+-，则原来函数的解析式 .Ⅰ.将函数()y f x =的全部图像中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的a 倍得到函数()(0)y af x a =>的图像.Ⅱ. 将函数()y f x =的全部图像中的每一点纵坐标不变，横坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的1a倍得到函数()(0)y f ax a =>的图像. 例6：已知函数21()2lg(2)-=++x f x x ，把函数()y f x =的图像关于y 轴对称，然后向右平移1个单位，最后纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.例7：已知函数2()log (1)f x x =+，将()y f x =的图像向左平移1个单位，再将图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图像. （1）求()y g x =的解析式和定义域； （2）求函数()(1)()F x f x g x =--的最大值.【练习】1.为了得到函数321x y -=-的图像，只需要把函数2x y =的图像上所有的点（ ）.A.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 2.下面四个图形中，与函数22log (1)yx x =+≥的图像关于y x =对称的是（ ）.3.若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且[1,]x ∈-时，()f x x =，则函数()y f x =的图像与函数4log y x =的图像的交点的个数为（ ）.A.3B.4C.6D.84.将函数by a x a=++的图像向右平移2个单位长度后又向下平移2个单位，所得到的函数图像与原图像如果关于直线y x =对称，那么（ ）.A. 1,0a b =-≠B. 1,a b R =-∈C.1,0a b =≠D. 0,a b R =∈ 5.已知21()f x x x =+，且()g x 与()f x 关于点(1,0)-对称，求()g x 的解析式.6.画出下列函数的图像.（1）ln y x = （2）26y x x =--7. 函数()2xf x =和3()g x x =的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且12x x <.（1）请指出示意图中曲线12,C C 分别对应于哪一个函数；（2）若12[,1],[,1]x a a x b b ∈+∈+，且{},1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12a b ∈，指出,a b 的值，并说明理由；（3）结合函数图像的示意图，判断(6),(6),(2010),(2010)f g f g 的大小关系.8.已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称，且2()2f x x x =+. （1）求函数()g x 的解析式； （2）解不等式()()1g x f x x ≥--；（3）若()()()1h x g x f x λ=-+在[1,1]-上是增函数，求实数λ的取值范围.6. 已知函数()y f x =，把函数()y f x =的图像向左平移1个单位，然后横坐标保持不变，纵坐标变为原来的3倍再向下平移3个单位得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.补充：请把相应的幂函数图象代号填入表格.①32x y =；②2-=x y ；③21x y =；④1-=x y ；⑤31x y =；⑥23x y =；⑦34x y =； ⑧21-=x y ；⑨35x y =.常规函数图像有：HI对称性结论1.函数)(x f y =图象关于a x =对称⇔⇔-=+)()(x a f x a f )2()(x a f x f -=⇔)2()(x a f x f +=-；2.若函数=y )(x f 定义域为R ，且满足条件)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的图象关于直线2ba x +=对称. 3.函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心称⇔b x a f x a f 2)()(=++- b x f x a f 2)()2(=+-⇔4.若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件c x b f x a f =-++)()(（c b a ,,为常数），则函数)(x f y =的图象关于点)2,2(cb a +对称.。
56. 函数的图像变换有哪些？
56. 函数的图像变换有哪些？56、函数的图像变换有哪些？在数学的世界里，函数的图像变换是一个非常重要的概念。
它不仅能够帮助我们更深入地理解函数的性质，还能在解决各种数学问题时提供有力的工具。
首先，咱们来说说平移变换。
平移变换包括水平平移和垂直平移。
水平平移，比如说函数 y ＝ f(x) 向左平移 h 个单位，就变成了 y ＝f(x ＋ h)；要是向右平移 h 个单位呢，那就变成了 y ＝ f(x h)。
这就好比是把函数图像在水平方向上“推”了一段距离。
打个比方，y ＝ x²这个函数，如果向左平移 2 个单位，就变成了 y ＝（x ＋ 2)²，原本顶点在（0, 0) ，现在顶点就到了（－2, 0) 。
垂直平移相对来说更容易理解。
函数 y ＝ f(x) 向上平移 k 个单位，就得到了 y ＝ f(x) ＋ k ；向下平移 k 个单位，就变成了 y ＝ f(x) k 。
比如说 y ＝ x²向上平移 3 个单位，就成了 y ＝ x²＋ 3 ，图像整体往上“抬”了 3 个单位。
接下来是伸缩变换。
水平伸缩，对于函数 y ＝ f(x) ，如果把它的横坐标变为原来的 1/a倍（a ＞ 0），就得到了 y ＝ f(ax) 。
比如说 y ＝ sin x ，当 a ＝ 2 时，y ＝ sin 2x ，它的周期就从2π 变成了π ，图像在水平方向上被“压缩”了。
垂直伸缩呢，函数 y ＝ f(x) ，纵坐标变为原来的 A 倍（A ＞ 0），就变成了 y ＝ Af(x) 。
比如 y ＝ x ，当 A ＝ 2 时，y ＝ 2x ，图像在垂直方向上被拉长了。
然后是对称变换。
关于 x 轴对称，函数 y ＝ f(x) 关于 x 轴对称的图像对应的函数是 y ＝ f(x) 。
比如说 y ＝ x²关于 x 轴对称的函数就是 y ＝ x²。
关于 y 轴对称，函数 y ＝ f(x) 关于 y 轴对称的图像对应的函数是 y ＝ f(x) 。
(完整版)三角函数公式和图像大全(可编辑修改word版)
初等函数的图形幂函数的图形指数函数的图形各三角函数值在各象限的符号sinα·cscαcosα·secαtanα·cotα三角函数的性质x≠kπ+,k ∈2［-1，1］x=2kπ+2时 y max =1x=2kπ-时 y min =-12在［2kπ-,2kπ+2 2 ］上都是增函数；在［2kπ+ ,2kπ+ 2π］2 3上都是减函数(k ∈Z)在(kπ-，kπ+ 2)内都是增函 2数(k ∈Z)反三角函数的图形反三角函数的性质y=sinx(x∈〔-,2〕的反函数，2叫做反正弦函数，记作x=arsiny y=tanx(x∈(- ,2 )的反函数，叫2做反正切函数，记作x=arctanyarcsinx 表示属于［-,］2 2且正弦值等于x 的角arctanx 表示属于(-,)，且正切2 2值等于x 的角［-，］2 2 (-，) 2 2sin(arcsinx)=x(x ∈［-1，1］)arcsin(sinx)= x(x∈［-,］)2 2 tan(arctanx)=x(x ∈R)arctan(tanx)=x （x∈(-,)）2 2arcsinx+arccosx=(x∈［-1,1］)2arctanx+arccotx=(X∈R)2三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = tanA + tanB1- tanAtanBtan(A-B) = tanA - tanB1+ tanAtanBcot(A+B) = cotAcotB-1cotB +c otAcot(A-B) = cotAcotB +1 cotB - cotA倍角公式tan2A = 2tanA1- tan 2ASin2A=2SinA•CosACos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A 三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana··tan( +a)3tan( -a)3sin( A )= 2cos( A)= 2tan( A )= 2 cot( A)= 2 tan( A )= 1- c os A =sin A2 sin A 1+ cos A和差化积sina+sinb=2sin a + bcosa - b22 sina-sinb=2cosa + bsin a - b2 2 cosa+cosb = 2cos a + b cos a - b2 2 cosa-cosb = -2sin a + b sin a - b2 2tana+tanb= sin(a + b )cos a cos b积化和差1sinasinb = - [cos(a+b)-cos(a-b)]2 cosacosb = sinacosb = cosasinb = 1[cos(a+b)+cos(a-b)]2 1[sin(a+b)+sin(a-b)]2 1[sin(a+b)-sin(a-b)]21- cos A2 1+ cos A 2 1- cos A 1+ cos A 1+ cos A 1- cos Asin(-a) = -sina cos(-a) = cosa s i n ( -a) = cosa 2 c o s ( -a) = sina 2 s i n ( +a) = cosa2c o s ( +a) = -sina 2sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosatgA=tanA = sin acos a万能公式2 tan asina=2 1+ (tan a )22 1- (tan a )2cosa=2 1+ (tan a )22 2 tan atana=2 1- (tan a )22(a 2+ b2 )(a 2+ b2 ) tanc= ]tan(c)= ]其它公式a•sina+b•cosa=×sin(a+c) [其中b aa•sin(a)-b•cos(a) =×cos(a-c) [其中a ba a21+sin(a) =(sin +cos )2 2a a21-sin(a) = (sin -cos )2 2其他非重点三角函数csc(a) = sec(a) = 1sin a1cos a 双曲函数sinh(a)= e a - e-a 2cosh(a)= e a + e-a2tg h(a)= sinh(a)cosh(a)公式一设α 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）= sinαcos（2kπ＋α）= cosαtan（2kπ＋α）= tanαcot（2kπ＋α）= cotα设α 为任意角，π+α 的三角函数值与α 的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三任意角α 与-α 的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π-α 与α 的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五利用公式-和公式三可以得到2π-α 与α 的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotαA 2 +B 2 + 2 A B cos(⋅) t + arcsin[(Asin + Bsin )A 2 +B 2 + 2 A B c os(⋅)±α 及 3±α 与 α 的三角函数值之间的关系：2 2sin （ +α）= cosα 2cos （ +α）= -sinα 2tan （ +α）= -cotα 2cot （ +α）= -tanα 2sin （ -α）= cosα 2cos （ -α）= sinα 2tan （ -α）= cotα 2cot （ -α）= tanα 2 sin （ 3+α）= -cosα 2 cos （ 3+α）= sinα 2 tan （ 3+α）= -cotα 2 cot （ 3+α）= -tanα 2 sin （ 3-α）= -cosα 2 cos （ 3-α）= -sinα 2 tan （ 3-α）= cotα 2 cot （ 3-α）= tanα2(以上 k ∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) = ×sin三角函数公式证明（全部）公式表达式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前 n 项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B 是边 a 和边 c 的夹角正切定理[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra 是圆心角的弧度数r >0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积，L 是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h。
高一必修1函数图象变换知识点总结经典
.. 函数的图象变换一：函数的图像基本函数图象 ：一次，二次，反比例函数，指数，对数，幂函数二．图象变换函数图象的基本变换：(1)平移；(2)对称；(3)伸缩。
关键：提取系数1． 平移变换：“左+右-” “上+下-”(1)y = f (x + m) (m>0)：把函数y =f (x)的图象向左平移m 的单位（如m<0则向右平移-m 个单位）。
(2)y = f (x) + m (m>0)：把函数y =f (x)的图象向上平移m 的单位（如m<0则向下平移-m 个单位）。
向下平移个单位向上平移b 个单位向左平移a 个单位向右a 平移个单位y=f x ()y=f x+a ())-by=f x ()+by=f x-a ().. 2． 对称变换：(1)函数y = f (-x)与y = f (x)的图象关于y 轴对称。
(2)函数y = -f (x)与y = f (x)的图象关于x 轴对称。
(3)函数y = f (2a -x)与y = f (x)的图象关于直线x = a 对称。
(4)函数y = 2b -f (x)与y = f (x)的图象关于直线y = b 对称。
(5)函数)x (f y 1-=与y = f (x)的图象关于直线y = x 对称。
(6)函数)x (f y 1--=-与y = f (x)的图象关于直线y = -x 对称。
(7)函数y = f (|x|)的图象则是将y = f (x)的y 轴右侧的图象保留，并将y =f (x)右侧的图象沿y 轴翻折至左侧。
（实际上y = f (|x|)是偶函数）(8)函数y = |f (x)|的图象则是将y = f (x)在x 轴上侧的图象保留，并将y = f (x)在x 轴下侧的图象沿x 轴翻折至上侧。
一般地：如函数y = f (x)对定义域中的任意x 的值，都满足 f (a+mx) = f (b -mx)， 则函数y = f (x)的图象关于直线2b a x +=对称。
函数转换公式范文
函数转换公式范文一、函数的平移：1.左右平移：y=f(x±a)表示将原函数图像沿x轴左右平移a个单位。
2.上下平移：y=f(x)±a表示将原函数图像沿y轴上下平移a个单位。
二、函数的伸缩：1. 横向伸缩：y = f(bx) 表示将原函数图像沿y轴压缩为原来的1/b倍，b为正数，b>1时为压缩，b<1时为拉伸。
2. 纵向伸缩：y = af(x) 表示将原函数图像沿x轴压缩为原来的1/a倍，a为正数，a>1时为压缩，a<1时为拉伸。
三、函数的翻转：1.关于x轴翻转：y=-f(x)表示将原函数图像相对于x轴翻转，即纵坐标取相反数。
2.关于y轴翻转：y=f(-x)表示将原函数图像相对于y轴翻转，即横坐标取相反数。
四、函数的复合：1.f(g(x))表示将函数g(x)的输出作为函数f(x)的输入，得到f(g(x))函数。
2.g(f(x))表示将函数f(x)的输出作为函数g(x)的输入，得到g(f(x))函数。
五、函数的反函数：1. y = f(x) 的反函数记为 y = f^(-1)(x) （读作f inverse of x），表示由y = f(x)确定的输出反过来确定x。
六、函数的换元：1.变量替换：通过将函数中的变量替换为其他变量，得到新的函数。
2.坐标变换：通过对坐标轴进行线性变换来转换函数，如以点A(a,b)为中心旋转角度θ后的新坐标。
这些函数转换公式可以在解决数学问题中起到重要的作用。
例如，通过平移可以改变函数图像的位置，通过伸缩可以调整函数图像的大小，通过翻转可以倒置函数图像，通过复合可以得到多个函数的运算结果等。
函数的反函数和换元在求解方程和积分等数学问题中也有广泛的应用。
需要注意的是，在进行函数转换时，应该先对函数进行相应的变换，再进行替换等操作，以保证得到正确的结果。
此外，还需要注意函数转换后的定义域、值域等性质的变化，以便在应用中正确地使用转换后的函数。
(完整版)高等数学公式大全及常见函数图像
180°+α
-sinα
-cosα
tgα
ctgα
270°-α
-cosα
-sinα
ctgα
பைடு நூலகம்tgα
270°+α
-cosα
sinα
-ctgα
-tgα
360°-α
-sinα
cosα
-tgα
-ctgα
360°+α
sinα
cosα
tgα
ctgα
·和差角公式： ·和差化积公式：
·倍角公式：
·半角公式：
·正弦定理： ·余弦定理：
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
常数项级数：
级数审敛法：
绝对收敛与条件收敛：
幂级数：
函数展开成幂级数：
一些函数展开成幂级数：
欧拉公式：
三角级数：
傅立叶级数：
周期为 的周期函数的傅立叶级数：
微分方程的相关概念：
一阶线性微分方程：
全微分方程：
二阶微分方程：
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
(*)式的通解
两个不相等实根
两个相等实根
一对共轭复根
二阶常系数非齐次线性微分方程
五类基本初等函数及图形
-----------------------------------(1)幂函数----------------------------------
， 是常数；
-----------------------------------(2)指数函数----------------------------------
·反三角函数性质：
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
函数图像平移公式
函数图像平移公式设在直角坐标系xoy 中有一函数为)(x f y =则其图像平移公式有：1. 把图像向右平移（X 轴正方向）m （m>0）个单位，再向上平移（Y 轴的正方向）n （n>0）个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y -=-2. 把图像向右平移m （m>0）个单位，再向下平移n （n>0）个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y -=+3. 把图像向左平移m （m>0）个单位，再向上平移n （n>0）个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y +=-4. 把图像向左平移m （m>0）个单位，再向下平移n （n>0）个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y +=+这些规律可总结为：左右平移“X 左加右减”上下平移“下加上减”说明：利用这个规律写平移后函数图像的解析式只需要考查是用m x +还是用m x -替换)(x f y =中的x,是用n y +还是用n y -来替换)(x f y =中的y,使用起来很方便。
例一、 抛物线3422---=x x y 向左平移3个单位，再向下平移4个单位，求所得抛物线的解析式。
解：根据左右平移“X 左加右减”上下平移“下加上减”的规律分别用3+x 、4+y 去替换抛物线3422---=x x y 中的x 、y 就可以得到平移后的抛物线的解析式，所以平移后的抛物线的解析式为3)3(4)3(242-+-+-=+x x y 即371622---=x x y 例二、 将一抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位所得到抛物线的解析式为322+-=x x y 求此抛物线的解析式。
解：所求抛物线可以看成是将抛物线322+-=x x y 向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得。
所以所求抛物线的解析式为3)2(2)2(32+---=+x x y 即862+-=x x y 例三、 求将直线15-=x y 向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得到直线的解析式解：所求直线的解析为1)3(55-+=-x y 即145+=x y例四、 已知两条抛物线C 1 ：522+-=x x y ，C 2：742+-=x x y 问抛物线C 1经过怎样的平移后与C 2：抛物线重合。
函数图像平移公式
函数图像平移公式设在直角坐标系xoy 中有一函数为)(x f y =则其图像平移公式有：1. 把图像向右平移（X 轴正方向）m （m>0）个单位，再向上平移（Y 轴的正方向）n （n>0）个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y -=-2. 把图像向右平移m （m>0）个单位，再向下平移n （n>0）个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y -=+3. 把图像向左平移m （m>0）个单位，再向上平移n （n>0）个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y +=-4. 把图像向左平移m （m>0）个单位，再向下平移n （n>0）个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y +=+这些规律可总结为：左右平移“X 左加右减”上下平移“下加上减”说明：利用这个规律写平移后函数图像的解析式只需要考查是用m x +还是用m x -替换)(x f y =中的x,是用n y +还是用n y -来替换)(x f y =中的y,使用起来很方便。
例一、 抛物线3422---=x x y 向左平移3个单位，再向下平移4个单位，求所得抛物线的解析式。
解：根据左右平移“X 左加右减”上下平移“下加上减”的规律分别用3+x 、4+y 去替换抛物线3422---=x x y 中的x 、y 就可以得到平移后的抛物线的解析式，所以平移后的抛物线的解析式为3)3(4)3(242-+-+-=+x x y即371622---=x x y例二、 将一抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位所得到抛物线的解析式为322+-=x x y 求此抛物线的解析式。
解：所求抛物线可以看成是将抛物线322+-=x x y 向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得。
所以所求抛物线的解析式为3)2(2)2(32+---=+x x y即862+-=x x y例三、 求将直线15-=x y 向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得到直线的解析式解：所求直线的解析为1)3(55-+=-x y 即145+=x y例四、 已知两条抛物线C 1 ：522+-=x x y ，C 2：742+-=x x y 问抛物线C 1经过怎样的平移后与C2：抛物线重合。
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蕾博士函数图像变换公式大全一、点的变换.设 P (x 0 , y 0 ) ，则它（1） 关于 x 轴对称的点为(x 0 ,- y 0 ) ；（2） 关于 y 轴对称的点为(-x 0 , y 0 ) ；（3） 关于原点对称的点为(-x 0 ,- y 0 ) ；（4） 关于直线 y = x 对称的点为( y 0 , x 0 ) ；（5） 关于直线 y = -x 对称的点为(- y 0 ,-x 0 ) ；（6） 关于直线 y = b 对称的点为(x 0 ,2b - y 0 ) ；（7） 关于直线 x = a 对称的点为(2a - x 0 , y 0 ) ；（8） 关于直线 y = x + a 对称的点为( y 0 - a , x 0 + a ) ;（9） 关于直线 y = -x + a 对称的点为(- y 0 + a , a - x 0 ) ;（10） 关于点(a , b ) 对称的点为(2a - x 0 ,2b - y 0 ) ；（11）按向量(a , b ) 平移得到的点为(x 0 + a , y 0 + b ) .二、曲线的变换.曲线 F (x , y ) = 0 按下列变换后所得的方程：(1) 按向量(a , b ) 平移，得到 F (x - a , y - b ) = 0 ；(2) 关于 x 轴对称，得到 F (x ,- y ) = 0 ；(3) 关于 y 轴对称，得到 F (-x , y ) = 0 ；(4) 关于原点对称，得到 F (-x ,- y ) = 0 ；(5) 关于直线 x = a 对称，得到 F (2a - x , y ) = 0 ；(6) 关于直线 y = b 对称，得到 F (x ,2b - y ) = 0 ；(7) 关于点(a , b ) 对称，得到 F (2a - x ,2b - y ) = 0 ；(8) 关于直线 y = x 对称，得到 F ( y , x ) = 0 ；(9) 关于直线 y = x + a 对称，得到 F ( y - a , x + a ) = 0 ；(10) 关于直线 y = -x + a 对称，得到 F (-x + a , a - y ) = 0 ； (11) 纵坐标不变横坐标变为原来的a 倍，得到方程 F ( x, y ) = 0 ；a(12) 横坐标不变纵坐标变为原来的b 倍，得到方程 F (x , y) = 0b三、两个函数的图象对称性1:左右平移: y = f (x ± a ) （ a > 0 ）的图像可由 y = f (x ) 的图像向左（+）或向右（—）平移a 个单位而得到； y = f (mx ± a ) （ m > 0, a > 0 ）的图像可由 y = f (mx ) 的图像向左（+）或向右（—）平移 a个单位而得到;m2. 上下平移： y = f (x ) ± b （b > 0）的图像可由 y = f (x ) 的图像向上（+）或向下（—）平移b 个单位而得到；3. y = f (-x ) 的图像与 y = f (x ) 的图像关于 y 轴对称；换句话说： y = f (x ) 与y = g (x ) 若满足 f (x ) = g (-x ) ，即它们关于 x = 0 对称。
4. y = - f (x ) 的图像与 y = f (x ) 的图像关于 x 轴对称；换句话说： y = f (x ) 与y = g (x ) 若满足 f (x ) = -g (x ) ，即它们关于 y = 0 对称。
5. y = - f (-x ) 的图像与 y = f (x ) 的图像关于原点对称；6. y =| f (x ) |的图像可如此得到： y = f (x ) 的图像在 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴的上方，其余不变；7. y = f (| x |) 的图像：保留 y = f (x ) 的图像在 y 轴右侧的部分，并沿 y 轴翻折到y 轴左边部分代替原 y 轴左边部分； 8. y = f (x + a ) 与 y =f (b - x ) 关于直线 x = b - a对称(在函数 y = f (a + x ) 上任取一 2点(x , y ) ，则 y = f (a + x ) ，点(x , y ) 关于直线 x = b - a对称点（ b - a - x ，y 1）。
11111 121由于 f [b - (b - a - x 1 )] = f [b - b + a + x 1 ] = f (a + x 1 ) = y 1 ,故点（ b - a - x 1 ，y 1）在函数y = f (b - x ) 上。
由点(x 1, y 1) 是函数 y = f (a + x ) 图象上任一点因此 y = f (a + x ) 与y = f (b - x ) 关于直线 x = b - a 对称。
)；换句话说, y = 2f (a - x ) 与 y = f (x - b ) 关于直线x =a +b对称; 换句话说,2y =f (-x) 与y = f (x -b) 关于直线x =b对称.29.y = f (x) 与y = 2a -f (x) 关于直线y =a 对称。
换种说法：y = f (x) 与y =g(x) 若满足f (x) +g(x) = 2a ，即它们关于y =a 对称；10.1.y =f (x)与y = 2b -f (2a -x) 关于点(a, b) 对称。
换种说法：y = f (x) 与y =g(x) 若满足f (x) +g(2a -x) = 2b ，即它们关于点(a, b) 对称。
特别提醒①函数y = f (x) 与函数y =f (-x) 的图象关于直线x = 0 (即y 轴)对称.a +b②函数y = f (mx -a) 与函数y =f (b -mx) 的图象关于直线x = 对称.2m特殊地:y =f (x -a) 与函数y = f (a -x) 的图象关于直线x =a 对称③函数y=f (x) 的图象关于直线x =a 对称的解析式为y = f (2a -x)④函数y =f (x) 的图象关于点(a, 0) 对称的解析式为y =-f (2a -x)⑤函数y=f (x) 与a -x = f (a -y) 的图像关于直线x +y =a 成轴对称。
11.伸缩变换: y =Af (x)( A > 0) 的图像，可将y =不变，纵坐标变为原来的 A 倍而得到；f (x) 的图像上每一个点的横坐标12.y =f (kx)(k > 0) 的图像，可将y =1 f (x) 的图像上每一个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍而得到；k13.y = f -1(x) 与y = f (x) 关于直线y =x 对称；14.14.y =-f -1(-x) 的图像与y = f (x) 的图像关于直线y =-x 对称；15.函数y = f (a +mx) 的图像与y = f (b -mx) 的图象关于直线x =b -a对称。
2m四.单个函数的图象1.若对任意x,f (x +a) = f (b -x) ，则y= f (x) 的图像关于直线x =a +b对称；反2之亦然;若对任意x ，f (x) = f (c -x) ，则y = f (x) 的图像关于直线xc= 对称，2反之亦然；若f (x +a) 是偶函数，则y =f (x) 关于x =a 对称。
（在y =f (x) 上c任取一点 (x , y ) ， 则 y = f (x ) ， 点 (x , y ) 关于直线 x =a + b的对称点11 1 1 1 12(a + b - x 1 , y 1 ) ，当x = a + b - x 1 时f (a + b - x 1 ) = f [a + (b - x 1 )] = f [b - (b - x 1 )] = f (x 1 ) = y 1 ，故点(a + b - x 1 , y 1 ) 也在函数 y = f (x ) 图象上。
由于点(x 1, y 1) 是图象上任意一点，因此，函数的图象关于 直线 x =a +b 对称（特别地， a = b = 0 时，该函数为偶函数））.22. 对任意 x ， - f (x + a ) = f (a - x ) （ 或 f (x ) = - f (2a - x ) 的充分必要条件是y = f (x ) 的图像关于点(a ,0) 对称；3. 若 f (x ) 有两条对称轴 x = a 和 x = b (a < b ) (证明 ： ∵ f (a + x ) = f (a - x ) 得f (x ) = f (2a - x ) , f (b + x ) = f (b - x ) 得 f (x ) = f (2b - x )∴ f (2a - x ) = f (2b - x ) , ∴ f (x ) = f (2b - 2a + x )∴函数 y = f (x ) 是周期函数，且 2b - 2a 是一个周期。
),或有两个对称点(a ,0) 和(b ,0) （ a < b ）,则2(b - a ) 是 f (x ) 的一个周期；4. 若 f (x ) 以 x = a 为对称轴，且以(b ,0) 为对称中心，则4(b - a ) 是 f (x ) 的一个周期；5. y = f (x ) 的 图 像 关 于 点 (a , b ) 对 称 的 充 分 必 要 条 件 是 对 任 意 x ,f (a + x ) + f (a - x ) = 2b 成立（更一般地，若 f (a + x ) + f (b - x ) = c ，则 y = f (x ) 的 图像关于点( a + b , c)对称(在函数 y = f (x ) 上任取一点(x , y ) ，则 y = f (x ) ，点2 21 11 1 (x , y ) 关于点（ a + b ， c）的对称点（ a + b - x ，c －y 1），当 x = a + b - x 时，112 21 1f (a + b - x 1 ) = c - f [b - (b - x 1 )] = c - f (x 1 ) = c - y 1 ,即点（ a + b - x 1 ， c － y 1） 在函数y = f (x ) 的图象上。
由于点(x 1, y 1) 为函数 y = f (x ) 图象上的任意一点可知函数 y = f (x ) 的图象关于点（a +b 2 ， ）对称。
（注：当 a =b =c =0 时，函数为奇函数。
） 2特别提醒：⎨f (x - a ) + f (x ) = b6. 若 f (x + a ) = f (x + b ) ，则 f (x ) 是周期函数， b - a 是它的一个周期7. 对于非零常数 A ，若函数 y = f (x ) 满足 f (x + A) = - f (x ) ，则函数 y = f (x ) 必有一个周期为2 A 。