分段函数的几种常见题型与解法
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函数的概念和性质
考点 分段函数
分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下:
1.求分段函数的定义域和值域
例1.求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x
x x +∈-⎧⎪
=-∈⎨⎪∈+∞⎩
的定义域、值域.
2.求分段函数的函数值
例2.已知函数2
|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤⎧⎪
=⎨>⎪+⎩求12[()]
f f .
例3.求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪
=+<≤⎨⎪-+>⎩
的最大值.
4.求分段函数的解析式
例4.在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线(如图所示), 则函数()f x 的表达式为( )
222(10)
.()2(02)x x x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩
222(10)
.()2(02)x x x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩
222(12)
.()1(24)x x x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩
2
26(12)
.()3(24)x x x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩
-1
2
1
3
1
o
-2
y x
例5.函数|ln ||1|x y e x =--的图像大致是( )
A
11o
y
x
B
y
x
1
1
O
C
y
x
O
11
D
y
x
O
11
6.求分段函数得反函数
例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31x f x =-, 设()f x 的反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式.
7.判断分段函数的奇偶性
例7.判断函数22(1)(0)
()(1)(0)
x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.
8.判断分段函数的单调性
例8.判断函数32(0)
()(0)x x x f x x
x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.
例9.写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.
9.解分段函数的方程
例10.设函数812(,1]()log (1,)
x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1
()4f x =的x 的值为
10.解分段函数的不等式
例11.设函数1221(0)
()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪
=⎨⎪>⎩, 若0()1f x >, 则0x 得取值范围是( )
.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,D -∞-⋃+∞
例12.设函数2(1)
(1)()41(1)
x x f x x x ⎧+<⎪=⎨--≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围为
( )
A .(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃
反馈练习
1.(2013新课标全国Ⅰ,5分)已知函数f (x )=⎩
⎨⎧
-x 2
+2x ,x ≤0,
ln x +1,x >0.若|f (x )|≥ax ,则a 的取
值范围是( )
A .(-∞,0] B.(-∞,1] C .[-2,1]
D .[-2,0] 2.(2013福建,4分)已知函数f (x )=⎩⎨⎧
2x 3,x <0,
-tan x ,0≤x <π
2,
则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=________.
3.(2013北京,5分)函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧
log 12x , x ≥1,
2x , x <1的值域为________.
4.(2012江西,5分)若函数f (x )=⎩
⎨⎧
x 2
+1,x ≤1,
lg x ,x >1,则f (f (10))=( )
A .lg 101
B .2
C .1
D .0
5.(2011北京,5分)根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为
f (x )=⎩
⎪⎨⎪⎧
c