(完整版)高中数学平面向量讲义

专题六 平面向量

一. 基本知识

【1】 向量的基本概念与基本运算 （1）向量的基本概念：

①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0

与任意向量平行

③单位向量：模为1个单位长度的向量

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量

（2）向量的加法：设,AB a BC b ==，则a

+b =AB BC +=AC

①a a a

=+=+00；②向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR +++

++=，但这时必须“首尾相连”．

（3）向量的减法：

① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a

的相反向量

②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b

的差，

③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b

有共同起点）

（4）实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa

，它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ）a a

⋅=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a

的方向相同；当0<λ时，λ

a 的方向与a

的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的

（5）两个向量共线定理：向量b 与非零向量a

共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ

（6）平面向量的基本定理：如果21,e e

是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e

叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

【2】平面向量的坐标表示

（1） 平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，记作a =(x,y)。 （2） 平面向量的坐标运算：

①若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±± ②若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- ③若a =(x,y)，则λa =(λx, λy)

④若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-= ⑤若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅ ⑥若a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x 【3】平面向量的数量积 （1）两个向量的数量积：

已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫做a 与b 的数量积（或内积）

规定00a ⋅=

（2）向量的投影：︱b ︱cos θ=||

a b

a ⋅∈R ，称为向量

b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影

（3）数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积

（4）向量的模与平方的关系：22

||a a a a ⋅==

（5）乘法公式成立：

(

)()

2

2

22

a b a b a b a b +⋅-=-=-；()

2

222a b

a a

b b ±=±⋅+2

2

2a a b b =±⋅+

（6）平面向量数量积的运算律： ①交换律成立：a b b a ⋅=⋅

②对实数的结合律成立：()()

()()a b a b a b

R λλλλ⋅=⋅=⋅∈

③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅±

特别注意：（1）结合律不成立：()()

a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅；

（2）消去律不成立a b a c

⋅=⋅不能得到b

c =⋅

（3）a b ⋅=0不能得到a =0或b =0

（7）两个向量的数量积的坐标运算：

已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y +

（8）向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （

01800≤≤θ）叫做向量

a

与

b

的夹角

cos θ=cos ,a b a b a b

•<>=

•

=

当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00

，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800

，同时0与

其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题

（9）垂直：如果a 与b 的夹角为900

则称a 与b 垂直，记作a ⊥b

（10）两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b

＝O ⇔2121=+y y x x 平面向量

数量积的性质 二. 例题分析

【模块一】向量的基本运算

【例1】给出下列六个命题：

①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

②若a b =，则a b =③在平行四边形ABCD 中一定有AB DC =； ④若,m n n p ==，则m p =； ⑤若a //b ，b //c ,则a //c

⑥任一向量与它的相反下列不相等.⑦已知向量0a ≠，且0a b ⋅=，则0b =

⑧a b =的充要条件是a b =且a //b ；⑨若a 与b 方向相同，且a b >，则a b >； ⑩由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； 其中正确的命题的序号是