经典高数题举例
高等数学习题
高等数学练习题一1、一平面过点(1,0,1)-，且平行于向量()2,1,1a →=和()1,1,0b →=-，试求这平面方程.2、求过点(3,1,2)-且通过直线43521x y z -+==的平面方程.3、求过点(3,2,5)-且与两平面43x z -=和251x y z --=的交线平行的直线方程。
4、求过点(0,2,4)且与两平面21x z +=和32y z -=的交线平行的直线方程。
5、求过点()3,0,1-且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程.6、求过点(4,1,3)-且垂直于直线31215x y z --==的平面方程. 7、已知某直线过点(1,2,4)-, 且与平面2340x y z -+-=垂直, 则该直线方程8、已知某直线过点 (4,1,3)-, 且平行于直线31215x y z --==，则该直线方程 9、求旋转抛物面221z x y =+-在点(2,1,4)处的切平面方程和法线方程。
10、求曲面3z e z xy -+=在点(2,1,0)处的切平面方程和法线方程。
11、求曲线32,,x t y t z t ===在对应于01t =的点处的切线及法平面方程.12、求曲线21,,1t t x y z t t t +===+在对应于01t =的点处的切线及法平面方程.高等数学练习题二1、设sin u z e v =, 而u xy =, v x y =+. 求z x ∂∂和z y∂∂. 2、设2ln z u v =, 而x u y =, 32v x y =-. 求z x ∂∂和z y∂∂. 3、设23,sin ,,x y z e x t y t -===求dz dt . 4、设22z u v =+，而,u x y v x y =+=-，求,z z x y∂∂∂∂.5、计算二重积分Dd σ⎰⎰，其中D 由两条抛物线y =2y x =所围成闭区域.6、利用极坐标计算22xy D e dxdy --⎰⎰，其中D 是由圆周222x y a +=所围成的闭区域.7、利用极坐标计算22xy D e dxdy +⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域.8、计算22ln(1)Dx y d σ++⎰⎰, 其中D 是由圆周221x y +=及坐标轴所围成的第一象限内的闭区域。
高数练习题
练习题一、计算题1、根据差商与导数的关系，对于函数f (x )=x 7−x 4+3x +1，求：(1)f [20,21]（2）f [x ,20,21,…,26]（3）f [x ,20,21,…,27]。
01(1)(2)4119[2,2]115,121f f f --===--解：显然，f (7)(x )=7!,f (8)(x )=0,由性质得(7)016()[,2,2,,2]1,7!f f x ξ== (8)017()[,2,2,,2]0.8!f f x η== 2、给定四个插值点(−2,17),(0,1),(1,2),(2,19),计算N 2(0.9),N 3(0.9)。
解x 0=−2，x 1=0，x 2=1，x 3=2，通过计算可得，f [x 0,x 1]=−8，f [x 0,x 1,x 2]=3，f [x 0,x 1,x 2,x 3]=5/4，2000101012()()()[,]()()[,,]N x f x x x f x x x x x x f x x x =+-+-- 178(2)3(2).x x x =-+++320120123()()()()()[,,,]N x N x x x x x x x f x x x x =+--- 5178(2)3(2)(2)(1).4x x x x x x =-+++++- 3、解矛盾方程组：1212122+3+24+5x x x x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩解：矛盾方程组AX=b 的法方程为：A T AX=A T b ，即为12213211211124121121115x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得1265155616x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解方程组得12=0.909091=1.90909x x ，4、用对分法求()3.152.197.723-+-=x x x x f 在区间[1,2]之间的根。
高等数学典型习题及参考答案
⾼等数学典型习题及参考答案第⼋章典型习题⼀、填空题、选择题1、点)3,1,4(M -到y 轴的距离是2、平⾏于向量}1,2,1{a -=?的单位向量为 3、().0431,2,0垂直的直线为且与平⾯过点=--+-z y x4、.xoz y z y x :⾯上的投影柱⾯⽅程是在曲线??==++Γ2102225、()==-=+=+=-δλδλ则平⾏与设直线,z y x :l z y x :l 1111212121()23A ()12B ()32C ()21D6、已知k 2j i 2a +-=,k 5j 4i 3b ?-+=,则与b a 3??-平⾏的单位向量为 ( )（A ）}11,7,3{（B ）}11,7,3{- （C ）}11,7,3{1291-±（D ）}11,7,3{1791-± 7、曲线==++2z 9z y x 222在xoy 平⾯上投影曲线的⽅程为（）（A ）==+2z 5y x 22 （B ）==++0z 9z y x 222（C ）==+0z 5y x 22 （D ）5y x 22=+8、设平⾯的⼀般式⽅程为0A =+++D Cz By x ，当0==D A 时，该平⾯必( ) (A)平⾏于y 轴 (B) 垂直于z 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 通过x 轴 9、设空间三直线的⽅程分别为251214:1+=+=+z y x L ，67313:2+=+=z y x L ，41312:3-=+=z y x L 则必有 ( ) (A) 31//L L (B) 21L L ⊥ (C) 32L L ⊥ (D) 21//L L10、设平⾯的⼀般式⽅程为0=+++D Cz By Ax ，当0==B A 时，该平⾯必 ( ) (A) 垂直于x 轴 (B) 垂直于y 轴 (C) 垂直于xoy ⾯(D) 平⾏于xoy ⾯11、⽅程05z 3y 3x 222=-+所表⽰的曲⾯是（）（A ）椭圆抛物⾯（B ）椭球⾯（C ）旋转曲⾯（D ）单叶双曲⾯⼆、解答题1、设⼀平⾯垂直于平⾯0=z ，并通过从点)1,1,1(-P 到直线??=+-=010z y x 的垂线，求该平⾯⽅程。
考研高数经典题目(最新)
§1 高等数学部分
第一部分 函数、极限
1．1）若
x
→
0
时，(1
−
ax2
()
由于
n
→
∞
等价于
xn
→
0,
所以
lim
n→∞
xn+1 xn
sin
1 xn 2
a 故，a (
= lim
x→0
= 0; sin x )
x
1 x2
=
e−
1 6
第二部分 导数、微分
{
17．设 f (x) =
xλ
cos
1 x
,
0,
取值范围.
x ̸= 0 x=0
, 其导函数在 x = 0 处连续, 求 λ 的
(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点.
【解】(C) 分别是：1，-1
25．设函数 f (u) 可导, y = f (x2) 当自变量 x 在 x = −1 处取得增量
∆x = −0.1 时, 相应的函数增量 ∆y 的线性主部为 0.1, 则 f ′(1) = .
(A) − 1，(B) 0.1，(C) 1，(D) 0.5
(cos
x
−
b)
=
5，则
a
=
,b=
.
【解】a = 1; b = −{4 6. 设函数 f (x) =
, 1−etan x
arcsin
高数经典习题
1：( )（A）－1；（B）1；（C）2；（D）．(2.0分)2：已知在处偏导数存在，则(A)0； (B) ； (C) ； (D) ．3：设空间区域：，，：，，，，则………………（）(A)．(B)．(C)．(D)．设向量，若则必有[ ](A) ；(B) ；(C) ；(D) .球面与平面的交线在面上的投影曲线是[ ](A) ；(B) ；(C) ；(D) .下列各组角中，可以作为向量的方向角的是（）（A），，；（B），，；（C），，；（D），，．空间曲线在面上的投影方程为（）(A)； (B) (C) (D)若函数及在单连通域D内有连续的一阶偏导数，则在D内，曲线积分与路径无关的充分必要条件是（）．(A) 在域D内恒有；(B) 在域D内恒有；(C) 在D内任一条闭曲线上，曲线积分；(D) 在D内任一条闭曲线上，曲线积分．设在曲线弧L上连续，L的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则曲线积分（）(A) ； (B) ；(C) ； (D)．设为由曲面及平面所围成的立体的表面，则曲面积分=（）（A）；（B）；（C）；（D）0 ．11. 设，有一阶连续偏导数，则． (2.0分)12. 求函数的极值。
(10.0分)13. 设，，则. (2.0分)14.设直线与平面垂直，则， .(2.0分)15.过原点且垂直于平面的直线为__________________(2.0分)16.求的偏导数。
(8.0分)17. 证明：球面∑：上任意一点处的法线都经过球心。
(8.0分)18.设，证明：(1)；(2) ．19：判别级数的敛散性.(2.0分)20.求级数的收敛域以及它们在收敛域内的和函数.(10.0分)21.计算其中为曲面的下侧。
(10.0分)22. 计算． (8.0分)23.求曲线在三个坐标面上的投影曲线的方程.。
高数习题集(附答案)
第一章 函数与极限§1 函数必作习题P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17必交习题一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。
(1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式；(2) 作出函数)(t v v =的图形。
二、 证明函数12+=x x y 在),(+∞-∞内是有界的。
三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin)(2= ；(2)1212)(+-=x x x f ；(3))1ln()(2++=x x x f 。
四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。
§2 初等函数必作习题P31－33 1，8，9，10，16，17必交习题一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域：(1))(x e f ；(2))(ln x f ；(3))(arcsin x f ；(4))(cos x f 。
二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -；(2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ；(3)设x x f -=11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。
)1,0(≠≠x x三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。
四、设⎩⎨⎧>+≤-=0,20,2)(x x x x x f ，⎩⎨⎧>-≤=0,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。
P42 3 (3) (4)，4，5，6必交习题一、 写出下列数列的前五项 (1)3sin 31n n x n =；(2)n n n n x n ++++++=22212111 ；(3)nx n x n n n)1(1211122-=+++=-， 。
高数极限经典60题分步骤详解
高数极限经典60题分步骤详解1.求极限lim(sinn+1-sinn)/(n→∞)。
为了解决这个问题，我们需要运用三角函数和差化积公式，将式子进行转化，然后求出极限。
具体过程如下：sinn+1-sinn=2cos(n+1+n)/(sin^2(n+1)+sin^2(n))2cos(n+1+n)/(sin^2(n+1)+sin^2(n))(sin()/sin())2cos(n+1+n)/(sin^2(n+1)+sin^2(n))(n→∞)2cos因为当n→∞时，sin()/n+1+n→0，而cos是有界函数，有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小，所以原式极限为0.2.令Sn=∑(k/(k+1)!)，求极限limSn(n→∞)。
我们可以将Sn的式子变形，得到Sn=1-1/(n+1)。
然后求出极限即可。
具体过程如下：k/(k+1)!)=1/(k!)-1/((k+1)!)k/(k+1)!)=1/1!-1/2!+1/2!-1/3!+。
+1/n!-1/(n+1)!1-1/(n+1)!因此，limSn=lim(1-1/(n+1!))=1.3.求极限lim(1+2q+3q^2+4q^3+。
+nq^(n-1))，其中q<1且q≠0.我们可以将Sn的式子变形，得到qSn=1q+2q^2+3q^3+。
+(n-1)q^(n-1)+nq^n1-q)Sn=(1+q+q^2+q^3+。
+q^(n-1))-nq^n1-q)Sn=(1-q^n)/(1-q)-nq^nSn=[(1-q)/(1-q)^2]-nq^n/(1-q)当q<1且n→∞时，q^n→0，1+q+q^2+q^3+。
+q^(n-1)→1/(1-q)，因此limSn=lim[(1-q)/(1-q)^2]-lim(nq^n/(1-q))1/(1-q)^2因此，极限为1/(1-q)^2.注：关于lim(1+2q+3q^2+4q^3+。
+nq^(n-1))/(q→0)，当n→∞时，q^n→0，1+2q+3q^2+4q^3+。
大学高数真题及答案解析
大学高数真题及答案解析大学高等数学作为大学学习的一门重要基础课程，对于培养学生的数学思维和分析能力具有举足轻重的作用。
在学习过程中，做好真题练习是提高数学水平的一个重要方法。
本文将以大学高数的真题及答案解析为主题，深入探讨一些经典的问题。
第一部分：极限与导数大学高数的第一章是极限与导数。
极限是高数的基础概念之一，在此通过练习题来讲解。
1. 求极限：$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$$解析：可以通过洛必达法则求解，即对分子和分母同时求导。
得到：$$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1}=1$$2. 求极限：$$\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$解析：这是一个经典的极限题。
可以用数学归纳法证明$n$趋近于无穷大时这个极限是$e$，即$$\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$$3. 求极限：$$\lim_{x \to \infty}{x^{\frac{1}{x}}}$$解析：这是一个关于无穷大指数的极限题。
可以用自然对数的特性来解答，即$$\lim_{x \to \infty}{x^{\frac{1}{x}}}=\lim_{x \to\infty}{e^{\frac{\ln x}{x}}}$$然后再用洛必达法则求解，得到：$$\lim_{x \to \infty}{e^{\frac{\ln x}{x}}}=e^0=1$$第二部分：积分与微分方程大学高数的第二章是积分与微分方程。
积分是微分的逆运算，通过各种积分方法可以解决多种复杂问题。
1. 求积分：$$\int e^x \sin x dx$$解析：通过分部积分法可以求解这个积分，得到：$$\int e^x \sin x dx = e^x\sin x - \int e^x \cos x dx$$对于$\int e^x \cos x dx$，再次使用分部积分法可得：$$\int e^x \cos x dx = e^x\cos x - \int e^x (-\sin x) dx = e^x\cos x + \int e^x \sin x dx$$将两个方程相加消去$\int e^x \sin x dx$，得到：$$\int e^x \sin x dx = \frac{1}{2}(e^x \sin x - e^x \cosx) + C$$2. 求解微分方程：$$y''-2y'+y=0$$解析：这是一个二阶齐次线性微分方程。
高数考试题目
高数考试题目1. 单选题(1) 设函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求该函数的切线方程斜率的取值范围是：A. (-∞, -7/4)B. (-7/4, 8/3)C. (8/3, ∞)D. (-7/4, 4)(2) 求函数 f(x) = x^3 在点x = π/6 处的切线方程。
(3) 求函数 f(x) = (4x^2 + 6x + 8)/(2x + 1) 的导函数。
2. 多选题(1) 已知函数 y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，若 f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c，则 a, b, c, d 可能的组合是：A. 1, 2, 3, 1B. -1, 0, 1, 2C. 2, -1, 0, 3D. -1, 2, 1, 3(2) 已知函数 y = f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x，若 f'(x) = 0 的根为 x = 2，则f(x) 的极值点是：A. x = 0, x = 2B. x = 0, x = -2C. x = 2, x = -2D. x = 0, x = -1(3) "等差数列" 和 "等比数列" 的概念和性质分别是：A. 等差数列：数列中任意两项的差相等；等比数列：数列中任意两项的比相等。
B. 等差数列：数列中任意两项的和相等；等比数列：数列中任意两项的积相等。
C. 等差数列：数列中任意两项的积相等；等比数列：数列中任意两项的差相等。
D. 等差数列：数列中任意两项的差相等；等比数列：数列中任意两项的和相等。
3. 计算题(1) 求函数 f(x) = x^3 + 2x^2 + 4x + 8 在区间 [-2, 2] 上的定积分。
(2) 求函数 f(x) = e^x 在区间 [0, 1] 上的定积分。
(3) 求函数 f(x) = ln(x) 在 x = 1 处的极限。
4. 解答题(1) 证明函数 f(x) = 3x^3 - 4x^2 + 2 在整个实数域上都是连续的。
高等数学试题
高等数学试题一、选择题1. 设函数 f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x + 2 ，则 f'(x) =A) 3x^2 - 4x + 3B) 3x^2 - 8x + 3C) 4x^2 - 4x + 3D) 3x^2 - 4x + 22. 求函数 f(x) = 2x^3 - 3x + 1 的极大值和极小值的 x 坐标。
A) 极大值：x = -1, 极小值：x = 1/2B) 极大值：x = 1, 极小值：x = -1/2C) 极大值：x = -1/2, 极小值：x = 1D) 极大值：x = 1/2, 极小值：x = -13. 某物体的位置函数为 x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t，其中 t 为时间，x(t) 为位置。
则在 t = 3 时，物体的加速度为多少？A) 6B) 9C) 12D) 18二、填空题1. 设函数 f(x) = ln(x+1)，则 f''(x) = ___________。
2. 确定函数 f(x) = 2^x 的反函数为 f^(-1)(x) = ___________。
三、解答题1. 求函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 的零点及其相应的重数。
2. 求曲线 y = x^3 在点 (1,1) 处的切线方程。
3. 设函数 f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + c ，其中 c 为常数。
若曲线 y = f(x) 与 x 轴交于两个不同点 A 和 B，求点 A 和 B 的坐标。
篇幅略长，请您见谅。
以上是一套高等数学试题，包括选择题、填空题和解答题。
希望能帮助您巩固数学知识，提升解题能力。
如有疑问，请随时向我提问。
高数典型例题
第一章函数及其图形例1：（）.A.{x|x>3}B.{x|x<-2}C.{x|-2<x≤1}D.{x|x≤1}???注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。
例2：函数的定义域为（）.解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。
由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。
例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（）解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。
?B中的函数是相同的。
因为对一切实数x都成立，故应选B。
?C中的两个函数是不同的。
因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。
?D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。
例4：设解：在令t=cosx-1，得又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有。
例5：f(2)没有定义。
注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。
例6：函数是（）。
A．偶函数B．有界函数C．单调函数D．周期函数解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。
由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。
事实上，对任意的x，由，可得，从而有。
可见，对于任意的x，有。
因此，所给函数是有界的，即应选择B。
例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。
A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定解：因为f(x+y)=f(x)+f(y)，故f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)，可知f(0)=0。
高等数学经典例题
).,(,),(322y x f y xy xy x f 求设例，则令解v y x u yx ,,1,1vu yvuv x .1)1(),(,)1()1(),(2222yy x y x f v v u v u f 例6求证证1sin )(lim 22220y xy xyx 01sin )(2222y x y x 22221siny xy x22yx,0,当时，22)0()0(0y x 01sin)(2222yxy x原结论成立．多元函数微分法及其应用.)(lim922)0,0(),(xyy x y x求例而解,)()ln(2222y x xy ey x)ln()()ln(22222222y xy xyxxy y xxy )ln()(lim2222)0,0(),(y xy xy x tyx22令t t t ln lim 0ttt 1ln lim 0罗必达法则11lim 20t t t 从而，又122yxxy ,0)ln(lim22)0,0(),(y xxy y x .1)(lim 022)0,0(),(ey x xyy x 故.11lim10)0,0(),(y xxy y x 求例先将函数变形解,11111xy y xxy yxxy ,21111lim)0,0(),(xy y x ,,y xxy 只须考察故所求极限是否存在 A.有时趋于沿当,)0,0(),(x yy x ,02limlimlim20)0,0(),(xxyx xy yx xy xx y x y x ,1)(limlimlim22)0,0(),(2xx xx y xxy yxxy xxxy x y x 又,lim )0,0(),(不存在故yxxy y x .11lim )0,0(),(不存在从而yxxy y x 例4设13323xyxyyx z，求22x z、x y z 2、y x z 2、22y z 及33xz.解x z ,33322y yy x yz ;9223x xyyx 22xz,62xy 22yz;1823xy x33xz,62y xy z 2.19622y y x yx z 2,19622yyx 偏微分.2,),(5222222yfx y y x fx fyx Idt ey x f xy t求设例,22,,222222223222yx yx yx yx e xy e xy y xfxeyf ye xf 解,222322y x eyx yf,2122222y x ey x yx f）（的对称性得出关于变量可由y x y x f ,),(.222yx eI.,22xy zyx z均有在以上二例中问题：混合偏导数都相等吗？B..limdtdv v z dtdu u z tzdtdz t上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如dtdw w z dtdv v z dtdu u z dtdz uv wtz以上公式中的导数称为全导数.dtdz )2(例1设v e zusin ，而xy u，y x v ，求x z 和yz .解xz u z xu v z xv 1cos sin v e y v e uu),cos sin (v vy e uyz uz yu vz yv 1cos sin v e x v e uu).cos sin (v vx e u多元复合函数的求导法则.,),,sin(2 222yx zfyxyefz x求有二阶连续偏导数设例,),(,,sin22vufzyxvyeu x则令解uvxzy图示：,2sin21xfyefxz x,),(,),(,2121vuvuffuvuff记为表达方便起见uvxy21ff，)2sin(212xfyefyyxz xyefyeyfyef xxx cossin)2cos(11211]2cos[22221yfyefx x12112]cossin[2sincos fyxyyefyye xx.cos4122f yefxy x2112ffC.,,),,,(32y x z f xe uy x u f z y求有二阶连续偏导数设例解,21f ef xz y)(212f ef yyx zy232111311)(f xe f ef ef xe f yyyy.1232113112f e f f xe f e f xeyyyyzx uyxy，，21f f .,),()(142y x zf y xy xy f xz 求有二阶连续偏导数设例.,,22偏导数计算的次序来计算混合故可选择容易两者相等连续时与当xy zyx z分析)()(,)(),(),(1),(2x h y y g xyx zy x y y x h xy f x y x g 则记解)()(,)(),(),(1),(2xhy y g x y x z y xy y x h xy f x y x g 则记解))(())((y x y y xy f x).()()(y xyy x xy f y .)()),,(,()(,3,2,1)1,1(,)1,1(),(513)1,1()1,1(x x dxd x x f x f x yf xf f y x f z 求且处可微在点设例则求先求,1)1,1())1,1(,1()1(f f f [分析与求解］),1(3)1()1(3)(213x x dxd).1(归结为求由复合函数求导法：)],,(),())[,(,()),(,()(2121x x f x x f x x f x f x x f x f x )]1,1()1,1())[1,1(,1())1,1(,1()1(2121f f f f f f ,17)32(32.51173)(13x x dxd D..,222xzxyz ez求设例则设解,),,(xyz ez y x F z,,,xy e F xz F yz F zz y xxy eyz xyeyzx z zz得由)4(222)()()()(xy ey z e yz xy ez y xyeyzx xzzx zz x z .)(2232232xy eez y z xy ze y zzz代入化简将xyeyz z zx例7已知02zxyez e，求x z 和y z.解,0)2(zxye ze d ,02)(dze dzxy d ezxy)()2(ydx xdyedze xyzdy e xedx e yedz zxyzxy)2()2(xz,2zxyeye yz .2zxye xe隐函数的求导公式.,0,,,sin ,0),,(),,,(32dxduzf x y z e x z y x f uy求且都有一阶连续偏导数其中设例.导的综合题求导与抽象复合函数求的由方程式确定的隐函数本题实质上已经变成了分析.,,0,sin ,0),,(2的复合函数是从而的函数都是知由x u x z y zx yz e x y，由),,(z y x f uzxuxy图示：,1dxdzz fdx dyy f x f dxdu ,cos x dxdy 而.,,0),,(2的函数都是注意求偏导按隐函数求导法各项对由x z y x z e x dxdz y,0cos 2321dxdz xe xy),cos 2(1213x e x dxdzy).cos 2(1cos 213xe xz f x yf xf dxdu y故E..,,,0),,(),()(),(6dx dzF f z y x F y x xf zx z z x y y求续偏导数和一阶连分别具有一阶连续导数其中所确定的函数是由设例求导得的两端对在解x z y x F y xxf z0),,(),(.0),1()(dxdz F dx dy F F dx dy f x y x f dx dz zyx.)(,zyxy F f x F F f x F f x fdx dz dxdy 得消去:)(),(,),,(7分别由以下两式确定又有一阶连续偏导设例x z z x y y z y x f u ,sin ,20dt tt exyez x xxy.dx du 求,dxdzz f dxdyy f xf dx du 解求导得两边对由x xye xy2,0)()(dx dy x y dx dy x y e xy，xydx dy )7(求导得两边对由x dt tt ez x xsin ),1()()sin(dx dz z x z x ex，)sin()(1z xz x e dxdz x.]sin1[z f z x z x e yf x y xf dxdu x）（）（得将其代入)7(六、设函数)(x u 由方程组),(0),,(),(z x h z y x g y x f u 所确定, 且.,0,0dxduzh yg 求(h g f ,,均可微)七、设),,(t x f y而t 是由方程0),,(t y x F 所确定的y x ,的函数,求.dx dy 八、设),(y x z z由方程),(xz yyx xF =0所确定,证明:xy z yz yxz x.F.例2求曲线6222zy x ，0z y x 在点)1,2,1(处的切线及法平面方程.解1直接利用公式;解2将所给方程的两边对x 求导并移项，得1dxdz dxdy x dx dzzdx dyy,zyx z dxdy ,zyy x dxdz 看待）(求导时诸变量均平等,,,,(个自由未知量一所以有两个变量函数三个变量这里两个方程注一旦均可取为自变量的对称关系由,,,,z y x 函数求导时的函数另两个变量即为该变量取定自变量,,,).法则求导变量应按复合函数求导由此得切向量},1,0,1{T所求切线方程为,110211z y x 法平面方程为,0)1()2(0)1(z y x 0z x ,0)1,2,1(dx dy ,1)1,2,1(dx dz 多元函数微分学的几何应用解法三用全微分不变性求例3求曲面2132222zyx平行于平面064z y x的各切平面方程.解设为曲面上的切点,),,(000z y x 切平面方程为)(6)(4)(2000000z z z y yy x xx 依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000z y x .200z y x 因为是曲面上的切点，),,(000z y x ,10x 所求切点为满足方程),2,2,1(),2,2,1(0)2(12)2(8)1(2z y x2164z y x 0)2(12)2(8)1(2z y x 2164z y x 切平面方程(1)切平面方程(2)G.各点试证曲面可微设例0),(,),(4bz cy az cx F v u F .量处的法线总垂直于常向),,(),,(),,(z y x bz cy az cx F z y x f 则曲面上一点令证处的法向量为),,,(),,(2121F b F a F c F c f f f n z y x ,0),,(2121F cb F ca F bc F ac c b a n ).,,(c b a 于常向量即任一点的法向量垂直例2求函数22),(y xy x y x f 在点（1，1）沿与x 轴方向夹角为的方向射线l 的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导数有（1）最大值；（2）最小值；（3）等于零？解sin)1,1(cos)1,1()1,1(y x f f lf 由方向导数的计算公式知,sin)2(cos)2()1,1()1,1(x yy xsincos 2方向导数与梯度sincos ),4sin(2故（1）当4时，方向导数达到最大值2;（2）当45时，方向导数达到最小值2;（3）当43和47时，方向导数等于0..,,,公式然后才可使用方向导数此向量单位化还要将向量不仅要求出给定的方向求方向导数时注例3求函数y x z y x u 2332222在点)2,1,1(处的梯度，并问在哪些点处梯度为零？解由梯度计算公式得kzu jyu ixu z y x gradu ),,(,6)24()32(k z jyi x故.1225)2,1,1(k jigradu 在)0,21,23(0P 处梯度为0.H.例5 求二元函数)4(),(2y x y x y x f z 在直线6y x ，x 轴和y 轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.解先求函数在D 内的驻点，xyo6y x D解方程组)4(),(0)4(2),(222yx y xx y x f y x y x xy y x f y x 得区域D 内唯一驻点)1,2(,且4)1,2(f ,三、设v u ,都是z y x ,,的函数,v u ,的各偏导数都存在且连续,证明:ugradv vgradu uv grad )(四、求222222czbya xu在点),,(000z y x M 处沿点的向径0r 的方向导数,问c b a ,,具有什么关系时此方向导数等于梯度的模?习题：二、求函数)(12222b y ax z 在点)2,2(b a 处沿曲线12222bya x在这点的内法线方向的方向导数.多元函数的极值及其求法再求),(y x f 在D 边界上的最值，在边界0x和0y 上0),(y x f ,在边界6y x 上，即xy 6于是)2)(6(),(2x x y x f ,由02)6(42xx x f x ,得4,021x x ,2|64x x y,64)2,4(f 比较后可知4)1,2(f 为最大值,64)2,4(f 为最小值.xyo6y xD例7 将正数12分成三个正数z y x ,,之和使得z y x u23为最大.解令)12(),,(23zy x zy x z y x F ,12020323322z yxy x F yz x F z y x F zy x则J.解得唯一驻点)2,4,6(，.691224623maxu 故最大值为例8在第一卦限内作椭球面1222222cz by ax 的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.解设),,(000z y x P 为椭球面上一点,令1),,(222222cz by ax z y x F ,则202|ax FPx，202|by F Py，202|cz F Pz 过),,(000z y x P 的切平面方程为)(02x xax )(020y y by 0)(020z z cz ,化简为1202020cz z by y ax x ,该切平面在三个轴上的截距各为02x ax，02y by ，02z c z ,所围四面体的体积00222661z y x cb a xyz V,过),,(000z y x P 的切平面方程为)(020x x ax )(020y y by 0)(020z z cz ,化简为1202020cz z by y a x x ,该切平面在三个轴上的截距各为2x ax，02y by，02z c z ,所围四面体的体积00222661z y x cb a xyz V,在条件1220220220cz by ax 下求V 的最小值,令,ln ln ln 000z y x u由,1,0,0220220220000cy by ax G G G z y x),,(000z y x G 000ln ln ln z y x )1(220220220cz by ax ,最值可简化计算值转化为求此函数的将求四面体体积的最K.。
高数偏导经典60道题
1. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解：y=|)1(|ln 1+x c2.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln x y令x y =u ,则dx dy =u+ x dx duu+ x dx du=ulnuln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln x y=cy.3．dx dy =y x xy y321++ 解：原方程为：dx dy =yy 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-y x y x +- 令x y =u 则dx dy =u+x dx du代入有： -112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y. 6. x dx dy -y+22y x -=0解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du211u -du=sgnx x 1dx arcsin x y=sgnxln|x|+c7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x ccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c.8 dx dy +y e x y 32+=0解：原方程为：dx dy =y ey 2e x 32 e x 3-3e 2y -=c. 9. dx dy=e y x -解：原方程为：dx dy=e x e y -e y =ce x10dx dy=(x+y)2解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1dx du-1=u 2211u +du=dxarctgu=x+carctg(x+y)=x+c 11y xy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y x x y x y x yy x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然12. dx dy =2)(1y x +解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15: dx dy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+解：原方程为：dx dy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).1、y y x '+='13解：令t p y dx dy 1=='=，则23311t t t t x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=， 从而()()c t t c dt t c t t d t c pdx y ++=++=++=+=⎰⎰⎰223231223， 于是求得方程参数形式得通解为⎪⎩⎪⎨⎧++=+=c t t y t t x 223223. 2、()0133='--'y x y 解：令tx p y dx dy =='=，则()()0133=--tx x tx ，即t t t t x 1123-=-=， 从而c t t d t t t c pdx y +⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=⎰⎰1122 ()c dt t t t +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰23121 c dt t t t +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎰2412 c tt t ++-=1215225， 于是求得方程参数形式得通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=-=c t t t y t t x 121521252. 3、y e y y ''=2解：令p y dxdy ='=，则p e p y 2=， 从而()c e pd p x p +=⎰21 ()c dp e p pe p p p ++=⎰221 =()⎰++c dp pe e p p 2 ()c e p p ++=1，于是求得方程参数形式的通解为()⎪⎩⎪⎨⎧=++=p p ey y c e p x 21, 另外，y=0也是方程的解.4、()a y y 212='+, a 为常数 解：令ϕtg y dx dy ='=，则ϕϕϕ222cos 2sec 212a a tg a y ==+=， 从而()c ad tg c dy p x +=+=⎰⎰ϕϕ2cos 211 c a c d a ++-=+-=⎰⎰22cos 14cos 42ϕϕϕ ()c a ++-=ϕϕ2sin 2，于是求得方程参数形式的通解为()⎩⎨⎧=++-=ϕϕϕ2cos 22sin 2a y c a x . 5、='+22y x 1 解：令t p y dxdy cos =='=，则t t x sin cos 12=-=， 从而()c t td y +=⎰sin cos c dt t c tdt ++=+=⎰⎰22cos 1cos 2 c t t ++=2sin 4121， 于是求得方程参数形式的通解为⎪⎩⎪⎨⎧++==c t t y t x 2sin 4121sin .6、()()2221y y y '-=-' 解：令yt y ='-2，则11-='-yt y ，得tt y 1+=， 所以()()dt t dt t t t t dt t t t t t t d yt dy y dy dx 222222*********-=--=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-='=-， 从而c tc dt t x +=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰112， 于是求得方程参数形式的通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t t y c t x 11， 因此方程的通解为c x c x y -+-=1.习题2.52．ydy x xdy ydx 2=-解：两边同除以2x ，得： ydy x xdy ydx =-2 c y x y d +-=221 即c y x y =+221 4．xyx y dx dy -= 解：两边同除以x ，得x yx y dx dy -=1令u xy = 则dx du x u dx dy +=即dx du x u dx dy +=uu -=1 得到()2ln 211y c u -=， 即2ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y c y x 另外0=y 也是方程的解。
高数300题(一)
解：构造函数 f (x) = x3 + x -1 ， f (0) = -1 < 0 ， f (1) = 1 > 0 ，根据零点定理知，在(0,1)
内至少有一个实根；又 f ¢(x) = 3x2 +1 > 0 ，即函数 f (x) 是单调的。由此可知，已知方程
在 (0,1) 内只有一个实根。选 B.
39、下列方程在区间 (0,1) 内至少有一个实根的为
8、设 y = f (sin x) = cos2 x + 2 ，求 f ( x) ．
解：因为 f (sin x) = 1 - sin 2 x + 2 = 3 - sin 2 x ，所以 f (x) = 3 - x 2 ．
9、设函数
f
(x)
=
1-
2x
，
g
[
f
(x)]
=
1x
x
，则
g
æ çè
1 2
ö ÷ø
k
=
ïîarcsin x + k, x ³ 1
（）
A、 - 2 p
B、 2 p
C、 p 2
D、 - p 2
解：因为函数处处连续，所以在 x = 1 处也连续，又 lim sin p (x -1) = p ， x®1- x - 1
lim (arcsin x + k ) = p + k ，从而可知 k = p .选 C.
图像关于 y 轴对称； f (x) - f (- x) 奇函数，图像关于原点对称；另两个无法确定.应选 C. 16、若 f (x) (x Î R) 为奇函数，则下列函数一定为偶函数的是
A． f (2x)
B． f (-x + 2)
简单高数题
简单高数题一、函数与极限部分（6题）1. 求极限 lim_{x to 1}(x^2 - 1)/(x - 1)- 解析：- 首先对分子进行因式分解，x^2 - 1=(x + 1)(x - 1)。
- 则原式可化为lim_{x to 1}((x + 1)(x - 1))/(x - 1)。
- 当xto1时，x≠1，可以约去x - 1，得到lim_{x to 1}(x + 1)。
- 把x = 1代入x+1，得到极限值为2。
2. 设函数f(x)=<=ft{begin{array}{ll}x+1, & x<0 0, & x = 0 x - 1, &x>0end{array}right.，求lim_{x to 0}f(x)- 解析：- 当xto0^-（即x从左边趋近于0）时，f(x)=x + 1，则lim_{x to 0^-}f(x)=lim_{x to 0^-}(x + 1)=1。
- 当xto0^+（即x从右边趋近于0）时，f(x)=x - 1，则lim_{x to0^+}f(x)=lim_{x to 0^+}(x - 1)= - 1。
- 因为lim_{x to 0^-}f(x)≠lim_{x to 0^+}f(x)，所以lim_{x to 0}f(x)不存在。
3. 求函数y=√(x^2 - 4)+(1)/(x - 3)的定义域。
- 解析：- 对于根式部分，要使√(x^2 - 4)有意义，则x^2-4≥slant0。
- 解不等式x^2 - 4≥slant0，即(x + 2)(x - 2)≥slant0，得到x≤slant - 2或x≥slant2。
- 对于分式部分，要使(1)/(x - 3)有意义，则x - 3≠0，即x≠3。
- 综合起来，函数的定义域为(-∞,-2]∪[2,3)∪(3,+∞)。
4. 已知函数f(x)=ln(x + 1)，求f^′(0)。
- 解析：- 首先对f(x)=ln(x + 1)求导，根据求导公式(ln(u))^′=(1)/(u)u^′，这里u=x + 1，u^′ = 1。
大一高数极限经典例题
大一高数极限经典例题高等数学中的极限是一个重要概念，它表明了当一个函数越来越接近某一值时，函数的值也会越来越接近这个值。
它涉及到许多概念，例如定义域、函数图像、极限点、极限值以及极限存在性，可以帮助我们深入理解函数的行为。
本文将介绍一些关于极限的典型例题，以帮助大家理解极限的概念和构成。
首先，我们来看一个有关极限的典型例题：例题1：求Δ(x) = 2x-3的极限这个问题的答案是极限是不存在的，即极限不等于任何值。
为了解释这个答案，我们可以将x = 3入Δ(x)，得到Δ(3) = 3。
然后，我们可以看到，当 x非常接近3时，Δ(x)也会变得非常接近3，但也可能不等于3。
因此，该函数的极限不存在。
现在我们来看另外一个典型例题：例题2：求Δ(x) = (x-2) / (x+2)的极限这个问题的答案是极限是-1/2，即极限等于-1/2。
为了解释这个答案，我们可以将 x = 2入Δ(x)，得到Δ(2) = 0。
然后，我们可以看到，当 x非常接近2时，Δ(x)也会变得非常接近0，但也可能不等于0。
因此，随着x值越来越接近2，Δ(x)越来越接近-1/2。
此外，我们还可以看一个有关极限存在性的典型例题：例题3：求Δ(x) = ( x^2 - 4x + 3 ) / ( x - 2 )的极限这个问题的答案是极限存在，且极限等于7。
为了解释这个答案，我们可以将 x = 2入Δ(x)，得到Δ(2) = 7。
然后，我们可以看到，当 x非常接近2时，Δ(x)也会变得非常接近7，但也可能不等于7。
因此，随着x值越来越接近2，Δ(x)越来越接近7，所以该函数的极限存在，并且极限等于7。
综上所述，极限是一个重要的概念，可以帮助我们理解函数的行为。
上面关于极限的几个典型例题可以帮助大家更好地理解极限存在性、极限值以及极限运算原理。
此外，大家还可以通过后续的学习，学习更多有关极限的知识，以进一步掌握极限概念。
高数期末练习题推荐
高数期末练习题推荐一、极限与连续1. 计算下列极限：(1) lim(x→0) (sinx/x)(2) lim(x→1) (1 cosx)/x^2(3) lim(x→+∞) (1 + 1/x)^x2. 判断下列函数在指定点的连续性：(1) f(x) = |x| 1，在x = 1处(2) f(x) = (x^2 1)/(x 1)，在x = 1处(3) f(x) = sqrt(1 x^2)，在x = 0处3. 讨论函数f(x) = (x^2 1)/(x 1)的连续性。
二、导数与微分1. 求下列函数的导数：(1) y = x^3 3x + 2(2) y = ln(x^2 + 1)(3) y = e^x sinx2. 求下列函数的微分：(1) y = sqrt(1 + x^2)(2) y = arctan(x)(3) y = x^2 e^x3. 求曲线y = x^3 3x在点(2, 2)处的切线方程。
三、积分与不定积分1. 计算下列不定积分：(2) ∫(e^x sinx)dx(3) ∫(1/x)dx2. 计算下列定积分：(1) ∫(从0到π) sinx dx(2) ∫(从1到e) (1/x) dx(3) ∫(从0到1) x e^x dx3. 求曲线y = x^2在x轴上方的面积。
四、级数1. 判断下列级数的收敛性：(1) Σ(从n=1到∞) 1/n(2) Σ(从n=1到∞) (1)^n / n(3) Σ(从n=1到∞) n / (n^2 + 1)2. 求幂级数Σ(从n=0到∞) x^n的收敛区间。
五、多元函数微分法1. 求函数z = x^2 + y^2在点(1, 2)处的偏导数。
2. 求函数z = e^(x^2 + y^2)在点(0, 0)处的全微分。
3. 求函数z = ln(x + y)在点(1, 1)处的梯度。
六、向量与空间解析几何1. 计算向量a = (2, 1, 1)与向量b = (1, 1, 2)的模和夹角。
高数微积分真题及答案解析
高数微积分真题及答案解析高等数学是大多数理科学生必修的一门课程，其中微积分是其中的重要组成部分。
在学习微积分时，遇到一些经典的高数微积分问题是很常见的。
本文将介绍一些常见的高数微积分真题，并给出详细的答案解析，希望能够帮助读者更好地理解微积分的概念和应用。
【真题一】计算函数 f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 在 x = 2 处的导数。
【答案解析】首先，函数的导数可以通过求取函数的极限来计算。
对于本题中的函数 f(x)，可以使用导数的定义来求取其导数：f'(x) = lim [f(x + h) - f(x)] / h as h -> 0将函数 f(x) 带入上述定义可得：f'(x) = lim [(x + h)^3 - 3(x + h)^2 - 9(x + h) + 5 - (x^3 - 3x^2 - 9x + 5)] / h as h -> 0化简后得：f'(x) = lim [3hx^2 + 3h^2x + h^3 - 6hx - 6h^2 - 9h] / h as h -> 0进一步化简得：f'(x) = lim [3x^2 + 3hx + h^2 - 6x - 6h - 9] as h -> 0当 h 趋近于 0 时，可以忽略掉 h^2、h 以及 9 这三项，得到最终的导数表达式：f'(x) = 3x^2 - 6x - 6【真题二】已知一曲线的方程为 y = x^2 + ax + b，该曲线过点 (1, -1) 和 (2, 2)，求 a 和 b 的值。
【答案解析】首先，根据已知条件，可以得到两个方程：-1 = 1^2 + a(1) + b2 = 2^2 + a(2) + b化简上述两个方程得：-1 = 1 + a + b2 = 4 + 2a + b通过进一步化简，可以得到：b = -a - 2将该表达式代入第二个方程可得：2 = 4 + 2a + (-a - 2)化简得：2 = 4 + a - 2解得 a = 0将 a 的值代入第一个方程可得：-1 = 1 + 0 + b解得 b = -2因此，方程的解为 a = 0，b = -2。
高等数学应用案例讲解（精华版）
高 等 数 学 应 用 案 例案例 1，如何调整工人的人数而保证产量不变一工厂有 x 名技术工人和 y 名非技术工人，每天可生产的产品产 量为2（件）f ( x, y) x y现有 16 名技术工人和 32 名非技术工人，如何调整非技术工人的 人数，可保持产品产量不变？解：现在产品产量为 f (16,32) 8192 件，保持这种产量的函数曲线 为 f (x, y) 8192 ；对于任一给定值 x ，每增加一名技术工人时 y 的变化 量即为这函数曲线切线的斜率dy；而由隐函数存在定理，可得dxf dy dxx f y所以，当增加一名技术工人时，非技术工人的变化量为f dy dx2 y xx f y4 ；dydx当 x 32 时，可得 16, y 因此，要增加一个技术工人并要使产量不变，就要相应地削减约 4 名非技术工人；下面给出一个初等数学解法；令c ：每天可生产的产品产量；x 0 ；技术工人数； y 0 ；非技术工人数；x ；技术工人增加人数；y ；在保持每天产品产量不变情形下，当技术工人由16 名增加到 17 名时，非技术人员要增加（或削减）的人数；由已知列方程：（1）当技术工人为 16 名，非技术工人为 32 名时， 每天的产品产 量为 c ，就有方程：（1）2 xy 0c（2）当技术工人增加了 1 名时，非技术工人应为（ y ）名，y 0且每天的产品产量为 c ，就有方程：2（2）( x 0x) ( y 0y) c联立方程组（ 1），（2），消去 c 得：22y 0 （ x 0 x ） x( y 0y)2 x 0即2 2yx 0/( x 0x)y 0 y 0y 0 12( x 0x)1y 0 12x x 01代入 x ，得： 4 名，即削减4 名非技术工人；x 0 , y 0 , y比较这两种解法我们可以发觉，用初等数学方法运算此题的工作 量很大，究其缘由，我们留意到下面之绽开式：2n 11 x x 0x x 0x x 0n 1123( 1) n2x x 0n 11 从今绽开式我们可以看到，初等数学方法不能忽视掉高阶无穷小：2n1x x0xx0n 1 （3）3(1 ) n (x 0)n 4而高等数学方法却利用了隐函数求导，忽视掉高阶无穷小（3），所以运算较简单；案例2，征税的学问工厂想赚钱，政府要收税，一个怎样的税率才能使双方都受益？这是一个具有现实意义的问题；假设工厂以追求最大利润为目标而控制它的产量q，政府对其产品征税的税率(单位产品的税收金额)为t，我们的任务是，确定一个适当的税率，使征税收益达到最大；现已知工厂的总收益函数和总成本函数分别为R=R(q)，C=C(q)；由于每单位产品要纳税t，故平均成本要增加t，从而纳税后的总成本函数是C t C(q) tq利润函数是L t R(q) C t (q) R(q) C(q) tqdL tdq令0 ，有dR dq dCdq（1）t这就是在纳税的情形下获得最大利润的必要条件；政府征税得到的总收益是（2）T tq明显，总收益T 不仅与产量q 有关，而且与税率 f 有关；当税率t=0(免税)时，T=0 ；随着单位产品税率的增加，产品的价格也会提高，需求量就会降低，当税率 f 增大到使产品失去市场时，有q=0，从而也有T=0 ；因此，为了使征税收益最大，就必需恰当地选取t；我们利用一元函数极值的有关学问来解决本问题，下面看一个实例；例 1： 厂商的总收益函数和总成本函数分别为222q 2 ；R 30q 3q , Cq厂商追求最大利润，政府对产品征税，求1)征税收益的最大值及此时的税率 t ；2)厂商纳税前后的最大利润及价格．解： 1)由纳税后获得最大利润的必要条件 (1)，得30 6q 2q 2 tq 1( 28 故t ) t8依据实际问题的判定， q t 就是纳税后厂商获得最大利润的产出水 平；于是，这时的征税收益函数1 (28t t 2) 80 ，得 T tq tdT dt 2t) 要使税收 T 取最大值，令 1( 28 0 ，即 t=14 8dT dt 依据实际问题可以肯定必有最大值，现在 0 只有一个根，所q 1(28 以当 t=14 时，T 的值最大；这时的产出水平 14) ，最大 t8征税收益为T tq t 142)简单算得纳税前， 当产出水平 时，可获得最大利润 L=47，此时价格 p ；将 q t ， t =14 代入纳税后的利润函数4q 2L R( q) C (q) ( 28 t) q 2tt得最大利润 ，此时产品价格R(q) qp(30 3q) q q 1. 75可见，因产品纳税，产出水平由下降到；价格由上升到，最大利润由47 下降到；案例 3，隧道的车流量问题巴巴拉 (Barbara 接)受了纽约市隧道治理局的一份工作，她的第一 项任务就是打算每辆汽车以多大速度通过隧道可使车流量最大； 通过 大量的观看，她找到了一个很好的描述平均车速 (km/h) 与车流量 (辆／ 秒)关系的函数：35v 2f (v)v22(a)问平均车速多大时，车流量最大？ (b)最大流量是多少？解： (a)这是一个极值的问题：2v v) 11) 2 df dv22v) 2 22df dv令 0 ，即 v 2得 v26.15(km / h)由实际问题知，当 ／h 时，车流量最大； (b)最大车流量是 f (26.15)=8.8(辆／秒 )案例4，，核废料的处理问题以前，美国原子能委员会将放射性核废料装在密封的圆桶里扔到水深约91 米的海里；生态学家和科学家耽心这种做法担心全而提出疑问；原子能委员会向他们保证，圆桶决不会破漏；经过周密的试验，证明圆桶的密封性是很好的；但工程师们又问：圆桶是否会因与海底碰撞而发生破裂？原子能委员会说：决不会；但工程师们不放心；他们进行了大量的试验后发觉：当圆桶的速度超过每秒米时，圆桶会因碰撞而破裂；那末圆桶到达海底时的速度究竟是多少呢？它会因碰撞而破裂吗？下面是详细而真实的数据，你能依据它们解决这个问题吗？圆桶的重量 kg海水浮力为g／m33圆桶的体积圆桶下沉时的阻力：工程师们做了大量牵引试验后得出结论：这个阻力与圆桶的方位大致无关，而与下沉的速度成正比，比例系数；解：建立坐标系，设海平面为x 轴，y 轴的方向向下为正；由牛2d y ，F 为作用在圆桶上顿其次定律F=ma，其中m 为圆桶质量， adt 2的力：它由圆桶的重量W，海水作用在圆桶上的浮力×dy ；V=213.396(kg)及圆桶下沉时的阻力(其中v 为dt下沉速度)合成；即F=w-B-D=W-B- kv，这样就得到一个二阶微分方程2dy m d y W B k 2 dt dt(1)y(0) dy 0 v(0) 0dt t此微分方程是 ( y ) 型的；解此方程：y f 2dy dtd y dv dt由于 v，就代人（ 1）得到一个一阶可分别变量的方程2dtm dvdtW B kv v(0) 0kW B(1 t 解得，mv(t )e)k至此，数学问题好像有了结果，得到了速度与时间的表达式，但实际 问题远没有解决；由于圆桶到达海底所需的时间t 并不知道，因而也就无法算出速度；这样，上述的表达式就没有实际意义；有人会说， W B；因而 虽然无法算出精确值但我们可以估量当 时， v(t)tkW B圆桶到达海底的速度不会超过；这个说法是对的，但惋惜 kW B/ s ，它太大了，毫无用处；这样，方程 (1)就需要用其它k2 dy dtd v, y 2 dvdy方法来解； y f ( y ) 型方程的另一种解法是：令，方 vdt 程(1)也化为一个一阶可分别变量的方程dvdy mv W B kv（2）v(0) y(0) 0 0v B 1m 解之， dv dyW kv1 m1 v kW k B ln(W B得y kv) C 2由初始条件得W B C ln(W B) 2k所以求当 y=91(米 )时，v=？好像这个 v 值也无法求得， 但我们用近似方法 例如牛顿法迭代可求出 v 的近似值；牛顿法介绍：如已知方程 g(v)=0，求 v 用迭代法：g(v n )g (v n ) v n v n, n 0,1,2, 1 在这里， (3)式可写成1m v k W k B ln W B kvy 02W B k mW B lnW B kv 取g (v)y vkW Bk a y WW B W B kv vlnkW Bk a W y W B其中 2，记 d0.447 ； b ，于是 kv bg (v) d v b ln 11 b v bv g ( v) 1 bb v1迭代格式为：g(v n ) g (v n )v n v n1b v n v nv nv n v n v n bv n d v nbln 1b b v n v n b（4）v v d b ln 1 n nv nb v n bbd b ln 1v n挑选一个好的初始值 v 0 ，就能很快算出结果；求 v 0 的粗略近似值：从 1 mv 2 2(2)中令 k=0( 即下沉时不计阻力 )得 C 由初始条件得(W B) y W B C=0； 2v2 y m / sm以 v 0 代入（ 4）得13.64057.把 v 1代入(4)v 1 有v 2 13.632728.把v 2代入 (4) 这就够了，不用再迭代了；v 313.64m / s 12.2m / s ，因此这种处理核废料的方法是担心全的；v案例5，大气污染指数的影响因素一个城市的大气污染指数P 取决于两个因素，空气中固体废物的数量x 和空气中有害气体的数量y，在某种情形下x2 2 x y 4 x h2 ；PP P P P试说明的意义，并运算当x 增长10％或, ,x y x y( a,b ) (10,5)(a,b ) (10,5)y 增长10％时，用偏导数估算P 的转变量；P解：的意义：假如空气中有害气体的数量y 为一常数b，x( a,b )空气中固体废物的数量x 是变化的，那么当x=a 有一个单位的转变时，P大气污染指数P 大约转变个单位．x( a,b )P同样地，可以说明的意义．y(a ,b)P xPy22 x 2 y 4 y , 2 x8 x yP x 20 10 100 130(10,5)P20 400 420y(10,5)设空气中有害气体的量y=5，且固定不变，当空气中固体废物的量x=10 时，P 对x 的变化率等于130．当x 增长10％，即x 从10 到11，P 将增长大约130×1=130 个单位(事实上，P(10，5)=1200，P(11，5)=1331，P 增长了131 个单位)；同样地，设空气中固体废物的量x=10 且固定不变，当空气中有害气体的量y=5 时，P 对Y 的变化率等于420．当Y 增长10％，即Y从5 到5．5，增长0．5 个单位时，P 大约增长420×0.5=210个单位(事实上，P(10，5)=1200，P(10，5.5)=1420，P 增长了220 个单位)；因此，大气污染指数对有害气体增长10％比对固体废物增长10％更为敏锐；案例6，为什么不宜制造太大的核弹头核弹在与它的爆炸量(系指核裂变或聚变时释放出的能量，通常用相当于多少千吨T．N ．T 炸药的爆炸威力来度量)的立方根成正比的距离内会产生每平方厘米千克的超压，这种距离算作有效距离；如记有效距离为 D ，爆炸量为x，就二者的函数关系为1D Cx 3其中C 是比例常数；又知当x 是100 千吨(T．N．T 当量)时，有效距离D 为3．2186千米．于是110033.2186=C11003即C所以这样，当爆炸量增至10 倍(变成1 00()千吨= 百万吨)时，有效距离增至10.6934（1000）36.93（4 km）差不多仅为100 千吨时的2 倍，说明其作用范畴( D 2 )并没因爆炸量的大幅度增加而显著增加；下面再来讨论爆炸量与相对效率的关系(这里相对效率的含义是，核弹的爆炸量每增加 1 千吨T．N ．T 当量时有效距离的增量)；2 32 3dD dx 1 3由x23知D x 如x 1 ，就x 100,23D0.2311(1000) 0.0107(km) 10.7(m)这就是说，对100千吨(10 万吨级)爆炸量的核弹来说，爆炸量每增加1 千吨，有效距离差不多增加米；如x x 1 ，就100,23D0.2311(1000) 0.0023(km) 2.3(m)即对百万吨级的核弹来说，每增加l 千吨的爆炸量，有效距离差不多仅增加米，相对效率是下降的；可见，除了制造，运载，投放等技术因素外，无论从作用范畴仍是从相对效率来说，都不宜制造当量级太大的核弹头；事实上，1945 年二战中美国投放在日本广岛，长崎的原子弹，其爆炸量为20 千吨，有效距离为千米；。
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经典高数题举例
1、函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 3 的导数和二阶导数：
解题思路：对f(x) 分别求导即可。
f'(x) = 3x^2 + 4x - 5 （一阶导数）
f''(x) = 6x + 4 （二阶导数）
2、函数f(x) = e^x * sin(x) 的导数：
解题思路：使用乘积法则和链式法则进行求导。
f'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)
3、函数f(x) = ∫[1, x] (t^2 + 2t) dt 的原函数：
解题思路：对被积函数进行积分，然后求出不定积分的原函数。
f(x) = ∫[1, x] (t^2 + 2t) dt = [(1/3)t^3 + t^2]，其中x 是上限。
4、方程组的解：
2x + 3y = 10
4x - 5y = -7
解题思路：可以使用消元法或代入法来求解方程组。
解得x = 3，y = 2。
5、函数f(x) = ln(x) 在区间[1, e] 上的定积分：
解题思路：计算定积分的值。
∫[1, e] ln(x) dx = [x ln(x) - x]，在区间[1, e] 上。
6、曲线y = x^2 + 3x + 2 在点(1, 4) 处的切线方程：
解题思路：求出曲线在给定点处的斜率，然后利用点斜式得到切线方程。
曲线的斜率为f'(x) = 2x + 3，在点(1, 4) 处的斜率为5。
切线方程为y - 4 = 5(x - 1)，即y = 5x - 1。
7、函数f(x) = 3x^2 - 4x + 5 的极值点和极值：
解题思路：计算函数的导数，并解方程找到导数为零的点。
f'(x) = 6x - 4，令f'(x) = 0，解得x = 2/3。
极值点为(2/3, f(2/3))。
极小值为f(2/3) = 19/3。
8、函数f(x) = sin^2(x) + cos^2(x) 的周期和振幅：
解题思路：观察函数的性质，根据三角函数的性质得到周期和振幅。
函数的周期为2π，振幅为1。
9、曲线y = x^3 在点(1, 1) 处的法线方程：
解题思路：求出曲线在给定点处的斜率，然后利用斜率的负倒数得到法线的斜率，再利用点斜式得到法线方程。
曲线的斜率为f'(x) = 3x^2，在点(1, 1) 处的斜率为3。
法线的斜率为-1/3。
法线方程为y - 1 = (-1/3)(x - 1)，即y = (-1/3)x + 4/3。
10、函数f(x) = x^2 + 2x + 1 的零点和图像的对称轴：
解题思路：求出函数的零点和对称轴。
函数的零点为x = -1。
对称轴为x = -b/2a，即x = -1。