高中物理求解带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界与极值问题的方法

高中物理求解带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界与极值问

题的方法

由于带电粒子往往是在有界磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件：（1）带电体在磁场中，离开一个面的临界状态是对这个面的压力为零；（2）射出或不射出磁场的临界状态是带电体运动的轨迹与磁场边界相切。然后应用数学知识和相应物理规律分析求解。

1、两种思路

一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界条件下的特殊规律和特殊解；

二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值。

2、两种方法

一是物理方法：

（1）利用临界条件求极值；

（2）利用问题的边界条件求极值；

（3）利用矢量图求极值。

二是数学方法：

（1）利用三角函数求极值；

（2）利用二次方程的判别式求极值；

（3）利用不等式的性质求极值；

（4）利用图像法等。

3、从关键词中找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示。审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律。

例1、如图1所示，一带正电的质子从O点垂直射入，两个板间存在垂直纸面向里的匀强磁场，已知两板之间距离为d，板长为d，O 点是板的正中间，为使粒子能射出两板间，试求磁感应强度B的大小（质子的带电量为e，质量为m）。

图1

解析：第一种极端情况从M点射出，此时轨道的圆心为O′点，由平面几何知识可得

而带电粒子在磁场中的轨道半径，

第二种极端情况是粒子从N点射出，此时粒子正好走了半个圆，其轨道半径为。

综合上述两种情况，得。

例2、如图2所示，一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从矩形区域ad边的中点O处，垂直磁场射入一速度方向与ad边夹角为30°、大小为的带电粒子。已知粒子质量为m，电量为q，ad边长为l，重力影响不计。

（1）试求粒子能从ab边射出磁场的值。

（2）在满足粒子从ab边射出磁场的条件下，粒子在磁场中运动的最长时间是多少？

图2

解析：（1）由于有界磁场区域的限制，使带电粒子由ab边射出磁场时的速度有一定的范围。以的较小值和较大值为临界值，可知当较小时，运动轨迹恰好与ab边相切；当较大时，则恰好与dc边相切，然后从ab边穿出，如图3所示。

图3

当速度较小为时，有。

解得

又由半径公式，可得。

当速度较大为时，有。

又由半径公式，可得。

可见，带电粒子在磁场中从ab边射出时，其速度范围应为：

（2）带电粒子在磁场中运动的周期为。要使带电粒子运动的时间长，其运动轨迹所对的圆心角应最大。所以当速度为时，粒子在磁场中运动的时间最长。即有

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