磁场中的临界极值问题

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带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题

带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题突破有界磁场中临界问题的处理方法考向1 “放缩法”解决有界磁场中的临界问题1.适用条件(1)速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化(2)轨迹圆圆心一一共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度V。

越大，运动半径也越大可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线PP,上.2.方法界定以入射点P为定点，圆心位于PP,直线上，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩法”.［典例1］如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd 边的中点.一个带正电的粒子仅在洛伦兹力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t。

刚好从c点射出磁场.现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°的方向，以大小不同的速率射入正方形内，粒子重力不计.那么下列说法中正确的是()A.若该带电粒子从ab边射出，它经历的时间可能为t。

5tB.若该带电粒子从bc边射出，它经历的时间可能为十3C.若该带电粒子从cd边射出，它经历的时间号2tD.若该带电粒子从ad边射出，它经历的时间可能为43［解析］作出从ab边射出的轨迹①、从bc边射出的轨迹②、从cd边射出的轨迹③和从ad边射出的轨迹④.由带正电的粒子从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t o刚好从c点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t o.由图可知，从ab边射出经历的时间一定不大片；从bc边射出经历的时间一定不大于不从cd边射...... . 5t t出经历的时间一定是丁；从ad边射出经历的时间一定不大于可，C正确.3 3［答案］C考向2 “旋转法”解决有界磁场中的临界问题1.适用条件(1)速度大小一定，方向不同带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为一.一一、 ,.一.一 mv __ _____v,则圆周运动半径为区=”0.如图所示.o qB(2)轨迹圆圆心一一共圆mv 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R=京的圆上. qB2.方法界定mv将一半径为R=氤的圆绕着入射点旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转法”.qB［典例2］如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0.60 T.磁场内有一块平面感光板ab,板面与磁场方向平行.在距ab为l = 16 cm处，有一个点状的a粒子放射源S,它向各个方向发射a粒子，a...................... . .. ....... q . .. ...... . . 粒子的速度都是v=3.0X106 m/s.已知a 粒子的比何m=5.0X107 C/kg,现只考虑在纸面内运动的a 粒子，求ab 板上被a 粒子打中区域的长度.［解题指导］过S 点作ab 的垂线，根据左侧最值相切和右侧最值相交计算即可.［解析］a 粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R 表示轨迹半径， 4 c V 2有 qvB=mR由此得R 瑞代入数值得R=10 cm,可见2R>l>R因朝不同方向发射的a 粒子的圆轨迹都过S,由此可知，某一圆轨迹在下图中N 左侧与 ab 相切，则此切点、就是a 粒子能打中的左侧最远点为确定、点的位置，可作平行于ab 的直线cd, cd 到ab 的距离为R,以S 为圆心，R 为半径，作圆弧交cd 于Q 点，过Q 作ab 的垂线，它与ab 的交点即为，即：NP=R 2—(1—R) 2 = 8 cm再考虑N 的右侧.任何a 粒子在运动中离S 的距离不可能超过2R,在N 点右侧取一点P 2, 取SP=20 cm,此即右侧能打到的最远点由图中几何关系得NP 2=M (2R) 2 — 12=12 cm所求长度为P 1P 2=NP 1+NP 2代入数值得P 1P 2 = 20 cm.［答案］20 cm考向1带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解.［典例3］如图所示，宽度为d 的有界匀强磁场，磁感应强度为B, MM,和NN’是磁场左右的两条边界线.现有一质量为m 、电荷量为q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入.要使粒子不能从右边界NN,射出，求粒子入射速率的最大值为多少？突破带电粒子在磁场中运动的多解问题fl 兄乂尹। x x J V X y K P 2 x b［解题指导］由于粒子电性不确定，所以分成正、负粒子讨论，不从NN,射出的临界条件是轨迹与NN,相切.［解析］题目中只给出粒子”电荷量为q”，未说明是带哪种电荷，所以分情况讨论. 若q 为正电荷，轨迹是如图所示的上方与NN,相切的（圆弧，则轨道半径R \12 （2+ 2） Bqd ............... 一一一一一 ......3 一 ........... 若q 为负电荷，轨迹是如图所示的下方与NN,相切的工圆弧，则轨道半径又—全解得『=（2-'⑵刎 m…… （2+ 2） Bqd （2— 2） Bqd,［答案］ --- 玄 ---- （q 为正电何）或 -- m ----- （q 为负电何）考向2磁场方向不确定形成多解有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解.［典例4］（多选）一质量为m 、电荷量为q 的负电荷在磁感应强度为B 的匀强磁场中绕固mvBq又d=R 解得v=R,mv' Bq M N।■乂 ।1 ।*［典例5］（多选）长为l 的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B,板间距离也为1,板不带电.现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（）定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是（不计重力）（） A. R 瘦 D. m 2qB C .— m D. qB m［解析］根据题目中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反.在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的.当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知 _ V2 _ 4BqR v 4Bq4Bqv=m 万，得v= ，此种情况下，负电何运动的角速度为3=5=-；；当负电何所受的R m R m 洛伦兹力与电场力方向相反时,有2B qv=m V2, 丫=等,此种情况下,负电荷运动的角速度v 2Bq为3=R=/",应选A 、C.［答案］AC考向3临界状态不唯一形成多解如图所示，带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能直接穿过去了，也可能转过180°从入射界面反向飞出，于是形成了多解.如图 m所示.A.使粒子的速度v<Bq15BalB.使粒子的速度v>*C.使粒子的速度丫>平D.使粒子的速度v满足Bq^vV51a1［解析］带电粒子刚好打在极板右边缘，有r2 = (r-1)+12,又因r =%，解得v =誓；i V 12 i Bq i 4m粒子刚好打在极板左边缘，有r=l=M2，解得丫=整，故A、B正确. 2 4 Bq 2 4m［答案］AB考向4带电粒子运动的往复性形成多解空间中部分是电场，部分是磁场，带电粒子在空间运动时，运动往往具有往复性，因而形成多解.［典例6］如图所示，在x轴上方有一匀强磁场，磁感应强度为B；x轴下方有一匀强电场，电场强度为E.屏MN与y轴平行且相距L. 一质量m、电荷量为e的电子，在y轴上某点A 自静止释放，如果要使电子垂直打在屏MN上，那么：(1)电子释放位置与原点O的距离s需满足什么条件？(2)电子从出发点到垂直打在屏上需要多长时间？［解题指导］解答本题可分“两步走”：(1)定性画出粒子运动轨迹示意图.(2)应用归纳法得出粒子做圆周运动的半径r和L的关系.［解析］(1)在电场中，电子从A-O,动能增加eEs=1mv0在磁场中，电子偏转，半径为mv r = o r eB据题意，有(2n+1)r=L一eL2B2 . .所以S=2Em (2n+1)2(n=0,1,2,3,”)⑵在电场中匀变速直线运动的时间与在磁场中做部分圆周运动的时间之和为电子总的2s T T , Ee 2nm运动时间 t=(2n+1)、： w+z+nj,其中 a=%, T=—B-■. । a 乙ui e一— .一 BL , 、nm, 、整理后得 t=^+(2n+1)族("=。

磁场临界、极值

§X3.5带电粒子在磁场中的运动（三）一、带电粒子在有界磁场中运动的极值问题：注意下列结论，再借助数学方法分析：1、刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。

2、当速度v一定时，弧长越长，轨迹对应的圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。

3、注意圆周运动中有关对称规律：如从同一边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等；在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。

二、洛仑兹力的多解问题带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解，多解形成原因一般包含下述几个方面。

（1）带电粒子电性不确定形成多解（2）磁场方向不确定形成多解（3）临界状态不唯一形成多解（4）运动的重复性形成多解【典型例题】1、求带电粒子在有界磁场中运动的速度例1、如图所示，宽为d的有界匀强磁场的边界为PQ、MN，一个质量为m，带电量为-q的微粒子沿图示方向以速度v0垂直射入磁场，磁感应强度为B，要使粒子不能从边界MN射出，粒子的入射速度v0的最大值是多大？2、求带电粒子通过磁场的最大偏转角例2、如图所示，r=10cm的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标O处相切，磁感应强度B=0.332T，方向垂直纸面向外，在O处有一放射源S，可沿纸面向各个方向射出速率均为v=3.2×106m/s的α粒子，已知m a=6.64×10-27kg，q=3.2×10-19C，则α粒子通过磁场最大偏转角等于多少？例3、某电子以固定的正电荷为圆心在匀强磁场中做匀速圆周运动，磁场方向垂直它的运动平面，电子所受电场力恰是磁场对它的作用力的3倍，若电子电荷量为e ，质量为m ，磁感应强度为B ，那么，电子运动的可能角速度是（）A 、4eB/mB 、3 eB/mC 、2 eB/mD 、eB/m【针对训练】1、如图所示一带电质点，质量为m ，电量为q ，以平行于Ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域，为了使该质点能从x 轴上的b 点以垂直于Ox 轴的速度v 射出，可在适当的地方加一个垂直于xy 平面、磁感强度为B 的匀强磁场，若此磁场仅分布在一圆形区域内，试求该圆形区域的最小半径（粒子重力不计）。

磁场中的临界和极值问题

qvB m v2 r
得 v qBd
m(1 sin )
y
o

y
x o
一束带电的粒子以初速度v进入匀强磁场，若初速度大小相同，方向不同，则所有粒子运动的轨道半径相同，但不同粒子的圆
心位置不同。其共同规律是：
所有粒子的圆心都在以射入点为圆心、半径等于入射粒子轨迹半径的圆上。我们将这样的一组圆称为“转动圆”。
带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界和极值问题
1.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式
r mv qB
2.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期公式
T 2 m
qB
3.求带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时间的公式
t T m 2 qB
带电粒子在有界磁场中运动的几种常见情形 (1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
2、转动圆速度大小不变，速度方向发生变化，圆的大小不变，绕射入点转动。
如图，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于纸面向里，PQ
为该磁场的右边界线，磁场中有一点O到PQ的距离为r。
现从点O以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内各个不
同的方向射出，它们均做半径为r的匀速圆周运动，求带
电粒子打在边界PQ上的范围（粒子的重力不计）。
y
v0
O
x
解1: 电子由O点射入第Ⅰ象限做匀速
y
圆周运动
ev0
B
m
v02 r
r= mv0 eB
所有电子的轨迹圆半径相等，且均过 v0
O点。这些轨迹圆的圆心都在以O为圆 O 心，半径为r的且位于第Ⅳ象限的四分之一圆周上，如图所示。
O1
x
O2
O3

带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题(解析版)

带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题由于带电粒子往往是在有界磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件，然后应用数学知识和相应物理规律分析求解．1．临界条件的挖掘(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。

(2)当速率v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大(前提条件是劣弧)，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。

(3)当速率v变化时，轨迹圆心角越大，运动时间越长。

(4)当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，则以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的偏转角最大。

2．不同边界磁场中临界条件的分析(1)平行边界：常见的临界情景和几何关系如图所示。

(2)矩形边界：如图所示，可能会涉及与边界相切、相交等临界问题。

(3)三角形边界：如图所示是正△ABC区域内某正粒子垂直AB方向进入磁场的粒子临界轨迹示意图。

粒子能从AB间射出的临界轨迹如图甲所示，粒子能从AC间射出的临界轨迹如图乙所示。

3. 审题技巧许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示．审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件．【典例1】如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。

一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场。

现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，下列说法中正确的是( )A ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是53t 0，则它一定从cd 边射出磁场B ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是23t 0，则它一定从ad 边射出磁场C ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是54t 0，则它一定从bc 边射出磁场D ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t 0，则它一定从ab 边射出磁场【答案】 AC 【解析】如图所示，【典例2】放置在坐标原点O 的粒子源，可以向第二象限内放射出质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，带电粒子的速率均为v ，方向均在纸面内，如图8－2－14所示．若在某区域内存在垂直于xOy 平面的匀强磁场(垂直纸面向外)，磁感应强度大小为B ，则这些粒子都能在穿过磁场区后垂直射到垂直于x 轴放置的挡板PQ 上，求：(1)挡板PQ 的最小长度； (2)磁场区域的最小面积．【答案】 (1)mv Bq (2)⎝⎛⎭⎫π2＋1m 2v 2q 2B2【解析】 (1)设粒子在磁场中运动的半径为R ，由牛顿第二定律得qvB ＝mv 2R ，即R ＝mvBq【跟踪短训】1. 在xOy 平面上以O 为圆心、半径为r 的圆形区域内，存在磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy 平面．一个质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，从原点O 以初速度v 沿y 轴正方向开始运动，经时间t 后经过x 轴上的P 点，此时速度与x 轴正方向成θ角，如图8－2－24所示．不计重力的影响，则下列关系一定成立的是( )．A ．若r <2mv qB ，则0°<θ<90° B ．若r ≥2mv qB ，则t ≥πmqBC ．若t ＝πm qB ，则r ＝2mv qBD ．若r ＝2mv qB ，则t ＝πmqB【答案】 AD【解析】带电粒子在磁场中从O 点沿y 轴正方向开始运动，圆心一定在垂直于速度的方向上，即在x 轴上，轨道半径R ＝mv qB .当r ≥2mvqB 时，P 点在磁场内，粒子不能射出磁场区，所以垂直于x 轴过P 点，θ最大且为90°，运动时间为半个周期，即t ＝πm qB ；当r <2mvqB 时，粒子在到达P 点之前射出圆形磁场区，速度偏转角φ在大于0°、小于180°范围内，如图所示，能过x 轴的粒子的速度偏转角φ>90°，所以过x 轴时0°<θ<90°，A 对、B 错；同理，若t ＝πmqB ，则r ≥2mv qB ，若r ＝2mv qB ，则t 等于πm qB，C 错、D 对． 2. 如图所示，磁感应强度大小为B ＝0.15 T 、方向垂直纸面向里的匀强磁场分布在半径为R ＝0.10 m 的圆形区域内，圆的左端跟y 轴相切于直角坐标系原点O ，右端跟很大的荧光屏MN 相切于x 轴上的A 点。

物理带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题

物理带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题由于带电粒子在磁场中的运动通常都是在有界磁场中的运动，所以常常出现临界和极值问题。

1．临界问题的分析思路临界问题分析的是临界状态，临界状态存在不同于其他状态的特殊条件，此条件称为临界条件，临界条件是解决临界问题的突破口。

2．极值问题的分析思路所谓极值问题就是对题中所求的某个物理量最大值或最小值的分析或计算，求解的思路一般有以下两种：(1)根据题给条件列出函数关系式进行分析、讨论；(2)借助几何知识确定极值所对应的状态，然后进行直观分析3．四个结论(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。

(2)当速率v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。

(3)当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，根据几何关系求出半径及圆心角等。

(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。

【典例】平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面（纸面）如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。

一带电粒子的质量为m，电荷量为q（q>0）。

粒子沿纸面以大小为v的速度从OM 的某点向左上方射入磁场，速度与OM 成30°角。

已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场。

不计重力。

粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为（）【应用练习】1、如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场边界上A点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向（均平行于纸面）且速度大小相等的带正电的粒子（重力不计），已知粒子的比荷为k，速度大小为2kBr。

则粒子在磁场中运动的最长时间为（）3．如图所示，直角坐标系中y轴右侧存在一垂直纸面向里、宽为a的有界匀强磁场，磁感应强度为B，右边界PQ平行于y轴，一粒子(重力不计)从原点O以与x轴正方向成θ角的速率v垂直射入磁场，当斜向上射入时，粒子恰好垂直PQ射出磁场，当斜向下射入时，粒子恰好不从右边界射出，则粒子的比荷及粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的时间分别为( )4、如图所示，两个同心圆，半径分别为r和2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。

带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题

带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题带电粒子在匀强磁场中的临界问题可以通过“放缩法”解决。

当速度方向一定，大小不同时，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化。

通过以入射点为定点，将半径放缩作轨迹，探索出临界条件。

另一种解决有界磁场中的临界问题的方法是“旋转法”。

当速度大小一定，方向不同时，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同。

圆心在以入射点为圆心、半径为mv/qB的圆上。

通过旋转圆心，将问题转化为无界磁场中的问题。

旋转法”是一种探索临界条件的方法，它通过让圆绕着入射点旋转来实现。

在一个真空室内，存在一个垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B=0.60 T。

在磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行。

距离ab为l=16cm处有一个点状的α粒子放射源S，它向各个方向发射速度为v=3.0×10m/s的α粒子。

已知α粒子的比荷为5.0×10C/kg，现只考虑在纸面内运动的α粒子，求ab板上被α粒子打中区域的长度。

解题思路是过S 点作ab的垂线，根据左侧最值相切和右侧最值相交计算。

由于带电粒子的电性不确定，可能带正电荷，也可能带负电荷。

在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解。

在一个宽度为d的有界匀强磁场中，磁感应强度为B，MM′和NN′是磁场左右的两条边界线。

现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。

要使粒子不能从右边界NN′射出，需要求粒子入射速率的最大值。

由于粒子电性不确定，所以分成正、负粒子讨论，不从NN′射出的临界条件是轨迹与NN′相切。

题目描述：一个正方形的匀强磁场区域abcd，e是ad的中点，f是cd 的中点，如果在a点沿对角线方向以速度v射入一带负电的粒子，恰好从e点射出，则（）。

解题思路：根据题目描述，可以画出如下示意图：image.png](/upload/image_hosting/ed6v3v6v.png)由于粒子带负电，所以在磁场中会受到洛伦兹力的作用，从而偏转方向垂直于速度方向和磁场方向的方向。

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题极值问题和多解问题

③设轨道与 cd 相切的粒子，其轨道半径为 R1，由几何关系可得
R1sin30°＋2l ＝R1
解得 R1＝l，由公式 qvB＝mv2/R，得该轨道上粒子速度为 v01＝qmBl.
④对于从 ab 射出的、速度最小的粒子，其轨道应与 ab 相切，设切点为 N，圆心为 O2，半径为 R2，则 R2＋ R2cos60°＝12l，解得 R2＝13l，由 qvB＝mv2/R 可得 v02＝q3Bml.
由几何关系知
OA＝ AS2－OS2 AS＝2r′ OS＝r′ OC＝r′ 解得 OA＝ 3L，OC＝L 故被电子打中的区域长度为
AC＝OA＋OC＝(1＋ 3)L.
【答案】
BeL (1) 2m
(2)(1＋ 3)L
题后反思 (1)审题应首先抓住“速率相等”⇒即轨迹圆半径相等，其次“各个方向发射”⇒轨迹不同．然后作出一系列轨迹圆． (2)注意粒子在磁场中总沿顺时针方向做圆周运动，所以粒子打在左边和右边最远点的情形不同．
(1)轨迹圆的缩放：当粒子的入射方向不变而速度大小可变时，粒子做圆周运动的轨迹圆心一定在入射点所受洛伦兹力所表示的射线上，但位置(半径 R)不确定，用圆规作出一系列大小不同的轨迹圆，从圆的动态变化中即可发现“临界点”．
(2)轨迹圆的旋转：当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时，所有不同方向入射的粒子的轨迹圆是一样大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋转(作图)中，也容易发现“临界点”．
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）
例 1 如图所示，S 为一个电子源，它可以在纸面内 360°范围内发射速率相同的质量为 m、电量为 e 的电子， MN 是一块足够大的挡板，与 S 的距离 OS＝L，挡板在靠近电子源一侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B，问：

3、临界、极值问题

O V0
d
c
◆带电粒子在三角形磁场区域中的运动
例6．如图所示，在边长为2a的等边三角形△ABC内存在垂直纸面向里磁感应强度为B的匀强磁场，有一带电量为q、质量为m的粒子从距A点 3a 的D点垂直于AB方向进入磁场。若粒子能从AC间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从AC间什么范围内射出？
d
缩放圆：变化1：在上题中若电子的电量e，质量 m，磁感应强度B及宽度d已知，若要求电子不从右边界穿出，则初速度V0有什么要求？
e B v0
d
B
变化2：若初速度向下与边界成 α = 60 0，则初速度有什么要求？
变化3：若初速度向上与边界成 α = 60 0，则初速度有什么要求？
变式、在真空中宽ｄ的区域内有匀强磁场Ｂ，质量为ｍ，电量为e，速率为ｖ的电子从边界ＣＤ外侧垂直射入磁场，入射方向与ＣＤ夹角θ，为了使电子能从磁场的另一侧边界ＥＦ射出，ｖ应满足的条件是：B Ａ.v＞eBd/m（1+sinθ） C E Ｂ.v＞eBd/m（1+cosθ） v Ｃ.v＞ eBd/msinθ θ O Ｄ.v＜ eBd/mcosθ
例题、如图所示．长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，磁感强度为B，板间距离也为L，板不带电，现有质量为m，电量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度 v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是： AB A．使粒子的速度v<BqL/4m； O2 B．使粒子的速度v>5BqL/4m； r2 C．使粒子的速度v>BqL/m； v D．使粒子速度BqL/4m<v<5BqL/4m。 r2
2R
M
2R
O
R

超全带电粒子在有界磁场中运动的临界问题极值问题和多解问题

二．带电粒子在平行直线边界磁场中的运动
QP
P
QPQ
B
S 圆心在磁场
原边界上
S
圆心在过入射点跟边界垂直的直线上
S
圆心在过入射点跟跟速度方向垂直的直线上
①速度较小时，作半圆运动后从原边界飞出； ②速度增加为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨迹与另一边界相切；③速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出
பைடு நூலகம்
后从原边界飞出；②速度在某一范
围内从上侧面边界飞；③速度较大
时粒子做部分圆周运动从右侧面边
界飞出；④速度更大时粒子做部分
圆周运动从下侧面边界飞出。
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）
(1)若使电子源发射的电子能到达挡板，则发射速度最小为多大？
(2)如果电子源S发射电子的速度为第(1)问中的2倍，则挡扳上被电子击中的区域范围有多大？
(2)要使正离子从O′孔垂直于N 板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值．
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态
三．带电粒子在矩形边界磁场中的运动
B
o
圆心在磁场原边界上
①速度较小时粒子作半圆运动后从原边界飞出；② 速度在某一范围内时从侧面边界飞出；③速度较大时粒子作部分圆周运动从对面边界飞出。
圆心在
过入射
点跟速
d
c 度方向
垂直的
直线上 B
θ
a
b
①速度较小时粒子做部分圆周运动
①速度较小时，作圆周运动通过射入点； ②速度增加为某临界值时，粒子作圆周运动其轨迹与另一边界相切；③速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出

带电粒子在磁场中运动的临界和极值问题动态放缩法的分析和应用

带电粒子在磁场中运动的临界和极值问题动态放缩法的分析和应用摘要：带电粒子在磁场中运动的临界和极值问题是高中磁场部分教学中的难点，在高考中考查的频率很高，本知识点既联系了匀速圆周运动的内容，又承接带电粒子在磁场中所受洛伦兹力的内容，既是力学知识和电磁学知识的综合体现，又是临界极值问题的全新知识模型的建构，对学生的思维能力要求较高，可以很好地考察学生的核心素养。

由于带电粒子往往是在有界磁场中的运动的，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场，其轨迹不是完整的圆。

这类问题往往根据带电粒子的运动轨迹做出相关图示去寻找几何关系，分析临界条件，然后应用数学知识和相应的物理规律分析求解。

关键词：有界磁场；动态放缩法；临界问题；极值问题1.动态放缩法在空间内存在一个无限大的匀强磁场。

一个带负电的粒子以某一速度垂直进入该磁场，那么该粒子就会在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动。

根据洛伦兹力提供向心力就可以得出R=mv/qB,当粒子速度增大时，轨道半径不断增大，轨迹圆不断变大。

那如果现在限定这个磁场是一个有界磁场。

则粒子在磁场中的运动就存在了临界极值问题。

比如，当磁场边界缩小到与运动轨迹相切时，那么轨迹与边界的切点便是粒子运动的临界点或极值点。

当带电粒子在有界磁场中运动，粒子速度同向不同速时，其做圆周运动的圆心都在磁场边界上，v的大小或者B变化时，轨道半径随即变化。

可以入射点为定点做出半径不同的一系列轨迹。

当轨迹与右边界相切时，粒子恰好能从左边界射出磁场，即恰好不能从右边界射出磁场。

这种以入射点为定点做出半径不同的一系列轨迹，来确定粒子运动的临界和极值问题的方法称为动态放缩法。

画出与边界相切的临界轨迹、找到临界点、极值点，根据几何关系确定临界极值条件是解决问题的关键。

2.双边界磁场的临界极值问题如图1，不同速率的带点粒子垂直进入有界磁场，根据左手定则可以判断带电粒子在磁场中做圆周运动的圆心都在它所受到的洛伦兹力的方向上。

粒子速率不同、轨道半径就不同，磁感应强度B的大小不同、轨道半径也不同，动态放缩法就是以入射点为定点，在磁场中做出半径不同的一系列轨迹圆，尤其要关注的是与磁场边界相切的轨迹圆，切点往往粒子运动的临界和极值点。

带电粒子在磁场中运动之临界与极值问题

考点4.6 临界与极值问题考点4.6.1 “放缩圆”方法解决极值问题1、圆的“放缩”当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时的速度v 大小或磁场的强弱B 变化时，粒子做圆周运动的轨道半径r 随之变化．在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨道半径放缩，作出一系列的轨迹，从而探索出临界条件．如图所示，粒子进入长方形边界OABC 形成的临界情景为②和④.1. （多选）如图所示，左、右边界分别为PP ′、QQ ′的匀强磁场的宽度为d ，磁感应强度大小为B ，方向垂直纸面向里.一个质量为m 、电荷量为q的微观粒子，沿图示方向以速度v 0垂直射入磁场.欲使粒子不能从边界QQ ′射出，粒子入射速度v 0的最大值可能是( )A.Bqd mB.(2＋2)Bqd mC.(2－2)Bqd mD.2Bqd 2m2. (2016·全国卷Ⅲ，18)平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外。

一带电粒子的质量为m ，电荷量为q (q >0)。

粒子沿纸面以大小为v 的速度从OM 的某点向左上方射入磁场，速度与OM 成30°角。

已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场。

不计重力。

粒子离开磁场的出射点到两平面交线O 的距离为( )A.mv 2qBB.3mv qBC.2mv qBD.4mv qB3. （多选）长为L 的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如下图所示，磁感应强度为B ，板间距离也为L ，板不带电，现有质量为m ，电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )A 、使粒子的速度v <BqL 4m B 、使粒子的速度v >5BqL 4m C 、使粒子的速度v >BqL m D 、使粒子速度BqL 4m <v <5BqL 4m4. 如图所示，边长为L 的正方形ABCD 区域内存在磁感应强度方向垂直于纸面向里、大小为B 的匀强磁场，一质量为m 、带电荷量为－q 的粒子从AB 边的中点处垂直于磁感应强度方向射入磁场，速度方向与AB 边的夹角为30°.若要求该粒子不从AD 边射出磁场，则其速度大小应满足( )A ．v ≤2qBL mB ．v ≥2qBL mC ．v ≤qBL mD ．v ≥qBL m5. 如图所示，条形区域AA ′、BB ′中存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B ，AA ′、BB ′为磁场边界，它们相互平行，条形区域的长度足够长，宽度为d .一束带正电的某种粒子从AA ′上的O 点以大小不同的速度沿着AA ′成60°角方向射入磁场，当粒子的速度小于某一值v 0时，粒子在磁场区域内的运动时间为定值t 0；当粒子速度为v 1时，刚好垂直边界BB ′射出磁场．不计粒子所受重力．求：(1) 粒子的比荷q m；(2) 带电粒子的速度v 0和v 1.6. 如图所示，两个同心圆，半径分别为r 和2r ，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B .圆心O 处有一放射源，放出粒子的质量为m ，带电荷量为q ，假设粒子速度方向都和纸面平行．(1) 图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA 与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场第一次通过A 点，则初速度的大小是多少？(2) 要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？7.如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值．静止的带电粒子带电荷量为＋q，质量为m(不计重力)，从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为θ＝45°，孔Q到板的下端C 的距离为L，当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，求：(1)两板间电压的最大值U m；(2)CD板上可能被粒子打中的区域的长度x；(3)粒子在磁场中运动的最长时间t m.8.如图所示，OP曲线的方程为：y=1－0.4 6.25-x(x,y单位均为m)，在OPM区域存在水平向右的匀强电场，场强大小E1=200N/C(设为I区)，PQ右边存在范围足够大的垂直纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B=0.1T(设为Ⅱ区)，与x轴平行的刚上方(包括PN存在竖直向上的匀强电场，场强大小E2=100N／C(设为Ⅲ区)，PN的上方h=3.125m处有一足够长的紧靠y轴水平放置的荧光屏AB，OM的长度为a=6.25m。

带电粒子在有界磁场中的临界极值问题

带电粒子在有界磁场中的临界极值问题1、入射速度方向确定，大小不确定，从而使得轨迹多样，并且出射点不确定，引起的临界问题。

例1如图所示，在POQ 区域内分布有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里,有一束负离子流沿纸面垂直于磁场边界OQ方向从A点射入磁场，已知OA=S，∠POQ=30°，负离子的质量为m,带电量为—q，要使负离子不从OP边射出,负离子进入磁场时的速度最大不能超过多少?若为正离子呢？2、入射速度大小确定,方向不确定，从而引起的临界问题。

例2:如图，磁感应强度为BD 匀强磁场垂直于纸面向里，PQ为该磁场的右边界，磁场中有一点O到PQ的距离为r。

现从点O以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内的各个不同方向射出,它们均做半径为r的匀速圆周运动，求带电粒子打在边界PQ上的范围（离子的重力不计)。

练2:如图,真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0。

60T，磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离l=16cm处，有一个点状的α放射源S,它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是,已知α粒子的电荷与质量之比,现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab上被α粒子打中的区域的长度。

3、磁场中运动的最短时间例3：一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状如图所示，磁场宽度为d，在垂直B的平面内的A点，有一个电量为-q、质量为 m、速度为v的带电粒子进入磁场，请问其速度方向与磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时间最短？（粒子的轨迹半径大于d）练3如图所示，一带负电荷的质点，质量为m,带电量为q,从M板附近由静止开始被电场加速,又从N板的小孔α水平射出,垂直进入半径为R的圆形区域匀强磁场中，磁感应强度为B，入射速度方向与OP成45°角，要使质点在磁场中飞过的距离最大，则两板间的电势差U为多少？4、最小磁场区域一带电质点，质量为m、电荷量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a 点射入图中第Ⅰ象限所示的区域（下图所示）．为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出,可在适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径,重力忽略不计．练4如图所示,一个质量为m，带电量为+q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域,磁场方向垂直纸面向外,粒子飞出磁场区域后，从点b处穿过x轴,速度方向与x轴正方向的夹角为300。

2024年高中物理：带电粒子在磁场中运动的临界极值问题

2024年高中物理：带电粒子在磁场中运动的临界极值问题临界状态是指物体从一种运动状态(或物理现象)转变为另一种运动状态(或物理现象)的转折状态，它既具有前一种运动状态(或物理现象)的特点，又具有后一种运动状态(或物理现象)的特点，起着承前启后的转折作用．由于带电粒子在磁场中的运动通常都是在有界磁场中的运动，常常出现临界和极值问题．1、临界问题的分析思路临界问题的分析对象是临界状态，临界状态就是指物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程，这时存在着一个过渡的转折点，此转折点即为临界状态点．与临界状态相关的物理条件则称为临界条件，临界条件是解决临界问题的突破点．临界问题的一般解题模式：(1)找出临界状态及临界条件；(2)总结临界点的规律；(3)解出临界量；(4)分析临界量列出公式．2、极值问题的分析思路所谓极值问题就是对题中所求的某个物理量最大值或最小值的分析或计算，求解的思路一般有以下两种：一是根据题给条件列出函数关系式进行分析、讨论；二是借助于几何图形进行直观分析．例、如图甲所示，在真空中坐标xOy平面的x>0区域内，有磁感应强度B=1.0×10-2T的匀强磁场,方向与xOy平面垂直，在x轴上一点P（10，0）有一放射源，能在xOy平面内向各个方向发射速率v=1.0×104m/s的带正电的粒子，粒子的质量m=1.0×10-25kg（重力不计），粒子带电荷量q=1.0×10-18C，则带电粒子能打到y轴上的范围为多少？解析：粒子的速率一定，故它在磁场中运动的半径一定，本题的关键是找出由于速度方向的变化而导致该圆周与y轴在正、负方向上交点的最高位置与最低位置。

设粒子速度方向开始沿x轴正方向沿逆时针变化，则洛伦兹力方向将沿y轴正方向向逆时针方向变化，当过P点的直径与y轴正方向相交时，粒子打在y轴上的A点距原点O的距离最大，由于x轴负方向无磁场，随着粒子速度方向的继续变化（沿逆时针），粒子打在y轴上的点距原点的距离逐渐减小（不可能打在图中虚线所示直径为PA′的圆交y轴负方向的A′点），当速度方向沿x轴负方向时，圆轨道与y轴负方向相切于C，以后轨道将不与y轴相交，粒子与y轴的交点在A、C之间，如图乙所示。

带电粒子在磁场中地临界极值问题

带电粒子在磁场运动的临界与极值问题考点解读解决此类问题的关键是：找准临界点．找临界点的方法是：以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径R 和速度v (或磁场B )之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，常用结论如下：(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．(2)当速度v 一定时，弧长(或弦长)越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．(3)当速率v 变化时，圆周角越大，运动时间越长．典例剖析1．磁感应强度的极值问题例1 如图所示，一带正电的质子以速度v 0从O 点垂直射入，两个板间存在垂直纸面向里的匀强磁场．已知两板之间距离为d ，板长为d ，O 点是板的正中间，为使质子能从两板间射出，试求磁感应强度应满足的条件(已知质子的带电荷量为e ，质量为m )．2．偏角的极值问题例2 在真空中，半径r ＝3×10－2m 的圆形区域内有匀强磁场，方向如图所示，磁感应强度B ＝0.2 T ，一个带正电的粒子以初速度v 0＝1×106 m/s 从磁场边界上直径ab 的一端a 射入磁场，已知该粒子的比荷q m＝1×108C/kg ，不计粒子重力．(1)求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径； (2)若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角，求入射时v 0与ab 的夹角θ及粒子的最大偏转角．3．时间的极值问题例3 如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值．静止的带电粒子带电荷量为＋q，质量为m(不计重力)，从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为θ＝45°，孔Q到板的下端C的距离为L，当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，求：(1)两板间电压的最大值Um；(2)CD板上可能被粒子打中的区域的长度x；(3)粒子在磁场中运动的最长时间t m.4．面积的极值问题例4 如图12所示，一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。