无穷等比数列各项的和
基于探究的《无穷等比数列各项和》教学设计
使我们去寻找新的求 无穷等 比数列 的各项和的 方法， 即用‘ 限” 极 的方法进行求解， 也让学生体 会到极 限的具体应用．
３ 例题教学探 究 ．
ｎ 个
相 得． ０＝． ０＝ 减 ０×９０ 得． 器：． §． ３ ， １
问题 ２ 用以上两种探 究方法求 ２ ０ ＋２＋２ ＋
次为 ０ ，２… ，ｎ … ， Ａ ＝０ ＢＣ ＝ ２ ， １０ ， ０ ， 若 Ｂ ， ａ （ 转 第 １３ 下 — ７页）
思考 １ 如果 能用学生 已掌握 的提取公因数 ：
２１ 年第 ｌ ０２ 期
小题 的结论需要稍作改动， 于是得到：
数 学教 学
１３ —
边 △ＡＢ 的 内切 圆 ， 以 ￣ＰＥＮ 是 ｏＤ的 弦切 所
０３ ｇ ＋… 的和又在什么条件下存在呢？
反思 ２ 是不是 ２ ３ ： ＋２ ＋２ ＋… ＋２ ＋… 不
Ｓ＞寺 １ ≠０； １ 时， ｎ且 １ 当ｎ ＜０ Ｓ＜专 １ ０且
二 厶
Ｓ≠ｎ． １
能提取公 因数 ２ 也就是有限项的和可 以提取公 ，
因数 （ ， 式）而无穷项 的和就不能提取公 因数 （ 式）
ｒ — ＋ ∞
关 系？
思考：通过例 ５ 让 学生再一次体会用极 限 ， 解决 问题， 也对前面用极限推导无穷等 比数列各 项 的 和显 得 突然 的 一 种 弥补 ． 通 过 上述 三 个 环节 的探 究， 生 不但 能 主 动 学
图 １ 图２
地实现本节 课 的主要 教学 目标， 理解无穷 等 比
了． 不是有 限项可 以做乘法对加法 的分配律， 是 而无 限项的和就不能做乘法对加法的分配律了？ 反 思３ ：在前 面两点反 思的基础 上， 能不能 用其他方法求无穷等 比数列各项和呢？ 探究 ３ ：要求无穷等 比数列各项 的和， 我们
高二数学无穷等比数列各项的和
例2：由于空气的阻力，因此某一类钟的钟 摆 每摆动一次的弧的长度都是其上一次
摆动弧的长度的95%，假设其第一次摆动 弧的长度为40cm，求它在停止前所有摆 动的弧的长度和。(请用一个式子来表示 求解的问题)
编制计算机程序。其中必有原因｜他觉得身上有点～就上床睡觉了。【畅饮】ｃｈàｎɡｙǐｎ动尽情地喝（酒）：开怀～｜～几杯。【不哼不哈】ｂùｈēｎɡ ｂùｈā不言语（多指该说而不说）：有事情问到他， 【晨星】ｃｈéｎｘīｎɡ名①清晨稀疏的星：寥若～。花黄绿色， 指事物、现象等很平常。 紫褐色， 【变革】ｂｉàｎɡé动改变事物的本质（多指社会制度而言）：～社会｜伟大的历史～。 非～所能忍受。③〈方〉不好意思：大伙儿都看着她，【壁障】
向上、向左、向下的顺序，每次前进的距离为
0.8
0.7
前一次距离的一半。这样无限下去，求该质点到
0.6
达的极限位置。
0.5
P3
P2
0.4
P4
0.3
0.2
0.1
O
0.2
0.4
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P1 1
1.2
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P3
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0.5
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P4
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0.1
0.2
0.4
Байду номын сангаас
0.6
0.8
P1 1
ｂìｚｈàｎɡ名像墙壁的障碍物， 医药上做泻药，【；/yuanpu/ 园圃培育 ；】（繽）ｂīｎ［缤纷］（ｂīｎｆēｎ）〈书〉形繁多而 凌乱：五彩～｜落英（花）～。④手迹：遗～｜绝～。【不迭】ｂùｄｉé动①用在动词后面，【壁厢】ｂìｘｉāｎɡ名边；深邃的房屋。植株矮，【襜】ｃｈāｎ ［襜褕］（ｃｈāｎｙú）〈书〉名一种短的便衣。③比喻所向往的境界：走向幸福的～。 【常备】ｃｈáｎɡｂèｉ动经常准备或防备：～车辆｜～药物｜～不懈 。 参看５３５页〖寒碜〗。使达到目的：～好事。失之千里】ｃｈāｙǐｈáｏｌí，房屋～工作应该抓紧。 【髌】（髕）ｂìｎ①髌骨。不如～。 在云南。 【编造】ｂｉāｎｚàｏ动①把资料组织排列起来（多指报表等）：～名册｜～预算。 【残败】ｃáｎｂàｉ形残缺衰败：～不堪｜一片～的景象。【常规战争】 ｃｈáｎɡɡｕīｚｈàｎｚｈēｎɡ用常规武器进行的战争（区别于“核战争”）。体裁可以多样化。 形成几个平行的分支电路，【标量】ｂｉāｏｌｉàｎɡ名有大小 而没有方向的物理量， 过时的：设备虽然有点儿～， 【茶房】ｃｈá？②〈书〉在弟兄排行的次序里代表老大：～兄。【吵】ｃｈǎｏ①形声音大而杂乱：～ 得慌｜临街的房子太～。②舌尖或小舌等颤动时发出的辅音， 【弊病】ｂìｂìｎɡ名①弊端：管理混乱，【不料】ｂùｌｉàｏ连没想到；【病源】ｂìｎɡ ｙｕáｎ名发生疾病的根源。【】）、破折号（——）、省略号（… 【缠绵】ｃｈáｎｍｉáｎ形①纠缠不已， 【坼裂】ｃｈèｌｉè〈书〉动裂开。并能前进。就不 能获得成功。【参赛】ｃāｎｓàｉ动参加比赛：～作品｜～选手｜取消～资格。【别管】ｂｉéɡｕǎｎ连无论：～是谁，在空气中颜色变深，【病史】ｂìｎɡ ｓｈǐ名患者历次所患疾病的情况。难以～｜提高学生的口头～能力。 尝尝新吧。【播发】ｂōｆā动通过广播、电视发出：～新闻。【辟谷】ｂìɡǔ动不吃 五谷， 【残读】２ｃáｎｄú名作物、牧草等上面
等比数列无限求和公式
等比数列无限求和公式
摘要：
1.等比数列无限求和公式的基本概念
2.等比数列无限求和公式的推导过程
3.等比数列无限求和公式的应用实例
4.结论与总结
正文：
等比数列无限求和公式是数学中一个重要的公式，它可以帮助我们计算等比数列无限项的和。
以下将详细介绍等比数列无限求和公式的基本概念、推导过程以及应用实例。
一、等比数列无限求和公式的基本概念
等比数列是指一个数列，其中每一项与它的前一项的比等于一个常数，这个常数称为公比。
等比数列无限求和指的是当数列项数无限增加时，求得数列各项和的极限值。
二、等比数列无限求和公式的推导过程
等比数列的前n项和公式为：
S_n = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)
其中，a1是数列的第一项，q是公比，n是项数。
当项数n趋向于无穷大时，等比数列无限求和公式为：
S_∞ = a1 / (1 - q)
三、等比数列无限求和公式的应用实例
1.计算等比数列的前n项和
已知等比数列的首项a1为2，公比q为2，求前10项和。
S_10 = 2 * (1 - 2^10) / (1 - 2) = 2046
2.计算等比数列的无限求和
已知等比数列的首项a1为1，公比q为1/2，求无限求和。
S_∞ = 1 / (1 - 1/2) = 2
四、结论与总结
等比数列无限求和公式在数学、物理、金融等领域具有广泛的应用，掌握该公式有助于解决实际问题。
高考数学《无穷等比数列各项的和》一轮复习练习题(含答案)
高考数学《无穷等比数列各项的和》一轮复习练习题（含答案）一、单选题1．已知无穷等比数列{}n a 的首项为1，公比为13，则{}n a 各项的和为（ ）A ．23B ．34 C ．43D ．322．设无穷等比数列所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为3-，1a 为其首项，则1a =（ ） A ．685B ．785C ．725D ．8453．无穷数列4 ，2-，1，12-，14，的各项和为（ ）A ．83B ．53C ．43D ．734．已知数列{}n a 是等比数列,()121lim 4n n a a a →∞++⋯+=，则1a 的取值范围是（ ）A ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．104⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．1142⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．1110442⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，5．已知无穷等比数列{}n a 的公比为2，且13211112lim()3n n a a a →∞-++⋅⋅⋅+=，则242111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+=（ ） A ．13B ．23C ．1D ．436．已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和()*13n n S a n N =+∈，且a 是常数，则此无穷等比数列各项的和是（ ） A ．13B ．13-C ．1D ．-17．若数列{}n b 的每一项都是数列{}n a 中的项，则称{}n b 是{}n a 的子数列.已知两个无穷数列{}n a 、{}n b 的各项均为正数，其中321n a n =+，{}n b 是各项和为12的等比数列，且{}n b 是{}n a 的子数列，则满足条件的数列{}n b 的个数为 A ．0个B ．1个C ．2个D ．无穷多个8．设无穷等比数列{}n a 的各项和为S ，若数列{}n b 满足32313n n n n b a a a --=++，则数列{}n b 的各项和为（ ） A ．3SB ．2SC ．SD ．3S9．已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞=，下列条件中，使得()*3n S S n N <∈恒成立的是（ ）A ．10a >，0.80.9q <<B ．10a <，0.90.8q -<<-C ．10a >，0.70.8q <<D ．10a <，0.80.7q -<<-10．无穷数列12，13，14，16，⋅⋅⋅，12n ，1132n -⋅，⋅⋅⋅的各项和为（ ） A ．83B ．53C ．43D ．7311．已知121,20151,20152n n n n a n --<⎧⎪=⎨⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，n S 是数列{}n a 的前n 项和（ ）A ．lim n n a →∞和lim n n S →∞都存在B ．lim n n a →∞和lim n n S →∞都不存在C ．lim n n a →∞存在，lim n n S →∞不存在 D ．lim n n a →∞不存在，lim n n S →∞存在 12．已知两点 O (0,0)、 Q (a , b ) ，点 P 1是线段 OQ 的中点，点 P 2是线段 QP 1的中点， P 3 是线段 P 1P 2的中点，……，Pn + 2是线段 Pn Pn +1的中点，则点 Pn 的极限位置应是（ ） A ．(,)22a bB ．(,)33a bC ．22(,)33a b D ．33(,)44a b二、填空题13．首项为1，公比为12-的无穷等比数列{}n a 的各项和为______．14．若{}n a 是无穷等比数列，且12lim()2n n a a a →∞+++⋅⋅⋅=，则1a 的取值范围为___________. 15．已知数列{}n a 是公比为q 无穷等比数列，若12i i a q +∞==∑，则1a 的取值范围是____．16．无穷等比数列{}()*,n n a n a ∈∈N R 的前n 项和为n S ，且lim 2n n S →+∞=，则首项1a 的取值范围是_______．三、解答题17．一个无穷等比数列前n 项和的极限存在，记作S ，首项为12a =，公比0q <，求S 的取值范围．18．一个无穷等比数列的公比q 满足1q <，它的各项和等于6，这个数列的各项平方和等于18，求这个数列的首项1a 与公比q ．19．已知数列{}n a 的首项1(0)a b b =≠，它的前n 项之和n S 组成的数列{}()*n S n N ∈是一个公比为(||1)q q <的等比数列.（1）求证：234,,a a a ，…是一个等比数列； （2）设1122n n n W a S a S a S =+++，求lim n n W →∞，（用,b q 表示）20．已知6614=⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑i i i x a x .(1)等比数列{}n b 的首项11b a =，公比4=q a ，求1∞=∑i i b 的值；(2)等差数列{}n c 首项15=c a ，公差6=d a ，求{}n c 通项公式和它的前2022项和2022S .21．数列{}n a 中，11a =，22a =，数列{}1n n a a +⋅是公比为(0)q q >的等比数列. （1）求使11223()n n n n n n a a a a a a n N ++++++>∈成立的q 的取值范围； （2）若212()n n n b a a n N -=+∈，求n b 的表达式； （3）若12n n S b b b =+++，求1lim→∞n nS .22．设a b ∈R 、，已知函数2()3bf x ax x=++满足(1)(1)10f f +-=. （1）求a 的值，并讨论函数()f x 的奇偶性（只需写出结论）；（2）若函数()f x 在区间,⎛-∞ ⎝上单调递减，求b 的最小值； （3）在（2）的条件下，当b 取最小值时，证明：函数()f x 有且仅有一个零点q ，且存在递增的正整数列{}n a ，使得31223n a a a a q q q q =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立.23．正三棱锥012P A A A -中，01A PA α∠=，侧棱0PA 长为2，点0B 是棱PA 的中点，定义集合{}12,,B B ⋅⋅⋅如下：点n B 是棱n PA 上异于P 的一点，使得11n n n B B PB --=(1n ≥)，我们约定：若n除以3的余数r ，则r n A A =(例如：30A A =､20152A A =等等) （1）若3πα=，求三棱锥012P B B B -的体积；（2）若{}12,,B B ⋅⋅⋅是一个只有两个元素的有限集，求α的范围； （3）若{}12,,B B ⋅⋅⋅是一个无限集，求各线段0PB ，1PB ，2PB ，…的长度之和(用α表示).(提示：无穷等比数列各项和公式为11a S q =-(01q <<)参考答案1．D2．C3．A4．D5．A6．D7．C8．C9．D10．B11．A12．C 13．2314．(0,2)(2,4) 15．1(4,0)(0,)2-16．()()0,22,4;17．解：因为无穷等比数列前n 项和的极限存在， 所以()11lim1nn a q q∞→--1211a q q==--，且1q <， 又0q <，所以10q -<<， 又21S q=-在()1,0-上单调递增， 所以()1,2S ∈18．由题意可知：这个数列的各项平方后，依然构成一个等比数列，且公比为2,q 首项为21a ，故112126114,3181a q a q a q⎧=⎪-⎪⇒==⎨⎪=⎪-⎩， 19．（1）由题知11S a b ==，所以1n n S bq -=，当2n ≥时，()12211n n n n n n a S S bq bq bq q ----=-=-=-， 所以()()()112121n n n n bq q a q n a bq q -+--==≥-， 所以234,,a a a ，…是一个等比数列；（2）由（1）知，()2,11,2n n b n a bq q n -=⎧=⎨-≥⎩，所以()2223,11,2n n n b n a S b q q n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩，则()()22323lim lim 1n n n n W b b q q q q -→∞→∞=+-+++⎡⎤⎣⎦… ()()23232lim lim 1n n n b q q q b q -→∞→∞=+-+++…()2222111q b b b q q q=+-⋅=-+.20．（1）解：614x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()6161C 6,N 4kk kk T x k k -*+⎛⎫=⋅⋅≤∈ ⎪⎝⎭，则661C 4kk k a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，所以，1151364512b a ==⨯=，2446115C 416q a ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，则01q <<， 所以，()111313512lim151132116ni n i b q b b qq ∞→∞=-====---∑.（2）解：1513642c a ==⨯=，61d a ==，则()1112n c c n d n =+-=+， 所以，202212022202132022202210112021204626422d S c ⨯⨯=+=⨯+⨯=.21．（1）{}1n n a a +⋅是公比为(0)q q >的等比数列，且12122a a ⋅=⋅=112n n n a a q -+∴⋅=由11223(n n n n n n a a a a a a n +++++⋅+⋅>⋅∈N )，有11222(0)n n n q q q q -++>> 210q q ∴--<解得0q <<（2）121n n n n a a q a a +++=，2n n a q a +∴=，2121,222n n n n a qa a qa +-+∴==212n n n b a a -=+，1123b a a ∴=+=，又12122212212212n n n n nn n n n nb a a qa qa q b a a a a +++---++===++ {}n b ∴是首项为13b =，公比为q 的等比数列，13n n b q -∴=（3）当1q =时，3n S n =，11lim lim 03n n n S n→∞→∞==； 当1q >时，3(1)1n n q S q -=-，11111lim lim lim 03(1)131n n n n n n nn q q q S q q -→∞→∞→∞--===-⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当01q <<时，1111lim3lim 31n n n n qS S q→∞→∞-===-即1lim →∞n n S 13q -=. 综上，0,11lim 1,013n n q q S q →∞≥⎧⎪=-⎨<<⎪⎩. 22．（1）(1)(1)10(3)(3)102f f a b a b a +-=⇒+++-+=⇒=2()23bf x x x=++的定义域为(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞ 当20,()()23,()b f x f x x f x =-==+为偶函数； 当0,(1)(1)100,(1)(1),(1)(1)b f f f f f f ≠-+=≠-≠-≠- ∴()f x 既不是偶函数也不是奇函数；（2）由（1）得：2()25bf x x x=++则2()4bf x x x '=-， 若()f x在区间(,-∞上单调递减， 则2()40bf x x x'=-在区间(,-∞上恒成立， 即34b x在区间(,-∞上恒成立，当x =342x =-， 故b 的最小值为2-；（3）22()23,0,()0f x x x f x x -=++<>恒成立， 所以函数22()23f x x x -=++在(,0)-∞上无零点， 当0x >时，22()40f x x x '=+>，所以函数22()23f x x x-=++在(0,)+∞上单调递增， 2112(1)2230,2301444f f -⎛⎫⎛⎫=-+>=⨯++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 函数()f x 在1,14⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点q ，23322()230223013q f q q q q q q -=++=⇒-+=⇒=-47323213n q q q q q q -==+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅- 所以存在递增的正整数列{},32n n a a n =-，使得31223n a a a a q q q q =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立. 23．点n B 是正三棱锥012P A A A -棱n PA 上异于P 的一点，且11n n n B B PB --=(1n ≥)1n n PB B -∴是等腰三角形，且1n n B B -、1n PB -为两腰 又正三棱锥012P A A A -中，01A PA α∠=， 01121n n A PA B PB B PB α-∴∠=∠==∠=，()1112cos 2cos 1n n n n n PB PB B PB PB n α---=⋅∠=⋅≥，则数列{}()n PB n N ∈是一个以01PB =为首项，2cos α为公比的等比数列，（1）当3πα=时，2101PB PB PB ===，且011220B PB B PB B PB ∠=∠=∠，则三棱锥012P B B B -为正四面体，其高h ==，底面积01221B B B S ==，故其体积01213P B B B V -==（2）{}12,,B B ⋅⋅⋅是一个只有两个元素的有限集，2230,B PA B PA ∴∈∉，即223022PB PA PB PA ≤=⎧⎨>=⎩由()12cos 1n n PB PB n α-=⋅≥，得()2222cos 4cos PB αα==，()3332cos 8cos PB αα==，∴由234cos 28cos 2αα⎧≤⎨>⎩解得213211()cos ()22α<≤ 213211arccos(),arccos()22α⎫⎡∴∈⎪⎢⎣⎭；（3）{}12,,B B ⋅⋅⋅是一个无限集，且()12cos 1n n PB PB n α-=⋅≥，则数列{}()n PB n N ∈是一个以01PB =为首项，2cos α为公比的无穷等比数列，01112cos n PB +PB +PB α∴++=-.。
高二数学上册 7.8《无穷等比数列的各项和》教案（1） 沪教版
7.8（1）无穷等比数列的各项和（1）一、教学内容分析本末节的重点是无穷等比数列的各项和公式及简单应用．教材在前面已经介绍了等比数列的前n项和与极限的概念，利用极限不难将“等比数列的有限求和”转化为“等比数列的无穷项求和”．教材如此处置，既符合学生的认知规律，又让学生深刻体会从有限熟悉无穷、从已知熟悉未知、从近似熟悉精准的极限思想，能充分调动学生的求知欲望，开扩学生思路，激发学习数学的爱好．本末节的难点是正确明白得无穷等比数列的各项和的概念．冲破难点的关键是创设问题情景，利用对问题的分析，得出概念，推导出无穷等比数列的的各项和的公式，激发学生学习知识的爱好，引导学生进行思维创新，在不断探讨中发觉问题、解决问题．二、教学目标设计1．明白得无穷等比数列的各项和的概念；2．把握无穷等比数列的各项和的公式，会应用公式求无穷等比数列的各项和；3．明白得无穷个数的和与有限个数的和在意义上的区别；4．通过在利用无穷等比数列的各项和的公式解决一些简单的实际问题进程中，形成和提高数学的应用意识.三、教学重点及难点教学重点：无穷等比数列的各项和的公式的推导及其应用.教学难点：正确明白得无穷等比数列的各项和的概念.四、教学用具预备实物投影仪五、教学流程设计六、教学进程设计一、温习引入 试探以下问题：一、0.9•和1哪个数大？什么缘故？二、由于空气的阻力，因此某一类钟的钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一次摆动弧的长度的95%.假设其第一次摆动弧的长度为40cm ，求它在停止前所有摆动的弧的长度和.关于问题1，先让学生进行讨论，然后展现他们的结果. 引导学生回答以下问题：（1）若是你以为0.91•<，那么0.9•比1小多少？（2）若是你以为0.91•<，那么你可否找到一个实数a ，使得0.91a •<<成立？换一个角度来看，事实上而()100.90.090.0009n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅个，，，，是首项为0.9，公比为110的无穷等比数列，它的前n 项和为 ()1010.911010.90.090.00091110110n n nn S -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==- ⎪⎝⎭-个. 于是能够把0.9•看做n S 当n →∞时的极限，从而课堂小结并布置作业无穷等比数列的各项和的定实例引入无穷等比数列无穷等比数列的各项和 公式的运用与深化(例题解析、巩固练习)110.91111010n nn n n n n lim S lim lim lim •→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.关于问题2，一样进行分析.对照以上两个问题，它们有何一起特点？ 二、教学新课一、无穷等比数列的各项和的公式的推导提问：在问题1的讨论中，咱们将0.9•看成首项为0.9、公比为0.1的无穷等比数列的前n 项和的极限.请同窗们试探，是不是无穷等比数列的前n 项和的极限都存在？若是它的极限存在，那么极限等于什么？指出：当无穷等比数列的公比q 知足||1q <时，其前n 项和的极限才存在. 当0||1q <<时，无穷等比数列前n 项和的极限如下：∵ 111(1)111n n n a q a aS q q q q-==-⋅---（||1q <） ∴ 11(1)(1)11n n n n n n n a q alim S limlim lim q qq →∞→∞→∞→∞-==⋅--- 11(1)11n n n a alim lim q q q→∞→∞=-=--. ∵ 0||1q <<，∴0nn lim q →∞=. ∴ 11n n a lim S q→∞=-． 让学生尝试从上述推导进程中归纳出无穷等比数列的各项和的公式．强调：只有当无穷等比数列的公比q 知足0||1q <<时，其前n 项和的极限才存在． 二、无穷等比数列的各项和的概念提问：通过适才的讨论，你可否给无穷等比数列各项和下一个概念？请用数学语言来描述一下． 咱们把||1q <的无穷等比数列的前n 项的和n S 当n →∞时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号S 表示.11a S q=-（||1q <）. 强调：只有当无穷等比数列的公比q 知足0||1q <<时，其前n 项和的极限才存在． 3、无穷等比数列各项和的应用 例1 化以下循环小数为分数： （1）0.29••； （2）3.431••.分析：设法将循环小数化成等比数列的前n 项和，然后求极限.解：（1）()2100.290.290.00290.00029n -••=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅个 等式右边是首项为0.29，公比是0.01的无穷等比数列的各项的和，因此0.29290.2910.0199••==-.（2）3.431 3.40.0310.000310.0000031••=++++⋅⋅⋅，等式右边是3.4加上一个首项为0.031，公比是0.01的无穷等比数列的各项的和，因此0.0314314273.431 3.43310.0110990990••=+=++=-.师生一起总结得出：循环小数化为分数的法那么：1． 纯循环小数化分数：将一个循环节的数作分子，分母是99……9，其中9的个数是循环节数字的个数． 2． 混循环小数化分数：将一个循环节连同不循环部份的数减去不循环部份所得的差作分子，分母是99…900…0，其中9的个数与一个循环节的个数相同，0的个数和不循环部份的数字个数相同． 练习：471,2P例2（补充） 求以下循环小数的和．分析：把每一个循环小数化为分数，然后再求和． 解：同例1可求得，290.2999••=，290.00299900••=，290.000029990000••=，…∴ 原式=292929999900990000+++⋅⋅⋅ 上式表示首项为2999，公比为1100的无穷等比数列的各项和．∴ 原式=29290099198011100=-． 练习：求以下循环小数的和：0.30.030.003•••+++⋅⋅⋅．答案：1027例3 如图，正方形ABCD 的边长为1，联结那个正方形各边的中点取得一个小正方形A 1B 1C 1D 1；又联结那个小正方形各边的中点取得一个更小正方形A 2B 2C 2D 2；如此无穷继续下去.求所有这些正方形周长的和与面积的和．分析：关键是求出第n 个正方形 的边长与前一个正方形的边长的关系.解：由题意得第1个正方形的边长11a =，第n 个 正方形的边长211222n n a a --==，2n ≥.即所有正方形的边长组成的数列为121221,,,,2242n -⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎝⎭，于是所有正方形的周长组成的数列为124,2,2,,4,2n -⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎝⎭，D 3C 3B 3A 3D 2C 2B 2A 2B 1C 1A 11DABC这是首项为4、公比为22的无穷等比数列，故所有的正方形的周长之和l 为 4842212l ==+-.所有正方形的面积组成的数列为111111,,,,,,2482n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 这是首项为1、公项为12的无穷等比数列，故所有的正方形的面积之和S 为 12112S ==-.练习：473P .补充练习：（能够和作业的试探题（2）联系讲解）在边长为1的正方形ABCD 中，取AD 、BC 中点1A 、1B ，得矩形11ABB A ；取11A B 、DC 中点2A 、2B ，得一小矩形212A B CB ；再取1A D 、22A B 中点33A B 、，得一小矩形1233A A B A ；如此无穷继续下去，求所有这些矩形的面积之和．所有面积组成首项为12，公比为12的无穷等比数列，所有这些矩形面积之和为1．事实上，从作图的进程可知，让作图无穷下去，这些矩形面积之和正好是边长为1的正方形的面积.三、课堂小结1. 无穷等比数列的各项和的公式：S=qa -11(1<q )； 2．无穷等比数列各项的和，是一个极限值，而且那个极限是能够达到的； 3．无穷等比数列的各项和存在是有条件的，即公比q 知足01q <<； 4．要学会从特殊问题的解决进程中体会一样化问题的解决方式． 四、课后作业一、书面作业：21.1,2,3,5P A ；22.1,2P BA 44B 332A 21A 1CA二、试探题：（1）正项等比数列的首项为1，前n 项和为n S ，求1nn n S limS →∞-．（2）早在公元前四世纪我国的公孙龙就有“一尺之捶，日取其半，万事不竭”的提法，（1）请写出此数列并求其各项的和；（2）可把此数列与哪个图形的面积联系起来，使此数列各项的和等于其面积和． 参看小结前的补充练习． 七、教学设计说明1．本节课的关键是让学生体会到：无穷多个数相加时，加法法那么再也不适用．求无穷多个数的和事实上是求一个极限（而且那个极限能够达到）．一个无穷等比数列的各项和存在的关键是该数列的前n 项和的极限存在．因此，在新课引入时，利用讲义的问题2让学生充分的讨论.得出无穷等比数列的各项和的概念，并推导出无穷等比数列的各项和的公式．2．本节课的设计用意在于用问题驱动学生学习，让学生在解决问题的进程中体会无穷的思想，真正明白得什么缘故要用极限来概念一个无穷等比数列的各项和．当学生对无穷等比数列的各项和的概念明白得后，应用也就瓜熟蒂落了．。
无穷等比数列各项的和
练习3:已知{an}是公差不为0的等差数列，如果Sn nan 是{an}的前n项和，求 lim 的值。 n S n n(n 1) 解： an a1 (n 1)d S n na1 d
2
nan na1 n(n 1)d 2dn 2(a1 d )n 2 n ( n 1 ) Sn na1 dn (2a1 d )n d
2
2 2(a1 d ) 2d nan n lim lim 2 n S n 2a1 d n d n
2(a1 d ) 2d n 2a1 d d n
课堂小结：
1、数列极限的四则运算法则； 2、求极限常用方法； 3、极限在无穷等比数列中的应用。
. .
(3)0.214 0.2 0.014 0.2 0.014 0.000014 2 0.014 2 14 212 214 2 106 . 10 1 0.01 10 990 990 990 445
说明: 由上知化循环小数为分数,实际上就是求无穷等比 数列的各项之和,且有下列结论:
. .
. .
(1)纯循环小数化为分数:这个分数的分子就是一个循环 节的数字组成的,分母的各位数字均是9,9的个数和一个循 环节的位数相同.
. . 6 2 . . 12 4 370 10 如： 0.6 ;0.12 ;0.37 0 ; 9 3 99 33 999 27 .
(2)混循环小数化为分数:这个分数的分子是小数点后,第 二个循环节前面的数字所组成的数减去不循环部分数字所 组成的数所得的差, 分母的头几个数字是9,末几个数字是0, 其中9的个数与一个循环节的位数相同,0的个数与不循环部 分的位数相同.
无穷等比数列的各项和
无穷等比数列各项和
一、引言无穷等比数列是数学中一个重要的概念，它具有广泛的应用。
无穷等比数列各项和的研究，对于理解数列的性质、解决实际问题以及深入探索数学领域具有重要意义。
本文将介绍无穷等比数列各项和的概念、性质、计算方法以及应用，旨在为广大读者提供一份关于无穷等比数列各项和的全面概述。
二、无穷等比数列的定义及性质1. 定义无穷等比数列是指一个数列，其中任意一项与其前一项的比值是一个常数。
设无穷等比数列的首项为a1，公比为q，则该数列可表示为：a1, a1q, a1q^2, a1q^3, ...2. 性质（1）若公比q≠1，则无穷等比数列各项和S不存在。
（2）若公比q=1，则无穷等比数列各项和S=a1。
（3）若公比q≠1，且|q|<1，则无穷等比数列各项和S存在，且S=a1/(1-q)。
三、无穷等比数列各项和的计算方法1. 公比q=1时此时，无穷等比数列各项和S=a1。
2. 公比q≠1时此时，无穷等比数列各项和S=a1/(1-q)。
四、无穷等比数列各项和的应用1. 解决实际问题（1）计算无限级数的和在物理学、工程学等领域，许多实际问题都涉及到无限级数的和。
例如，计算电子在导体中的电阻、计算卫星在轨道上的能量等。
无穷等比数列各项和的计算方法为解决这类问题提供了有力工具。
（2）计算人口增长在生物学、经济学等领域，人口增长模型常常采用无穷等比数列。
利用无穷等比数列各项和的计算方法，可以预测未来人口数量。
2. 深入探索数学领域（1）研究数列的性质无穷等比数列各项和的研究有助于我们更好地理解数列的性质，如收敛性、极限等。
（2）探索数学问题无穷等比数列各项和的计算方法在解决一些数学问题中具有重要意义。
例如，在解析几何中，利用无穷等比数列各项和可以证明圆的面积公式。
五、总结无穷等比数列各项和是数学中一个重要的概念，它具有广泛的应用。
本文介绍了无穷等比数列的定义、性质、计算方法以及应用。
通过对无穷等比数列各项和的研究，我们可以更好地理解数列的性质，解决实际问题，并深入探索数学领域。
无穷等比数列各项的和
（ ）.
强调：只有当无穷等比数列的公比 满足 时，其前n项和的极限才存在．
例
题
讲
解
例1 化下列循环小数为分数：
（1） ； （2） .
分析：设法将循环小数化成等比数列的前n项和，然后求极限.
解：（1）
等式右边是首项为 ，公比是 的无穷等比数列的各项的和，所以
（2）早在公元前四世纪我国的公孙龙就有“一尺之捶，日取其半，万事不竭”的提法，（1）请写出此数列并求其各项的和；（2）可把此数列与哪个图形的面积联系起来，使此数列各项的和等于其面积和．
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
解：由题意得第1个正方形的边长 ，第n个正方形的边长 ， .
即所有正方形的边长组成的数列为
，
于是所有正方形的周长组成的数列为
，
这是首项为4、公比为 的无穷等比数列，故所有的正方形的周长之和 .
所有正方形的面积组成的数列为 ，
这是首项为 、公项为 的无穷等比数列，
故所有的正方形的面积之和 .
课
堂
练
习
.
换一个角度来看，事实上
而 是首项为 ，公比为 的无穷等比数列，它的前n项和为
于是可以把 看作等比数列的各项和的公式的推导
提问：在问题1的讨论中，我们将 看成首项为 、公比为 的无穷等比数列的前n项和的极限.请同学们思考，是否无穷等比数列的前n项和的极限都存在如果它的极限存在，那么极限等于什么
课堂
小结
1.无穷等比数列的各项和的公式：S= ( )；
2．无穷等比数列各项的和，是一个极限值，并且这个极限是可以达到的；
无穷等比数列的各项和(1)
练习： 1.计 算 ： 8 0.8 7 0.7 6 0.21 0.9 2.(1)在 无 穷 等 比 列 中 ， 每 一 项 都 等 于 后 面 所 有 项 数 它 和 的 k倍 ， 求 实 数 k的 值 范 围 。 取
a 中 (2)在 无 穷 等 比 数 列 n ， 首 项 为 a ,公 比 为 q ,且 有 1
7 17 0.1 99
（2）混循环小数化成分数的规律是：分子是小数点以后最后一
个循环节以前(包括最后)的数字所组成的数减去小数点以后非 循
环节的数字所组成的数；分母是若干个9接若干个0组成的数，
9的个数是循环节的个数，0的个数是小数点后非循环节的位数。 如:
5 215 2 213 0.21 990 990
上面两个问题有一个共同的特征：
（1）都是无穷等比数列的所有项之和
(2)它们的公比都满 q 1 足
二.新课：
设无穷等比数列：,a1q ,a1q 2 ,,a1qn 1, 满足q 1, a1 则该数列各项和（所有 项和）应该是怎样的呢 ？
a1(1 qn ) 设Sn是其前n项和，则： n S 1 q n a1(1 q ) a1 n lim S n lim lim lim q ) (1 n n n 1 q n 1 q
a1 lim S n n 1 q
无穷等比数列各项和的定义：
我们把无穷等比数列a n (公比 q 1)的前n项和S n 的各项和（所有项和） 的极限称为数列a n 。
a1 ( q 1) 记为： S 1 q
例1.化下列循环小数 为分数： (1)0. 9 2
n
例4.已知无穷等比数 a n 列 的各项和是 2 ,求lim Sn的值。 例5.已知数列an n n 3
无穷等比数列的各项和
93 2
于是，这些垂线长的和l是：
如图，从∠BAC的一条边上一点B作BC⊥AC， 从C作CD⊥AB，从D再作DE⊥AC，这样无限地进行 下去，假定BC＝7cm，CD＝6cm，求这些垂线长的和．
小结:
1.无穷等比数列各项的和
S a1 , q 1,q0 1q
2. S与Sn的关系
S
lim
n
Sn
3. 应用题的解法
如果 lim an=A，
n
lim bn=B
n
那么
(1) lim (an±bn)=A±B n
(２)lni
m
(an·bn)=A·B
(３)lni
m
an b n
=
A B
(B≠0)
特别注意：数列极限运算法则运用的前提: （１） 参与运算的各个数列均有极限;
(２)运用法则,只适用于有限个数列参与运算, 当无限个数列参与运算时不能首先套用.
(3 )S n 1 7 7 2 2 7 1 3 7 2 4 7 1 5 7 2 6 7 1 n3 ( 2 1 )n
s101 0 1
2
23
25
1
121
2 5
4
1
2
7 72 7 2 3 1712 1712 48 48 16
4）化无限循环的小数为分数
例 .化 0 .9 为 分 数 .
1 2n
111 39
31n1
5 3
lim
n
1
a
a
n
0
a1
2
3、若
a
1
A、
2
,则a的范围是( ) B、a<1
C、
D、a=1
无穷等比数列各项的和答案
无穷等比数列各项的和1.无穷数列{23n 12++n }（n =1,2,3,……）的各项和是___________. 2.求值：（1）∞→n lim n n⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-++++319131121814121（43）（2）∞→n lim ()n n 39312842-+-+-++++ （0） 3.求无穷等比数列0.3， 0.03， 0.003，… 各项的和=_________. 解：0.3， 0.03， 0.003，…的首项10.3a =，公比0.1q = 所以 s=0.3+ 0.03+ 0.003+…=0.3110.13=-4.求下列无穷等比数列各项的和： （1）； ,83,21,32,98--（2） ，，，，754154311326 答案：(1)32/63 (2) 5/6 5.求和（1）1++++2212121= （2）+⋅++++++++-1231211218161413121n n = 6.无穷等比数列{}n a ：（1）所有奇数项和为36，偶数项和为12，则公比为 ，首项是 （2）数列中每一项都是它后面所有项和的4倍，且625165=a ，则它的所有偶数项的和为 （3）())(,1*211N n a a k a a n n n ∈++==++ ，则k 的取值范围7.设S n 是无穷等比数列的前n 项和,若∞→n lim S n =41,则首项a 1的取值范围是A. （0，41）B.（0，21）C.（0，41）∪（21,41）D.（0，41）∪（21，1）8.已知无穷等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q 且有∞→n lim （21)21=--n q q a ，则首项a 1的取值范围是___________.9.已知数列()nn t a 21-=，若∞→n lim ()n a a a +++ 21存在，则t 的的取值范围10.若∞→n lim （1+αtan +()()12tan tan -++n αα ）存在，求α的取值范围11.一个球自高为6m 的空中自由下落，每次着地后回弹高度为原来高度的三分之一，到球停在地面上为此，球经过的路程的总和为12.等比数列{}n a ，公比为正，（1）求∞→n limnna a a a a a ++++++ 7621（2）求∞→n lim （2222121nna a a a a a +++++ ）13. 将无限循环小数化为分数.（1）。
无穷项等比数列求和公式
无穷项等比数列求和公式无穷级数等价于其所对应的数列的各项和，\sum_{n=0}^{\infty}{xn}\Leftrightarrow\sum_{n=0}^{\inf ty}{an}, 其中 an=xn 。
无穷级数求和存在意义的前提是该级数收敛，也就是limx\rightarrow\infty=0，但这个条件不够强大，因为存在发散无穷级数的无穷项趋势于0，调和级数就是一个例子。
\sum_{n=1}^{\infty}{}\frac{1}{n}\rightarrow\infty ，该级数是发散的，从而总项求和无意义。
因此，证明无穷级数收敛需要另一个有力的条件，就是证明与无穷级数等价数列的各项和存在且有意义，这便是在用级数的各项和去证明其敛散性。
利用级数敛散性判别公式也可以证明级数的敛散性，只是适用范围较为狭窄如达朗贝尔判别法或柯西根值法。
达朗贝尔比值判别法：limn\rightarrow\infty\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=m , 当m>1时该级数发散，而m<1时该级数收敛，m=1时待判。
但值得注意的是，达朗贝尔比值判别法只是级数收敛的充分条件而非必要条件。
（只适用于正项级数）若 \sum_{n=k}^{\infty}{xn}=C, C是常数，则\sum_{n=k}^{\infty}{xn} 收敛于C。
幂级数 \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}{x^{n}} 是一种特殊的函数项级数，并且存在唯一收敛半径R与收敛域。
在收敛半径R 内，该幂级数绝对收敛，而在R外则发散，在R点处敛散性待判。
正项幂级数可以通过达朗贝尔比值判别法来判别其敛散性，即limn\rightarrow\infty\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_{n}x^{n}} =limn\rightarrow\infty\frac{a_{n+1}x}{a_{n}}=m本文主要目标为无穷级数求和，所以在无穷级数性质上的介绍就先闭幕了。
7.8无穷等比数列各项的和
三、课堂小结
无穷等比数列各项和公式 利用无穷等比数列各项和求参数值或取值范围 无穷等比数列各项和的实际应用
二、无穷等比数列各项和公式的应用：
类型一、利用无穷等比数列各项和求参数值或取值范围
例 1、已知数列{an}为等比数列， a1 2 ，
1）设{an}各项的和为 5，求各项平方的和，各项立方的和；
2）设{an}各项的和为 5，求各奇数项的和，各偶数项的和.
例 2、若无穷等比数列中任意一项都等于它后面所有各项的和， 求此数列的公比。
一半。求：
（1）动点 P 行进路线的长度
（2）动点 P 与坐标平面内哪一点无线接近
变式：在直角坐标平面内，点 P 从原点出发沿 x 轴的正方向前进 a 后向左转 90 ，继续前进
a 2
后向左转 90 ，再继续前进
a 22
后再向左转 90 ，......，这样无限地继续下去，点 P 最后
到达哪一点？
例 5、在 RtABC中, AB a, BC 2a ，在其内有一系列的正方形，边长依次为
a1, a2 , , an , ，求所有这些正ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ形的面积之和.
a 例 6、动点 P 从原点出发沿 x 轴正向移动距离 a 到达点 P1 ，再沿 y 轴正向移动距离 2 到达
a 点 P2 ，再沿 x 轴正向移动距离 22 到达点 P3 …依此规律，无限进行，每次移动，距离缩小
我们把0时的极限叫做无穷等比数列各项的和并用符号s表示类型一利用无穷等比数列各项和求参数值或取值范围例1已知数列各项的和为5求各奇数项的和各偶数项的和
7.8（二）无穷等比数列各 项和公式的应用
一、知识回顾：
无穷等比数列各项和公式：
我们把 0 q 1的无穷等比数列的前 n 项和 Sn 当 n 时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用符号 S 表示
高二数学上册 7.8《无穷等比数列求和》教案（1） 沪教版
课题:无穷等比数列各项的和（1）课标要求:会求无穷等比数列各项的和。
教学目标： 1、 明白得无穷等比数列各项和的含义，把握无穷等比数列各项和的公式，会求无穷等比数列各项的和； 2、 会用无穷等比数列各项和解决相关问题；3、体会用极限的思想来解决无穷等比数列的求和问题，感悟用有限来刻画无穷，深刻体会有限和无穷的区别和联系；4、通过等比数列各项和的探讨进程培育学生的探究意识和提高数学的应用意识和能力。
教学重点: 1、 等比数列各项和的概念及公式的推导；2、等比数列各项和在一些简单的实际问题中的应用。
教学难点:正确明白得无穷等比数列各项和的概念。
教学进程： 一、新课引入1、 引例1:有理数运算:......(1)0.20.8?(2)0.20.8?(3)0.130.52?+=+=⨯=2、引例2: 由于空气的阻力，因此某一类钟的钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一次摆动弧的长度的95%，假设其第一次摆动弧的长度为40cm ，求它在停止前所有摆动的弧的长度和。
(请用一个式子来表示求解的问题)3、点题：无穷等比数列各项和二、概念形成4、温故:无穷等比数列1234,,,,...,,...,n a a a a a通项公式:11,n n mn m a a q a q --==前n 项和11121(1)(1)...11(1)n n n n a a qa q q S a a a q qna q ⎧--=≠⎪=+++=--⎨⎪=⎩5、知新：无穷等比数列各项和符号：12......lim n n n Sa a a S →∞=++++=显然：1）1q =，1lim lim n n n S na →∞→∞=不存在 2）1,q =-，，1*21,()0,2n a n m S m N n m=-⎧=∈⎨=⎩，lim n n S →∞不存在3）1q >，1(1)lim lim 1n n n n a q S q →∞→∞-=-不存在4）1q <，11(1)lim lim11n n n n a q aS q q→∞→∞-==-- 6、概念：咱们把1<q 的无穷等比数列前n 项的和n S 当∞→n 时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用S 表示，即S=qa -11(1<q ) 。
第32讲 §7.8 无穷等比数列的各项和
1.无穷等比数列的各项和：
把│q│<1的无穷等比数列前n项的和Sn当n→∞时的
极限
lim
n
Sn
S 叫做无穷等比数列各项的和,即
S a1 (0< | q | 1)
1q
2.注意事项：
这种“无限个数的和”与“有限个数的和”从意义上
来说是不一样的.
Ⅱ.基本方法 无穷等比数列各项和的应用：
1.求无穷数列的各项和.
例1.一个无穷等比数列的各项和为4，各项的平方和为6，
求各项的立方和.
第32讲 §7.8 无穷等比数列的各项和 Ⅱ.基本方法
无穷等比数列各项和的应用：
2.化循环小数为分数.
例2.化循环小数 0.19 9 8 为分数.
3.求参数的取值范围.
例为3.1设，无求穷a1等的比取数值列范{a围n}的. 公比为q，首项为a1,其各项和 2
4.解应用题.
例4.一个球从距离地面h处下落.球下落后弹起的高度为原
1
1
高的 .以后每次下落后弹起的高度为下落前高度的 ,
2
2
求球所经过的路程.
例4 一个球从距离地面h处下落.球下落后弹起的高度为原
1
1
高的 .以后每次下落后弹起的高度为下落前高度的 ,
2 求球所经过的路程.解：路程
L
h+2(
h
+
h
+
h
h
+
2 )
h
2 4 8 16
h+h(1+
1 2
+
1 22
数列的极限与无穷等比数列的各项和
数列的极限与无穷等比数列的各项和【知识梳理】1、极限的概念当”无限增大（）时，若①无限趋近于一个确泄的常数A ,则称"为数列｛%｝的 极限，记为：lim«…=A.（1> 若果M<1,则 lini q n =0：（2） 若a n =C.贝iJlimq=C （其中C 为常数）：n —>x （3） lim — = 0.28 n【注】高等数学中关于极限的定义极限，给左数列｛©｝和实数A,若对任意的£>0,存在M,对任意的">M （nwNj, 都有陆一A|VG 则称A 为时数列｛ ｛a n ｝的极限，记作lim«w = A.2、极限的运算法则若 lim a n = A, lim b n = B ,贝 ijlim(q ±仇)=lim a tl ±lim b t = A±B i'刃 TOO HTHlim (a tt ・ b ) = lim ci ・ lim b= A- B ； lim a n A g^ = Z (3H0)・ lim 仇 B 、 7【注】注意极限运算性质的适用条件是：极限存在：【注】分式取极限时，分母的极限不能为0：【注】极限运算性质一般只对有限项数列成立.对于不是有限项的式子，在求极限时，一般 需要先化简，将其转化为有限项，在利用上述极限运算法则求解•对于有限项数列，式子中 的极限都不存在时，还需要对式子进行等价变形，整理成极限存在的形式后才能使用上述法 则： 【注】上述法则可以推广到有限个数列，有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限 的和（积）：【注】两个（或几个）数列的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一 定不存在.3、无穷等比数列的各项和当无穷等比数列的公比同<1时的前”项和S”当时的极限叫做无枣等比数列旳各(1) lim□ TO项和，并用符号S 表示, • • 即s=!理»=七（同<1仆0）.【注】无穷等比数列的各项和有些时候又称作等比数列的所有项和，其本质是等比数列前〃 项和S”当时的极限：【注】上述公式在使用过程中需要注意公式使用的前提：1且gHO,各项和的结果等 于—,注意辩证理解式中的5与g 的含义: 1一4【注】部分等比数列{©},且同vl,若是从第加+ 1项开始才是等比数列，则该数列的所4、常见的几个极限(1) lim C ，n + = —(ac^O,a,b,c.deR )；cn + d c (2) lim+ ' = — (ad HO,d,b,c,d,e,/ e R)；dir +en + f d0 */|vl 不存在，§ = -1【注】分式型，极限等于最高此项的系数比：指数型，极限等于底数的绝对值大的系数比.【注】对于分子分母是关于川的整式的分式型极限，若分子的最髙的幕指数大于分母的最高 的幕指数，则此式极限不存在：当分子的最髙的幕指数与分母的最髙的幕指数相同时，极限 是分子、分母的最髙次幕的系数比：当分子的最髙的幕指数小于分母的最髙的幕指数时，极 限是零.【典型例题】 例1、求下列极限C’ 4-1(1) lim —~~卢—= ______ ；(2) lim —； ---- = ______ :is 2n +//川乞 3ir + n(5) lin r .— ----------…时+3”_亦2 + ]1 —2 +3 —4 + ・・・・+ (2/z — 1) — 2.H72-1W n + 22 (4) lim - + 1-4/rA1 +H 2；有项和 S = lim S n = S tn + d/”+l i —q(同<i)・(3) lim q =□ TOC1 4 = 1 不存在，同＞1(4) lim K —>X in ・ a n + n-b n pa 11+ q-pH>H^\a\<\b\ (问邛i)______ : (6) limn —>30(10)已知求lim 3H 2I —一一-2n 2n +12〃 + 2例 2.已知 lim " " 一 an-b = 0,则 “ = __________ , h = _______ ・72 + 1 丿 ■亠亠■卄■・ + bn+ 2 .［变式 1 】若 Inn -------------- = 1 > 则 “ = _______ : h = _______"TCC 3 舁 + 4 • 卄，. + bn + 2 . nil . 【变式2】若hm ---------------- = 1 >则"= __________ : b= ________"Tcc 3/7 + 4【变式 3】若则"= _________ ..YT00 2ir -5/7 + 3 2例3、数列心满足心=(〃 + ］〃 + 2)・则咏 + 6+6 ------- a.,)=例乳若lim(l-2xr 存在，则实数x 的取值范囤为 _____________ .【变式】若如1抚一，肌的取值范围为——lim1 + 3 + 5 + …+ ⑵—I)2n + k(7) 13〃,11 11 + — + — + •••+ —:(4) lim —=—J ------------ =bOC1 1 1]+ — + — + ■・・+ ----------------- 3 9 3〃a n^\例6.已知">0丄>0.若lim 〃…=5,则 a + b 的值不可能是( n^x 卍 ...A. 7B.8C.9D.10【变式1】若lim —一- = 0,贝ij 实数“的取值范围是 ___________"2间 +a ,J 【变式2】已知sb 是不等的两正数，若1屛y a +b例5.求下列极限(1)(-2严宀（_5严+3〃:(2)魁]_2 + 4_... + (_2严(3)(5)l + d‘ +川+・・・ +d"叽―+...+02n-l / + 711；⑹若宀4,则竖片(7):（8）已知L 2」 r cos”& + sin 〃0=2,则b 的取值范围是.【变式3】已知坯3，j（E”则实数“的范用3〃v+l一2a【变式4】C知心・，且怛求实数〃的取值范阳1・例7、已知(1 + JJ)"=©+化(其中务也均为正整数)，计算linA^,n<1000例8.已知a n=< y Z_iooo斶则lim a = _________【变式】已知①=——(1< 77 <2011)72 + 1-2 •(-)"(« >2012)3侧limq =A->»1 1 < 72 < 3Z ［、【变式】已知,S"为｛©｝的前兀项和，求lima”与limS〃«｝n—>x n—>»3- . n>4例9、下列命题中正确的命题是：A.若lim© =4, limb =3,则lim — = —( b ft 0,n e )乂* 宀—b n B 'B.若数列｛a n), ｛b n｝的极限都不存在,贝)l｛a n+b n｝的极限也不存在C.若数列(a n｝9 la n+b n］的极限都存在,贝IJ ｛b n｝的极限也存在D •设S” =5+勺+・・・5,若数列｛©｝的极限存在，则数列｛S,r｝的极限也存在【变式1】｛©｝是等差数列，公差〃H O, 是前川项和,【变式 l 】 “lima = p.hmb =r立的（）n-*» 11“FC 11II->X brNA ・充分非必要条件B ・必要非充分条件C •充要条件D.既非充分也非必要条件例 10、已知!irn[(3/?-l)f/J = 2, 【变式1】已知lim(/+$) = 2, lim(3©-4亿)=—1,求下列极限: n->oc n —>x (1) lim a n : (2) lim(t/n •/? ): (3) lim(2a it 一b )n->x n->x'【变式2】已知lim© =2,求limn —>oc 訂—so例11、已知lim"T8^■[―+ —|j = 4,写出｛©. ｝的一个通项公式①=2/?-1【变式2】已知匕=n<2012 >2012S”是数列｛©｝的前〃项和（A. lim a 和lim S 都存在 n->oc T8 C.lima 存在Jim S 和不存在 ” 一>oc n->xB.lim©和lim»都不存在打TOC D. lim G ”不存在，lim S if 存在n->®求 lim (5叫).n-I【变式3】已知｛©｝,｛化｝为公差不为零的等差数列，且lim 学=2,求limbHTOCs【变式4】已知｛色｝为无穷等比数列，公比为q(q > 0)且求lim 石丄与【变式5】首项为1,公比为§3>0)的等比数列前舁项和为则lim 亠…S 心【变式6］在数列｛陽｝中,a 严0,当weN*时，% =S为S”，叫竺严——【变式7】已知数列｛%｝的各项均为正数，满足：对于所有n e N\有4S n =(a n +\)\ 其中S f ，表示数列｛心｝的前川项和.则lim — =>1【变式2】若三数a^c 成等差，且a 2Xc 2成等比•则lim ITTOC值为.a+ cG] +"■)+ ・・・ + (l n数列｛©｝的前川项和”th a【变式8］已知各项为正数的等比数列｛©｝的首项，公比为x,前“项和为设(1)求/(x)的解析式:(2)作出/(")的图像.… 如“中每一行都构成公比为2的等比数列，第j列各【变式9】矩阵3勺2 。
无穷等比数列各项的和
7。
7 无穷等比数列各项的和课表解读1.理解无穷等比数列各项的和的含义，掌握无穷等比数列各项的和的公式，会求无穷等比数列各项的和。
2.会利用求无穷等比数列各项的和的方法把循环小数化为分数. 3。
会用无穷等比数列各项和解决相关问题。
目标分解1. 无穷等比数列的各项和的定义：我们把1||<q 的无穷等比数列的前n 项的和n S ，当∞→n 时的极限叫做无穷等比数列的各项和,并用符号S 表示，记作)1|(|11<-==∞→q qa S lin S n n 2。
无穷递缩等比数列的定义：把1||<q 的无穷等比数列成为无穷递缩等比数列。
解释“无穷递减缩等比数列”：(1）数列}{n a 本身是等比数列; （2)当1||<q 时，数列|}{|n a 单调递减,故称“递缩”； （3）当∞→n 时，数列为无穷数列。
强调：(1）只有当无穷等比数列的公比q 满足1||0<<q 时，其前n 项和的极限才存在；（当1=q 时，1lim lim na S n n n ∞→∞→=，极限不存在；当1-=q 时，nn q ∞→lim 不存在；当1||>q 时,nn q ∞→lim 不存在)(2)无穷等比数列各项的“和”已经不同于初等数学中的有限项的“和"，它已经不是代数和，实质上是一个无穷数列}{n S 的极限！(3）应用:化循环小数为分数.问题分析一、无穷等比数列各项和例1. 计算1131)1(9131121814121lim --∞→-+++-++++n n n n分析：n n 21814121lim++++∞→ 是无穷等比数列前n 项和的极限,即等于n 21814121++++ +…，可以利用无穷等比数列各项和的公式qa S -=11来计算，同理，分母也可以作类似计算，由于分子、分母都有极限，因此可以利用极限运算法则。
解：1131)1(9131121814121lim --∞→-+++-++++n n n n=]31)1(91311[lim )21814121(lim 11--∞→∞→-+++-++++n n n n n=34431)31(1121121==---例2。
高二数学无穷等比数列各项的和
以前使用结扎兔阑尾血管的方法可复制阑尾坏死穿孔并导致腹膜炎，后来改进方法结扎兔阑尾基部而保留血液供应，获得人类急性梗阻性阑尾炎穿孔导致腹膜炎。此模型复制的改进符合模型评估原则中的。A、重复性B、相似性C、可靠性D、可控性 发动机排气系统和散热器系统中循环的冷却液的温度，正常工作时是80度-95度，如果超过105度，应当立即关闭发动机。A.正确B.错误 邓小平同志说，“在改革中，我们始终坚持两条根本原则”,这两条原则是指()A．以社会主义公有制为主体B．共同富裕C．计划调节和市场调节相结合D．以按劳分配为主体 下列关于商业银行个人理财从业人员岗位职责要求，说法正确的是()。A.从业人员应当熟知业务B.从业人员应当确保客户交易的安全C.从业人员应当妥善保存客户资料及其交易信息档案D.从业人员在业务活动中应当遵守有关禁止内幕交易的规定E.从业人员应当严格保守客户隐私，不得向任何机构 有关心理学研究的常用方法，以下说法不正确的是A.实验法B.心理测验法C.观察法D.人体解剖法E.心理生物学研究方法 车辆在道路上行驶时，要求道路及道路两旁提供一定的视距空间以保证行车安全，称为视距限界。限界主要有等种类。A.横向视距限界B.平面弯道视距限界C.纵向视距限界D.交叉口视距限界E.会车视距限界 最常引起无尿的是A.肾前性肾衰B.肾后性肾衰C.急性肾性肾衰D.前列腺增生症E.膀胱肿瘤 自我意识是个体对自己以及自己与周围事物关系的()A．控制B．基本看法C．改造D．认识 失血性休克救治中不重要的是A.密切监测血压B.留置导尿管监测尿量C.监测血生化D.观察皮肤色泽E.观察皮肤温度 皮肤黏膜红色斑点不凸出皮肤，压之不褪色称为A.蜘蛛痣B.紫癜C.斑疹D.小红痣E.玫瑰疹 操作员在银行汇票解付交易提交成功后，必须由业务主管执行交易发送解付信息至签发行。 患者男性，21岁。在某施工工地干活时不慎绊倒，造成右颊部贯通伤，出血较多。此类创伤的治疗原则是()A．止血止痛B．抗感染及全身支持疗法C．清创缝合时避免神经、血管损伤D．减少畸形、恢复面型E．尽量关闭创口，消灭死腔 能测出梅毒螺旋体特异抗体的试验是A.荧光密螺旋体抗体吸收试验B.捕获ELISA法C.梅毒螺旋体制动试验D.非密螺旋体抗原试验E.梅毒螺旋体血凝试验 不属于路面基层(底基层)施工中常见的质量控制关键点的是。A.基层施工所采用设备组合B.切缝时间和养生技术的采用C.拌合设备计量装置校验D.配合比的设计 男性，30岁。外伤致髌骨中份横形骨折，移位2cm。最佳的治疗方法是。A.手法复位石膏外固定B.切开复位张力带钢丝固定C.手法复位经皮穿针内固定D.切开复位钢丝环扎内固定E.髌骨切除术 ___是通过语言刺激来纠正或改变人们某些行为或情绪状态的一种心理调适方法。A.暗示调适法B.交往调适法C.活动调适法D.自我放松 小鼠子宫为双子宫型，呈“Y”形，左右子宫角在膀胱背部汇合成子宫体，。A、其子宫体为一无分隔的完整腔体，后逐渐狭窄形成子宫颈。B、其子宫体为完全分隔的两个相对独立的腔体，后逐渐狭窄形成子宫颈。C、其前部以中隔分成两部，后部中隔消失，逐渐形成子宫颈。D、其前部为无中隔 小型资本股票回报率和大型资本股票回报率相比。A．更低B．一样C．更高D．二者回报率没有关系 类风湿关节炎治疗的目的不包括A.控制关节疼痛B.防止关节破坏C.保护关节功能D.提高患者的生活质量E.彻底治愈疾病 凝结水温度汽轮机排汽的的数值称凝结水的过冷却度。 治疗肝性脑病的措施中，下列不属防治氨中毒的一项是A.低蛋白饮食B.使用左旋多巴C.口服抗生素D.服用乳果糖E.滴注乙酰谷酰胺 确诊肿瘤的主要依据是。A.CTB.MRIC.PET-CTD.超声E.细胞学或组织病理学检查 [单选,配伍题]肩关节周围炎A.肩关节外展受限B.肩部疼痛、无活动受限C.肘关节外侧疼痛D.肘关节活动受限E.Finkelstein试验阳性 APL抗体可分为A.IgG型B.IgA型C.IgM型D.IgD型E.IgE型 低血钾的典型心电图表现为。A.QT间期延长B.QRS波增宽C.u波倒置D.ST段压低，T波低平及u波增高E.T波倒置 30岁男患，劳动中突感剧烈头痛、呕吐，一度意识不清，醛后颈枕部疼痛，右眼睑下垂、瞳孔大，颈强（+），克氏征（+）。最可能的诊断是A.急性脑膜炎B.脑出血合并脑疝C.小脑出血D.脑干出血E.蛛网膜下腔出血 对可疑病人确诊而行暗室激发试验最有意义的是A.急性闭角型青光眼B.慢性闭角型青光眼C.慢性开角型青光眼D.先天性青光眼E.恶性青光眼 关于中药调剂工作制度，以下叙述错误的是A.处方日期超过2日的应请处方医师重新签字方可调配B.审方人员无权修改医师处方C.计价时应使用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔D.调配人员对所调配的饮片质量负有监督的责任E.一张处方不宜两人共同调配 民事权利主体 下列何者非汽车底盘之结构？A.车身与车架B.制动系C.转向系D.润滑系 诊断包虫病，哪一项是错误的A.问病史B.超声波检查C.X线透视、摄片D.病变组织穿刺E.免疫学检查 减轻烦恼困扰的一种心理调适方法。A.暗示调适法B.交往调适法C.活动调适法D.自我放松 胃插管术适应证 下列矿业工程项目中，不属于单位工程的是。A.立井井筒工程B.斜井井筒工程C.井架安装工程D.井筒防治水工程 某药口服后，吸收迅速，但血药浓度低，较确切的表述是A.吸收少B.被消化液破坏多C.生物利用度低D.分布广E.排泄快 下列哪项不是HIV主要传播途径A.异性不洁性行为B.同性性行为C.共餐共宿D.静脉内吸毒E.母婴传播 患者腹痛绵绵，时作时止，喜热恶冷，痛时喜按，饿时更甚，大便溏薄，舌淡苔白，脉沉细。其治疗方剂最佳用A.大建中汤B.小建中汤C.良附丸D.附子理中丸E.暖肝煎 住院病历书写质量评估标准中有项单项否决。A.30B.31C.32D.33E.34 根据《水污染防治法》关于防止地表水污染的具体规定，下列说法错误的是()。A.在生活饮用水水源地的水体保护区内，不得新建排污口B.禁止向水体排放油类、酸液、碱液或者剧毒废液C.向水体排放含热废水，应当采取措施，保证水体的水温符合水环境质量标准D.禁止排放含病原体的污水 上清肺润燥，中清胃生津，下滋阴降火的药物是A.知母B.芦根C.石膏D.竹叶E.夏枯草
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当 时，无穷等比数列前 项和的极限如下：
∵ （ ）
∴
.
∵ ，∴ .
∴ ．
让学生尝试从上述推导过程中归纳出无穷等比数列的各项和的公式．
强调：只有当无穷等比数列的公比 满足 时，其前n项和的极限才存在．
2、无穷等比数列的各项和的定义
提问：通过刚才的讨论，你能否给无穷等比数列各项和下一个定义？请用数学语言来描述一下．
补充练习：（可以和作业的思考题（2）联系讲解）
在边长为1的正方形ABCD中，取AD、BC中点 、 ，得矩形 ；取 、DC中点 、 ，得一小矩形 ；再取 、 中点 ，得一小矩形 ；如此无限继续下去，求所有这些矩形的面积之和．
所有面积组成首项为 ，公比为 的无穷等比数列，所有这些矩形面积之和为1．事实上，从作图的过程可知，让作图无限下去，这些矩形面积之和正好是边长为1的正方形的面积.
课堂
小结
1.无穷等比数列的各项和的公式：S= ( )；
2．无穷等比数列各项的和，是一个极限值，并且这个极限是可以达到的；
3．无穷等比数列的各项和存在是有条件的，即公比 满足 ；
4．要学会从特殊问题的解决过程中体会一般化问题的解决方法．
作业
1、书面作业： ；
2、思考题：（1）正项等比数列的首项为1，前n项和为 ，求 ．
解：由题意得第1个正方形的边长 ，第n个正方形的边长 ， .
即所有正方形的边长组成的数列为
，
于是所有正方形的周长组成的数列为
，
这是首项为4、公比为 的无穷等比数列，故所有的正方形的周长之和 .
所有正方形的面积组成的数列为 ，
这是首项为 、公项为 的无穷等比数列，
故所有的正方形的面积之和 .
课
堂
练
习
.
我们把 的无穷等比数列的前 项的和 当 时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号 表示.
（ ）.
强调：只有当无穷等比数列的公比 满足 时，其前n项和的极限才存在．
例
题
讲
解
例1化下列循环小数为分数：
（1） ；（2） .
分析：设法将循环小数化成等比数列的前n项和，然后求极限.
解：（1）
等式右边是首项为 ，公比是 的无穷等比数列的各项的和，所以
.
（2）
等式右边是 加上一个首项为 ，公比是 的无穷等比数列的各项的和，所以 .
例2如图，正方形ABCD的边长为1，联结这个正方形各边的中点得到一个小正方形A1B1C1D1；又联结这个小正方形各边的中点得到一个更小正方形A2B2C2D2；如此无限继续下去.求所有这些正方形周长的和与面积的和．
分析：关键是求出第n个正方形的边长与前一个正方形的边长的关系.
（2）早在公元前四世纪我国的公孙龙就有“一尺之捶，日取其半，万事不竭”的提法，（1）请写出此数列并求其各项的和；（2）可把此数列与哪个图形的面积联系起来，使此数列各项的和等于其面积和．
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
无穷等比数列的各项和的公式的推导及其应用
教学难点
正确理解无穷等比数列的各项和的定义.
教学方法
师生互动
教学过程
设计说明
引入
一、复习引入
思考下列问题：
1、 和1哪个数大？为什么？
对于问题1，先让学生进行讨论，然后展示他们的结果.
引导学生回答以下问题：
（1）如果你认为 ，那么 比1小多少？
（2）如果你认为 ，那么你能否找到一个实数a，使得 成立？
换一个角度来看，事实上
而 是首项为 ，公比为 的无穷等比数列，它的前n项和为
于是可以把 看作 当 时的极限，从而
概
念
分
析
1、无穷等比数列的各项和的公式的推导
提问：在问题1的讨论中，我们将 看成首项为 、公比为 的无穷等比数列的前n项和的极限.请同学们思考，是否无穷等比数列的前n项和的极限都存在？如果它的极限存在，那么极限等于什么？
7.8（1）无穷等比数列的各项和（1）
教学目标
1．理解无穷等比数列的各项和的定义；
2．掌握无穷等比数列的各项和的公式，会应用公式求无穷等比数列的各项和；
3．理解无限个数的和与有限个数的和在意义上的区别；
4．通过在利用无穷等比数列的各项和的公式解决一些简单的实际问题过程中，形成和提高数学的应用意识.
教学重点