排序不等式及其应用

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第44讲排序不等式

第四讲排序不等式与琴生不等式本节主要内容有排序不等式、琴生不等式、幂平均不等式、切比雪夫不等式及应用．排序不等式（又称排序定理）：给定两组实数a 1，a 2，……，a n ；b 1，b 2，……，b n ．如果a 1≤a 2≤……≤a n ；b 1≤b 2≤……≤b n ．那么a 1b n ＋a 2b n －1＋……＋a n b 1（反序和）≤a 11i b ＋a 22i b ＋……＋a n n i b （乱序和）≤a 1b 1＋a 2b 2＋……＋a n b n （同序和），其中i 1，i 2，……，i n 是1，2，……，n 的一个排列．该不等式所表达的意义是和式∑=nj i j jba 1在同序和反序时分别取得最大值和最小值．切比雪夫不等式：设有两个有序数组a 1≤a 2≤……≤a n ；b 1≤b 2≤……≤b n ．则1n(a 1b n＋a 2b n －1＋……＋a n b 1)≤a 1＋a 2＋……＋a n n ·b 1＋b 2＋……＋b n n ≤1n(a 1b 1＋a 2b 2＋……＋a nb n )，其中等号仅当a 1＝a 2＝……＝a n 或b 1＝b 2＝……＝b n 时取得．琴生不等式又称凸函数不等式，它建立在凸函数的基础上．定义设连续函数f (x )的定义域是[a ，b ](开区间(a ，b )或(－∞，＋∞)上均可)，如果对于区间[a ，b ]内的任意两点x 1，x 2有f (x 1＋x 22 )≤12 [f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )为[a ，b ]上的下凸函数．如图(１)定理一．若f (x )是下凸函数，则对其定义域中的任意几个点x 1，x 2，……，x n ，恒有f (x 1＋x 2＋……＋x n n )≤1n[f (x 1)＋f (x 2)＋……＋f (x n )]．定义设连续函数f (x )的定义域是[a ，b ](开区间(a ，b )或(－∞，＋∞)上均可)，如果对于区间[a ，b ]内的任意两点x 1，x 2有f (x 1＋x 22 )≥12 [f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )为[a ，b ]上的下凸函数．如图(2)x 1x 2M (1)P Q x 1x 2M P Q定理二：若)(x f 是上凸函数，则对其定义域中的任意n 个点n x x x ,...,,21恒有)](...)()([1)...(2121n n x f x f x f n n x x x f +++≥+++，容易验证x x x f 21log ,tan )(=分别是),0(),2,0(+∞π上的下凸函数。

2020高中数学第2章柯西不等式与排序不等式及其应用 2

2.4 最大值与最小值问题,优化的数学模型学习目标：1.理解最值概念,并能应用柯西不等式、平均值不等式求函数的最值.2。

能利用不等式解决有关的实际问题．教材整理最值问题,优化的数学模型 1．最值设D 为f (x ）的定义域，如果存在x 0∈D ，使得f （x )≤f （x 0)(f （x ）≥f （x 0))，x ∈D ,则称f (x 0)为f (x )在D 上的最大(小）值,x 0称为f (x )在D 上的最大（小）值点．寻求函数的最大(小）值及最大（小）值问题统称为最值问题,它属于更一般的问题——极值问题的一个特别的情况． 2．分离常数法分离常数法就是在分子中凑出与分母相同的项，然后约分．这在求含有分式的最值问题时经常用到．这种类型的最值问题也可以用去分母的方法转化成关于x 的二次方程，然后利用判别式求最值．用平均值不等式来解此类问题时，特别要注意等号成立的条件．1．已知0＜x ＜1，则x (1－x ）取最大值时x 的值为( ) A.13B.12C 。

错误!D.错误!［解析］ ∵0＜x ＜1,∴x （1－x )≤错误!错误!＝错误!, 当且仅当x ＝12时取等号．[答案］ B2．已知t ＞0，则函数y ＝错误!的最小值为________． [解析] ∵t ＞0，∴y ＝错误! ＝t ＋错误!－4≥2－4＝－2。

[答案］－2利用柯西不等式求最值【例1】设x ≥0，y ≥0，z ≥0，a ，b ，c ，l ，m ,n 是给定的正数，并且ax ＋by ＋cz ＝δ为常数,求ω＝错误!＋错误!＋错误!的最小值．[精彩点拨］题设中的ω与δ的形式符合柯西不等式的形式，可以借助柯西不等式求式子的最值．［自主解答］由柯西不等式得ω·δ＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!·[（错误!)2＋(错误!）2＋(错误!)2］≥(错误!＋错误!＋错误!）2，所以ω≥错误!。

由柯西不等式成立的条件得x ＝k 错误!,y ＝k 错误!，z ＝k 错误!.其中，k＝错误!.它们使得ax＋by＋cz＝δ，且ω＝错误!,所以ω的最小值为错误!.利用柯西不等式求最值时,必须验证等号成立的条件是否满足．1．设x，y，z∈R，且错误!＋错误!＋错误!＝1.求x＋y＋z的最大值和最小值．[解] 根据柯西不等式，知[42＋(错误!)2＋22]·错误!≥错误!错误!，当且仅当错误!＝错误!＝错误!，即x＝错误!，y＝－1,z＝错误!或x＝－错误!，y ＝－3，z＝错误!时等号成立．∴25×1≥（x＋y＋z－2)2。

高中数学第2章柯西不等式与排序不等式及其应用章末复习课讲义新人教B版选修4_5

第2章柯西不等式与排序不等式及其应用[自我校对]①向量 ②代数可证明一些简单不等式．【例1】已知a ，b ，c 是实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≤4 3. [精彩点拨] 设m ＝(13a ＋1，13b ＋1，13c ＋1)，n ＝(1,1,1)，利用柯西不等式的向量形式证明，或把式子左边补上系数1，直接利用柯西不等式求解．[规范解答] 法一：因为a ，b ，c 是实数，且a ＋b ＋c ＝1，令m ＝(13a ＋1，13b ＋1，13c ＋1)，n ＝(1,1,1)．则|m ·n |2＝(13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1)2， |m |2·|n |2＝3[(13a ＋1)＋(13b ＋1)＋(13c ＋1)] ＝3[13(a ＋b ＋c )＋3]＝48. ∵|m ·n |2≤|m |2·|n |2，∴(13a ＋1)＋13b ＋1＋13c ＋1)2≤48， ∴13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≤4 3.法二：由柯西不等式得(13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1)2≤(12＋12＋12)[(13a ＋1)＋(13b ＋1)＋(13c ＋1)]＝3[13(a ＋b ＋c )＋3]＝48，∴13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≤4 3.1．设正数a ，b ，c 满足abc ＝a ＋b ＋c ，求证：ab ＋4bc ＋9ac ≥36，并给出等号成立的条件．[证明] 由abc ＝a ＋b ＋c ，得1ab ＋1bc ＋1ca＝1.由柯西不等式，得(ab ＋4bc ＋9ac )⎝⎛⎭⎪⎫1ab ＋1bc ＋1ca ≥(1＋2＋3)2，所以ab ＋4bc ＋9ac ≥36，当且仅当a ＝2，b ＝3，c ＝1时，等号成立.应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组．【例2】已知a ，b ，c 为正数，求证：a ＋b ＋c ≤a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b.[精彩点拨] 不妨设a ≥b ≥c ＞0，则a 2≥b 2≥c 2，1c ≥1b ≥1a，根据不等式的特点，利用排序不等式证明．[规范解答] 由于不等式关于a ，b ，c 对称，可设a ≥b ≥c >0.于是a 2≥b 2≥c 2，1c ≥1b ≥1a.由排序不等式，得反序和≤乱序和，即a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ≤a 2·1b ＋b 2·1c ＋c 2·1a，及a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ≤a 2·1c ＋b 2·1a ＋c 2·1b.以上两个同向不等式相加再除以2，即得原不等式．2．在△ABC 中，h a ，h b ，h c 为边长a ，b ，c 的高，求证：a sin A ＋b sin B ＋c sin C ≥h a ＋h b ＋h c . [证明] 不妨设a ＞b ＞c ，则对应的角A ＞B ＞C ，A ，B ，C ∈(0，π)，∴sin A ＞sin B ＞sin C . 由排序原理得a sin A ＋b sin B ＋c sin C ≥a sin B ＋b sin C ＋c sin A .在△ABC 中，a sin B ＝h c ，b sin C ＝h a ，c sin A ＝h b ， ∴a sin A ＋b sin B ＋c sin C ≥h a ＋h b ＋h c .们通过不等式求最值提供了新的有力工具，但一定要注意取等号的条件能否满足．【例3】已知实数x ，y ，z 满足x 2＋4y 2＋9z 2＝a (a >0)，且x ＋y ＋z 的最大值是7，求a 的值．[精彩点拨] 由x 2＋4y 2＋9z 2＝x 2＋(2y )2＋(3z )2，x ＋y ＋z ＝x ＋12·2y ＋13·3z ，联想到柯西不等式求解．[规范解答] 由柯西不等式： [x 2＋(2y )2＋(3z )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12×2y ＋13×3z 2.因为x 2＋4y 2＋9z 2＝a (a >0)，所以4936a ≥(x ＋y ＋z )2，即－7a 6≤x ＋y ＋z ≤7a 6.因为x ＋y ＋z 的最大值是7，所以7a 6＝7，得a ＝36.当x ＝367，y ＝97，z ＝47时，x ＋y ＋z 取最大值，所以a ＝36.3．求实数x ，y 的值，使得(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2达到最小值． [解] 由柯西不等式，得(12＋22＋12)×[(y －1)2＋(3－x －y )2＋(2x ＋y －6)2] ≥[1×(y －1)＋2×(3－x －y )＋1×(2x ＋y －6)]2＝1，即(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2≥16，当且仅当y －11＝3－x －y 2＝2x ＋y －61，即x ＝52，y ＝56时，上式取等号．故x ＝52，y ＝56时，(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2达到最小值．【例4】已知正实数x 1，x 2，…，x n 满足x 1＋x 2＋…＋x n ＝P ，P 为定值，求F ＝x 21x 2＋x 22x 3＋…＋x 2n －1x n ＋x 2n x 1的最小值． [精彩点拨] 不妨设0＜x 1≤x 2≤…≤x n ，利用排序不等式求解． [规范解答] 不妨设0<x 1≤x 2≤…≤x n ，则1x 1≥1x 2≥…≥1x n>0，且0<x 21≤x 22≤…≤x 2n .∵1x 2，1x 3，…，1x n ，1x 1为序列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x i (i ＝1,2,3，…，n )的一个排列，根据排序不等式，得F＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n－1x n＋x2nx1≥x21·1x1＋x22·1x2＋…＋x2n·1x n＝x1＋x2＋…＋x n＝P(定值)，当且仅当x1＝x2＝…＝x n时等号成立，∴F＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n－1x n＋x2nx1的最小值为P.4．设x1，x2，…，x n取不同的正整数，则m＝x112＋x222＋…＋x nn2的最小值是( ) A．1B．2C．1＋12＋13＋…＋1nD．1＋122＋132＋…＋1n2[解析]设a1，a2，…，a n是x1，x2，…，x n的一个排列，且满足a1<a2<…<a n，故a1≥1，a2≥2，…，a n≥n.又因为1>122>132>…>1n2，所以x11＋x222＋x332＋…＋x nn2≥a1＋a222＋a332＋…＋a nn2≥1×1＋2×122＋3×132＋…＋n×1n2＝1＋12＋13＋…＋1n.[答案] C在利用平均值不等式求函数最值时．一定要满足下列三个条件：(1)各项均为正数．(2)“和”或“积”为定值．(3)等号一定能取到，这三个条件缺一不可．2．解决实际问题由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限制，在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形．对于一些分式结构的函数，当分子中变量的次数不小于分母中变量的次数时，通常采用分离变量(或常数)的方法，拼凑出和的形式，若积为定值则可用平均值不等式求解．【例5】某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．[精彩点拨] (1)设每件定价为t 元，表示总收入，根据题意列不等式求解．(2)利用销售收入≥原收入＋总投入，列出不等式，由题意x ＞25，此时不等式求解．[规范解答] (1)设每件定价为t 元，依题意，有⎝⎛⎭⎪⎫8－t －25t ×0.2t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解．∵150x ＋16x ≥2150x ×16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a ≥10.2. 当该商品明年的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．5．若a ＞b ＞0，则a 2＋1b (a －b )的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [解析] 依题意得a －b ＞0，所以a 2＋1b (a －b )≥a 2＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋(a －b )22＝a 2＋4a2≥2a 2·4a2＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a －b ＞0，a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时取等号，因此a 2＋1b (a －b )的最小值是4，选C.[答案] C思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题．本章常把要证明的不等式通过换元或配凑等整体应用，把命题转化为柯西不等式或排序不等式的形式加以解决．【例6】已知a ，b ，c 为正数，求证：a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b ≥32.[精彩点拨] 将不等式的左边进行变形，再利用柯西不等式证明． [规范解答] 左端变形ab ＋c＋1＋bc ＋a＋1＋ca ＋b＋1＝(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b ，∴只需证此式≥92即可．∵ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b＋3＝⎝⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋b ＋1＝(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b＝12[(b ＋c )＋(c ＋a )＋(a ＋b )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b≥12(1＋1＋1)2＝92， ∴ab ＋c ＋ba ＋c＋ca ＋b ≥92－3＝32.6．已知a ，b ，c 为正数，求证：2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )． [证明] 不妨设0≤a ≤b ≤c ，则a 2≤b 2≤c 2，由排序不等式，得a 2a ＋b 2b ＋c 2c ≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，a 2a ＋b 2b ＋c 2c ≥a 2c ＋b 2a ＋c 2b .以上两式相加，得2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )．1．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] 不妨设a >b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，∴a >0，b >0，则a ，－2，b 成等比数列，a ，b ，－2成等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝(－2)2，a －2＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9.[答案] D2．设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则 m 2＋n 2的最小值为________． [解析] 根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5，m 2＋n 2的最小值为 5.[答案]53．已知x >0，y >0，证明：(1＋x ＋y 2)·(1＋x 2＋y )≥9xy .[证明] 因为x >0，y >0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2>0,1＋x 2＋y ≥33x 2y >0，故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy . 4．若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．[解] (1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.5．已知a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4. (1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．[解] (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ，当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立．又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4. (2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16，即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. 当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立，故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值是87.。

人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式课程设计

人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式课程设计
一、课程目标
1.1 掌握柯西不等式的概念及其意义；
1.2 学会在实际问题中应用柯西不等式；
1.3 掌握排序不等式的概念及应用；
1.4 学会在实际问题中应用排序不等式。

二、教学内容
2.1 柯西不等式的概念与应用；
2.2 排序不等式的概念与应用；
2.3 利用柯西不等式、排序不等式解决实际问题。

三、教学重点与难点
3.1 教学重点：柯西不等式、排序不等式的概念及应用。

3.2 教学难点：如何在实际问题中应用柯西不等式、排序不等式。

四、教学过程设计
教学环节教学内容教学目标与要
求
教师活动与学生活动
1。

2021学年高中数学第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.2排序不等式导学案新人教B版选修4_5

2.2 排序不等式1.了解排序不等式的“探究—猜测—证明—应用〞的研究过程.2.初步认识排序不等式的有关知识及简单应用.自学导引设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n为b1，b2，…，b n的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋a n b n为两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1为两个实数组的反序积之和(简称反序和).称a1c1＋a2c2＋…＋a n c n为两个实数组的乱序积之和(简称乱序和).不等式a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n称为排序原理，又称为排序不等式.等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n，排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和.根底自测a，b，c∈R*，那么a3＋b3＋c3与a2b＋b2c＋c2a的大小关系是( )A.a3＋b3＋c3>a2b＋b2c＋c2aB.a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2aC.a3＋b3＋c3<a2b＋b2＋c＋c2aD.a3＋b3＋c3≤a2b＋b2c＋c2a解析不妨设a≥b≥c>0，∴a2≥b2≥c2，故顺序和为a3＋b3＋c3，那么a2b＋b2c＋c2a为乱序和，由排序不等式定理知a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a，应选B.答案 Ba，b，c∈R*，那么a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是( )A.大于零C.小于零解析不妨设a≥b≥c，∴a2≥b2≥c2，ab≥ac≥bc，∴a2－bc≥b2－ac≥c2－ab，由排序不等式定理，a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.答案 Ba 1，a 2，a 3，…，a n 为正数，那么P ＝a 1＋a 2＋…＋a n 与Q ＝a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1的大小关系是________.解析假设a 1≥a 2≥a 3≥…≥a n ，那么1a n ≥1a n －1≥…≥1a ≥1a 1，并且a 21≥a 22≥a 23≥…≥a 2n ，P ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝a 21a 1＋a 22a 2＋a 23a 3＋…＋a 2na n，是反顺和，Q 是乱顺和，由排序不等式定理P ≤Q . 答案 P ≤Q知识点1 利用排序原理证明不等式【例1】 a ，b ，c 为正数，求证：b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc .证明根据所需证明的不等式中a ，b ，c 的“地位〞的对称性，不妨设a ≥b ≥c ，那么1a ≤1b≤1c，bc ≤ca ≤ab .由排序原理：顺序和≥乱序和，得：bc a ＋ca b ＋ab c ≥bc c ＋ca a ＋ab b . 即b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2abc≥a ＋b ＋c ，因为a ，b ，c 为正数，所以abc >0，a ＋b ＋c >0，于是b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc .a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n ，求证：(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )≥1n(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n ).证明令S ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，那么S ≥a 1b 2＋a 2b 3＋…＋a n b 1， S ≥a 1b 3＋a 2b 4＋…＋a n b 2，……S ≥a 1b n ＋a 2b 1＋…＋a n b n －1将上面n 个式子相加，并按列求和可得nS ≥a 1(b 1＋b 2＋…＋b n )＋a 2(b 1＋b 2＋…＋b n )＋…＋a n (b 1＋b 2＋…＋b n )＝(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n ) ∴S ≥1n(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n )即(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )≥1n(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n ).【例2】设a 1，a 2，…，a n 是n 个互不一样的正整数，求证：1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a nn 2.证明 ∵12<22<32<…<n 2， ∴112>122>…>1n2. 设c 1，c 2，…，c n 是a 1，a 2，…，a n 由小到大的一个排列，即c 1<c 2<c 3<…<c n ，根据排序原理中，反序和≤乱序和，得c 1＋c 222＋c 332＋…＋c n n 2≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a nn 2，而c 1，c 2，…，c n 分别大于或等于1，2，…，n ，∴c 1＋c 222＋c 332＋…＋c n n 2≥1＋222＋332＋…＋n n2＝1＋12＋ (1)，∴1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋…＋a nn2.c 1，c 2，…，c n 为正数组a 1，a 2，…，a n 的某一排列，求证：a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n≥n . 证明不妨设0<a 1≤a 2≤…≤a n ，那么1a 1≥1a 2≥…≥1a n.因为1c 1，1c 2，…，1c n 是1a 1，1a 2，…，1a n的一个排序，故由排序原理：反序和≤乱序和得a 1·1a 1＋a 2·1a 2＋…＋a n ·1a n≤a 1·1c 1＋a 2·1c 2＋…＋a n ·1c n.即a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n≥n .知识点2 利用排序原理求最值【例3】设a ，b ，c 为任意正数，求ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b的最小值.解不妨设a ≥b ≥c ，那么a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ， 1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b ，由排序不等式得，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b ≥cb ＋c ＋ac ＋a ＋ba ＋b上述两式相加得： 2⎝⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3即a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b ≥32.当且仅当a ＝b ＝c 时，ab ＋c＋b c ＋a ＋ca ＋b 取最小值32.3.设0<a ≤b ≤c 且abc ＝1. 试求1a 3〔b ＋c 〕＋1b 3〔a ＋c 〕＋1c 3〔a ＋b 〕的最小值.证明令S ＝1a 3〔b ＋c 〕＋1b 3〔a ＋c 〕＋1c 3〔a ＋b 〕，那么S ＝〔abc 〕2a 3〔b ＋c 〕＋〔abc 〕2b 3〔a ＋c 〕＋〔abc 〕2c 3〔a ＋b 〕＝bc a 〔b ＋c 〕·bc ＋ac b 〔a ＋c 〕·ac ＋abc 〔a ＋b 〕·ab由可得：1a 〔b ＋c 〕≥1b 〔a ＋c 〕≥1c 〔a ＋b 〕，ab ≤ac ≤bc∴S ≥bc a 〔b ＋c 〕·ac ＋ac b 〔a ＋c 〕·ab ＋abc 〔a ＋b 〕·bc＝c a 〔b ＋c 〕＋a b 〔a ＋c 〕＋bc 〔a ＋b 〕又S ≥bc a 〔b ＋c 〕·ab ＋ac b 〔a ＋c 〕·bc ＋abc 〔a ＋b 〕·ac＝b a 〔b ＋c 〕＋c b 〔a ＋c 〕＋ac 〔a ＋b 〕两式相加得：2S ≥1a ＋1b ＋1c ≥3·31abc＝3.∴S ≥32，即1a 3〔b ＋c 〕＋1b 3〔a ＋c 〕＋1c 3〔a ＋b 〕的最小值为32.课堂小结排序不等式有着广泛的实际应用，在应用时，一定在认真分析题设条件的根底上观察要证结论的构造特征，从而分析出要用排序原理中反序和≤乱序和，或是乱序和≤顺序和，或者反序和≤顺序和.不少命题的证明可能屡次用到排序原理.切比晓夫不等式也可当作定理直接应用.随堂演练1.利用排序原理证明：假设a 1，a 2，…，a n 为正数，那么a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n.证明不妨设a 1≥a 2≥a 3≥…≥a n >0，那么有1a 1≤1a 2≤…≤1a n由切比晓夫不等式，得：a 1·1a 1＋a 2·1a 2＋…＋a n ·1a nn≤a 1＋a 2＋…＋a n n ·1a 1＋1a 2＋…＋1a nn，即n n ≤a 1＋a 2＋…＋a n n ·1a 1＋1a 2＋…＋1a nn，∴a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n.a ，b ，c 为正数，a ≥b ≥c .求证：a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥1a ＋1b ＋1c.证明 ∵a ≥b ≥c >0， ∴a 3≥b 3≥c 3，∴a 3b 3≥a 3c 3≥b 3c 3， ∴1a 3b3≤1a 3c3≤1b 3c3，又a 5≥b 5≥c 5，由排序原理得：a 5b 3c 3＋b 5a 3c 3＋c 5a 3b 3≥a 5a 3b 3＋b 5b 3c 3＋c 5a 3c 3(顺序和≥乱序和)，即a 5b 3c 3＋b 5a 3c 3＋c 5a 3b 3≥a 2b 3＋b 2c 3＋c 2a3，又∵a 2≥b 2≥c 2，1a 3≤1b 3≤1c3由乱序和≥反序和得：a 2b 3＋b 2c 3＋c 2a 3≥a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3＝1a ＋1b ＋1c.∴a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥1a ＋1b ＋1c.根底达标a ，b ，c ∈R ＋那么a 3＋b 3＋c 3与a 2b ＋b 2c ＋c 2a 的大小关系是( )A.a 3＋b 3＋c 3＞a 2b ＋b 2c ＋c 2a B.a 3＋b 3＋c 3≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a C.a 3＋b 3＋c 3＜a 2b ＋b 2c ＋c 2a D.a 3＋b 3＋c 3≤a 2b ＋b 2c ＋c 2a解析根据排序原理，取两组数a ，b ，c ；a 2，b 2，c 2，不妨设a ≥b ≥c ，所以a 2≥b 2≥c 2.所以a 2·a ＋b 2·b ＋c 2·c ≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a . 答案 Ba 1，a 2，…，a n 都是正数，b 1，b 2，…，b n 是a 1，a 2，…，a n 的任一排列，那么a 1b －11＋a 2＋b －12＋…＋a n b －1n 的最小值是( ) A.1 B.nC.n 2法确定解析设a 1≥a 2≥…≥a n a －1n ≥a －1n －1≥…≥a －11，由排序原理，得a 1b －11＋a 2b －12＋…＋a n b －1n ≥a 1a －11＋a 2a －12＋…＋a n a －1n ＝n . 答案 Ba ，b ，c ∈R ＋，那么a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )的正负情况是( )A.大于零 C.小于零解析设a ≥b ≥c ＞0，所以a 3≥b 3≥c 3，根据排序原理，得a 3·a ＋b 3·b ＋c 3·c ≥a 3b ＋b 3c ＋c 3a . 又知ab ≥ac ≥bc ，a 2≥b 2≥c 2，所以a 3b ＋b 3c ＋c 3a ≥a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab 0 所以a 4＋b 4＋c 4≥a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab . 即a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )≥0. 答案 Ba ，b ，c 都是正数，那么ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b≥________.解析设a ≥b ≥c ＞0，所以1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b. 由排序原理，知a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a b ＋a ， ① ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b ≥cb ＋c ＋ac ＋a ＋ba ＋b，②①＋②，得a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b ≥32.答案 325.证明切比晓夫不等式中的(2).即，假设a 1≤a 2≤…≤a n ，而b 1≥b 2≥…≥b n 或a 1≥a 2≥…≥a n 而b 1≤b 2≤…≤b n ，那么a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n n ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋a 2＋…＋a n n · ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1＋b 2＋…＋b n n .当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n时等号成立.证明不妨设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≥b 2≥…≥b n . 那么由排序原理得：a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤a 1b 2＋a 2b 3＋…＋a n b 1 a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤a 1b 3＋a 2b 4＋…＋a n －1b 1＋a n b 2…a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤a 1b n ＋a 2b 1＋…＋a n b n －1.将上述n 个式子相加，得：n (a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )≤(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n )上式两边除以n 2，得： a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b nn≤⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋a 2＋…＋a n n ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1＋b 2＋…＋b n n .等号当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n 时成立.a 1，a 2，…，a n 为实数，证明： a 1＋a 2＋…＋a nn≤a 21＋a 22＋…＋a 2nn.证明不妨设a 1≤a 2≤…≤a n ，由切比晓夫不等式得：a 1·a 1＋a 2·a 2＋…＋a n ·a nn≥⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋a 2＋…＋a n n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋a 2＋…＋a n n ，即a 21＋a 22＋…＋a 2n n ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋a 2＋…＋a n n 2，∴a 1＋a 2＋…＋a nn ≤a 21＋a 22＋…＋a 2nn.综合提高a 1，a 2，…，a n 为正数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .证明不妨设a 1>a 2>…>a n >0，那么有a 21>a 22>…>a 2n 也有1a 1<1a 2<…<1a n，由排序原理：乱序和≥反序和，得：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n a 1≥a 21a 1＋a 22a 2＋…＋a 2na n＝a 1＋a 2＋…＋a n . A 、B 、C 表示△ABC 的三个内角的弧度数，a ，b ，c 表示其对边，求证：aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3.证明方法一：不妨设A >B >C ，那么有a >b >c 由排序原理：顺序和≥乱序和 ∴aA ＋bB ＋cC ≥aB ＋bC ＋cAaA ＋bB ＋cC ≥aC ＋bA ＋cB aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC上述三式相加得3(aA ＋bB ＋cC )≥(A ＋B ＋C )(a ＋b ＋c )＝π(a ＋b ＋c ) ∴aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3.方法二：不妨设A >B >C ，那么有a >b >c ，由切比晓夫不等式aA ＋bB ＋cC 3≥A ＋B ＋C 3·a ＋b ＋c3，即aA ＋bB ＋cC ≥π3(a ＋b ＋c )，∴aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3.a ，b ，c 为正数，利用排序不等式证明a 3＋b 3＋c 3≥3abc .证明不妨设a ≥b ≥c >0，∴a 2≥b 2≥c 2，由排序原理：顺序和≥反序和，得：a 3＋b 3≥a 2b ＋b 2a ，b 3＋c 3≥b 2c ＋c 2b c 3＋a 3≥a 2c ＋c 2a三式相加得2(a 3＋b 3＋c 3)≥a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)＋c (a 2＋b 2). 又a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . 所以2(a 3＋b 3＋c 3)≥6abc ，∴a 3＋b 3＋c 3≥3abc . 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.a ，b ，c 是正实数，求证：a a b b c c ≥(abc )a ＋b ＋c 3.证明不妨设a ≥b ≥c >0，那么lg a ≥lg b ≥lg c . 据排序不等式有：a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥b lg a ＋c lg b ＋a lg c a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥c lg a ＋a lg b ＋b lg c a lg a ＋b lg b ＋c lg c ＝a lg a ＋b lg b ＋c lg c上述三式相加得：3(a lg a ＋b lg b ＋c lg c )≥(a ＋b ＋c )(lg a ＋lg b ＋lg c ) 即lg(a a b b c c)≥a ＋b ＋c3lg(abc )，故a a b b c c≥(abc )a ＋b ＋c3.x i ，y i (i ＝1，2，…，n )是实数，且x 1≥x 2≥…≥x n ，y 1≥y 2≥…≥y n ，而z 1，z 2，…，z n 是y 1，y 2，…，y n 的一个排列.求证：∑ni ＝1 (x i －y i )2≤∑ni ＝1(x i －z i )2. 证明要证∑ni ＝1 (x i －y i )2≤∑ni ＝1(x i －z i )2只需证∑ni ＝1y 2i －2∑n i ＝1x i y i ≤∑ni ＝1z 2i －2∑ni ＝1x i z i . 因为∑ni ＝1y 2i ＝∑ni ＝1z 2i ， ∴只需证∑ni ＝1x i z i ≤∑ni ＝1x i y i . 而上式左边为乱序和，右边为顺序和. 由排序不等式得此不等式成立.故不等式∑ni ＝1 (x i －y i )2≤∑ni ＝1(x i －z i )2成立. a ，b ，c 为正数，且两两不等，求证：2(a 3＋b 3＋c 3)>a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b ).证明不妨设a >b >c >0.那么a 2>b 2>c 2，a ＋b >a ＋c >b ＋c ， ∴a 2(a ＋b )＋b 2(a ＋c )＋c 2(b ＋c ) >a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )，即a 3＋c 3＋a 2b ＋b 2a ＋b 2c ＋c 2b >a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )， 7又∵a 2>b 2>c 2，a >b >c ，∴a 2b ＋b 2a <a 3＋b 3，b 2c ＋c 2b <b 3＋c 3. 即a 2b ＋b 2a ＋b 2c ＋c 2b <a 3＋2b 3＋c 3，所以有2(a 3＋b 3＋c 3)>a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b ).。

三个重要不等式

三个重要不等式目的：掌握三个重要不等式及其应用重点、难点：综合应用三个重要不等式解决竞赛数学中的不等式问题 1、排序不等式[2]设有两组数1212, ,,;,,,n n a a a b b b L L ，满1212 ,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤L L ，则有 1122n n a b a b a b +++L （顺序和）1212n i i n i a b a b a b ≥+++L （乱序和）1211n n n a b a b a b -≥+++L （逆序和）其中12, ,,n i i i L 是1,2,,n L 的一个排列，当且仅当12= n a a a ==L 或12n b b b ===L 时等号成立.证明先证左端设乱序和为S ,要S 最大,我们证明必须n a 配n b ,1n a -配1n b -,L ,1a 配1b , 设n a 配n i b ()n i n <,n b 配某个()k a k n <, 则有 n n n i n k k i n n a b b a a b a b +≤+这是因为 ()()0n n n n n k i k n n i n k n i a b a b a b a b a a b b +--=--≥ 同理可证1n a -必配1n b -，2n a -必配2n b -，L ，1a 必配1b ，所以 12121122n i i n i n n a b a b a b a b a b a b +++≤+++L L 再证右端又1211 ,n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-L L ，由以上证明结论(乱≤ 同) 可得，()()()()()()12121112nn n n i i n i a b a b a b a b a b a b --+-++-≥-+-++-L L于是有12121112n n n n i i n i a b a b a b a b a b a b -+++≤+++L L当且仅当12= n a a a ==L 或 12n b b b ===L 时，等号成立. 证毕. 2．均值不等式设12,n a a a L 是正实数，则n n n a a a n a a a ............2121≥+++na a a n1 (112)1+++≥即n n n H G A ≥≥,等号当且仅当n a a a ===......21时成立.证明： ),......,2,1(n i R a i =∈+Θ∴设)1(log )(>=a x f xa，则)(x f 为),0(+∞内的上凸函数由琴生不等式，得：na a a a a a nnn n n a a a aa a a a a a nn ............log)log ......log (log 12121 (2121)++≤≤+++++即所以n n G A ≥对于na a a 1,......,1,121这n 个正数，应用n n G A ≥，得0 (1)1 (112121)>≥+++n nn a a a n a a a 所以nn n a a a na a a 1......11......2121+++≥所以n n H G ≥成立 ,故n n n H G A ≥≥ 证毕. 此外，均值不等式还可用排序不等式、数学归纳法等其它方法证明，3、柯西不等式设,(1,2....)i i a b R i n ∈=则222111()()()nnni i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑当且仅当(1,2....)i i b ka i n ==时等号成立证法一（数学归纳法）(1)当(1,2...)(1,2....)i i a i n b i n ==或全为零时，命题显然成立. (2)当数组1212,,...;,...n n a a a b b b 不全为零时，采用数学归纳法.1）当n=1时22221111a b a b =不等式成立 2）设当1n k =-时，不等式成立.令11122123111,,k k k i i i i i i i S a S b S a b ---======∑∑∑则有2123S S S ≥3）那么当n=k 时112222221111()()kkk k i i k i k i i i i a b a a b b --====⋅=++∑∑∑∑2212()()kk S a S b =++ =22221212k kk k S S S b S a a b +++223()k k S a b ≥+22332()k k k k S a b S a b ≥++=23()k k S a b + =121()k i i k k i a b a b -=+∑=21()k i i i a b =∑当且仅当(1,2....)i i b ka i n ==时等号成立综上述，对222111,,.1,2...()nnni i i i i i i i i n N a b R i n a b a b ===∀∈∀∈=≥∑∑∑均有证法二，作关于x 的二次函数222222212112212()(...)2(...)(...)n n n n f x a a a x a b a b a b x b b b =+++++++++++若22212...0n a a a +++=则12..0n a a a ====不等式显然成立.若22212...0n a a a +++≠ 则2221122()()()...()0n n f x a x b a x b a x b =++++++≥又22212...0n a a a +++>Q 222111[2()]4()()0nnni i i i i i i a b a b ===∴-≤∑∑∑222111()n n ni i i i i i i a b a b ===∴≥∑∑∑当且仅当1212...n na a ab b b ===时等号才成立例1、（1935年匈牙利奥林匹克）假设12,,,n b b b L 是正数12, ,,n a a a L 的某个排列，证明：1212n na a a nb b b +++≥L 证明 1 不妨设12n b b b ≤≤≤L ，则12111nb b b ≥≥≥L 由排序不等式(乱序≥逆序)得，12121212111111n n n na a ab b b b b b b b b n⋅+⋅++⋅≥⋅+⋅++⋅=L L 例[5]3 设12,,,n a a a L 是个n 互不相同的自然数，证明：即1212n na a a nb b b +++≥L 例23（第20届IMO 试题）设12,,,n a a a L 是n 个互不相等的自然数，证明：32122211112323n a a a a n n ++++≤++++L L 证法一（用排序不等式）设12,,,n b b b L 是12,,,n a a a L 的一个排序，且12n b b b <<<L又221112n <<<L 由逆序和<乱序和得，22112222122n n b a b a b a n n ⋅+++<+++L L 又因为 121,2,,n b b b n ≥≥≥L 所以 21221111232n b b b n n ++++≤+++L L 当k k a b k ==，()1,2,k n =L 时，等号成立.即 111123n++++L ≤21222n a a a n +++L 证法二（用柯西不等式）依题设12,,,n a a a L 是n 个互不相等的自然数，不妨设1212,,n a a a n ≥≥≥L ，，则1111nn k k kk a ==≥∑∑ 由柯西不等式有,22111nn k k k ==⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎝⎭⎝∑2111n n k k k k a k a ==⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ ∴2211111nn n k k k k ka k a k ===⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 111111nnk nk k kkk a ====⋅∑∑∑∴2111nn k k k a k k==≥∑∑ 即 32122211112323n a a a a n n++++≤++++L L例12设,,a b c 为任意正数，求出a b c b c c a a b+++++的最小值.解不妨设a b c ≥≥，则a b a c b c +≥+≥+,111b c c a a b≥≥+++, 由排序不等式得，a b c b c a b c c a a b b c c a a ba b c c a b b c c a a b b c c a a b++≥++++++++++≥++++++++上两式相加则，23ab c b c c a a b ⎛⎫++≥ ⎪+++⎝⎭即 32a b c b c c a a b ++≥+++ 且当仅当a b c ==时，a b c b c c a a b +++++取最小值32. 例1[10],x y R +∈,1x y +=,求证: 11(1)(1)9x y++≥.证明: 由1x y +=,且,x y R +∈,得 11(1)(1)(1)(1)x y x y x y x y++++=++ ，(2)(2)y xx y =++52()y xx y=++又y x x y +≥ 故 11(1)(1)5229x y++≥+⋅=例2[1]若0,x > 0y >, 1x y +=,求证:221125()()2x y xy +++≥. 证明由 222x y xy +≥，得 2222()()x y x y +≥+，即 222()2x y x y ++≥，于是 22211()11()()2x y x yx y xy++++++≥21(1)2xy+=因为1x y =+≥所以14xy≥，故 2221(1)11()()2xy x y xy++++≥252≥.此题用柯西不等式也可求解例[1]1 设0,1,2,,i x i n >=L ，求证：2222112231n n x x x x x x x x x +++≥+++L L .证明构造均值不等式的模型由均值不等式，得212122x x x x +≥ ， 223232x x x x +≥ ，L ，2112n n n n x x x x --+≥ ， 2112n n x x x x +≥ . 将上述n 个不等式相加得222211212231()()2()n n n x x x x x x x x x x x x +++++++≥+++L L L ，所以 2222112231n n x x x x x x x x x +++≥+++L L .说明：该题的证明方法很多，也可以构造柯西不等式的模型. ：例[1]2 已知12,,,n a a a L 都是正数，试证：21212111()()n na a a n a a a ++++++≥L L . 证明构造柯西不等式的模型构造两个数组LL 利用柯西不等式，有222111([][]nn n i i i ===≤∑∑，即 21111(1)()()nnni i i i ia a ===≤∑∑∑，所以 21212111()()n na a a n a a a ++++++≥L L . 说明：该题也可以构造均值不等式的模型来求证. 例1[3]（1984年全国高中联赛题）设 12,,,n a a a L为正整数，求证：2221212231n n a a a a a a a a a +++≥+++L L证明由柯西不等式得，()22212231231na a a a a a a a a ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭L L()2212n a a a ⎛≥=+++L L故2221212231n n a a a a a a a a a +++≥+++L L 例5]5[设12,...n a a a 都是正数，且12...1n a a a +++=求证222221212111(1)()()...()n n n a a a a a a n+++++++≥证明由柯西不等式有221111[1()]()nn k k k k k ka n a a a ==⋅+≤+∑∑又2211111[1()]()n n n k k k k k k ka a a a ===⋅+=+∑∑∑211221(1)(1)nnk k k ka a n ===+∑∑≥+ 222111()(1)nk k k a n a n=∴+≥+∑ 例6]5[设12,...(1)n a a a n >均为实数。

2020高中数学第2章柯西不等式与排序不等式及其应用 2

2.1。

1 平面上的柯西不等式的代数和向量形式2。

1。

2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明学习目标：1。

认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义。

2.通过运用柯西不等式解决一些简单问题．教材整理1 柯西不等式1．柯西不等式的代数形式：设a1，a2，b1，b2均为实数，则（a错误!＋a错误!）（b错误!＋b错误!）≥（a1b1＋a2b2)2。

2．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则｜α|｜β|≥｜α·β｜。

3．柯西不等式的三角不等式:|α｜＋｜β|≥｜α＋β|。

4．柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，a n，b1,b2，…，b n为实数，则(a错误!＋a错误!＋…＋a错误!)错误!(b错误!＋b错误!＋…＋b错误!)错误!≥|a1b1＋a2b2＋…＋a n b n|，其中等号成立⇔错误!＝错误!＝…＝错误!（当某b j＝0时，认为a j＝0，j＝1，2，…，n)．教材整理2 参数配方法利用二次三项式的判别式证明柯西不等式的方法称为参数配方法．已知不等式（x＋y）错误!≥9对任意的正实数x,y恒成立，则正实数a 的最小值为（）A．2 B．4C．6 D．8[解析］由柯西不等式可求出(x＋y)错误!≥错误!错误!＝（1＋错误!)2，当x＝1，y＝错误!时，(x＋y）错误!的最小值是(错误!＋1）2，故只需(1＋错误!）2≥9，即a≥4即可．［答案］B利用柯西不等式证明不等式a b x y a b ax1bx2（bx1＋ax2)≥x1x2。

［精彩点拨］如果对不等式左端直接用柯西不等式，得不到所要证明的结论．若把第二个小括号内的两项对调一下，再应用柯西不等式即可得证．[自主解答] ∵a,b，x，y大于0，∴（ax1＋bx2)(bx1＋ax2)＝（ax1＋bx2)(ax2＋bx1）≥（a错误!＋b错误!）2＝（a＋b)2x1x2.又因为a＋b＝1，所以（a＋b)2x1x2＝x1x2，其中等号当且仅当x1＝x2时成立．所以(ax1＋bx2)（bx1＋ax2）≥x1x2.1．利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形．2．变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件,综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．1．设x1，x2,…,x n为正数，求证:（x1＋x2＋…＋x n)错误!≥n2。

排序不等式的妙用——对问题2000的一点思考

排序不等式的妙用——对问题2000的一点思考
作者：戴天竹
来源：《新课程·上旬》 2012年第20期
问题1：数学通报（2011年4月刊）中2000号原题
设a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求证：
数学通报在2011年5月刊上登载了该题的解法.在考虑本题时发现利用排序不等式也可以解决本问题.
首先，将排序不等式叙述如下：
设有两组数a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn满足a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn
则有a1b1+a2b2+…+anbn（顺序和）
≥a1bi1+a2bi2+…+anbin （乱序和）
≥a1bn+a2bn-1+…+anb1（逆序和）
其中i1，i2，…，in是1，2…，n的一个排列，当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时取“=”.
再结合①，②式，可得
即证.
问题2：对任意x，y∈R，且x+y=2，求x2x+y2y的最小值.
解：由x，y的对称性，不妨设x≤y，则2x≤2y，
再根据排序不等式得
x2x+y2y≥y2x+x2y，当且仅当x=y时取“=”，
故 2（x2x+y2y）≥x2x+y2y+y2x+x2y，当且仅当x=y时取“=”．又因为
x2x+y2y+y2x+x2y=（x+y）（2x+2y），
所以x2x+y2y，当且仅当x=y时取“=”．
于是，x2x+y2y的最小值为4．
推广：已知数列{an}前n项和Sn=n，求的最小值．
解：不妨设a1≤a2≤…≤an，则2a1≤2a2≤…≤2an，根据排序不等式得
（作者单位江苏省苏州实验中学）。

第三讲__排序不等式

全国高中数学联赛金牌教练员讲座兰州一中数学组第六讲不等式的应用、参数取值范围问题知识、方法、技能I ．排序不等式（又称排序原理）设有两个有序数组n a a a ≤≤≤ 21及.21n b b b ≤≤≤ 则n n b a b a b a +++ 2211（同序和）jn n j j b a b a b a +++≥ 2211（乱序和）1121b a b a b a n n n +++≥- （逆序和）其中n j j j ,,,21 是1，2，…，n 的任一排列.当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时等号（对任一排列n j j j ,,,21 ）成立.证明：不妨设在乱序和S 中n j n ≠时（若n j n =，则考虑1-n j ），且在和S 中含有项),(n k b a n k ≠则.n n jn n j n n k b a b a b a b a n +≤+ ①事实上，左－右=,0))((≥--n j n k n b b a a由此可知，当n j n ≠时，调换n k j n j k j b a b a b a S ++++= 11（n j n ≠）中n b 与nj 位置（其余不动），所得新和.1S S ≥调整好n a 及n b 后，接着再仿上调整1-n a 与1-n b ，又得.12S S ≥如此至多经1-n 次调整得顺序和n n b a b a b a +++ 2211jn n j j b a b a b a +++≥ 2211 ②这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然，当n a a a === 21或n b b b === 21时②中等号成立.反之，若它们不全相等，则必存在n j 及k ，使n b .,k n j a a b n >>这时①中不等号成立.因而对这个排列②中不等号成立. 类似地可证“乱序和不小于逆序和”. II ．应用排序不等式可证明“平均不等式”：设有n 个正数n a a a ,,,21 的算术平均数和几何平均数分别是n n n nn a a a G na a a A 2121=+++=和此外，还有调和平均数（在光学及电路分析中要用到nn a a a nH 11121+++=，和平方平均（在统计学及误差分析中用到）na a a Q nn 22221+++=这四个平均值有以下关系n n n n Q A G H ≤≤≤. ○* 其中等号成立的充分必要条件都是n a a a === 21.下面首先证明算术平均数一几何平均数不等式：.n n G A ≥记1,,,2121211====n n n Ga a a x G aa x G a x ；.1,,1,12211nn x y x y x y ===由于数组n x x x ,,,21 和数组n y y y ,,,21 中对应的数互为倒数，由排序不等式得n n y x y x y x +++ 1211（逆序和）≤ 1121,-+++n n n y x y x y x ，即 .21nn n n G a G a G a n +++≤从而.n n G A ≥等号当且仅当n x x x === 21或n y y y === 21时成立，而这两者都可得到n a a a === 21.下面证明.n n H G ≥对n 个正数na a a 1,,1,121 应用,n n A G ≤得.1111112121n nn a a a n a a a ⋅⋅⋅≥+++即.n n H G ≥（符号成立的条件是显然的）.最后证明,n n Q A ≤它等价于.0)()(22122221≥+++-+++n n a a a a a a n而上式左边= +-++-+-++-+-2223221221221)()()()()(n n a a a a a a a a a a0)(21≥-+-n n a a ，于是不等式及等号成立的条件都是显然的了.从上述证明可见，nn Q A ≤对一切R a a a n ∈,,,21 成立.III ．应用算术平均数——几何平均数不等式，可用来证明下述重要不等式. 柯西（Cavchy ）不等式：设1a 、2a 、3a ，…，n a 是任意实数，则).)(()(222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++等号当且仅当k ka b i i (=为常数，),,2,1n i =时成立.证明：不妨设),,2,1(n i a i =不全为0，i b 也不全为0（因为i a 或i b 全为0时，不等式显然成立）. 记A=22221n a a a +++ ，B=22221n b b b +++ .且令),,,2,1(,n i Bby A a x i i i i ===则.1,12222122221=+++=+++n n y y y x x x 于是原不等式成为.12211≤+++n n y x y x y x即≤+++)(22211n n y x y x y x 2222122221n n y y y x x x +++++++ .它等价于.0)()()(2222211≥-++-+-n n y x y x y x其中等号成立的充要条件是).,,2,1(n i y x i i ==从而原不等式成立，且等号成立的充要条件是).(BA k ka b i i == IV ．利用排序不等式还可证明下述重要不等式.切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21 ，则.21212211nb b b n a a a n b a b a b a nn n n +++⋅+++≥+++证明：由题设和排序不等式，有n n b a b a b a +++ 2211=n n b a b a b a +++ 2211，132212211b a b a b a b a b a b a n n n +++≥+++ ，…….11212211-+++≥+++n n n n n b a b a b a b a b a b a将上述n 个不等式叠加后，两边同除以n 2，即得欲证的不等式.赛题精讲I ．排序不等式的应用应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式，请看下述例题.例1：对+∈R c b a ,,，比较a c c b b a c b a 222333++++与的大小.【思路分析】要应用“排序不等式”，必须取两组便于排序的数，这要从两式的结构上去分析.【略解】取两组数.,,;,,222c b a c b a不管c b a ,,的大小顺序如何，都是乱序和都是同序和a c c b b a c b a 222333++++，故 a c c b b a c b a 222333++>++.【评述】找出适当的两组数是解此类题目的关键.例2：+∈R c b a ,,，求证.222222222222abc ca b bc a b a c a c b c b a c b a ++≤+++++≤++ 【思路分析】应先将a 、b 、c 三个不失一般性地规定为.0>≥≥c b a【略解】由于不等式关于a 、b 、c 对称，可设.0>≥≥c b a于是ab c c b a 111,222≥≥≥≥.由排序不等式，得ac c b b a c c b b a a 111)(111222222⋅+⋅+⋅≤⋅+⋅+⋅逆序和（乱序和）. 及.111111222222bc a b c a c c b b a a ⋅+⋅+⋅≤⋅+⋅+⋅ 以上两个同向不等式相加再除以2，即得原式中第一个不等式.再考虑数组abca bc c b a 111,0333≥≥>≥≥及，仿上可证第二个不等式，请读者自己完成. 【评述】应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计.这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组. 例3：在△ABC 中，试证：.23ππ<++++≤c b a cC bB aA【思路分析】可构造△ABC 的边和角的序列，应用排序不等式来证明之.【详解】不妨设c b a ≤≤，于是.C B A ≤≤由排序不等式，得.,,bC aB cA cC bB aA aC cB bA cC bB aA cC bB aA cC bB aA ++≥++++≥++++≥++ 相加，得)())(()(3c b a C B A c b a cC bB aA ++=++++≥++π，得3π≥++++c b a cC bB aA ①又由,0,0,0b c a c b a a c b -+<-+<-+<有).(2)()3()2()2()()()()()()(0cC bB aA c b a C c B b A a C B A c B C A b A C B a b c a B c b a C a c b A ++-++=-+-+-=-++-++-+=-++-++-+<ππππ得.2π<++++c b a cC bB aA ②由①、②得原不等式成立.【评述】此题后半部分应用了不等式的性质来证明. 例4：设n a a a ,,,21 是互不相同的自然数，试证.212112221na a a n n +++≤+++ 【思路分析】应先构造两个由小到大的排序.【略解】将n a a a ,,,21 按由小到大的顺序排成n j j j a a a <<< 21其中n j j j ,,,21 是1，2，…，n 的一个排列，则.,2,121n a a a n j j j ≥≥≥ 于是由排序不等式，得.12112222222121n na a a n a a a n j j j n +++≥+++≥+++例5：设n b b b ,,,21 是正数n a a a ,,,21 的一个排列，求证.2211n b a b a b a nn ≥+++【思路分析】应注意到),,2,1(11n i a a ii ==⋅【略证】不妨设n a a a ≥≥≥ 21，因为n a a a ,,,21 都大于0. 所以有na a a 11121≤≤≤ ，又nn a a a b b b 1,,1,11,,1,12121 是的任意一个排列，于是得到 .11111122112211nn n n b a b a b a a a a a a a n +++⋅≤⋅++⋅+⋅= 【评述】此题比较简单，但颇具启发意义，读者应耐心体会.例6：设正数c b a ,,的乘积1=abc ，试证：.1)11)(11)(11(≤+-+-+-ac c b b a【略解】设xzc z y b y x a ===,,，这里z y x ,,都是正数，则原需证明的不等式化为 y x z x z y z y x xyz y x z x z y z y x -+-+-+≤-+-+-+,,,))()((显然中最多只有一个非负数.若y x z x z y z y x -+-+-+,,中恰有一个非正数，则此时结论显然成立.若y x z x z y z y x -+-+-+,,均为正数，则z y x ,,是某三角形的三边长.容易验证 )].()()([(31))()((222z y x z y x z y x z y x y x z x z y z y x -++-++-+≤-+-+-+故得.))()((xyz y x z x z y z y x ≤-+-+-+【评述】利用上述换元的方法可解决同类的问题.见下题：设正数a 、b 、c 的乘积,1=abc 证明.23)(1)(1)(1222≥+++++b a c a c b c b a证明：设1,1,1,1====xyz zc y b x a 则，且所需证明的不等式可化为23222≥+++++y x z x z y z y x ，现不妨设z y x ≥≥，则yx zx z y z y x +≥+≥+，据排序不等式得y x z x z y z y x +++++222y x zy x z y x z y x z +⋅++⋅++⋅≥ 及y x z x z y z y x +++++222yx zx x z y z z y x y +⋅++⋅++⋅≥ 两式相加并化简可得)(2222yx z x z y z y x +++++.333=≥++≥xyz z y x例7：设实数n n n z z z y y y x x x ,,,,,212121 ≥≥≥≥≥≥是n y y y ,,,21 的一个置换，证明：∑∑==-≤-ni i i ni i iz x y x1212.)()(【略解】显然所需证不等式等价于∑∑==≥ni ii n i ii z x y x 11,这由排序不等式可直接得到.【评述】应用此例的证法可立证下题：设k a 是两两互异的正整数（),2,1 =k ，证明对任意正整数n ，均有∑∑==≥ni ni k kk a 112.1证明：设n b b b ,,,21 是n a a a ,,,21 的一个排列，使n b b b <<< 21，则从条件知对每个k b n k k >≤≤,1，于是由排序不等式可知∑∑∑===≥≥ni n i k ni k kk b k a 11212.1II ．柯西不等式的应用应用柯西不等式，往往能十分简捷地证明某些不等式. 例8：设+∈R x x x n ,,,21 ，求证：.211221322221n n n n x x x x x x x x x x x +++≥++++-【思路分析】注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之.【评述】注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之.【详解】 ∵0,,,21>n x x x ，故由柯西不等式，得))((1221322221132x x x x x x x x x x x x n n n n ++++++++-2111323212)(x x x x x x x x x x x x n nn n ⋅+⋅++⋅+⋅≥-2121)(n n x x x x ++++=- ，∴.211221322221n n n n x x x x x x x x x x x +++≥++++- 【评述】这是一道高中数学联赛题，还可用均值不等式、数学归纳法、比较法及分离系数法和构造函数法等来证之.针对性训练题1．设a 、b 、c +∈R ，利用排序不等式证明：（1）b a b a b a abba≠>(）；（2）b a a c c b cbac b a c b a +++≥222；（3）23≥+++++b a c a c b c b a ；（4）.101010121212c b a abc ca b bc a ++≥++ 2．设a 、b 、c 是三角形三边的长，求证：.3≥-++-++-+cb a cb ac b a c b a3．已知a 、b 、c *N ∈，并且,,,c b a b a c a c b >+>+>+求证：.1)1()1()1(≤-+-+-+cb a cb a b ac a c b 4．设,1,*>∈n N n 求证：.22121-⋅>+++n n nn n n C C C5．若b a b a b a lg 2lg ,62,0,0+=+>>求且的最大值. 6．若122,122++=+b ab a 求的最小值.7．已知11),(),1(13++=>=-x yy x u x y x 求的最小值. 8．y x y x u y x 2),(,1222+==+求的最值.。

排序不等式

排序不等式（排序原理）及应用排序不等式（又称排序原理）：设有两个有序数组n a a a ≤≤≤ 21及.21n b b b ≤≤≤则n n b a b a b a +++ 2211（同序和）jn n j j b a b a b a +++≥ 2211（乱序和） 1121b a b a b a n n n +++≥- （逆序和）其中n j j j ,,,21 是1，2，…，n 的任一排列.当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时等号（对任一排列n j j j ,,,21 ）成立. 证明：不妨设在乱序和S 中n j n ≠时（若n j n =，则考虑1-n j ），且在和S 中含有项 ),(n k b a n k ≠则.n n jn n j n n k b a b a b a b a n +≤+ ① 事实上，左－右=,0))((≥--n j n k n b b a a由此可知，当n j n ≠时，调换n k j n j k j b a b a b a S ++++= 11（n j n ≠）中n b 与n j 位置（其余不动），所得新和.1S S ≥调整好n a 及n b 后，接着再仿上调整1-n a 与1-n b ，又得.12S S ≥如此至多经1-n 次调整得顺序和n n b a b a b a +++ 2211jn n j j b a b a b a +++≥ 2211 ② 这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然，当n a a a === 21或n b b b === 21时②中等号成立.反之，若它们不全相等，则必存在n j 及k ，使n b .,k n j a a b n >>这时①中不等号成立. 因而对这个排列②中不等号成立.类似地可证“乱序和不小于逆序和”.例1：对+∈R c b a ,,，比较a c c b b a c b a 222333++++与的大小.【思路分析】要应用“排序不等式”，必须取两组便于排序的数，这要从两式的结构上去分析.【略解】取两组数.,,;,,222c b a c b a 不管c b a ,,的大小顺序如何，都是乱序和都是同序和a c c b b a c b a 222333++++，故 a c c b b a c b a 222333++>++.【评述】找出适当的两组数是解此类题目的关键.例2：设.222,,,333222222ab c ca b bc a b a c a c b c b a c b a R c b a ++≤+++++≤++∈+求证【思路分析】中间式子中每项均为两个式子的和，将它们拆开，再用排序不等式证明. 【略解】不妨设ab c c b a c b a 111,,222≥≥≥≥≥≥则，则b c a b c a 111222⋅+⋅+⋅（乱序和）cc b b a a 111222⋅+⋅+⋅≥（逆序和），同理b c a b c a 111222⋅+⋅+⋅（乱序和）cc b b a a 111222⋅+⋅+⋅≥（逆序和）两式相加再除以2，即得原式中第一个不等式. 再考虑数组abac bc c b a 111333≥≥≥≥及，仿上可证第二个不等式. 【评述】应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计.这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组.例3：在△ABC 中，试证：.23ππ<++++≤c b a cC bB aA【思路分析】可构造△ABC 的边和角的序列，应用排序不等式来证明之.【详解】不妨设c b a ≤≤，于是.C B A ≤≤由排序不等式，得.,,bC aB cA cC bB aA aC cB bA cC bB aA cC bB aA cC bB aA ++≥++++≥++++≥++ 相加，得)())(()(3c b a C B A c b a cC bB aA ++=++++≥++π，得3π≥++++c b a cC bB aA ①又由,0,0,0b c a c b a a c b -+<-+<-+<有).(2)()3()2()2()()()()()()(0cC bB aA c b a C c B b A a C B A c B C A b A C B a b c a B c b a C a c b A ++-++=-+-+-=-++-++-+=-++-++-+<ππππ 得.2π<++++c b a cC bB aA ② 由①、②得原不等式成立.【评述】此题后半部分应用了不等式的性质来证明.例4：设*21,,,N a a a n ∈ ，且各不相同，求证：.32131211223221n a a a a n n ++++≤++++ 【思路分析】不等式右边各项221i a i a i i ⋅=；可理解为两数之积，尝试用排序不等式. 【略解】设n n a a a b b b ,,,,,,2121 是的重新排列，满足n b b b <<< 21，又.131211222n >>>> 所以223221232213232nb b b b n a a a a n n ++++≥++++ . 由于n b b b ,,21是互不相同的正整数，故.,,2,121n b b b n ≥≥≥ 从而n n b b b b n 121132223221+++≥++++，原式得证. 【评述】排序不等式应用广泛，例如可证我们熟悉的基本不等式，,22a b b a b a ⋅+⋅≥+.3222333abc ab c ac b bc a ca c bc b ab a a c c b b a c b a =⋅+⋅+⋅≥⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅≥++例5：设n b b b ,,,21 是正数n a a a ,,,21 的一个排列，求证.2211n b a b a b a nn ≥+++【思路分析】应注意到),,2,1(11n i a a i i ==⋅【略证】不妨设n a a a ≥≥≥ 21，因为n a a a ,,,21 都大于0. 所以有na a a 11121≤≤≤ ，又n n a a a b b b 1,,1,11,,1,12121 是的任意一个排列，于是得到 .11111122112211nn n n b a b a b a a a a a a a n +++⋅≤⋅++⋅+⋅= 【评述】此题比较简单，但颇具启发意义，读者应耐心体会.例6：设实数n n n z z z y y y x x x ,,,,,212121 ≥≥≥≥≥≥是n y y y ,,,21 的一个置换（置换指的是元素相同但顺序不一定相同），证明：∑∑==-≤-n i i i n i i i z x y x 1212.)()( 【略解】显然所需证不等式等价于∑∑==≥ni ii n i i i z x y x 11,这由排序不等式可直接得到. 【评述】应用此例的证法可立证下题：基本不等式实际上是均值不等式的特例.（一般地，对于n 个正数),,21n a a a 调和平均nn a a a nH 11121+++= 几何平均n n n a a a G 21⋅=算术平均n a a a A n n +++=21 平方平均222221n n a a a Q +++= 这四个平均值有以下关系：n n n n Q A G H ≤≤≤，其中等号当且仅当n a a a === 21时成立.例7：利用排序不等式证明n n A G ≤. 【证明】令),,2,1(,n i G a b ni i ==则121=n b b b ，故可取021>>>>n x x x ，使得111322211,,,,x x b x x b x x b x x b n n n n n ====-- 由排序不等式有：n b b b +++ 21 =13221x x x x x x n +++ （乱序和） n n x x x x x x 1112211⋅++⋅+⋅≥ （逆序和） =n ，.,2121n n n n n n G n a a a n G a G a G a ≥+++≥+++∴ 即【评述】对n a a a 1,,1,121 各数利用算术平均大于等于几何平均即可得，n n A G ≤.。

排序不等式的矩阵证明及其应用

，
从而：￣／一１＋２ｙ３：３．
０） ’ 一ｌ＜１・
本文将拓展３加强为下面的结果：
注意到３（一）＞０，故
一
拓展４已知３。一２ｙ３＝１（、Ｙ∈Ｒ，Ｙ≠
啕ｆ（一） ≤ 詈，
方法评析：
初等数学证法的逐步调整思路确实非常巧妙，是不等式证明的一个重要思路．矩阵证
法则巧妙运用ＴＢｉｎｅｔ — Ｃａｕｃｈｙ定理实现恒等变形，整个计算过程比较简洁，方法具有很强的创造性，不等关系的明确是此题求解的关键，
～
３ｏ
数学教学
２０１３年第７期
排序不等式的矩阵证明及其应用
２０１２０３华东师范大学第二附属中学施洪亮
不等式证明是中学数学中的常见问题，在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，成为竞赛数学中的热门题型．矩阵的引入极大简化了数值运算，因此基于矩阵表示的代数证明也进入我们的视野．本文以运用Ｂｉｎｅｔ — Ｃａｕｃｈｙ（比内一柯西）定理证明不等
￣ｔｔＮ：ｂ２Ｄ十＋ｃＣ２ ≥ 丢（６＋ｃ），ｃ２Ｃ＂十４－ａ０２ ≥
（ｃ， ≥ （川以２（
７－３２
数学教学
２０１３年第７期
一
道复旦大学自主招生数学试题的再拓展

排序不等式及其应用

当且仅当 a1 = a2 = … = an 时等号成立.
证法 1 记 G = n a1 ·a2 ·…·an ,令 bi
=
ai ( i G
= 1 ,2 , …, n)
, 则原不等式
Ζ b1
+ b2
+
… + bn ≥ n ,其中 b1 ·b2 ·…·bn = 1.
取 x1 , x2 , …, x n , 使 b1
原理.
证明因为 a1 , a2 , …an 是 n 个两两互
不相等的正整数 ,可将它们从小到大排列 ,不
妨设为 b1 < b2 < …bn ,从而 bk ≥k ( k 为正整
数) ,由排序不等式可得
a1
+
a2 22
+
a3 32
+
…+
an n2
≥b1
+
b2 22
+
b3 32
+
…+
bn n2
≥1
≥
(
abc)
a+b+c 3
.
分析不等式的左右两端均为指数形
式 ,可以在两边取对数后再利用排序原理证明.
证明不妨设 a ≥b ≥c > 0 ,则 ln a ≥ lnb ≥lnc ,于是由排序原理 ,有
aln a + bln b + clnc = aln a + bln b + clnc , aln a + bln b + clnc ≥aln a + blnc + cln b , aln a + bln b + clnc ≥aln b + bln a + clnc , aln a + bln b + clnc ≥aln b + blnc + cln a , aln a + bln b + clnc ≥alnc + bln a + cln b , aln a + bln b + clnc ≥alnc + bln b + cln a , 将以上各式相加 ,得

第76讲柯西不等式、排序不等式及应用

5．(改编)设 x1，x2，x3，x4 是 2,3,4,5 的任一排列，则 2x1＋3x2＋4x3＋5x4 的最小值是 .
解析：反序和最小，即最小值为 2×5＋3×4＋4×3＋ 5×2＝44.
一
利用柯西不等式和排序不等式求最值
【例 1】(1)已知实数 x，y，z 满足 x2＋2y2＋3z2＝3，求
2.(2013· 湖北卷)设 x，y，z∈R，且满足：x2＋y2＋z2＝1， x＋2y＋3z＝ 14，则 x＋y＋z＝ .
解析：根据柯西不等式有 (x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2， x y z 当＝＝时“＝”成立． 1 2 3 不妨令 x＝k，y＝2k，z＝3k，则由 x2＋y2＋z2＝1， 14 解得 k＝ (负根舍去)， 14 3 14 所以 x＋y＋z＝6k＝ . 7
1.(2012· 浙江卷)若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋ 4y 的最小值是( C ) 24 A. 5 C．5 28 B. 5 D．6
3 1 解析：因为 x＋3y＝5xy，＋＝5， x y 于是由 x＞0，y＞0，得 1 3 1 3x＋4y＝ (3x＋4y)· ( ＋ ) 5 x y 1 3 12 ≥ ( 3x· ＋ 4y· ) 5 x y ＝5，故选 C.
又由 0<b＋c－a,0<a＋b－c,0<a＋c－b，得 0<A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b) ＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C) ＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C) ＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC)， aA＋bB＋cC π 所以 < ， a＋b＋c 2 π aA＋bB＋cC π 所以 ≤ < . 3 a＋b＋c 2

排序、均值、柯西不等式

设
且
，求
最小值.
相关题 1.(2003年西部奥林匹克题)设
且
,求证:
.
8
9 /9
.
相关题 2.(《中学生数学》2006年增刊--帮你参加全国数学联赛第 7套模拟题)已知
且
，证明
.
为正实数，
注意到
，为此只需证明，令
，则问题转化为：
已知
为正实数，且
，证明
.
，令
，则
， .
9
为正实数，且
，证明
.
证法 1原不等式等价于由柯西不等式，可得
.
证法 2 .
由பைடு நூலகம்西不等式，可得
为此只需证明证法 3令
, ,
, 等价于
,
.显然. ,
.
3
例 5.设
,
为
证明记则
三式相加得
,同理 , ,
故
.
而由柯西不等式得,
4 /4
的三个内角,求证: .
,
, ,
.
即
.
例 6．（《中等数学》2003.4）已知
1 /1
排序、均值、柯西不等式及其应用
排序不等式、均值不等式、柯西不等式是不等式证明的基本工具，三者各有所长，这里我们先简单回
顾一下三个不等式，然后结合具体题目谈谈它们在不等式证明中的应用。
①排序不等式：
(i)对于两个有序数组
则
其中
与
是 1， 2， n的任意两个排列，当且仅当
或
.
证明 ∵
,故原不等式等价于
,此式左边为顺序和,右边为乱序和,由排序
不等式知其成立. 例 2(美国第 3届中学生数学竞赛题)设

排序、均值、柯西不等式及其应用(不等式 (拓展5)

排序、均值、柯西不等式及其应用（不等式 (拓展5)排序不等式、均值不等式、柯西不等式是不等式证明的基本工具，三者各有所长，这里我们先简单回顾一下三个不等式，然后结合具体题目谈谈它们在不等式证明中的应用。

①排序不等式：(i)对于两个有序数组1212,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤ 及则112211221211n ni j i j in bn n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b -+++≥+++≥+++ （同序）（乱序）（反序）其中12,,,n i i i 与12,,,n j j j 是1，2， n 的任意两个排列，当且仅当12n a a a === 或12n b b b === 时式中等号成立.(ii) 设120n a a a <≤≤≤ ,12,n b b b <≤≤≤ 0而12,,,n i i i 是1,2,,n 的一个排列,则 112121121212i i i nn n n bb b b b b bbb nn n a a a a a a a a a -≤≤当且仅当12n a a a === 或12n b b b === 时式中等号成立.(iii)设有n 组非负数,每组n 个数,它们满足:120k k kn a a a ≤≤≤≤ (1,2,,)k m = ,那么,从每一组中各取出一个数作积,再从剩下的每一组中各取一个作积,直到n 次取完为止,然后将这些“积”相加，则所得的诸和中，以112111222212m m n n mn I a a a a a a a a a =+++ 为最大.(iv)设120,n a a a <≤≤≤ 12,n b b b <≤≤≤ 0则≤≤当且仅当12n a a a === ,且12n b b b === 时取等号.②平均值不等式：设12,,n a a a 是n 个正实数，则有12n a a a n+++≥ 当且仅当12n a a a === 时取等号.幂平均值不等式:设0αβ<≤，n N +∈，12,,,n a a a R +∈，则121211n n a a a a a a n n αααβββαβ⎛⎫⎛⎫++++++≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当12n a a a === 时取等号. 加权幂平均值不等式设12,,,n p p p R +∈，0αβ<≤，n N +∈，12,,,n a a a R +∈，则12121112121212n nn n n n p a p a p a p a p a p a p p p p p p αααβββαβ⎛⎫⎛⎫++++++≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭当且仅当12n a a a === 时取等号.③柯西不等式：222222211221212)()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++ （当且仅当(1,2,,)i i a kb i n == 时取等号. 推论1设12,,,n a a a R +∈，则21212111()()n na a a n a a a ++++++≥ . 推论2设12,,,n a a a R +∈，则12222212nn a a a a a a n n ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭. 1、设a 、b 、c 为正数，求4936()()a b c a b c++++的最小值。

不等式与排序不等式

在证明不等式中的应用
排序不等式在证明不等式中的应用，主要是通过将不等式两边进行适当的排序，然后利用排序后的数列进行证明。这种方法可以简化证明过程，使得证明更加简洁明了。
VS
例如，要证明对于任意正数$x_1, x_2, ldots, x_n$和$y_1, y_2, ldots, y_n$，都有$(x_1 + x_2 + ldots + x_n)(y_1 + y_2 + ldots + y_n) geq n(x_1y_1 + x_2y_2 + ldots + x_ny_n)$，我们可以先将$x$和$y$数列从小到大排序，然后利用排序不等式进行证明。
可加性
可加性的定义
等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。
不等式的可加性
对于任意两个实数a和b以及任意实数 c，如果a<b，则a+c<b+c；如果 a>b，则a+c>b+c。
同向正数可乘性
同向正数可乘性的定义
等式两边同时乘以或除以同一个正数，等式仍然成立。
不等式的同向正数可乘性
对于任意两个实数a和b（a、b均大于0）以及任意正实数c，如果a<b，则ac<bc；如果a>b，则ac>bc。
几何意义
当两组数按降序排列时，它们的顺序积（即同序和）最大。
应用
在证明不等式、求最值等问题中，降序排序不等式可用于确定某些表达式的最大可能值。
乱序排序不等式
• 定义：对于两组实数$a_1, a_2, \ldots, a_n$和$b_1, b_2, \ldots, b_n$（无特定顺序），有$a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nbn \leq a{\sigma(1)}b1 + a{\sigma(2)}b2 + \ldots + a{\sigma(n)}b_n$或$a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nbn \geq a{\sigma(1)}b1 + a{\sigma(2)}b2 + \ldots + a{\sigma(n)}b_n$，其中$\sigma$是$1, 2, \ldots, n$的任意一个排列，且至少有一个数对$(a_i, bi)$和$(a{\sigma(i)}, b_{\sigma(i)})$不是按相同顺序排列的。

三个重要不等式及应用

i 1

n
1 xi 1 xi

i 1
i 1
1 xi
n
由柯西不等式，有：
i 1
1 x i ( 1 xi 1)
n
n
(1 xi ) 1
i 1 i 1
i 1 n
n
n 1 n
i 1
xi ( xi 1) xi 1 n
三个重要不等式及应用

目的要求：掌握排序不等式，平均不等式，柯西不等式及其应用重点：三个不等式的应用难点：排序不等式的证明及综合应用
1 排序不等式设有两组数 a1 , a2 ,
a1 a2
, an ; b1 , b2 , an , b1 b2 bn ，
anbn
a1 , a2 , , an 的某个排列，证明：
a1 a2 b1 b2
an n bn
证明不妨设 b1 b2
bn ，则 1 1
b1 b2
1 an bn 1 bn bn
由排序不等式(乱序逆序)得，
1 1 a1 a2 b1 b2 1 1 b1 b2 b1 b2 n
i 1 2 i i 1 2 i i 1
n
n
n
1 2 1 2 1 2 (n2 1) 2 求证： (a1 ) (a2 ) ... (an ) a1 a2 an n
1 2 (1 ak ) k 1 k 1 a k
n n
(1 n 2 ) 2 n 1 2 1 2 2 (ak ) (1 n ) k 1 ak n

排序不等式及其应用

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