高考研究：曲线方程常见解题方法

(3)△ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长是2a， 边BC上的高为b，边BC沿一条定直线移动，求 △ABC外心的轨迹方程．
【解析】 以BC定直线为x轴，过A作x轴的垂线 建系，则A(0，b)．设外心M(x，y)，则MN是BC 的垂直平分线，N为垂足．∴|MA|＝|MB|.
∴|MA|＝ x2＋y－b2，|MB|＝ |MN|2＋|BN|2＝ a2＋y2.
O→P＝12(O→A＋O→B)，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程． 【解析】 方法一：直线l过点M(0,1)，当l的斜率存在
时，设其斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题设可得点A，B的坐标(x1，
y＝kx＋1， y1)，(x2，y2)是方程组x2＋y42＝1
消θ即可．
【答案】 (x－12)2＋y2＝14(0<x≤1)
探究1 本题中的前四种方法是求轨迹方程 的常用方法，我们已在本章的前几节中做过 较多的讨论，故解析时只做扼要总结即可．
且|AB|思＝考|题BC1(|1＝)已6，知圆A，Q切B，直C线是l直于线点lA上，的又三过点B，， C作圆Q异于l的两切线，设这两切线交于点P， 求点P的轨迹方程．
方法四：参数法：设动弦PQ的方程为y＝kx，代入圆的 方程得(x－1)2＋k2x2＝1，即(1＋k2)x2－2x＝0，
∴x＝x1＋2 x2＝1＋1 k2，y＝kx＝1＋k k2消去k即可．
方法五：(参数法)设Q点坐标为(1＋cosθ，sinθ)，
∴P(x，y)Leabharlann Baidu坐标为xy＝ ＝1si＋2nθ2c，osθ，
① ② 的解．
将①代入②并化简，得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0. 所以 x1＋x2＝4－＋2kk2，
y1＋y2＝4＋8 k2. 于是O→P＝12(O→A＋O→B)＝(x1＋2 x2，y1＋2 y2) ＝(4－＋kk2，4＋4 k2)．
设点P的坐标为(x，y)，则yx＝＝44－＋＋4kkk22，， 消去参数k，得4x2＋y2－y＝0.③ 当直线l的斜率不存在时，A，B的中点坐标为原点 (0,0)，也满足方程③. 所以点P的轨迹方程为4x2＋y2－y＝0.
①某个动点P在已知方程的曲线上移动；
②另一个动点M随P的变化而变化；
③在变化过程中P和M满足一定的规律．
思考题2 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F.
(1)点A，P满足＝－2.当点A在抛物线C上运动时，
求动点P的轨迹方程；
(2)在x轴上是否存在异于原点的点Q，使得点Q 关于直线y＝2x的对称点在抛物线C上？如果存 在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存 在，请说明理由．
【解析】 如下图，由切线性质，得
|PB|＋|PC|＝|BA|＋|CA|＝18>|BC|＝6.可知P点轨迹是以
B，C为焦点的椭圆(但除去与BC的交点)．以BC为x轴，BC
中点为原点建立坐标系得 P点轨迹方程为8x12 ＋7y22 ＝1(y≠0)． 【答案】 8x12 ＋7y22 ＝1(y≠0)
(2)设动直线l垂直x轴，且与椭圆x2＋2y2＝4交于A，B两
当k≠±1时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝14－k2k2，x1x2＝4kk22－＋11，①
y1＋y2＝k(x1＋2)＋k(x2＋2) ＝k(x1＋x2)＋4k ＝1k－·4kk22＋4k＝1－4kk2.
设P(x，y)，由O→P＝O→A＋O→B，
得(x，y)＝(x1＋x2，y1＋y2)＝(14－k2k2，1－4kk2)．
【解析】 (1)由题意知c＝ 5，ac＝ 35， 所以a＝3，b2＝a2－c2＝4. 故椭圆C的标准方程为x92＋y42＝1.
(2)设两切线分别为l1，l2， ①当l1⊥x轴或l1∥x轴时，对应l2∥x轴或l2⊥x轴，可知 P(±3，±2)． ②当l1与x轴不垂直且不平行时，x0≠±3. 设l1的斜率为k，则k≠0，l2的斜率为－1k， 故l1的方程为y－y0＝k(x－x0)，联立x92＋y42＝1， 得(9k2＋4)x2＋18(y0－kx0)kx＋9(y0－kx0)2－36＝0.
由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y －3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心， 2为半径的 圆．
由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．
又P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－13.
故l的方程为y＝－13x＋83.
高考 专题研究 曲线与方程解题方法
专题讲解 题组层级快练
例1 设圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆 的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．
【解析】 方法一：直译法：设OQ为过O的一条弦，
P(x，y)为其中点，则CP⊥OP，OC中点为M(12，0)，
则|MP|＝12|OC|＝12，得方程(x－12)2＋y2＝14，考虑轨迹的
范围知0<x≤1.
方法二：定义法：∵∠OPC＝90°，
∴动点P在以M(
1 2
，0)为圆心OC为直径的圆上，|OC|＝
1，再利用圆的方程得解．
方法三：相关点法：设Q(x1，y1)，则
x＝x21， y＝y21
⇒xy11＝ ＝22xy， . 又∵(x1－1)2＋y12＝1，
∴(2x－1)2＋(2y)2＝1(0<x≤1)．
方法二：设点P的坐标为(x，y)， 因A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上， 所以x12＋y421＝1.④ x22＋y422＝1.⑤ ④－⑤，得x12－x22＋14(y21－y22)＝0，所以 (x1－x2)(x1＋x2)＋14(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
当x1≠x2时，有 x1＋x2＋14(y1＋y2)·xy11－－xy22＝0.⑥
探究3 在确定了轨迹方程之后，有时题目会就 方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方 程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其 他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起 另外某些变量的取值范围的变化等等．
思考题3
设椭圆方程为x2＋
y2 4
＝1，过点M(0,1)
的直线l交椭圆于点A，B，O是坐标原点，l上的动点P满足
例4
已知椭圆C：
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a＞b＞0)的一个焦点为
(
5，0)，离心率为
5 3.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两 条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
【思路】 (1)由焦点坐标和离心率可求出椭圆的长 半轴长、半焦距长和短半轴长，可得椭圆的标准方 程；(2)讨论两条切线的斜率是否存在，斜率存在时， 设出切线方程，利用直线与椭圆相切得判别式Δ＝0， 建立关于k的一元二次方程，利用两根之积为－1， 求出点P的轨迹方程．
所以x2－2by＋b2－a2＝0.
【答案】 x2－2by＋b2－a2＝0
例2 自抛物线y2＝2x上任意一点P向其准线l引 垂线，垂足为Q，连接顶点O与P的直线和连接 焦点F与Q的直线交于R点，求R点的轨迹方程．
【解析】 相关点法：设P(x1，y1)，R(x，y)， 则Q－12，y1，F12，0.OP的方程为y＝yx11x. FQ的方程为y＝－y1x－12.
的对称点Q′(x，y)，则x2y－＝y tx＝＋－t，12，
解得xy＝＝－45t.35t，
由Q′在抛物线C上，将Q′的坐标代入y2＝4x，得4t2＋ 15t＝0，即t＝0或t＝－ 145 .所以存在满足题意的点Q，其坐标 为(0,0)或(－145，0)．点(0,0)不符合题意．∴Q(－145，0)．
【解析】 (1)设点P的坐标为(x，y)，点A的坐标为
(xA，yA)，则A→P＝(x－xA，y－yA)．
因为F的坐标为(1,0)，所以F→A＝(xA－1，yA)．
由A→P＝－2F→A，得(x－xA，y－yA)＝－2(xA－1，yA)， 即xy－－xyAA＝＝－－22yxAA，－1， 解得xyAA＝＝2－－y.x， 代入y2＝4x，得到动点P的轨迹方程为y2＝8－4x. (2)假设存在这样的点Q，其坐标为(t,0)，点Q关于直线y＝2x
∴x＝1－4k2k2，
②
y＝1－4kk2.
③
②÷③，得xy＝k.④ 4x
将④代入③，得y＝1－yxy2，化简， 得x2－y2＋4x＝0，即(x＋2)2－y2＝4.⑤ 当斜率不存在时，易知P(－4,0)满足方程⑤，故所求轨 迹方程为(x＋2)2－y2＝4，其轨迹为双曲线．
【答案】 (x＋2)2－y2＝4，轨迹为双曲线
探究4 高考题中求轨迹问题的主要类型是 直译法，相关点法和参数法．
圆C：x2思＋考y2题－48(2y0＝104，·新过课点标P的全动国直Ⅰ线文l)与已圆知C点交P于(2,A2，)， B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程； (2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
点，P是l上满足P→A·P→B＝1的点，求点P的轨迹方程． 【解析】 A，B两点的坐标分别为
Ax，
4－2 x2，Bx，－
设P(x，y)，则
4－2 x2.
P→A＝0，
4－2 x2－y，P→B＝0，－ 4－2 x2－y.
由P→A·P→B＝1，得x2＋2y2＝6(－2<x<2)．
【答案】 x2＋2y2＝6(－2<x<2)
根，同理－1k是方程(x20－9)x2－2x0y0x＋y20－4＝0(x0≠±3)的另
一个根．
所以k·－1k＝xy2020－－94，得x20＋y20＝13，其中x0≠±3.
所以此时点P的轨迹方程为x02＋y20＝13(x0≠±3)． 因为P(±3，±2)满足x20＋y20＝13， 所以综上可知，点P的轨迹方程为x02＋y20＝13. 【答案】 (1)x92＋y42＝1 (2)x20＋y20＝13
又|OM|＝|OP|＝2
2
，O到l的距离为
4 10 5
，|PM|＝
4 510，所以△POM的面积为156.
【答案】 (1)(x－1)2＋(y－3)2＝2 (2)x＋3y－8＝0，S△POM＝156
因为直线l1与椭圆C相切，所以Δ＝0.
即9(y0－kx0)2k2－(9k2＋4)[(y0－kx0)2－4]＝0.
所以－36k2＋4[(y0－kx0)2－4]＝0.
所以(x20－9)k2－2x0y0k＋y20－4＝0.
所以是方程(x
2 0
－9)x2－2x0y0x＋y
2 0
－4＝0(x0≠±3)的一个
【答联立案得】x1＝1y－22＝x2x，－y21＝x21＋－2yx2x代入抛物线方程可得
y2＝－2x2＋x.
探究2 (1)相关点法求曲线方程时一般有两 个动点，一个是主动的，另一个是次动的， 如本题中P是主动点，R是次动点．
(2)当题目中的条件同时具有以下特征时，一 般可以用相关点法求其轨迹方程：
【答案】 (1)y2＝8－4x (2)存在，Q(－145，0)
例3 过点M(－2,0)作直线l交双曲线x2－y2＝1于A，B两 点，已知O→P＝O→A＋O→B.求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什 么曲线．
【解析】 (参数法)：设l的方程为y＝k(x＋2)，代入方 程x2－y2＝1，得(1－k2)x2－4k2x－4k2－1＝0.
x＝x1＋2 x2，
并且y＝y1＋2 y2，
⑦
y－x 1＝xy11－－xy22，
将⑦代入⑥并整理，得4x2＋y2＝y.⑧ 当x1＝x2时，点A，B的坐标分别为(0,2)，(0，－2)．
这时点P的坐标为(0,0)，也满足⑧.
所以点P的轨迹方程为
x2 1
＋y－1 122＝1.
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【答案】 4x2＋y2－y＝0
【思路】 (1)设出点M的坐标，再根据C→M·M→P＝0求得 点M的轨迹方程；(2)解题的关键是将条件|OP|＝|OM|进行合 理转化．
【解析】 (1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以 圆心为C(0,4)，半径为4.
设M(x，y)，则 C→M ＝(x，y－4)， M→P ＝(2－x,2－y)．由 题设知 C→M ·M→P ＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2 ＋(y－3)2＝2.