双曲线及其标准方程(带动画)修改

焦点
F（±c，0）
F（±c，0）
F（0，±c）
a.b.c的关 系
F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
小结 ----双曲线定义及标准方程
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
M F2
y
图象
F1
o
F2
x
F1
(1) a=_______ , c =_______ , b =_______
3
5
4
(2) 双曲线的标准方程为______________ (3)双曲线上一点Ｐ， |PF1|=10, 4或16 则|PF2|=_________
双曲线的标准方程与椭圆的 标准方程有何区别与联系?
双曲线与椭圆之间的区别与联系
F
| |MF1| - |MF2| | = 2a
(2)常数要大于0小于|F1F2|
1
o
F2
0<2a<2c
①常数等于|F1F2|时
P
Q
M M F1 F2 ||MF1|－|MF2||=|F1F2|时，M点一定在上图中的射线F1P， F2Q 上，此时点的轨迹为两条射线F1P、F2Q。
②常数大于|F1F2 |时 |MF1|－|MF2| >|F1F2| 是不可能的，因为三角 形两边之差小于第三边。此时无轨迹。 ③常数等于0时
椭
定义 方程
圆
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y 2 2 1(a 0, b 0) 2 a b y 2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
|MF1|+|MF2|=2a
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
画双曲线
演示实验：用拉链画双曲线
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F1F2|=2a ②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=|F1F2|=2a
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？
2.双曲线的定义 回忆椭圆的定义
平面内与两个定点 F1， F 平面内与两个定点 F F2的距离的和为一个定 2的距离的差的绝对值 1， 等于常数 （小于︱ F1F2︱） 的点的轨迹叫做双曲线. 值（大于 ︱F1F2︱ ）的点的轨迹叫做椭圆 ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. 注意
M
(1)距离之差的绝对值
北京摩天大楼
巴西利亚大教堂
法拉利主题公园
花瓶
探索研究
1.回顾椭圆的定义？
Y
平面内与两个定点F1、F2的 距离的和等于常数（大于 ｜F1F2｜）的点轨迹叫做椭圆。
M x, y
F1 c, 0
O
F2 c, 0 X
思考 ： 如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距 离之差”，那么动点的轨迹会是怎样的曲线？ 即“ 平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的差等于常数 的点的轨迹 ”是什么？
思考：如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点 是在X轴上还是Y轴上？
x2 y2 y2 x2 1与 判断： 1 的焦点位置？ 16 9 9 16
结论： 看
x , y 前的系数，哪一个为正，则
2
2
焦点在哪一个轴上。
例题分析
例 1. 已知双曲线的焦点为 F1(-5,0), F2(5,0) 双曲线上一点到焦点的距离差的 绝对值等于6，则
2
2
双曲线定义及标准方程
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
M F2
y
图象
F1 o F2
x
F1
x
方程 焦点 a.b.c 的关系
x y 2 1 2 a b
2
2
y x 2 1 2 a b
2
2
F ( ±c, 0) F(0, ± c) c 2 a 2 b 2 (c a, c b, a与b的大小不确定)
x
方程
来自百度文库
x y 2 1 2 a b
F ( ±c, 0)
2
2
y2 x2 2 1 2 a b
F(0, ± c)
2 2
焦点 a.b.c 的关 系
c a b
2
(c a ) x a y a (c a )
2 2 2 2 2 2 2 2
令c2－a2=b2
x y 2 1 2 a b
2
2
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
y
M
焦点在y轴上
y
F2
M x
F
1
O
F
2
x
O
F1
2 2 x y y x 2 1 2 1 2 2 a b a b 2 2 2 (a 0，b 0)并且c =a b
F1
y
M
o
F2
x
- |MF2|= 2a _ 2a (x-c)2 + y2 = +
即
(x+c)2 + y2 -
4.化简.
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
( (x c)2 y2 )2 ( (x c)2 y2 2a)2
y
M F1
o
cx a2 a (x c)2 y2
∵若常数2a= |MF1|－|MF2| =0
F1 则|MF1|=|MF2| 此时点的轨迹是线段F1F2的垂直平 分线。 F2 M
3.双曲线的标准方程
1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴， 如何求这优美的曲线的方程？ 线段F1F 2的中点为原点建立直角坐 标系 2.设点． 设M（x , y）,双曲线的焦 距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式．|MF1|