非线性微分方程及稳定性

为研究（6.1）的特解
邻近的解的性态，通常先利用
变换: 把方程（6.1）化为：
(6.28) （6.3）
其中 此时显然有：
（6.4）
6.2 稳定性的基本概念
定义6.1 设
是系统(6.3)适合初值条件
的解
(1) 若
使得只要
对一切
恒有
则称系统(6.3)的零解
是稳定的。
(2) 若 1)
是稳定的;
2)
使得只要
是不稳定的;
用来判定稳定性的这种函数 函数.
称为Liapunov函数,也称为
附注1 若
定正(定负),
常负(常正), 但集合
内除
外不含有系统(6.2)的整条轨线,
则
是渐近稳定的.
附注2 若
在
定号,则
是不稳定的.
的邻域内是变号函数,而
6.6 周期解和极限圈
例 对二阶非线性驻定方程组
（6.15）
如取极坐标 由（6.16）可知当 及
则当
时
奇点为焦点，且当
时焦点是稳定的，对应的零解为渐近稳
定的，而当
时奇点和对应的解均为不稳定的；当
时奇点为中心，零解为稳定但非渐近稳定的。
6.4 由线性近似系统判定稳定性
(6.12)
设
为(6.12)的解, 利用TayLor公式 可将(6.12)化为
称系统(6.13)的线性近似系统为
(6.13)
(6.14)
非线性微分方程及稳定性
写成向量形式：
设给定方程组（6.1）的初始条件为
考虑包含点
的某区域
（6.1）
所谓
在域 上关于 局部满足利普希茨条件是指对于
内任意点
存在闭邻域
满足利普希茨条件，即存在常数
而
与 关于
使得不等式：
对所有
成立。
存在唯一性定理
如果向量函数
在域 上连续且关于
满足利普希茨条件，则方程组（6.1）存在唯一解
定理 (1) 若矩阵A的全部特征值都具有负实部,则系统 (6.12)的零解是渐近稳定的;
(2) 若矩阵A的全部特征值中至少有一个具有正实部,则系统 (6.12)的零解是不稳定的.
定理(Hurwitz准则) 实系数 n 次代数方程
的所有根具有负实部(包括负实根)的充分必要条件是:
定理 若特征方程
没有零根或零实部的根，则非
它在区间
上连续，而且
这里
解的延拓与连续性定理
如果向量函数
在某域 内连
续，且关于 满足局部里普希茨条件，则方程组（6.1）的满足初始
条件
的解
可以延拓，或者延拓
到
或者使点
任意接近区域 的边界。
可微性定理
如果向量函数
及
在域 内连续，那么方程组（6.1）由初始条件
确定
的解
作为
的函数，在存在范围内是连续可微。
（6.7）
附注：在相平面，驻定方程组（6.7）的轨线不相交。
同时满足
的点
称为驻定方程组
（6.7）的奇点，显然
是方程组的解。 方程（6.7）的另一形式：
（6.8）
显然，坐标原点 件
是奇点。如果方程组的系数满足条 （6.9）
则此奇点还是唯一的。 根据线性代数理论可以通过非奇异的实线性变换
（6.10） 把线性方程组（6.8）化成标准形式，其系数为下列四种形式：
则方程组（6.15）可化为 （6.16）
和
时
即有两个特解
第一个解即为原点，是一奇点。而第二个解在相平面上是半径等于 1以原点为圆心的一个圆。这个以圆为轨线的解是一个周期解，周 期为 ，轨线是沿着顺时针方向旋转的。
在相平面上任意作一个半径为
（圆心在原点）的圆，考
虑通过
圆上的任一点
方程轨线的走向。
当
时，由式（6.16）有
（6.17）
其右端函数
在相平面的某域 内有一阶连续偏导数。
方程组（6.13）的零解的稳定性态与其线性近似的方程组（6.14）
的零解的稳定性态一致。
6.5 判定稳定性的Liapunov函数法
定义6.5 设
若
且当
时,
函数 在 上是常正(常负)的;若
且当
则称
时,
则称 函数 在 上是定正(定负)的;常
常正或常负的函数统称为常号函数;定正或定负的函数统称为
定号函数. 若
）趋近于它时，称此极限圈为
稳定的。如果轨线是负向（即
）趋近于它时，称它为不稳
定的。当此极限圈的一侧轨线正向趋于它，而另一侧轨线负向趋近
它时，此极限圈称为半稳定的。 实际上可以不必先求出特解（如上例的r=1），而仅仅由构
造的环域 便可以证明在此环域内必存在极限圈。这种方法称为
班狄克生方法。 假设二阶驻定微分方程组
即轨线按顺时针方向从圆
走出圆外。
当
时，则由（6.16）有
即轨线按顺时针方向从圆
走出圆外。
考虑由
组成的环域 首先，由方程组（6.16）的右端
可知，此环域 内没有方程的奇点。其次，在边界
和
上所有的轨线均从环域 外进入其内，并不再走出该环域。 这种孤立的周期解（闭轨线），在相平面上称为极限圈。当极
限圈附近的轨线均正向（即
且在
的点, 也有使
的任意领域内均既有使 的点, 则称函数 在
上是变号的.
定理6.1 (稳定性的Liapunov判别法) 设有定义在
上的定正(定负)函数
表示
沿系统(6.2)的轨线
的全导数
(1) 若
在 上是常负(常正)的,则
是稳定的;
(2) 若
在 上是定负(定正)的,则
是渐近稳定的;
Hale Waihona Puke Baidu
(3) 若
在 上是定正(定负)的,则
，且当
结点是稳定的，而对应的零解为渐进稳定的，但当
时奇点和对应的零解均为不稳定的；当
时奇点为鞍点
，零解为不稳定的。
2）如果特征方程具有重根 则奇点通常为退化结点，但在
的情形奇点为奇结点。又当
时，这两类结点均为
稳定的，而零解为渐近稳定的，但当
时奇点和对应的零解均
为不稳定的。
3）如果特征方程的根为共轭复根，即
其中， 特征方程
为实数。这些标准形式是根据方程组（6.8）的
即： 的根（称为特征根）的性质来决定的。
（6.11）
定理 如果二阶线性驻定方程组（6.8）的系数满足条件（6.9），则方程 的零解（奇点）将依特征方程（6.11）的根的性质而分别有如下的 不同特性：
1）如果特征方程的根
为实根，则
时奇点为结点
就有
则称系统(6.3)的零解
是渐近稳定的; 区域
称为
吸引域;如果吸引域是全空间,则称
是全局渐近
稳定的
. (3) 若
都
与
使
但
则称
是不稳定的。
6.3 相平面
现在讨论二阶微分方程组
（6.5）
它的解
（6.6）
如果把时间t当做参数，仅考虑x，y为坐标的（欧氏）空间， 此空间成为方程组（6.5）的相平面（若方程组是高阶的，则称为 相空间）。在相平面（相空间）中方程组的曲线称为轨线。对一般 的方程组（6.5）在相平面上一个点可能有不止一条轨线经过。但 如果方程组（6.5）是驻定方程组，即其右端函数不显含时间t的情 形，此时（6.5）式变成：